Definicja: Funkcja numeryczna to zgodność każdej liczby x z pewnymi dany zestaw porównuje pojedynczy y.
Przeznaczenie:
gdzie x jest zmienną niezależną (argumentem), y jest zmienną zależną (funkcją). Zbiór wartości x nazywany jest dziedziną funkcji (oznaczoną jako D(f)). Zbiór wartości y nazywany jest zakresem wartości funkcji (oznaczonym E(f)). Wykresem funkcji jest zbiór punktów na płaszczyźnie o współrzędnych (x, f(x))
Metody określania funkcji.
- metoda analityczna (przy użyciu wzoru matematycznego);
- metoda tabelaryczna (przy użyciu tabeli);
- metoda opisowa (z wykorzystaniem opisu słownego);
- metoda graficzna (za pomocą wykresu).
Podstawowe własności funkcji.
1. Parzyste i nieparzyste
Funkcja jest wywoływana nawet jeśli
– dziedzina definicji funkcji jest symetryczna względem zera
f(-x) = f(x)
Harmonogram nawet funkcjonować symetrycznie względem osi 0 lat
Funkcja nazywa się nieparzystą, jeśli
– dziedzina definicji funkcji jest symetryczna względem zera
– dla dowolnego x z dziedziny definicji f(-x) = –f(x)
Harmonogram dziwna funkcja symetrycznie względem początku.
2. Częstotliwość
Funkcję f(x) nazywamy okresową z kropką, jeśli dla dowolnego x z dziedziny definicji f(x) = f(x+T) = f(x-T) .
Wykres funkcji okresowej składa się z nieskończenie powtarzających się identycznych fragmentów.
3. Monotonia (rosnąca, malejąca)
Funkcja f(x) rośnie na zbiorze P, jeśli dla dowolnego x 1 i x 2 z tego zbioru tak, że x 1
Funkcja f(x) maleje na zbiorze P, jeśli dla dowolnego x 1 i x 2 z tego zbioru tak, że x 1 f(x 2) .
4. Skrajności
Punkt X max nazywamy punktem maksymalnym funkcji f(x), jeżeli dla wszystkich x z jakiegoś otoczenia X max jest spełniona nierówność f(x) f(X max).
Wartość Ymax =f(Xmax) nazywana jest maksimum tej funkcji.
X max – punkt maksymalny
Maksymalnie - maksymalnie
Punkt X min nazywa się punktem minimalnym funkcji f(x), jeśli dla wszystkich x z pewnego otoczenia X min jest spełniona nierówność f(x) f(X min).
Wartość Y min = f(X min) nazywana jest minimum tej funkcji.
X min – punkt minimalny
Y min – minimalna
X min , X max – punkty ekstremalne
Y min , Y max – ekstrema.
5. Zera funkcji
Zero funkcji y = f(x) jest następujące: wartość argumentu x, przy którym funkcja staje się zerowa: f(x) = 0.
X 1, X 2, X 3 – zera funkcji y = f(x).
Zadania i testy na temat „Podstawowe właściwości funkcji”
- Właściwości funkcji - Funkcje numeryczne 9. klasa
Lekcje: 2 Zadania: 11 Testy: 1
- Własności logarytmów - Funkcje wykładnicze i logarytmiczne klasa 11
Lekcje: 2 Zadania: 14 Testy: 1
- Funkcja pierwiastkowa, jej własności i wykres - Funkcja pierwiastek kwadratowy. Właściwości pierwiastka kwadratowego stopnia 8
Lekcje: 1 Zadania: 9 Testy: 1
- Funkcje potęgowe, ich własności i wykresy - Stopnie i korzenie. Funkcje mocy Klasa 11
Lekcje: 4 Zadania: 14 Testy: 1
- Funkcje - Ważne tematy za powtarzanie Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki
Zadania: 24
Po przestudiowaniu tego tematu powinieneś być w stanie znaleźć dziedzinę definicji różne funkcje, wyznaczać przedziały monotoniczności funkcji za pomocą wykresów, badać funkcje pod kątem parzystości i nieparzystości. Rozważmy rozwiązanie podobne zadania korzystając z poniższych przykładów.
Przykłady.
1. Znajdź dziedzinę definicji funkcji.
Rozwiązanie: dziedzinę definicji funkcji wyznacza się z warunku
Długość odcinka oś współrzędnych znajduje się według wzoru:
Długość odcinka płaszczyzna współrzędnych szuka się według wzoru:
Aby znaleźć długość odcinka w trójwymiarowym układzie współrzędnych, użyj następującego wzoru:
Współrzędne środka odcinka (dla osi współrzędnych stosuje się tylko pierwszy wzór, dla płaszczyzny współrzędnych - dwa pierwsze wzory, dla trójwymiarowego układu współrzędnych - wszystkie trzy wzory) oblicza się za pomocą wzorów:
Funkcjonować– jest to zgodność formy y= F(X) pomiędzy wielkościami zmiennymi, dzięki czemu każda rozważana wartość jakiejś zmiennej wielkości X(argument lub zmienna niezależna) odpowiada konkretna wartość kolejna zmienna, y(zmienna zależna, czasami tę wartość nazywa się po prostu wartością funkcji). Należy pamiętać, że funkcja przyjmuje wartość jednego argumentu X może odpowiadać tylko jedna wartość zmiennej zależnej Na. Jednak ta sama wartość Na można uzyskać różnymi X.
Dziedzina funkcji– są to wszystkie wartości zmiennej niezależnej (argument funkcji, zwykle this X), dla którego zdefiniowano funkcję, tj. jego znaczenie istnieje. Wskazany jest obszar definicji D(y). Ogólnie rzecz biorąc, znasz już tę koncepcję. Dziedzina funkcji nazywana jest także dziedziną dopuszczalne wartości, lub ODZ, które od dawna możesz znaleźć.
Zakres funkcji- to wszystko możliwa wartość zmienna zależna tej funkcji. Wyznaczony mi(Na).
Funkcja wzrasta w przedziale gdzie wyższa wartość argument odpowiada większej wartości funkcji. Funkcja jest malejąca na przedziale, w którym większa wartość argumentu odpowiada mniejszej wartości funkcji.
Przedziały znaku stałego funkcji- są to przedziały zmiennej niezależnej, w których zmienna zależna zachowuje swój znak dodatni lub ujemny.
Zera funkcji– są to wartości argumentu, przy których wartość funkcji jest równa zeru. W tych punktach wykres funkcji przecina oś odciętych (oś OX). Bardzo często potrzeba znalezienia zer funkcji oznacza konieczność prostego rozwiązania równania. Często też potrzeba znalezienia przedziałów stałości znaku oznacza konieczność prostego rozwiązania nierówności.
Funkcjonować y = F(X) są nazywane nawet X
Oznacza to, że dla każdego przeciwne znaczenia argumentem, wartości funkcji parzystej są równe. Wykres funkcji parzystej jest zawsze symetryczny względem osi rzędnych wzmacniacza operacyjnego.
Funkcjonować y = F(X) są nazywane dziwne, jeśli jest zdefiniowany na zbiorze symetrycznym i dla dowolnego X z dziedziny definicji równość zachodzi:
Oznacza to, że dla dowolnych przeciwnych wartości argumentu wartości funkcji nieparzystej są również przeciwne. Wykres funkcji nieparzystej jest zawsze symetryczny względem początku.
Suma pierwiastków funkcji parzystych i nieparzystych (punktów przecięcia osi x OX) jest zawsze równa zeru, ponieważ dla każdego pierwiastka dodatniego X musieć pierwiastek ujemny –X.
Ważne jest, aby pamiętać: niektóre funkcje nie muszą być parzyste lub nieparzyste. Istnieje wiele funkcji, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste. Takie funkcje nazywane są Funkcje ogólna perspektywa , i dla nich żadna z podanych powyżej równości ani właściwości nie jest spełniona.
Funkcja liniowa jest funkcją, którą można wyrazić wzorem:
Harmonogram funkcja liniowa jest linią prostą i w przypadek ogólny wygląda w następujący sposób(podano przykład dla przypadku, gdy k> 0, w tym przypadku funkcja jest rosnąca; z okazji k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Wykres funkcji kwadratowej (Parabola)
Wykres paraboli jest określony funkcją kwadratową:
Funkcja kwadratowa, jak każda inna funkcja, przecina oś OX w punktach będących jej pierwiastkami: ( X 1 ; 0) i ( X 2; 0). Jeśli nie ma pierwiastków, to funkcja kwadratowa nie przecina osi OX; jeśli jest tylko jeden pierwiastek, to w tym punkcie ( X 0 ; 0) funkcja kwadratowa dotyka tylko osi OX, ale jej nie przecina. Funkcja kwadratowa przecina zawsze oś OY w punkcie o współrzędnych: (0; C). Harmonogram funkcja kwadratowa(parabola) może wyglądać tak (na rysunku przedstawiono przykłady, które nie są wyczerpujące możliwe typy parabole):
W której:
- jeśli współczynnik A> 0, w funkcji y = topór 2 + bx + C, wówczas gałęzie paraboli są skierowane w górę;
- Jeśli A < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Współrzędne wierzchołka paraboli można obliczyć z poniższe formuły. Szczyty X (P- na zdjęciach powyżej) parabole (czyli punkt, w którym trójmian kwadratowy osiąga największą lub najmniejszą wartość):
Igrek górą (Q- na rysunkach powyżej) parabole lub maksimum, jeśli ramiona paraboli są skierowane w dół ( A < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (A> 0), wartość trójmian kwadratowy:
Wykresy innych funkcji
Funkcja zasilania
Oto kilka przykładów wykresów funkcji potęgowych:
Odwrotnie proporcjonalny wywołać funkcję podane przez wzór:
W zależności od znaku liczby k harmonogram wstecz zależność proporcjonalna może mieć dwie podstawowe opcje:
Asymptota jest linią, do której wykres funkcji zbliża się nieskończenie blisko, ale się nie przecina. Asymptoty dla grafów odwrotna proporcjonalność na powyższym rysunku pokazano osie współrzędnych, do których wykres funkcji zbliża się nieskończenie blisko, ale ich nie przecina.
Funkcja wykładnicza z bazą A jest funkcją określoną wzorem:
A harmonogram funkcja wykładnicza może mieć dwie podstawowe opcje (podajemy również przykłady, patrz poniżej):
Funkcja logarytmiczna jest funkcją określoną wzorem:
W zależności od tego, czy liczba jest większa, czy mniejsza od jedności A harmonogram funkcja logarytmiczna może mieć dwie podstawowe opcje:
Wykres funkcji y = |X| następująco:
Wykresy funkcji okresowych (trygonometrycznych).
Funkcjonować Na = F(X) jest nazywany okresowy, jeśli istnieje taka liczba różna od zera T, Co F(X + T) = F(X), dla kazdego X z dziedziny funkcji F(X). Jeśli funkcja F(X) jest okresowy z kropką T, to funkcja:
Gdzie: A, k, B – liczby stałe, I k nierówny zeru, także okresowy z kropką T 1, co określa się wzorem:
Większość przykładów funkcje okresowe- Ten funkcje trygonometryczne. Przedstawiamy wykresy głównych funkcji trygonometrycznych. Poniższy rysunek przedstawia część wykresu funkcji y= grzech X(cały wykres ciągnie się w nieskończoność w lewo i w prawo), wykres funkcji y= grzech X zwany sinusoida:
Wykres funkcji y=co X zwany cosinus. Wykres ten pokazano na poniższym rysunku. Ponieważ wykres sinusoidalny przebiega w nieskończoność wzdłuż osi OX w lewo i w prawo:
Wykres funkcji y= tg X zwany styczna. Wykres ten pokazano na poniższym rysunku. Podobnie jak wykresy innych funkcji okresowych, ten harmonogram powtarza się w nieskończoność wzdłuż osi OX w lewo i w prawo.
I na koniec wykres funkcji y=ctg X zwany kotangentoid. Wykres ten pokazano na poniższym rysunku. Podobnie jak wykresy innych funkcji okresowych i trygonometrycznych, ten wykres powtarza się w nieskończoność wzdłuż osi OX w lewo i w prawo.
Skuteczna, sumienna i odpowiedzialna realizacja tych trzech punktów pozwoli Ci pojawić się na CT doskonały wynik, maksimum tego, na co Cię stać.
Znalazłeś błąd?
Jeśli uważasz, że znalazłeś błąd w materiały edukacyjne, to proszę napisać o tym mailem. Możesz także zgłosić błąd do sieć społeczna(). W piśmie podaj temat (fizyka lub matematyka), nazwę lub numer tematu lub testu, numer zadania lub miejsce w tekście (stronie), w którym Twoim zdaniem znajduje się błąd. Opisz również, na czym polega podejrzewany błąd. Twój list nie pozostanie niezauważony, błąd zostanie poprawiony lub zostaniesz wyjaśniony, dlaczego nie jest to błąd.
Funkcjonować- Ten ilość matematyczna pokazujący zależność jednego elementu „y” od drugiego "X".
Innymi słowy: uzależnienie Na zwaną funkcją zmienną X, jeśli każda wartość, jaką można przyjąć X odpowiada jednej lub większej liczbie zdefiniowanych wartości Na. Zmienny X- Ten argument funkcji.
Ogrom Na zawsze zależy od rozmiaru X dlatego argument X Jest zmienna niezależna i funkcja Na - zmienna zależna.
Wyjaśnijmy na przykładzie:
Pozwalać T jest temperaturą wrzenia wody, oraz R - Ciśnienie atmosferyczne. W trakcie obserwacji ustalono, że każdą wartość można przyjąć R, zawsze odpowiada tej samej wartości T. Zatem, T jest funkcją argumentu R.
Zależność funkcjonalna T z R pozwala określić ciśnienie za pomocą specjalnych tabel, obserwując temperaturę wrzenia wody bez barometru, na przykład:
Widać, że istnieją znaczenia argumentT, którego temperatura wrzenia nie może przyjąć, na przykład, nie może być niższa niż „ zero absolutne"(-273°C). Oznacza to, że jest to wartość niemożliwa T= - 300°C, żadna wartość nie odpowiada R. Dlatego definicja mówi: „każda wartość, jaką można przyjąć X…", a nie dla każdej wartości x...
W której R Jest funkcja argumentuT. Zatem zależność R z T pozwala, monitorując ciśnienie bez termometru, określić temperaturę wrzenia wody za pomocą podobnej tabeli:
Druga definicja funkcji.
Jeśli wartość każdego argumentu X odpowiada jednej wartości funkcji Na, wówczas wywoływana jest funkcja niedwuznaczny; jeśli dwa lub więcej, to polisemantyczny(dwucyfrowe, trzycyfrowe). Jeśli nie jest powiedziane, że funkcja jest wielowartościowa, należy rozumieć, że jest ona jednowartościowa.
Na przykład:
Suma ( S) kąty wielokąta wynoszą funkcja liczbowa (N) boki. Argument N może przyjmować tylko wartości całkowite, ale nie mniejsze niż 3 . Uzależnienie S z N wyrażone wzorem:
S = π (N - 2).
Na jednostkę miary w w tym przykładzie przyjmować jako radiany. W której N- Ten funkcja argumentu S I zależność funkcjonalna N z S wyrażone wzorem:
N = S/ π + 2.
ArgumentS może przyjmować tylko wartości będące wielokrotnościami π , (π , 2 π , 3 π itp.).
Wyjaśnijmy jeszcze jedną rzecz przykład:
Bok kwadratu X jest funkcją jego pola S (X = √ S). Argument może przyjąć dowolną wartość dodatnią.
Argument- zawsze zmienna ilość, zwykle też działają zmienna ilość, w zależności od argumentu, ale nie wyklucza się możliwości jego stałości.
Na przykład:
Odległość punktu ruchomego od nieruchomego jest funkcją czasu podróży i zwykle się zmienia, ale gdy punkt porusza się po okręgu, odległość od środka pozostaje stała.
Jednocześnie czas ruchu w kręgu nie jest funkcja odległości od centrum.
Więc kiedy funkcja jest stała wartość , wówczas argument i funkcja nie mogą zostać zamienione.
1) Dziedzina funkcji i zakres funkcji.
Dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich prawidłowych prawdziwe wartości argument X(zmienny X), dla której funkcja y = f(x) określony. Zakres funkcji to zbiór wszystkich wartości rzeczywistych y, co funkcja akceptuje.
W elementarna matematyka funkcje bada się tylko na zbiorze liczb rzeczywistych.
2) Zera funkcji.
Funkcja zero to wartość argumentu, przy której wartość funkcji jest równa zero.
3) Przedziały stałego znaku funkcji.
Przedziały stałego znaku funkcji to zbiory wartości argumentów, w których wartości funkcji są tylko dodatnie lub tylko ujemne.
4) Monotoniczność funkcji.
Funkcja rosnąca (w pewnym przedziale) to funkcja, w której większej wartości argumentu z tego przedziału odpowiada większa wartość funkcji.
Funkcja malejąca (w pewnym przedziale) to funkcja, w której większa wartość argumentu z tego przedziału odpowiada mniejszej wartości funkcji.
5) Funkcja parzysta (nieparzysta)..
Funkcja parzysta to funkcja, której dziedzina definicji jest symetryczna względem początku i dla dowolnego X z dziedziny definicji równość f(-x) = f(x). Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem rzędnej.
Funkcja nieparzysta to funkcja, której dziedzina definicji jest symetryczna względem początku i dla dowolnego X z dziedziny definicji równość jest prawdziwa f(-x) = - f(x). Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku.
6) Ograniczone i nieograniczone funkcje.
Funkcję nazywamy ograniczoną, jeśli taka istnieje Liczba dodatnia M takie, że |f(x)| ≤ M dla wszystkich wartości x. Jeżeli taka liczba nie istnieje, to funkcja jest nieograniczona.
7) Okresowość funkcji.
Funkcja f(x) jest okresowa, jeśli istnieje niezerowa liczba T taka, że dla dowolnego x z dziedziny definicji funkcji zachodzi: f(x+T) = f(x). Ta najmniejsza liczba nazywana jest okresem funkcji. Wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe. (Wzory trygonometryczne).
19. Podstawowy funkcje elementarne, ich właściwości i wykresy. Zastosowanie funkcji w ekonomii.
Podstawowe funkcje elementarne. Ich właściwości i wykresy
1. Funkcja liniowa.
Funkcja liniowa nazywa się funkcją postaci , gdzie x jest zmienną, a i b są liczbami rzeczywistymi.
Numer A zwany nachylenie prosto, on równy tangensowi kąt nachylenia tej prostej do dodatniego kierunku osi x. Wykres funkcji liniowej jest linią prostą. Jest ona określona przez dwa punkty.
Własności funkcji liniowej
1. Dziedzina definicji - zbiór wszystkich liczb rzeczywistych: D(y)=R
2. Zbiór wartości to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych: E(y)=R
3. Funkcja przyjmuje wartość zerową, gdy lub.
4. Funkcja rośnie (maleje) w całym obszarze definicji.
5. Funkcja liniowa jest ciągła w całym zakresie definicji, różniczkowalna i .
2. Funkcja kwadratowa.
Nazywa się funkcję postaci, w której x jest zmienną, a współczynniki a, b, c są liczbami rzeczywistymi kwadratowy