ఉదాహరణకు, క్రమం \(2\); \(5\); \(8\); \(పదకొండు\); \(14\)... ఒక అంకగణిత పురోగతి ఎందుకంటే ప్రతి తదుపరి మూలకంమునుపటి దాని నుండి మూడు భిన్నంగా ఉంటుంది (మూడు జోడించడం ద్వారా మునుపటి నుండి పొందవచ్చు):

ఈ పురోగతిలో, తేడా \(d\) సానుకూలంగా ఉంటుంది (\(3\)కి సమానం), అందువల్ల ప్రతి తదుపరి పదం మునుపటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. ఇటువంటి పురోగతులు అంటారు పెరుగుతున్నాయి.

అయితే, \(d\) కూడా కావచ్చు ప్రతికూల సంఖ్య. ఉదాహరణకి, అంకగణిత పురోగతిలో \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... పురోగతి వ్యత్యాసం \(d\) మైనస్ ఆరుకి సమానం.

మరియు ఈ సందర్భంలో, ప్రతి తదుపరి మూలకం మునుపటి కంటే చిన్నదిగా ఉంటుంది. ఈ పురోగతులు అంటారు తగ్గుతోంది.

అంకగణిత పురోగతి సంజ్ఞామానం

పురోగతి చిన్న లాటిన్ అక్షరంతో సూచించబడుతుంది.

పురోగతిని ఏర్పరిచే సంఖ్యలను అంటారు సభ్యులు(లేదా అంశాలు).

అవి అదే అక్షరంతో అంకగణిత పురోగతిగా సూచించబడతాయి, కానీ క్రమంలో మూలకం సంఖ్యకు సమానమైన సంఖ్యా సూచికతో ఉంటాయి.

ఉదాహరణకు, అంకగణిత పురోగతి \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) మూలకాలు \(a_1=2\) ఉంటాయి; \(a_2=5\); \(a_3=8\) మరియు మొదలైనవి.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పురోగతి కోసం \(a_n = \ఎడమ\(2; 5; 8; 11; 14...\కుడి\)\)

అంకగణిత పురోగతి సమస్యలను పరిష్కరించడం

సూత్రప్రాయంగా, దాదాపు ఏదైనా అంకగణిత పురోగతి సమస్యను (OGEలో అందించిన వాటితో సహా) పరిష్కరించడానికి పైన అందించిన సమాచారం ఇప్పటికే సరిపోతుంది.

ఉదాహరణ (OGE). అంకగణిత పురోగతిషరతుల ద్వారా ఇవ్వబడింది \(b_1=7; d=4\). \(b_5\)ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:

సమాధానం: \(b_5=23\)

ఉదాహరణ (OGE). అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి మూడు పదాలు ఇవ్వబడ్డాయి: \(62; 49; 36...\) ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి ప్రతికూల పదం యొక్క విలువను కనుగొనండి..
పరిష్కారం:

	మనకు సీక్వెన్స్ యొక్క మొదటి అంశాలు ఇవ్వబడ్డాయి మరియు ఇది అంకగణిత పురోగతి అని తెలుసు. అంటే, ప్రతి మూలకం దాని పొరుగు నుండి ఒకే సంఖ్యలో భిన్నంగా ఉంటుంది. తదుపరి మూలకం నుండి మునుపటి దాన్ని తీసివేయడం ద్వారా ఏది కనుగొనండి: \(d=49-62=-13\).
	ఇప్పుడు మనం మన పురోగతిని మనకు అవసరమైన (మొదటి ప్రతికూల) మూలకానికి పునరుద్ధరించవచ్చు.
	సిద్ధంగా ఉంది. మీరు సమాధానం వ్రాయగలరు.

సమాధానం: \(-3\)

ఉదాహరణ (OGE). అంకగణిత పురోగతి యొక్క అనేక వరుస మూలకాలు అందించబడ్డాయి: \(...5; x; 10; 12.5...\) \(x\) అక్షరం ద్వారా నిర్దేశించబడిన మూలకం విలువను కనుగొనండి.
పరిష్కారం:

	\(x\)ని కనుగొనడానికి, తదుపరి మూలకం మునుపటి దాని నుండి ఎంత భిన్నంగా ఉందో మనం తెలుసుకోవాలి, మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పురోగతి వ్యత్యాసం. తెలిసిన రెండు పొరుగు మూలకాల నుండి దానిని కనుగొనండి: \(d=12.5-10=2.5\).
	మరియు ఇప్పుడు మనం వెతుకుతున్న దాన్ని సులభంగా కనుగొనవచ్చు: \(x=5+2.5=7.5\).
	సిద్ధంగా ఉంది. మీరు సమాధానం వ్రాయగలరు.

సమాధానం: \(7,5\).

ఉదాహరణ (OGE). అంకగణిత పురోగతి ఇవ్వబడింది క్రింది షరతులు: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి ఆరు పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:

	మేము పురోగతి యొక్క మొదటి ఆరు పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనాలి. కానీ వాటి అర్థాలు మనకు తెలియవు; కాబట్టి, మేము మొదట మనకు అందించిన వాటిని ఉపయోగించి విలువలను ఒక్కొక్కటిగా లెక్కిస్తాము: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) మరియు మనకు అవసరమైన ఆరు మూలకాలను లెక్కించిన తరువాత, వాటి మొత్తాన్ని మేము కనుగొంటాము.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	అవసరమైన మొత్తం కనుగొనబడింది.

సమాధానం: \(S_6=9\).

ఉదాహరణ (OGE). అంకగణిత పురోగతిలో \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). ఈ పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:

సమాధానం: \(d=7\).

అంకగణిత పురోగతికి ముఖ్యమైన సూత్రాలు

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అంకగణిత పురోగతిపై చాలా సమస్యలను ప్రధాన విషయం అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా పరిష్కరించవచ్చు - అంకగణిత పురోగతి సంఖ్యల గొలుసు, మరియు ఈ గొలుసులోని ప్రతి తదుపరి మూలకం మునుపటి సంఖ్యకు అదే సంఖ్యను జోడించడం ద్వారా పొందబడుతుంది (ది పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం).

అయితే, కొన్నిసార్లు "హెడ్-ఆన్" నిర్ణయించడం చాలా అసౌకర్యంగా ఉన్నప్పుడు పరిస్థితులు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, మొదటి ఉదాహరణలో మనం ఐదవ మూలకం \(b_5\) కాకుండా మూడు వందల ఎనభై ఆరవ \(b_(386)\)ని కనుగొనవలసి ఉంటుందని ఊహించండి. మేము నాలుగు \(385\) సార్లు జోడించాలా? లేదా చివరి ఉదాహరణలో మీరు మొదటి డెబ్బై-మూడు మూలకాల మొత్తాన్ని కనుగొనవలసి ఉంటుందని ఊహించండి. మీరు లెక్కించి విసిగిపోతారు ...

అందువల్ల, అటువంటి సందర్భాలలో వారు "హెడ్-ఆన్" విషయాలను పరిష్కరించరు, కానీ అంకగణిత పురోగతి కోసం రూపొందించిన ప్రత్యేక సూత్రాలను ఉపయోగిస్తారు. మరియు ప్రధానమైనవి ప్రోగ్రెస్షన్ యొక్క nవ పదానికి సూత్రం మరియు \(n\) మొదటి పదాల మొత్తానికి సూత్రం.

\(n\)వ పదం యొక్క ఫార్ములా: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ఇక్కడ \(a_1\) అనేది పురోగతి యొక్క మొదటి పదం;
\(n\) – అవసరమైన మూలకం సంఖ్య;
\(a_n\) – సంఖ్య \(n\)తో పురోగతి యొక్క పదం.

ఈ ఫార్ములా మూడు వందల లేదా మిలియన్ల మూలకాన్ని కూడా త్వరగా కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది, మొదటి మరియు పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని మాత్రమే తెలుసుకుంటుంది.

ఉదాహరణ. అంకగణిత పురోగతి షరతుల ద్వారా పేర్కొనబడింది: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). కనుగొను \(b_(246)\).
పరిష్కారం:

సమాధానం: \(b_(246)=1850\).

మొదటి n నిబంధనల మొత్తానికి ఫార్ములా: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ఇక్కడ

\(a_n\) – చివరిగా సంగ్రహించిన పదం;

ఉదాహరణ (OGE). అంకగణిత పురోగతి షరతుల ద్వారా పేర్కొనబడింది \(a_n=3.4n-0.6\). ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి \(25\) నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		మొదటి ఇరవై ఐదు పదాల మొత్తాన్ని లెక్కించడానికి, మొదటి మరియు ఇరవై ఐదవ పదాల విలువను మనం తెలుసుకోవాలి. మా పురోగతి దాని సంఖ్యను బట్టి nవ పదం యొక్క సూత్రం ద్వారా అందించబడుతుంది (మరిన్ని వివరాల కోసం, చూడండి). మొదటి మూలకాన్ని \(n\)కి ప్రత్యామ్నాయంగా గణిద్దాం.
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		ఇప్పుడు ఇరవై ఐదవ పదాన్ని \(n\)కి బదులుగా ఇరవై ఐదుని భర్తీ చేసి చూద్దాం.
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		బాగా, ఇప్పుడు మనం అవసరమైన మొత్తాన్ని సులభంగా లెక్కించవచ్చు.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		సమాధానం సిద్ధంగా ఉంది.

సమాధానం: \(S_(25)=1090\).

మొదటి నిబంధనల మొత్తం \(n\) కోసం, మీరు మరొక సూత్రాన్ని పొందవచ్చు: మీరు కేవలం \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\)కి బదులుగా \(a_n=a_1+(n-1)d\) సూత్రాన్ని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. మాకు దొరికింది:

మొదటి n నిబంధనల మొత్తానికి ఫార్ములా: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ఇక్కడ

\(S_n\) – \(n\) మొదటి మూలకాల యొక్క అవసరమైన మొత్తం;
\(a_1\) – మొదటి సంగ్రహ పదం;
\(d\) - పురోగతి వ్యత్యాసం;
\(n\) – మొత్తం మూలకాల సంఖ్య.

ఉదాహరణ. అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి \(33\)-మాజీ నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనండి: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
పరిష్కారం:

సమాధానం: \(S_(33)=-231\).

మరింత సంక్లిష్టమైన అంకగణిత పురోగతి సమస్యలు

ఇప్పుడు మీకు అన్నీ ఉన్నాయి అవసరమైన సమాచారందాదాపు ఏదైనా అంకగణిత పురోగతి సమస్యను పరిష్కరించడానికి. మీరు సూత్రాలను వర్తింపజేయడమే కాకుండా, కొంచెం ఆలోచించాల్సిన సమస్యలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా అంశాన్ని పూర్తి చేద్దాం (గణితంలో ఇది ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది ☺)

ఉదాహరణ (OGE). పురోగతి యొక్క అన్ని ప్రతికూల నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనండి: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
పరిష్కారం:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		పని మునుపటి మాదిరిగానే ఉంటుంది. మేము అదే విషయాన్ని పరిష్కరించడం ప్రారంభిస్తాము: మొదట మేము \(d\)ని కనుగొంటాము.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		ఇప్పుడు నేను మొత్తానికి ఫార్ములాలో \(d\)ని ప్రత్యామ్నాయం చేయాలనుకుంటున్నాను... మరియు ఇక్కడ ఒక చిన్న సూక్ష్మభేదం ఉద్భవించింది - మాకు \(n\) తెలియదు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఎన్ని నిబంధనలను జోడించాలో మాకు తెలియదు. ఎలా కనుక్కోవాలి? ఆలోచిద్దాం. మేము మొదటి సానుకూల మూలకాన్ని చేరుకున్నప్పుడు మూలకాలను జోడించడం ఆపివేస్తాము. అంటే, మీరు ఈ మూలకం యొక్క సంఖ్యను కనుగొనాలి. ఎలా? అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఏదైనా మూలకాన్ని లెక్కించడానికి సూత్రాన్ని వ్రాస్దాం: మన కేసు కోసం \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		సున్నా కంటే ఎక్కువ కావడానికి మనకు \(a_n\) అవసరం. ఇది ఏమి జరుగుతుందో \(n\) వద్ద తెలుసుకుందాం.
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		మేము అసమానత యొక్క రెండు వైపులా \(0.3\) ద్వారా విభజిస్తాము.
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		మేము సంకేతాలను మార్చడం మర్చిపోకుండా, మైనస్ ఒకటి బదిలీ చేస్తాము
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		లెక్క తీసుకుందాం...
\(n>65,333...\)		...మరియు మొదటి సానుకూల మూలకం \(66\) సంఖ్యను కలిగి ఉంటుందని తేలింది. దీని ప్రకారం, చివరి ప్రతికూలత \(n=65\) కలిగి ఉంటుంది. ఒకవేళ, దీనిని తనిఖీ చేద్దాం.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		కాబట్టి మనం మొదటి \(65\) మూలకాలను జోడించాలి.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		సమాధానం సిద్ధంగా ఉంది.

సమాధానం: \(S_(65)=-630.5\).

ఉదాహరణ (OGE). అంకగణిత పురోగతి షరతుల ద్వారా పేర్కొనబడింది: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)వ నుండి \(42\) మూలకం కలుపుకొని మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	ఈ సమస్యలో మీరు మూలకాల మొత్తాన్ని కూడా కనుగొనవలసి ఉంటుంది, అయితే మొదటి నుండి కాకుండా \(26\)వ నుండి ప్రారంభించండి. అటువంటి సందర్భానికి మన దగ్గర ఫార్ములా లేదు. ఎలా నిర్ణయించుకోవాలి? ఇది సులభం - \(26\)వ నుండి \(42\)వ వరకు మొత్తాన్ని పొందడానికి, మీరు ముందుగా \(1\)వ నుండి \(42\)వ వరకు మొత్తాన్ని కనుగొని, ఆపై తీసివేయాలి. దాని నుండి మొదటి నుండి \(25\)వ వరకు మొత్తం (చిత్రాన్ని చూడండి).
	మా పురోగతి కోసం \(a_1=-33\), మరియు తేడా \(d=4\) (అన్నింటికంటే, మేము తదుపరిదాన్ని కనుగొనడానికి మునుపటి మూలకంకి నలుగురిని జోడిస్తాము). ఇది తెలిసి మొత్తాన్ని కనుక్కోండిమొదటి \(42\)-y మూలకాలు.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	ఇప్పుడు మొదటి \(25\) మూలకాల మొత్తం.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	చివరకు, మేము సమాధానాన్ని లెక్కిస్తాము.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

సమాధానం: \(S=1683\).

అంకగణిత పురోగతి కోసం, వాటి తక్కువ ఆచరణాత్మక ఉపయోగం కారణంగా మేము ఈ వ్యాసంలో పరిగణించని అనేక సూత్రాలు ఉన్నాయి. అయితే, మీరు వాటిని సులభంగా కనుగొనవచ్చు.

మొదటి స్థాయి

అంకగణిత పురోగతి. వివరణాత్మక సిద్ధాంతంఉదాహరణలతో (2019)

సంఖ్య క్రమం

కాబట్టి, కూర్చుని కొన్ని సంఖ్యలు రాయడం ప్రారంభిద్దాం. ఉదాహరణకి:
మీరు ఏవైనా సంఖ్యలను వ్రాయవచ్చు మరియు వాటిలో మీకు నచ్చినన్ని ఉండవచ్చు (మా విషయంలో, అవి ఉన్నాయి). మనం ఎన్ని అంకెలు వ్రాసినా, ఏది మొదటిది, ఏది రెండవది, మరియు చివరి వరకు, అంటే వాటిని మనం ఎల్లప్పుడూ చెప్పగలము. ఇది సంఖ్యా శ్రేణికి ఉదాహరణ:

సంఖ్య క్రమం
ఉదాహరణకు, మా క్రమం కోసం:

అసైన్డ్ నంబర్ సీక్వెన్స్‌లో ఒక నంబర్‌కు మాత్రమే నిర్దిష్టంగా ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, క్రమంలో మూడు సెకన్ల సంఖ్యలు లేవు. రెండవ సంఖ్య (వ సంఖ్య వంటిది) ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటుంది.
సంఖ్యతో కూడిన సంఖ్యను క్రమం యొక్క వ పదం అంటారు.

మేము సాధారణంగా మొత్తం క్రమాన్ని ఏదో ఒక అక్షరంతో పిలుస్తాము (ఉదాహరణకు,), మరియు ఈ శ్రేణిలోని ప్రతి సభ్యుడు ఈ సభ్యుని సంఖ్యకు సమానమైన సూచికతో ఒకే అక్షరం: .

మా విషయంలో:

మన దగ్గర ఉందనుకుందాం సంఖ్య క్రమం, దీనిలో ప్రక్కనే ఉన్న సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం ఒకేలా మరియు సమానంగా ఉంటుంది.
ఉదాహరణకి:

మొదలైనవి
ఈ సంఖ్యా క్రమాన్ని అంకగణిత పురోగతి అంటారు.
"ప్రగతి" అనే పదాన్ని 6వ శతాబ్దంలో రోమన్ రచయిత బోథియస్ పరిచయం చేశారు మరియు దీనిని మరింత అర్థం చేసుకున్నారు. విస్తృత కోణంలో, అనంతమైన సంఖ్యల క్రమం వంటిది. "అంకగణితం" అనే పేరు నిరంతర నిష్పత్తుల సిద్ధాంతం నుండి బదిలీ చేయబడింది, దీనిని పురాతన గ్రీకులు అధ్యయనం చేశారు.

ఇది ఒక సంఖ్యా శ్రేణి, ఇందులోని ప్రతి సభ్యుడు అదే సంఖ్యకు జోడించిన మునుపటి దానికి సమానం. ఈ సంఖ్యను అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం అని పిలుస్తారు మరియు నియమించబడుతుంది.

ఏ సంఖ్యా శ్రేణులు అంకగణిత పురోగతి మరియు ఏవి కావు అని గుర్తించడానికి ప్రయత్నించండి:

a)
బి)
సి)
d)

దొరికింది? మన సమాధానాలను పోల్చి చూద్దాం:
ఉందిఅంకగణిత పురోగతి - బి, సి.
కాదుఅంకగణిత పురోగతి - a, d.

తిరిగి వెళ్దాం ఇచ్చిన పురోగతి() మరియు దాని సభ్యుని విలువను కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి. ఉనికిలో ఉంది రెండుదానిని కనుగొనే మార్గం.

1. పద్ధతి

మేము పురోగతి యొక్క వ పదాన్ని చేరుకునే వరకు మేము మునుపటి విలువకు పురోగతి సంఖ్యను జోడించవచ్చు. సారాంశం చేయడానికి మనకు పెద్దగా ఏమీ లేకపోవడం మంచిది - మూడు విలువలు మాత్రమే:

కాబట్టి, వివరించిన అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం సమానం.

2. పద్ధతి

మేము పురోగతి యొక్క వ పదం యొక్క విలువను కనుగొనవలసి వస్తే? సమ్మషన్ మాకు ఒక గంట కంటే ఎక్కువ సమయం పడుతుంది మరియు సంఖ్యలను జోడించేటప్పుడు మనం తప్పులు చేయకూడదనేది వాస్తవం కాదు.
వాస్తవానికి, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు మునుపటి విలువకు అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని జోడించాల్సిన అవసరం లేని మార్గంతో ముందుకు వచ్చారు. గీసిన చిత్రాన్ని నిశితంగా పరిశీలించండి... ఖచ్చితంగా మీరు ఇప్పటికే ఒక నిర్దిష్ట నమూనాను గమనించారు, అవి:

ఉదాహరణకు, ఈ అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం యొక్క విలువ ఏమి కలిగి ఉందో చూద్దాం:


వేరే పదాల్లో:

ఇచ్చిన అంకగణిత పురోగతి యొక్క సభ్యుని విలువను ఈ విధంగా కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి.

మీరు లెక్కించారా? సమాధానంతో మీ గమనికలను సరిపోల్చండి:

మేము మునుపటి విలువకు అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనలను వరుసగా జోడించినప్పుడు, మీరు మునుపటి పద్ధతిలో అదే సంఖ్యను పొందారని దయచేసి గమనించండి.
"వ్యక్తిగతీకరించడానికి" ప్రయత్నిద్దాం ఈ ఫార్ములా- ఆమెను తీసుకురండి సాధారణ రూపంమరియు మేము పొందుతాము:

అంకగణిత పురోగతి సమీకరణం.

అంకగణిత పురోగమనాలు పెరుగుతాయి లేదా తగ్గవచ్చు.

పెరుగుతోంది- నిబంధనల యొక్క ప్రతి తదుపరి విలువ మునుపటి కంటే ఎక్కువగా ఉండే పురోగతి.
ఉదాహరణకి:

అవరోహణ- నిబంధనల యొక్క ప్రతి తదుపరి విలువ మునుపటి కంటే తక్కువగా ఉండే పురోగతి.
ఉదాహరణకి:

ఉత్పన్నమైన ఫార్ములా అంకగణిత పురోగతి యొక్క పెరుగుతున్న మరియు తగ్గుతున్న నిబంధనలలో నిబంధనలను లెక్కించడంలో ఉపయోగించబడుతుంది.
దీన్ని ఆచరణలో తనిఖీ చేద్దాం.
మేము కలిగి ఉన్న అంకగణిత పురోగతిని అందించాము క్రింది సంఖ్యలు: ఈ అంకగణిత పురోగతిని లెక్కించడానికి మన సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తే, దాని సంఖ్య ఎంత ఉంటుందో చూద్దాం:

అప్పటి నుండి:

అందువల్ల, ఫార్ములా తగ్గుతున్న మరియు పెరుగుతున్న అంకగణిత పురోగతి రెండింటిలోనూ పనిచేస్తుందని మేము నమ్ముతున్నాము.
ఈ అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ మరియు వ నిబంధనలను మీరే కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి.

ఫలితాలను పోల్చి చూద్దాం:

అంకగణిత పురోగతి లక్షణం

సమస్యను క్లిష్టతరం చేద్దాం - మేము అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఆస్తిని పొందుతాము.
మనకు ఈ క్రింది షరతు ఇవ్వబడిందని అనుకుందాం:
- అంకగణిత పురోగతి, విలువను కనుగొనండి.
సులభం, మీరు చెప్పండి మరియు మీకు ఇప్పటికే తెలిసిన ఫార్ములా ప్రకారం లెక్కించడం ప్రారంభించండి:

లెట్, ఆహ్, అప్పుడు:

కచ్చితముగా. మేము మొదట కనుగొన్నాము, ఆపై దానిని మొదటి సంఖ్యకు జోడించి, మనం వెతుకుతున్న దాన్ని పొందండి. పురోగతి చిన్న విలువలతో సూచించబడితే, దాని గురించి సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు, కానీ పరిస్థితిలో మనకు సంఖ్యలు ఇచ్చినట్లయితే? అంగీకరిస్తున్నారు, లెక్కల్లో పొరపాటు చేసే అవకాశం ఉంది.
ఏదైనా ఫార్ములా ఉపయోగించి ఈ సమస్యను ఒక దశలో పరిష్కరించడం సాధ్యమేనా అని ఇప్పుడు ఆలోచించండి? వాస్తవానికి అవును, మరియు మేము ఇప్పుడు బయటకు తీసుకురావడానికి ప్రయత్నిస్తాము.

అంకగణిత పురోగతి యొక్క అవసరమైన పదాన్ని సూచిస్తాము, దానిని కనుగొనే సూత్రం మనకు తెలుసు - ఇది మేము ప్రారంభంలో ఉద్భవించిన అదే సూత్రం:
, అప్పుడు:

• పురోగతి యొక్క మునుపటి పదం:
• పురోగతి యొక్క తదుపరి పదం:

పురోగతి యొక్క మునుపటి మరియు తదుపరి నిబంధనలను సంగ్రహిద్దాం:

పురోగతి యొక్క మునుపటి మరియు తదుపరి నిబంధనల మొత్తం వాటి మధ్య ఉన్న పురోగతి పదం యొక్క రెట్టింపు విలువ అని ఇది మారుతుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, తెలిసిన మునుపటి మరియు వరుస విలువలతో పురోగతి పదం యొక్క విలువను కనుగొనడానికి, మీరు వాటిని జోడించి విభజించాలి.

నిజమే, మాకు అదే నంబర్ వచ్చింది. పదార్థాన్ని భద్రపరుద్దాం. పురోగతి యొక్క విలువను మీరే లెక్కించండి, ఇది అస్సలు కష్టం కాదు.

బాగా చేసారు! పురోగతి గురించి మీకు దాదాపు ప్రతిదీ తెలుసు! పురాణాల ప్రకారం, ఎప్పటికప్పుడు గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో ఒకరైన “గణిత శాస్త్రజ్ఞుల రాజు” - కార్ల్ గాస్ చేత సులభంగా తగ్గించబడిన ఒక సూత్రాన్ని మాత్రమే కనుగొనడం మిగిలి ఉంది.

కార్ల్ గాస్ 9 సంవత్సరాల వయస్సులో ఉన్నప్పుడు, ఇతర తరగతుల విద్యార్థుల పనిని తనిఖీ చేయడంలో నిమగ్నమైన ఉపాధ్యాయుడు, తరగతిలో ఈ క్రింది పనిని అప్పగించాడు: "అన్ని సహజ సంఖ్యల మొత్తాన్ని (ఇతర మూలాల ప్రకారం) కలుపుకొని లెక్కించండి." అతని విద్యార్థిలో ఒకరు (ఇది కార్ల్ గౌస్) ఒక నిమిషం తర్వాత టాస్క్‌కు సరైన సమాధానం ఇచ్చినప్పుడు ఉపాధ్యాయుని ఆశ్చర్యాన్ని ఊహించండి, అయితే చాలా మంది డేర్‌డెవిల్ క్లాస్‌మేట్స్, సుదీర్ఘ గణనల తర్వాత, తప్పు ఫలితాన్ని అందుకున్నారు...

యువకుడు కార్ల్ గాస్ మీరు కూడా సులభంగా గమనించగల నిర్దిష్ట నమూనాను గమనించారు.
-వ నిబంధనలతో కూడిన అంకగణిత పురోగతిని కలిగి ఉన్నామని చెప్పండి: అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఈ నిబంధనల మొత్తాన్ని మనం కనుగొనాలి. అయితే, మేము అన్ని విలువలను మాన్యువల్‌గా సంక్షిప్తం చేయవచ్చు, అయితే టాస్క్‌కి గాస్ వెతుకుతున్నట్లుగా దాని నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనవలసి వస్తే ఏమి చేయాలి?

మనకు అందించిన పురోగతిని వర్ణిద్దాం. హైలైట్ చేసిన సంఖ్యలను నిశితంగా పరిశీలించి, వాటితో వివిధ గణిత కార్యకలాపాలను నిర్వహించడానికి ప్రయత్నించండి.


మీరు ప్రయత్నించారా? మీరు ఏమి గమనించారు? నిజమే! వాటి మొత్తాలు సమానంగా ఉంటాయి

ఇప్పుడు చెప్పండి, మనకు ఇచ్చిన ప్రోగ్రెస్‌లో మొత్తం ఎన్ని జతలు ఉన్నాయి? వాస్తవానికి, అన్ని సంఖ్యలలో సరిగ్గా సగం, అంటే.
అంకగణిత పురోగతి యొక్క రెండు పదాల మొత్తం సమానం మరియు సారూప్య జంటలు సమానం అనే వాస్తవం ఆధారంగా, మేము దానిని పొందుతాము మొత్తం మొత్తంసమానముగా:
.
అందువల్ల, ఏదైనా అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి పదాల మొత్తానికి సూత్రం ఇలా ఉంటుంది:

కొన్ని సమస్యలలో మనకు పదం తెలియదు, కానీ పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం మనకు తెలుసు. వ పదం యొక్క సూత్రాన్ని మొత్తం సూత్రంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయడానికి ప్రయత్నించండి.
నీకు ఏమి వచ్చింది?

బాగా చేసారు! ఇప్పుడు కార్ల్ గౌస్‌ని అడిగిన సమస్యకు తిరిగి వెళ్దాం: వ నుండి ప్రారంభమయ్యే సంఖ్యల మొత్తం ఎంతకు సమానం మరియు వ నుండి ప్రారంభమయ్యే సంఖ్యల మొత్తాన్ని మీరే లెక్కించండి.

మీకు ఎంత వచ్చింది?
నిబంధనల మొత్తం సమానమని, నిబంధనల మొత్తం సమానంగా ఉంటుందని గాస్ కనుగొన్నారు. మీరు నిర్ణయించుకున్నది అదేనా?

వాస్తవానికి, అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తానికి సూత్రం 3వ శతాబ్దంలో పురాతన గ్రీకు శాస్త్రవేత్త డయోఫాంటస్చే నిరూపించబడింది మరియు ఈ సమయంలో చమత్కారమైన వ్యక్తులుఅంకగణిత పురోగతి యొక్క లక్షణాలను పూర్తిగా ఉపయోగించుకుంది.
ఉదాహరణకు, ఊహించుకోండి పురాతన ఈజిప్ట్మరియు అత్యంత పెద్ద ఎత్తున నిర్మాణంఆ సమయంలో - ఒక పిరమిడ్ నిర్మాణం... చిత్రం దాని ఒక వైపు చూపిస్తుంది.

ఇక్కడ పురోగతి ఎక్కడ ఉంది, మీరు అంటున్నారు? జాగ్రత్తగా చూడండి మరియు పిరమిడ్ గోడ యొక్క ప్రతి వరుసలో ఇసుక బ్లాక్‌ల సంఖ్యలో ఒక నమూనాను కనుగొనండి.


అంకగణిత పురోగతి ఎందుకు కాదు? బ్లాక్ ఇటుకలను బేస్ వద్ద ఉంచినట్లయితే ఒక గోడను నిర్మించడానికి ఎన్ని బ్లాక్స్ అవసరమో లెక్కించండి. మానిటర్‌లో మీ వేలిని కదుపుతున్నప్పుడు మీరు లెక్కించరని నేను ఆశిస్తున్నాను, చివరి ఫార్ములా మరియు అంకగణిత పురోగతి గురించి మేము చెప్పినవన్నీ మీకు గుర్తున్నాయా?

IN ఈ విషయంలోపురోగతి కనిపిస్తుంది క్రింది విధంగా: .
అంకగణిత పురోగతి వ్యత్యాసం.
అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల సంఖ్య.
మన డేటాను చివరి ఫార్ములాల్లోకి ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం (బ్లాకుల సంఖ్యను 2 విధాలుగా లెక్కించండి).

పద్ధతి 1.

పద్ధతి 2.

ఇప్పుడు మీరు మానిటర్‌లో లెక్కించవచ్చు: పొందిన విలువలను మా పిరమిడ్‌లో ఉన్న బ్లాక్‌ల సంఖ్యతో సరిపోల్చండి. దొరికింది? బాగా చేసారు, మీరు అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ నిబంధనల మొత్తాన్ని ప్రావీణ్యం పొందారు.
వాస్తవానికి, మీరు బేస్ వద్ద ఉన్న బ్లాకుల నుండి పిరమిడ్‌ను నిర్మించలేరు, కానీ నుండి? ఈ పరిస్థితితో గోడను నిర్మించడానికి ఎన్ని ఇసుక ఇటుకలు అవసరమో లెక్కించేందుకు ప్రయత్నించండి.
మీరు నిర్వహించారా?
సరైన సమాధానం బ్లాక్స్:

శిక్షణ

పనులు:

1. మాషా వేసవి కోసం ఆకృతిని పొందుతోంది. ప్రతి రోజు ఆమె స్క్వాట్‌ల సంఖ్యను పెంచుతుంది. మాషా మొదటి శిక్షణలో స్క్వాట్‌లు చేస్తే వారానికి ఎన్నిసార్లు స్క్వాట్‌లు చేస్తారు?
2. ఇందులో ఉన్న అన్ని బేసి సంఖ్యల మొత్తం ఎంత.
3. లాగ్‌లను నిల్వ చేసేటప్పుడు, లాగర్లు వాటిని ఒక్కొక్కటిగా పేర్చుతారు ఎగువ పొరమునుపటి దాని కంటే తక్కువ లాగ్‌ను కలిగి ఉంది. ఒక తాపీపనిలో ఎన్ని దుంగలు ఉంటాయి, తాపీకి పునాది దుంగలు అయితే?

సమాధానాలు:

1. అంకగణిత పురోగతి యొక్క పారామితులను నిర్వచిద్దాం. ఈ విషయంలో
   (వారాలు = రోజులు).

   సమాధానం:రెండు వారాలలో, Masha రోజుకు ఒకసారి స్క్వాట్స్ చేయాలి.

2. ప్రధమ బేసి సంఖ్య, చివరి సంఖ్య.
   అంకగణిత పురోగతి వ్యత్యాసం.
   బేసి సంఖ్యల సంఖ్య సగం ఉంది, అయితే, అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ పదాన్ని కనుగొనడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఈ వాస్తవాన్ని తనిఖీ చేద్దాం:

   సంఖ్యలు బేసి సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి.
   అందుబాటులో ఉన్న డేటాను ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

   సమాధానం:కలిగి ఉన్న అన్ని బేసి సంఖ్యల మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది.

3. పిరమిడ్ల గురించిన సమస్యను గుర్తుంచుకుందాం. మా విషయంలో, a , ప్రతి పై పొర ఒక లాగ్ ద్వారా తగ్గించబడినందున, మొత్తంగా అనేక పొరలు ఉన్నాయి, అనగా.
   ఫార్ములాలో డేటాను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

   సమాధానం:రాతిలో దుంగలు ఉన్నాయి.

సారాంశం చేద్దాం

1. - ప్రక్కనే ఉన్న సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం ఒకేలా మరియు సమానంగా ఉండే సంఖ్యా క్రమం. ఇది పెరగవచ్చు లేదా తగ్గవచ్చు.
2. సూత్రాన్ని కనుగొనడంఅంకగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం సూత్రం ద్వారా వ్రాయబడుతుంది - , పురోగతిలో సంఖ్యల సంఖ్య.
3. అంకగణిత పురోగతి సభ్యుల ఆస్తి- - పురోగతిలో ఉన్న సంఖ్యల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.
4. అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తంరెండు విధాలుగా కనుగొనవచ్చు:
   
   , విలువల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

అరిథ్మెటిక్ ప్రోగ్రెషన్. సగటు స్థాయి

సంఖ్య క్రమం

కూర్చొని కొన్ని అంకెలు రాయడం ప్రారంభిద్దాం. ఉదాహరణకి:

మీరు ఏవైనా సంఖ్యలను వ్రాయవచ్చు మరియు వాటిలో మీకు నచ్చినన్ని ఉండవచ్చు. కానీ ఏది మొదటిది, ఏది రెండవది అని మనం ఎల్లప్పుడూ చెప్పగలం, అంటే మనం వాటిని లెక్కించవచ్చు. ఇది సంఖ్యా శ్రేణికి ఉదాహరణ.

సంఖ్య క్రమంసంఖ్యల సమితి, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి ప్రత్యేక సంఖ్యను కేటాయించవచ్చు.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ప్రతి సంఖ్యను నిర్దిష్ట సహజ సంఖ్యతో మరియు ఒక ప్రత్యేక సంఖ్యతో అనుబంధించవచ్చు. మరియు మేము ఈ సంఖ్యను ఈ సెట్ నుండి మరే ఇతర సంఖ్యకు కేటాయించము.

సంఖ్యతో కూడిన సంఖ్యను క్రమం యొక్క వ సభ్యుడు అంటారు.

మేము సాధారణంగా మొత్తం క్రమాన్ని ఏదో ఒక అక్షరంతో పిలుస్తాము (ఉదాహరణకు,), మరియు ఈ శ్రేణిలోని ప్రతి సభ్యుడు ఈ సభ్యుని సంఖ్యకు సమానమైన సూచికతో ఒకే అక్షరం: .

క్రమం యొక్క వ పదాన్ని ఏదైనా ఫార్ములా ద్వారా పేర్కొనగలిగితే ఇది చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, ఫార్ములా

క్రమాన్ని సెట్ చేస్తుంది:

మరియు సూత్రం క్రింది క్రమం:

ఉదాహరణకు, అంకగణిత పురోగతి అనేది ఒక క్రమం (ఇక్కడ మొదటి పదం సమానం మరియు తేడా). లేదా (, వ్యత్యాసం).

nవ పదం సూత్రం

మేము ఫార్ములా పునరావృతం అని పిలుస్తాము, దీనిలో వ పదాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు మునుపటి లేదా అనేక మునుపటి వాటిని తెలుసుకోవాలి:

ఉదాహరణకు, ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పురోగతి యొక్క వ పదాన్ని కనుగొనడానికి, మేము మునుపటి తొమ్మిదిని లెక్కించాలి. ఉదాహరణకు, దానిని అనుమతించండి. అప్పుడు:

సరే, ఫార్ములా ఏమిటో ఇప్పుడు తేలిపోయిందా?

ప్రతి పంక్తిలో మనం జోడించి, కొంత సంఖ్యతో గుణించాలి. ఏది? చాలా సులభం: ఇది ప్రస్తుత సభ్యుల సంఖ్య మైనస్:

ఇప్పుడు మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంది, సరియైనదా? మేము తనిఖీ చేస్తాము:

మీరే నిర్ణయించుకోండి:

అంకగణిత పురోగతిలో, nవ పదానికి సూత్రాన్ని కనుగొని, వందవ పదాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

మొదటి పదం సమానం. తేడా ఏమిటి? ఇక్కడ ఏమి ఉంది:

(అందుకే దీనిని వ్యత్యాసం అని పిలుస్తారు, ఎందుకంటే ఇది పురోగతి యొక్క వరుస నిబంధనల వ్యత్యాసానికి సమానం).

కాబట్టి, సూత్రం:

అప్పుడు వందవ పదం దీనికి సమానం:

నుండి వరకు అన్ని సహజ సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?

పురాణం ప్రకారం, గొప్ప గణిత శాస్త్రవేత్తకార్ల్ గౌస్, 9 ఏళ్ల బాలుడిగా, ఈ మొత్తాన్ని కొన్ని నిమిషాల్లో లెక్కించాడు. మొదటి మరియు చివరి సంఖ్యల మొత్తం సమానంగా ఉంటుందని, రెండవ మరియు చివరి సంఖ్యల మొత్తం ఒకేలా ఉంటుందని, చివరి నుండి మూడవ మరియు 3వ మొత్తం ఒకేలా ఉంటుందని అతను గమనించాడు. అలాంటి జంటలు మొత్తం ఎన్ని ఉన్నాయి? అది సరియైనది, అన్ని సంఖ్యల సంఖ్యలో సరిగ్గా సగం, అంటే. కాబట్టి,

ఏదైనా అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి నిబంధనల మొత్తానికి సాధారణ సూత్రం:

ఉదాహరణ:
అన్నింటి మొత్తాన్ని కనుగొనండి రెండంకెల సంఖ్యలు, గుణిజాలు.

పరిష్కారం:

అటువంటి మొదటి సంఖ్య ఇది. ప్రతి తదుపరిది జోడించడం ద్వారా పొందబడుతుంది మునుపటి తేదీ. అందువల్ల, మనకు ఆసక్తి ఉన్న సంఖ్యలు మొదటి పదం మరియు వ్యత్యాసంతో అంకగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి.

ఈ పురోగతి కోసం వ పదం యొక్క సూత్రం:

అవన్నీ రెండు అంకెలుగా ఉండాలంటే పురోగతిలో ఎన్ని నిబంధనలు ఉన్నాయి?

చాలా సులభం: .

పురోగతి యొక్క చివరి పదం సమానంగా ఉంటుంది. అప్పుడు మొత్తం:

సమాధానం: .

ఇప్పుడు మీరే నిర్ణయించుకోండి:

1. ప్రతి రోజు అథ్లెట్ మునుపటి రోజు కంటే ఎక్కువ మీటర్లు నడుస్తుంది. మొదటి రోజు కిమీ పరిగెత్తితే వారంలో మొత్తం ఎన్ని కిలోమీటర్లు పరిగెత్తాడు?
2. ఒక సైక్లిస్ట్ మునుపటి రోజు కంటే ప్రతిరోజూ ఎక్కువ కిలోమీటర్లు ప్రయాణిస్తాడు. తొలిరోజు కి.మీ. అతను కిలోమీటరు ప్రయాణించడానికి ఎన్ని రోజులు ప్రయాణించాలి? తన ప్రయాణంలో చివరి రోజు ఎన్ని కిలోమీటర్లు ప్రయాణం చేస్తాడు?
3. దుకాణంలో రిఫ్రిజిరేటర్ ధర ప్రతి సంవత్సరం అదే మొత్తంలో తగ్గుతుంది. రూబిళ్లు కోసం అమ్మకానికి ఉంచినట్లయితే, ఆరు సంవత్సరాల తరువాత అది రూబిళ్లకు విక్రయించబడితే, ప్రతి సంవత్సరం రిఫ్రిజిరేటర్ ధర ఎంత తగ్గుతుందో నిర్ణయించండి.

సమాధానాలు:

1. ఇక్కడ అత్యంత ముఖ్యమైన విషయం అంకగణిత పురోగతిని గుర్తించడం మరియు దాని పారామితులను గుర్తించడం. ఈ సందర్భంలో, (వారాలు = రోజులు). మీరు ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి నిబంధనల మొత్తాన్ని గుర్తించాలి:
   .
   సమాధానం:
2. ఇక్కడ ఇవ్వబడింది: , తప్పక కనుగొనాలి.
   సహజంగానే, మీరు మునుపటి సమస్యలో ఉన్న మొత్తం సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి:
   .
   విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:

   రూట్ స్పష్టంగా సరిపోదు, కాబట్టి సమాధానం.
   వ పదం యొక్క సూత్రాన్ని ఉపయోగించి చివరి రోజు ప్రయాణించిన మార్గాన్ని గణిద్దాం:
   (కి.మీ.)
   సమాధానం:

3. ఇచ్చిన: . కనుగొను: .
   ఇది సరళమైనది కాదు:
   (రబ్).
   సమాధానం:

అరిథ్మెటిక్ ప్రోగ్రెషన్. ప్రధాన విషయాల గురించి క్లుప్తంగా

ఇది ఒక సంఖ్యా శ్రేణి, దీనిలో ప్రక్కనే ఉన్న సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం ఒకేలా మరియు సమానంగా ఉంటుంది.

అంకగణిత పురోగతి () పెరగడం మరియు తగ్గడం ().

ఉదాహరణకి:

అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదాన్ని కనుగొనడానికి సూత్రం

ఫార్ములా ద్వారా వ్రాయబడింది, పురోగతిలో ఉన్న సంఖ్యల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

అంకగణిత పురోగతి సభ్యుల ఆస్తి

దాని పొరుగు నిబంధనలు తెలిసినట్లయితే, పురోగతి యొక్క పదాన్ని సులభంగా కనుగొనడానికి ఇది మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది - పురోగతిలో సంఖ్యల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తం

మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి రెండు మార్గాలు ఉన్నాయి:

విలువల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

విలువల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

మా పాఠం యొక్క నినాదం రష్యన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు V.P. ఎర్మాకోవా: "గణితంలో, సూత్రాలను కాదు, ఆలోచనా ప్రక్రియలను గుర్తుంచుకోవాలి."

తరగతుల సమయంలో

సమస్య యొక్క సూత్రీకరణ

బోర్డు మీద గౌస్ చిత్రపటం ఉంది. ముందుగా సందేశాన్ని సిద్ధం చేసే పనిని అప్పగించిన ఉపాధ్యాయుడు లేదా విద్యార్థి మాట్లాడుతూ గౌస్ పాఠశాలలో ఉన్నప్పుడు, ఉపాధ్యాయుడు విద్యార్థులను అన్నింటినీ జోడించమని అడిగాడు. పూర్ణాంకాలు 1 నుండి 100 వరకు. లిటిల్ గౌస్ ఈ సమస్యను ఒక నిమిషంలో పరిష్కరించాడు.

ప్రశ్న . గౌస్‌కి సమాధానం ఎలా వచ్చింది?

పరిష్కారాలను కనుగొనడం

విద్యార్థులు తమ ఊహలను వ్యక్తపరుస్తారు, ఆపై సంగ్రహించండి: మొత్తాలు 1 + 100, 2 + 99, మొదలైనవి అని గ్రహించడం. సమానంగా ఉంటాయి, గౌస్ 101ని 50తో గుణించాడు, అంటే అటువంటి మొత్తాల సంఖ్యతో. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, అతను అంకగణిత పురోగతిలో అంతర్లీనంగా ఉన్న ఒక నమూనాను గమనించాడు.

మొత్తం సూత్రం యొక్క ఉత్పన్నం nఅంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి నిబంధనలు

పాఠం యొక్క అంశాన్ని బోర్డుపై మరియు మీ నోట్‌బుక్‌లలో వ్రాయండి. విద్యార్థులు ఉపాధ్యాయునితో కలిసి సూత్రం యొక్క ముగింపును వ్రాస్తారు:

వీలు a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; ...; ఒక ఎన్ – 2 ; ఒక ఎన్ – 1 ; ఒక ఎన్- అంకగణిత పురోగతి.

ప్రాథమిక ఏకీకరణ

1. ఫార్ములా (1) ఉపయోగించి, మేము గాస్ సమస్యను పరిష్కరిస్తాము:

2. ఫార్ములా (1) ఉపయోగించి, సమస్యలను మౌఖికంగా పరిష్కరించండి (వాటి షరతులు బోర్డు లేదా పాజిటివ్ కోడ్‌లో వ్రాయబడ్డాయి), ( ఒక ఎన్) - అంకగణిత పురోగతి:

ఎ) a 1 = 2, a 10 = 20. ఎస్ 10 - ?

బి) a 1 = –5, a 7 = 1. ఎస్ 7 - ? [–14]

V) a 1 = –2, a 6 = –17. ఎస్ 6 - ? [–57]

జి) a 1 = –5, a 11 = 5. ఎస్ 11 - ?

3. పనిని పూర్తి చేయండి.

ఇచ్చిన: ( ఒక ఎన్) - అంకగణిత పురోగతి;

a 1 = 3, a 60 = 57.

కనుగొనండి: ఎస్ 60 .

పరిష్కారం. సమ్ ఫార్ములాను వాడుకుందాం nఅంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి నిబంధనలు

సమాధానం: 1800.

అదనపు ప్రశ్న.ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఎన్ని రకాల విభిన్న సమస్యలను పరిష్కరించవచ్చు?

సమాధానం. నాలుగు రకాల పనులు:

మొత్తాన్ని కనుగొనండి ఎస్ ఎన్;

అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి పదాన్ని కనుగొనండి a 1 ;

కనుగొనండి nఅంకగణిత పురోగతి యొక్క పదం ఒక ఎన్;

అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల సంఖ్యను కనుగొనండి.

4. పూర్తి పని: నం. 369(బి).

అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి అరవై పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి ( ఒక ఎన్), ఉంటే a 1 = –10,5, a 60 = 51,5.

పరిష్కారం.

సమాధానం: 1230.

అదనపు ప్రశ్న. సూత్రాన్ని వ్రాయండి nఅంకగణిత పురోగతి యొక్క పదం.

సమాధానం: ఒక ఎన్ = a 1 + డి(n – 1).

5. అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి తొమ్మిది పదాల సూత్రాన్ని లెక్కించండి ( b n),
ఉంటే బి 1 = –17, డి = 6.

సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వెంటనే లెక్కించడం సాధ్యమేనా?

లేదు, ఎందుకంటే తొమ్మిదవ పదం తెలియదు.

దాన్ని ఎలా కనుగొనాలి?

సూత్రం ప్రకారం nఅంకగణిత పురోగతి యొక్క పదం.

పరిష్కారం. బి 9 = బి 1 + 8డి = –17 + 8∙6 = 31;

సమాధానం: 63.

ప్రశ్న. పురోగతి యొక్క తొమ్మిదవ పదాన్ని లెక్కించకుండా మొత్తాన్ని కనుగొనడం సాధ్యమేనా?

సమస్య యొక్క సూత్రీకరణ

సమస్య: మొత్తం సూత్రాన్ని పొందడం nఅంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి నిబంధనలు, దాని మొదటి పదం మరియు వ్యత్యాసాన్ని తెలుసుకోవడం డి.

(ఒక విద్యార్థి ద్వారా బోర్డు వద్ద ఒక సూత్రాన్ని పొందడం.)

మేము నెం. 371(ఎ)ని నిర్ణయిస్తాము కొత్త ఫార్ములా (2):

మనం మౌఖిక సూత్రాలను (2) ఏర్పాటు చేద్దాం ( పనుల షరతులు బోర్డుపై వ్రాయబడ్డాయి).

(ఒక ఎన్

1. a 1 = 3, డి = 4. ఎస్ 4 - ?

2. a 1 = 2, డి = –5. ఎస్ 3 - ? [–9]

ఏ ప్రశ్నలు అస్పష్టంగా ఉన్నాయో విద్యార్థుల నుండి తెలుసుకోండి.

స్వతంత్ర పని

ఎంపిక 1

ఇచ్చిన: (ఒక ఎన్) - అంకగణిత పురోగతి.

1. a 1 = –3, a 6 = 21. ఎస్ 6 - ?

2. a 1 = 6, డి = –3. ఎస్ 4 - ?

ఎంపిక 2

ఇచ్చిన: (ఒక ఎన్) - అంకగణిత పురోగతి.

1.a 1 = 2, a 8 = –23. ఎస్ 8 - ? [–84]

2.a 1 = –7, డి = 4. ఎస్ 5 - ?

విద్యార్థులు నోట్‌బుక్‌లను మార్చుకుంటారు మరియు ఒకరి పరిష్కారాలను మరొకరు తనిఖీ చేసుకుంటారు.

స్వతంత్ర పని ఫలితాల ఆధారంగా పదార్థం యొక్క అభ్యాసాన్ని సంగ్రహించండి.