I Newtons formulering høres Keplers lover slik ut::
Første lov: under påvirkning av tyngdekraften kan et himmellegeme bevege seg i forhold til et annet i en sirkel, ellipse, parabel og hyperbel. Det må sies at det er gyldig for alle kropper som gjensidig tiltrekning virker mellom.
- formuleringen av Keplers andre lov er ikke gitt, siden dette ikke var nødvendig.
- Keplers tredje lov ble formulert av Newton som følger: kvadratene til planetenes sideriske perioder, multiplisert med summen av massene til solen og planeten, er relatert som kubene til planetenes semi-hovedakser. baner.
Keplers første lov (lovellipser)
Keplers første lov.
Hver planetsolsystemet kontakter avellipse, i et av fokusene som erSol.
Formen på ellipsen og graden av dens likhet med en sirkel er preget av forholdet , hvor c- avstand fra midten av ellipsen til fokus (halve interfokalavstanden), en- hovedhalvakse. Omfanget e kalles ellipsens eksentrisitet. På c= 0 og e= 0 ellipsen blir til en sirkel.
Bevis for Keplers første lov
Lov universell gravitasjon Newton uttaler at "hver gjenstand i universet tiltrekker seg alle andre gjenstander langs en linje som forbinder massesentrene til gjenstandene, i forhold til massen til hver gjenstand, og omvendt proporsjonal med kvadratet på avstanden mellom gjenstandene." Dette forutsetter at akselerasjonen en har formen
La oss huske det i polare koordinater
I koordinatform skriver vi
Substituere og inn i den andre ligningen, får vi
som er forenklet
Etter integrering skriver vi uttrykket
for noen konstant, som er det spesifikke vinkelmomentet (). La
Bevegelsesligningen i retningen blir lik
Newtons universelle gravitasjonslov knytter kraft per masseenhet til avstand som
Hvor G- universell gravitasjonskonstant og M- massen til stjernen.
Som et resultat
Dette differensial ligning Det har felles vedtak:
for vilkårlige integrasjonskonstanter e og θ 0 .
Erstatte u innen 1/ r og setter θ 0 = 0, får vi:
Vi har ligningen konisk snitt med eksentrisitet e og opprinnelsen til koordinatsystemet ved en av brennpunktene. Dermed følger Keplers første lov direkte av Newtons lov om universell gravitasjon og Newtons andre lov.
Keplers andre lov (områdets lov)
Keplers andre lov.
Hver planet beveger seg i et plan som passerer gjennom sentrum av solen, og på like ganger sveiper radiusvektoren som forbinder solen og planeten ut sektorer med likt areal.
I forhold til vårt solsystem er to konsepter knyttet til denne loven: perihelium- punktet i banen nærmest Solen, og aphelion- det fjerneste punktet i banen. Derfor, fra Kepplers andre lov følger det at planeten beveger seg ujevnt rundt solen, og har en større lineær hastighet enn ved aphelion.
Hvert år i begynnelsen av januar beveger jorden seg raskere når den passerer gjennom perihelium, så den tilsynelatende bevegelsen til solen langs ekliptikken mot øst skjer også raskere enn gjennomsnittet for året. I begynnelsen av juli beveger jorden seg langsommere, som passerer aphelion, og derfor bremser solens bevegelse langs ekliptikken. Loven om områder indikerer at kraften kontrollerer orbital bevegelse planeter, rettet mot solen.
Bevis for Keplers andre lov
Per definisjon, vinkelmomentet til en punktpartikkel med masse m og hastighet skrives som:
.hvor er radiusvektoren til partikkelen og er partikkelens bevegelsesmengde.
A-priory
.Som et resultat har vi
. La oss skille begge sider av ligningen med hensyn til tid
fordi det vektor produkt parallelle vektorer er lik null. Legg merke til det F alltid parallelt r, siden kraften er radial, og s alltid parallelt v a-priory. Derfor kan vi si at det er en konstant.
Keplers tredje lov (harmonisk lov)
Firkantene i revolusjonsperiodene til planetene rundt solen er relatert som kubene til de semi-major-aksene til planetenes baner.
Hvor T 1 og T 2 er revolusjonsperiodene til to planeter rundt solen, og en 1 og en 2 - lengdene på de semimajor-aksene til banene deres.
Newton fant det gravitasjonsattraksjon Dannelsen av en planet med en viss masse avhenger bare av avstanden til den, og ikke av andre egenskaper, som sammensetning eller temperatur. Han viste også at Keplers tredje lov ikke er helt nøyaktig - faktisk inkluderer den planetens masse: 
, Hvor M er massen til solen, og m 1 og m 2 - planetariske masser.
Siden bevegelse og masse er funnet å være relatert, brukes denne kombinasjonen av Keplers harmoniske lov og Newtons tyngdelov for å bestemme massen til planeter og satellitter hvis deres bane og omløpsperioder er kjent.
Bevis for Keplers tredje lov
Keplers andre lov sier at radiusvektoren til et roterende legeme sveiper ut like områder i like perioder. Hvis vi nå tar veldig små perioder i øyeblikket når planeten er på punkter EN Og B(perihelion og aphelion), så kan vi tilnærme arealet med trekanter med høyder, lik avstanden fra planeten til solen, og fundamentet, lik produktet planetens hastighet over tid.
Ved å bruke loven om bevaring av energi til total energi planeter på punkter EN Og B, la oss skrive
Nå som vi har funnet V B, kan vi finne sektorhastigheten. Siden den er konstant, kan vi velge hvilket som helst punkt på ellipsen: for eksempel for punktet B vi får
derimot Totalt areal ellipse er lik 
(som er lik π ab, fordi det 
). Tid full sving, altså lik
Antakelsen om jevn sirkulær bevegelse av planetene i solsystemet stemte ikke overens med det heliosentriske systemet til N. Copernicus-verdenen, siden avvikene mellom de beregnede og reelle posisjonene til planetene i visse tidsperioder var betydelige. Denne motsetningen ble løst av den fremragende tyske astronomen OG. Kepler . Basert på mange års observasjoner av planetenes bevegelser og studiet av verkene til hans forgjengere, oppdaget Kepler tre lover, senere oppkalt etter ham.
Keplers første lov, også kalt ellipseloven, ble formulert av en vitenskapsmann i 1609.
Keplers første lov: Alle planetene i solsystemet beveger seg i elliptiske baner, med solen i ett fokus.
Punkt nærmest solen P bane kalles perihelion, punkt EN, lengst fra solen, er aphelion. Avstanden mellom aphelion og perihelion er hovedaksen til den elliptiske bane. Halve lengden av hovedaksen, halvaksel en, er den gjennomsnittlige avstanden fra planeten til solen.
Den gjennomsnittlige avstanden fra jorden til solen kalles en astronomisk enhet (AU) og er lik 150 millioner km.
Formen på ellipsen og graden av dens forskjell fra en sirkel bestemmes av forholdet c/en, Hvor c– avstand fra midten av ellipsen til fokus, en- ellipsens halvhovedakse.
Jo større dette forholdet er, jo mer langstrakt er planetens bevegelsesbane (fig. 37), brennpunktene er lenger fra hverandre. Hvis dette forholdet er null, blir ellipsen til en sirkel, fociene smelter sammen til ett punkt - midten av sirkelen.
Banene til Jorden og Venus er nesten sirkulære, for Jorden er forholdet c/en er 0,0167, for Venus - 0,0068. Banene til andre planeter er mer flate. Den mest langstrakte banen til Pluto, som c/a = 0,2488. Ikke bare planeter rundt solen beveger seg i elliptiske baner, men også satellitter (naturlige og kunstige) rundt planetene. Bevegelsespunktet til satellitten nærmest jorden kalles perigee, det fjerneste kalles apogee.
Keplers andre lov (områdeloven): radiusvektoren til planeten beskriver like områder i like tidsperioder.
Figur 38 illustrerer Keplers andre lov. Det er tydelig fra figuren at radiusvektoren er et segment som forbinder fokuset til banen (i hovedsak sentrum av solen) og sentrum av planeten når som helst i dens bevegelse langs banen. I samsvar med Keplers andre lov, er områdene av sektorene fremhevet i farger like med hverandre. Så viser det seg at i løpet av samme tidsperiode reiser planeten forskjellige avstander i sin bane, det vil si at bevegelseshastigheten ikke er konstant: v 2 >v 1. Hvordan nærmere planet til perihelion, jo raskere beveger den seg, som om den raskt prøver å komme seg vekk fra det brennende solstråler.Materiale fra siden
Keplers tredje lov (harmonisk): kvadratene i revolusjonsperiodene til to planeter rundt solen er relatert til hverandre, som kubene til halvhovedaksene til deres bane.
Når vi husker at lengden på banens halv-hovedakse regnes som den gjennomsnittlige avstanden fra planeten til solen, skriver vi matematisk uttrykk Keplers tredje lov:
T 2 1 /T 2 2 =en 3 1 /a 3 2,
Hvor T1,T 2— revolusjonsperioder for planetene 1 og 2; a 1 >en 2— gjennomsnittlig avstand fra planetene 1 og 2 til solen.
Keplers tredje lov gjelder for både planeter og satellitter, med en feil på ikke mer enn 1 %.
Basert på denne loven er det mulig å beregne lengden på året (tidspunktet for en fullstendig revolusjon rundt solen) til enhver planet hvis avstanden til solen er kjent. Og omvendt - ved å bruke den samme loven kan du beregne bane, vel vitende om revolusjonsperioden.
På denne siden er det stoff om følgende emner:
Keplers andre lovrapport
Anatomi av Keplers lov
Keplers harmoniske lov
Keplers lover astronomi melding
Spørsmål om dette materialet:
En viktig rolle i dannelsen av ideer om strukturen til solsystemet ble også spilt av lovene for planetarisk bevegelse, som ble oppdaget av Johannes Kepler (1571-1630) og ble de første naturvitenskapelige lovene i deres moderne forståelse. Keplers arbeid skapte muligheten til å generalisere kunnskapen om mekanikk fra den tiden i form av dynamikkens lover og loven om universell gravitasjon, senere formulert av Isaac Newton. Mange forskere opp til tidlig XVII V. trodde at bevegelsen himmellegemer skal være ensartet og forekomme langs den "mest perfekte" kurvesirkelen. Bare Kepler klarte å overvinne denne fordommen og etablere den faktiske formen til planetbaner, så vel som mønsteret av endringer i bevegelseshastigheten til planeter når de kretser rundt solen. I sine søk gikk Kepler ut fra overbevisningen om at «tall styrer verden», uttrykt av Pythagoras. Han så etter forhold mellom forskjellige størrelser som karakteriserer planetenes bevegelse - størrelsen på baner, revolusjonsperioden, hastighet. Kepler handlet praktisk talt blindt, rent empirisk. Han prøvde å sammenligne egenskapene til planetenes bevegelse med mønstrene til den musikalske skalaen, lengden på sidene til polygonene beskrevet og innskrevet i planetenes baner, etc. Kepler trengte å konstruere banene til planetene, bevege seg fra det ekvatoriale koordinatsystemet som indikerer posisjonen til planeten på himmelsfære, til et koordinatsystem som indikerer dets posisjon i baneplanet. Han brukte sine egne observasjoner av planeten Mars, samt mange års bestemmelse av koordinatene og konfigurasjonene til denne planeten utført av hans lærer Tycho Brahe. Kepler anså jordens bane (til en første tilnærming) for å være en sirkel, noe som ikke motsier observasjoner. For å konstruere banen til Mars brukte han metoden vist i figuren nedenfor.
Gi oss beskjed vinkelavstand Mars fra vårjevndøgn under en av planetens motsetninger er dens høyre oppstigning "15 som uttrykkes ved vinkelen g(gamma)Т1М1, der T1 er posisjonen til jorden i bane i dette øyeblikket, og M1 er posisjonen til Mars. Det er klart, etter 687 dager (dette er den sideriske perioden for Mars bane), vil planeten ankomme samme punkt i sin bane.
Hvis vi bestemmer den rette oppstigningen til Mars på denne datoen, kan vi, som det fremgår av figuren, indikere posisjonen til planeten i verdensrommet, mer presist, i planet av dens bane. Jorden er i dette øyeblikk ved punkt T2, og derfor er vinkelen gT2M1 ikke noe mer enn den rette oppstigningen til Mars - a2. Etter å ha gjentatt lignende operasjoner for flere andre motstander av Mars, oppnådde Kepler en hel rekke punkter og tegnet en jevn kurve langs dem, konstruerte banen til denne planeten. Etter å ha studert plasseringen av de oppnådde punktene, oppdaget han at hastigheten på planetens bane endres, men samtidig beskriver radiusvektoren til planeten like områder i like perioder. Deretter ble dette mønsteret kalt Keplers andre lov.
Radiusvektoren kalles i dette tilfellet et segment av variabel størrelse som forbinder solen og punktet i banen hvor planeten befinner seg. AA1, BB1 og CC1 er buene som planeten krysser i like tidsrom. Arealene til de skraverte figurene er like med hverandre. I henhold til loven om bevaring av energi forblir den totale mekaniske energien til et lukket system av kropper mellom hvilke gravitasjonskrefter virker uendret under alle bevegelser av kroppene i dette systemet. Derfor er summen av kinetisk og potensiell energi av en planet som beveger seg rundt solen er konstant på alle punkter i sin bane og er lik dens totale energi. Når planeten nærmer seg solen, øker dens hastighet og dens kinetiske energi øker, men når avstanden til solen avtar, reduseres dens potensielle energi. Etter å ha etablert mønsteret for endringer i planetenes bevegelseshastighet, satte Kepler ut for å bestemme kurven langs hvilken de kretser rundt solen. Han ble møtt med behovet for å velge en av to mulige løsninger: 1) anta at Mars bane er en sirkel, og anta at i noen deler av banen avviker de beregnede koordinatene til planeten fra observasjoner (på grunn av observasjonsfeil) med 8"; 2) anta at observasjonene ikke inneholder slike feil, og banen er ikke en sirkel. Med tillit til nøyaktigheten av Tycho Brahes observasjoner, valgte Kepler den andre løsningen og fant ut at den beste måten Plasseringen til Mars i sin bane sammenfaller med en kurve som kalles en ellipse, mens solen ikke befinner seg i midten av ellipsen. Som et resultat ble det utformet en lov, som kalles Keplers første lov. Hver planet roterer rundt solen i en ellipse, med solen i ett fokus.
Som kjent er en ellipse en kurve der summen av avstandene fra et hvilket som helst punkt P til dets foci er en konstant verdi. Figuren viser: O - midten av ellipsen; S og S1 er brennpunktene til ellipsen; AB er hovedaksen. Halvparten av denne verdien (a), som vanligvis kalles halvhovedaksen, karakteriserer størrelsen på planetens bane. Punkt A som er nærmest Solen kalles perihelion, og punkt B lengst unna kalles aphelion. Forskjellen mellom en ellipse og en sirkel er preget av størrelsen på dens eksentrisitet: e = OS/OA. I tilfellet når eksentrisiteten er lik O, smelter fociene og sentrum til ett punkt - ellipsen blir til en sirkel.
Det er bemerkelsesverdig at boken der Kepler publiserte de to første lovene han oppdaget i 1609 ble kalt " Ny astronomi, eller himlenes fysikk, fremsatt i studier av bevegelsen til planeten Mars ...". Begge disse lovene, publisert i 1609, avslører arten av bevegelsen til hver planet separat, noe som ikke tilfredsstilte Kepler. Han fortsatte søket etter "harmoni" i bevegelsen til alle planeter, og 10 år senere klarte han å formulere Keplers tredje lov:
T1^2 / T2^2 = a1^3 / a2^3
Firkantene til planetenes sideriske revolusjonsperioder er relatert til hverandre, som kubene til de semi-major-aksene til deres baner. Dette er hva Kepler skrev etter oppdagelsen av denne loven: "Hva for 16 år siden bestemte jeg meg for å se etter,<... >endelig funnet, og denne oppdagelsen overgikk alle mine villeste forventninger..." Den tredje loven fortjener faktisk det meste høyt verdsatt. Tross alt lar det deg beregne de relative avstandene til planetene fra solen ved å bruke allerede kjente perioder deres revolusjoner rundt solen. Det er ikke nødvendig å bestemme avstanden fra solen for hver av dem; det er nok å måle avstanden fra solen til minst én planet. Størrelse på semi-hovedakse jordens bane - astronomisk enhet(a.e.) - ble grunnlaget for å beregne alle andre avstander i solsystemet. Snart ble loven om universell gravitasjon oppdaget. Alle legemer i universet er tiltrukket av hverandre med en kraft som er direkte proporsjonal med produktet av massene deres og omvendt proporsjonal med kvadratet på avstanden mellom dem:
F = G m1m2/r2
Hvor m1 og m2 er massene av legemer; r er avstanden mellom dem; G - gravitasjonskonstant
Oppdagelsen av loven om universell gravitasjon ble i stor grad lettet av lovene for planetarisk bevegelse formulert av Kepler og andre prestasjoner innen astronomi på 1600-tallet. Kunnskapen om avstanden til månen tillot derfor Isaac Newton (1643 - 1727) å bevise identiteten til kraften som holder månen mens den beveger seg rundt jorden og kraften som får kropper til å falle til jorden. Tross alt, hvis tyngdekraften varierer i omvendt proporsjon med kvadratet av avstanden, som følger av loven om universell gravitasjon, bør Månen, som befinner seg fra Jorden i en avstand på omtrent 60 av dens radier, oppleve en akselerasjon 3600 ganger mindre enn tyngdeakselerasjonen på jordens overflate, lik 9,8 m/s. Derfor bør månens akselerasjon være 0,0027 m/s2.
Kraften som holder månen i bane er kraften gravitasjon, svekket med 3600 ganger sammenlignet med det som virker på jordens overflate. Du kan også være overbevist om at når planetene beveger seg, i samsvar med Keplers tredje lov, er deres akselerasjon og gravitasjonskraften til solen som virker på dem omvendt proporsjonal med kvadratet på avstanden, som følger av loven om universell gravitasjon. Faktisk, i henhold til Keplers tredje lov, er forholdet mellom kubene til semi-hovedaksene til banene d og kvadratene til omløpsperiodene T en konstant verdi: Akselerasjonen til planeten er lik:
A= u2/d =(2pid/T)2/d=4pi2d/T2
Fra Keplers tredje lov følger det:
Derfor er planetens akselerasjon lik:
A = 4pi2 const/d2
Så kraften i samspillet mellom planetene og solen tilfredsstiller loven om universell gravitasjon, og det er forstyrrelser i bevegelsen til solsystemets kropper. Keplers lover er strengt tatt oppfylt hvis bevegelsen til to isolerte kropper (solen og planeten) under påvirkning av deres gjensidige tiltrekning vurderes. Imidlertid er det mange planeter i solsystemet; de samhandler ikke bare med solen, men også med hverandre. Derfor følger ikke bevegelsen til planeter og andre kropper akkurat Keplers lover. Avvik fra kropper fra å bevege seg langs ellipser kalles forstyrrelser. Disse forstyrrelsene er små, siden massen til solen er stor mer masse ikke bare for en individuell planet, men for alle planeter som helhet. De største forstyrrelsene i bevegelsene til kropper i solsystemet er forårsaket av Jupiter, hvis masse er 300 ganger større enn jordens masse.
Avvikene til asteroider og kometer er spesielt merkbare når de passerer nær Jupiter. For tiden blir forstyrrelser tatt i betraktning når man beregner posisjonene til planetene, deres satellitter og andre kropper i solsystemet, samt baner romfartøy, lansert for deres forskning. Men tilbake på 1800-tallet. beregning av forstyrrelser gjorde det mulig å gjøre en av de mest kjente funnene i vitenskapen "på tuppen av en penn" - oppdagelsen av planeten Neptun. Ved å gjennomføre en ny undersøkelse av himmelen på leting etter ukjente gjenstander, oppdaget William Herschel i 1781 en planet, senere kalt Uranus. Etter omtrent et halvt århundre ble det åpenbart at den observerte bevegelsen til Uranus ikke stemmer overens med den beregnede, selv når man tar hensyn til forstyrrelser fra alle kjente planeter. Basert på antakelsen om tilstedeværelsen av en annen "subauranian" planet, ble det gjort beregninger av dens bane og posisjon på himmelen. Dette problemet ble løst uavhengig av John Adams i England og Urbain Le Verrier i Frankrike. Basert på Le Verriers beregninger oppdaget den tyske astronomen Johann Halle 23. september 1846 en tidligere ukjent planet – Neptun – i stjernebildet Vannmannen. Denne oppdagelsen var en triumf heliosentrisk system, den viktigste bekreftelsen på gyldigheten av loven om universell gravitasjon. Deretter ble det lagt merke til forstyrrelser i bevegelsen til Uranus og Neptun, som ble grunnlaget for antagelsen om eksistensen av en annen planet i solsystemet. Søket hennes ble kronet med suksess først i 1930, da etter visning stor kvantitet fotografier av stjernehimmelen, ble Pluto oppdaget.