Polar koordinatsystem (polare koordinater)

Et polart koordinatsystem på et plan er en kombinasjon av et punkt O, kalt en pol, og en halvlinje OX, kalt polaraksen. I tillegg er det spesifisert skalasegment for måling av avstander fra punkter i flyet til polen. Som regel velges en vektor \vec(i) på den polare aksen, påført punktet O, hvis lengde tas som verdien av skalasegmentet, og retningen til vektoren spesifiserer den positive retningen på polaren. akse (fig. 2.28a).

Posisjonen til punktet M i polare system koordinatene bestemmes av avstanden r ( polar radius) fra punkt M til polen (dvs. r=\vert\overhøyrepil(OM)\vert) og vinkelen \varphi (polar vinkel) mellom polaraksen og vektoren \overrightarrow(OM). Polarradius og polarvinkel er polare koordinater punkter M, som skrives som M(r,\varphi) . Polarvinkelen er målt i radianer og målt fra polaraksen:

I positiv retning (mot klokken), hvis vinkelverdien er positiv;

I negativ retning (med klokken) hvis vinkelverdien er negativ.

Den polare radiusen er definert for et hvilket som helst punkt i planet og tar ikke-negative verdier r\geqslant0 . Den polare vinkelen \varphi er definert for ethvert punkt i planet, med unntak av polen O, og tar verdiene -\pi<\varphi\leqslant\pi , kalt hovedverdiene for den polare vinkelen. I noen tilfeller er det tilrådelig å anta at den polare vinkelen er definert opp til leddene 2\pi n , hvor n\in\mathbb(Z) . I dette tilfellet tilsvarer verdiene \varphi+2\pi n av den polare vinkelen for alle n\in\mathbb(Z) samme retning av radiusvektoren.

Det polare koordinatsystemet Or\varphi kan assosieres med et rektangulært koordinatsystem O\vec(i)\vec(j), hvis origo O sammenfaller med polen, og abscisseaksen (mer presist, den positive semi-abscissen) akse) faller sammen med polaraksen. Ordinataksen fullføres vinkelrett på abscisseaksen slik at man får et høyrehendt rektangulært koordinatsystem (Fig. 2.28, b). Lengdene på basisvektorene bestemmes av skalasegmentet på polaraksen.

Tvert imot, hvis et høyrehendt rektangulært koordinatsystem er gitt på planet, får vi, ved å ta abscissens positive halvakse som polaraksen, et polart koordinatsystem (assosiert med det gitte rektangulære).

La oss utlede formler som forbinder de rektangulære koordinatene x,y til et punkt M, forskjellig fra punktet O, og dets polare koordinater r,\varphi. I følge Fig. 2.28,b får vi

\begin(cases)x=r\cdot\cos\varphi,\\y=r\cdot\sin\varphi.\end(cases)

Disse formlene lar deg finne rektangulære koordinater fra kjente polare koordinater. Den omvendte overgangen utføres i henhold til formlene:

\venstre\(\begin(justert)r&= \sqrt(x^2+y^2),\\ \cos\varphi&= \frac(x)(r)=\frac(x)(\sqrt(x^ 2+y^2)),\\ \sin\varphi&= \frac(y)(r)=\frac(y)(\sqrt(x^2+y^2)).\end(justert)\høyre .

De to siste likhetene bestemmer den polare vinkelen opp til leddene 2\pi n , hvor n\in\mathbb(Z) . For x\ne0 følger det av dem at \operatørnavn(tg)\frac(y)(x)\varphi~(-\pi<\varphi\leqslant\pi) er funnet i henhold til formlene (fig. 2.29):

\varphi=\venstre\(\begin(justert)\operatørnavn(arctg)\frac(y)(x),\quad&x>0,\\\pi+\operatørnavn(arctg)\frac(y)(x),\ quad&x<0,\,y\geqslant0,\\-\pi+\operatorname{arctg}\frac{y}{x},\quad&x<0,\,y<0,\\\frac{\pi}{2},\quad&x=0,\,y>0,\\-\frac(\pi)(2),\quad&x=0,\,y<0.\end{aligned}\right.

Eksempel 2.9. I det polare koordinatsystemet Or\varphi:

a) tegne koordinatlinjer r=1,~r=2,~r=3,~\varphi=\frac(\pi)(4),~\varphi=\frac(\pi)(2);

b) avbilde punktene M_1,~M_2 med polare koordinater r_1=3,~\varphi_1=\frac(9\pi)(4),~r_2=3,~\varphi=-\frac(7\pi)(4). Finn hovedverdiene for de polare vinklene til disse punktene;

c) finn de rektangulære koordinatene til punktene M_1,~M_2.

Løsning. a) Koordinatlinjene r=1,~r=2,~r=3 representerer sirkler med tilsvarende radier, og linjene \varphi=\frac(\pi)(4), \varphi=\frac(\pi)(2) Og \varphi=\frac(3\pi)(4)- halvrett (Fig. 2.30, a).

b) La oss plotte punktene M_1\!\venstre(3,\frac(9\pi)(4)\høyre) Og M_2\!\venstre(3,-\frac(7\pi)(4)\høyre)(Fig. 2.30, b, c). Koordinatene deres er forskjellige i polar vinkel, men de har samme hovedbetydning \varphi=\frac(\pi)(4). Derfor er dette det samme punktet, som sammenfaller med punktet M\!\venstre(3,\frac(\pi)(4)\høyre), vist i fig. 2.30, en.

c) Ta hensyn til punkt "b", la oss finne de rektangulære koordinatene til punkt M. Ved å bruke formler (2.17) får vi:

x=r\cdot\cos\varphi=3\cdot\cos\frac(\pi)(4)=\frac(3\sqrt(2))(2);~y=r\cdot\sin\frac( \pi)(4)=\frac(3\sqrt(2))(2), det er M\!\venstre(\frac(3\sqrt(2))(2),\frac(3\sqrt(2))(2)\høyre).

Merknader 2.8

1. Hovedverdien til den polare vinkelen kan velges annerledes, f.eks. 0\leqslant\varphi<2\pi .

2. Avstand mellom to punkter M_1(r_1,\varphi_1) Og M_2(r_2,\varphi_2)(lengden på segmentet M_1M_2) beregnes ved hjelp av formelen

M_1M_2=\sqrt(r_1^2+r_2^2-2\cdot r_1\cdot r_2\cdot\cos(\varphi_2-\varphi_1)),

som følger av cosinussetningen (fig. 2.31).

3. Det orienterte området S_(\ast)^(\land) av et parallellogram (fig. 2.31), konstruert på radiusvektorene og , finnes ved formelen

S_(\ast\overrightarrow(OM_1),\overrightarrow(OM_2))^(\land)=\overrightarrow(OM_1)\land\overrightarrow(OM_2)=r_1\cdot r_2\cdot\sin(\varphi_2-\varphi_1) .

Det er positivt hvis \varphi_1<\varphi_2 (i dette tilfellet, orienteringen til et par radiusvektorer \overrightarrow(OM_1) Og \overrightarrow(OM_2) høyre), og negativ hvis \varphi_1>\varphi_2(orientering av et par radiusvektorer \overrightarrow(OM_1) Og \overrightarrow(OM_2) venstre).

Eksempel 2.10. Polare koordinater er gitt \varphi_A=\frac(\pi)(3),~r_A=4 Og \varphi_B=\frac(2\pi)(3),~r_B=2 punktene A og B (Fig. 2.32). Trenger å finne:

a) skalært produkt \bigl\langle\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB)\bigl\rangle;

b) lengden av segmentet AB;

c) eksternt produkt \overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB);

d) området S_(OAB) av trekanten OAB;

e) koordinater til sentrum C av segment AB i et rektangulært koordinatsystem knyttet til en gitt polar.

Løsning. a) Ved definisjonen av skalarproduktet finner vi

\venstre\langle\overhøyrepil(OA),\overhøyrepil(OB)\høyre\rangle=\venstre|\overhøyrepil(OA)\høyre|(\cdot)\venstre|\overhøyrepil(OB)\høyre|\!\cdot \cos\psi=r_A\cdot r_B\cdot\cos(\varphi_B-\varphi_A)=4\cdot2\cdot\cos\frac(\pi)(3)=4.

b) Finn lengden på segmentet (se avsnitt 2 i merknad 2.8):

AB=\sqrt(r_A^2+r_B^2-2\cdot r_A\cdot r_B\cdot\cos(\varphi_B-\varphi_A))=\sqrt(4^2+2^2-2\cdot4\cdot2\ cdot\frac(1)(2))=2\sqrt(3).

c) Vi finner det ytre produktet som det orienterte området til et parallellogram bygget på vektorene og:

\overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB)=r_A\cdot r_B\cdot\sin(\varphi_B-\varphi_A)=2\cdot4\cdot\sin\frac(\pi)(3)=4\sqrt( 3).

Området er positivt, siden vektorene \overrightarrow(OA) Og \overhøyrepil(OB) danne et rett par (\varphi_A<\varphi_B) .

d) Arealet av trekanten OAB er funnet som halvparten av arealet av et parallellogram konstruert på radiusvektorer \overrightarrow(OA) Og \overhøyrepil(OB).

Fordi S_(\ast\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB))=\venstre|\overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB)\right|=4\sqrt(3)(se avsnitt "c"), da S_(OAB)=\frac(1)(2)\cdot4\sqrt(3)=2\sqrt(3).

e) Ved å bruke formler (2.17) finner vi de rektangulære koordinatene til punktene A og B:

\begin(samlet)x_A=r_A\cdot\cos\varphi_A=4\cdot\frac(1)(2)=2,\quad y_A=r_A\cdot\sin\varphi_A=4\cdot\frac(\sqrt( 3))(2)=2\sqrt(3);\\ x_B=r_B\cdot\cos\varphi_B=2\cdot\frac(-1)(2)=-1,\quad y_B=r_B\cdot\ sin\varphi_B=2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)=\sqrt(3).\end(samlet)

og deretter koordinatene til den midterste C i segment AB (se avsnitt 3 i merknad 2.1):

x_C=\frac(x_A+x_b)(2)=\frac(2+(-1))(2)=\frac(1)(2);\quad y_C=\frac(y_A+y_B)(2) =\frac(2\sqrt(3)+\sqrt(3))(2)=\frac(3\sqrt(3))(2).

Eksempel 2.11. Punkt A(4,-3) er markert på Oxy-koordinatplanet. Finne:

a) polare koordinater til punkt A", bildet av punkt A når radiusvektoren roteres \overrightarrow(OA) ved vinkelen \frac(\pi)(3) rundt origo (fig. 2.33);

b) polare koordinater til punkt A_1, bildet av punkt A når planet er invertert i forhold til en sirkel med enhetsradius med sentrum i origo (se eksempel b av plantransformasjoner i avsnitt 2.2.4).

Løsning. a) Finn de polare koordinatene til punkt A. I henhold til formler (2.17), under hensyntagen til Fig. 2.29, får vi:

r_A=\sqrt(x_A^2+y_A^2)=\sqrt(4^2+(-3)^2)=5;\quad\varphi_A=\operatørnavn(arctg)\frac(y_A)(x_A)= \operatørnavn(arctg)\frac(-3)(4)=-\operatørnavn(arctg)\frac(3)(4),

siden punkt A ligger i \tekst(IV) kvartalet.

Ved rotering av radiusvektoren \overrightarrow(OA) rundt polen med en vinkel \frac(\pi)(3), endres ikke den polare radiusen, men den polare vinkelen øker. Derfor er de polare koordinatene til punkt A": r_(A")=r_(A)=5, \varphi_(A")=\varphi_(A)+\frac(\pi)(3)=\frac(\pi)(3)-\operatørnavn(arctg)\frac(3)(4), og \varphi_(A") er hovedverdien til den polare vinkelen (-\pi<\varphi_{A"}\leqslant\pi) .

b) Når du inverterer i forhold til en sirkel med radius R, uttrykkes de polare koordinatene r",\varphi" til bildet gjennom de polare koordinatene r,\varphi til det inverse bildet med følgende formler:

r"=\frac(R^2)(r),\quad\varphi"=\varphi.

Derfor, med tanke på punkt "a", finner vi (for R=1):

r_(A_1)=\frac(1)(r_A)=\frac(1)(5),\quad\varphi_(A_1)=\varphi_(A)=-\operatørnavn(arctg)\frac(3)(4) ).

Side 1

Y-koordinatene til ethvert punkt i første kvadrant er positive.

Punkter i tredje og fjerde kvadrant har negative Y-koordinater, og i tredje kvadrant er X-koordinatene til punktene negative.

Koordinatkortet viser de eksakte X- og Y-koordinatene til gjeldende plassering av ArchiCAD-markøren i koordinatsystemet som brukes.

I andre kvadrant er X-koordinatene til punktene positive, og Y-koordinatene er negative.

Vanskeligheten er at plasseringen av dronningene kun bestemmes av deres Y-koordinater, og X-koordinatene er ikke eksplisitt tilstede i posisjonsrepresentasjonen.

Når du søker etter en løsning, vil programmet vist i fig. 4.7, tester ulike verdier av dronningenes Y-koordinater. Hvor i programmet er rekkefølgen for oppregning av alternative alternativer spesifisert?

Siden det er vanlig å skrive ned X-koordinaten til et punkt først, og deretter Y-koordinaten, bestemmer ikke uttrykket - r - / Q - P den nødvendige verdien. Resultatet er lik kvotienten av forskjellen i koordinater langs X-aksen delt på forskjellen i koordinatverdier langs Y-aksen, som i henhold til definisjonen gir den inverse verdien av helningen til linjen.

COORDINATE VALUES) og plasserer den i utdatameldingstabellen og utdatalisten. Deretter vil denne kommandoen, som inneholder X- og Y-koordinatene til den valgte skjermposisjonen, overføres til hoveddatamaskinen.

Posisjonen til det nye systemet XOt Y i forhold til det gamle systemet xOy vil bli bestemt dersom koordinatene a og b til den nye origo O er kjent i henhold til det gamle systemet og vinkelen a mellom aksene Ox og OtX. La oss betegne med x og y koordinatene til et vilkårlig punkt M i forhold til det gamle systemet, og med X- og Y-koordinatene til det samme punktet i forhold til det nye systemet. Vår oppgave er å uttrykke de gamle koordinatene x og y gjennom de nye X og Y. De resulterende transformasjonsformlene bør selvsagt inkludere konstantene a, b og oc. Vi vil finne en løsning på dette generelle problemet ved å vurdere to spesielle tilfeller.

Det refererer til to elementer i datalisten - X og Y. Terminalens displayprosessor har separate kommandoer for å flytte strålen til en ny posisjon i X- og Y-koordinatene. Derfor må SET ORIGIN-kommandorutinen generere to skjermprosessorkommandoer. I tillegg må du bestemme om objektet som initialiseres med kommandoen SET ORIGIN er et segment eller et element. For å gjøre dette spør prosedyren korrelasjonstabellen ved hjelp av kommandoparameterfeltet. Når det gjelder et segment, er posisjonen på skjermen spesifisert i absolutte koordinater, når det gjelder et element - i relative. Rutinen som utfører SET ORIGIN-kommandoen må sette eller slette en spesiell bit for de tilsvarende skjermprosessorkommandoene.

Programmet vil uendelig utforske denne uendelige delen av verdensrommet, og aldri komme nærmere målet. Tilstandsrommet til problemet med åtte dronninger, definert som i denne delen, inneholder ved første øyekast en felle av akkurat denne typen. Men det viser seg at det fortsatt er endelig, siden Y-koordinatene er valgt fra et begrenset sett, og derfor kan ikke mer enn åtte damer trygt plasseres på brettet.

Prosedyren som utfører denne kommandoen gir fire typer midler for interaktiv generering av objekter. Det første verktøyet er en generalisert prosedyre for å tegne rette linjer. Tegning gjøres ved å flytte et spesielt merke til begynnelsen av linjen og deretter flytte det til slutten av linjen. Når du flytter en etikett til slutten av en linje, genereres en vektor som forbinder begynnelsen av linjen og gjeldende posisjon til etiketten. Ved å slippe tasten på lyspennhuset kan du flytte merket fra den ene enden av linjen du tegner til den andre. Når brukeren peker på ACCEPT-lysknappen, genereres L4-kommandoen, ved hjelp av hvilken X, Y-koordinatene til den tegnede linjen overføres til hoveddatamaskinen.

Sider: 1

Et rektangulært koordinatsystem på et plan er dannet av to innbyrdes perpendikulære koordinatakser OX og OY. Koordinataksene skjærer hverandre i punktet O, som kalles origo, og den positive retningen velges på hver akse. I et høyrehendt koordinatsystem velges den positive retningen til aksene slik at når OY-aksen rettes oppover, vender OX-aksen mot høyre.

De fire vinklene (I, II, III, IV) dannet av koordinataksene X"X og Y"Y kalles koordinatvinkler eller kvadranter

Posisjonen til punkt A på planet bestemmes av to koordinater x og y. x-koordinaten er lik lengden på segmentet OB, y-koordinaten er lik lengden på segmentet OC i de valgte måleenhetene. Segmentene OB og OC er definert av linjer trukket fra punkt A parallelt med henholdsvis Y"Y- og X"X-aksene. X-koordinaten kalles abscissen til punkt A, y-koordinaten kalles ordinaten til punkt A. Det skrives slik: .

Hvis punkt A ligger i koordinatvinkelen I, har punkt A en positiv abscisse og ordinat. Hvis punkt A ligger i koordinatvinkel II, har punkt A en negativ abscisse og en positiv ordinat. Hvis punkt A ligger i koordinatvinkel III, har punkt A negativ abscisse og ordinat. Hvis punkt A ligger i koordinatvinkel IV, har punkt A en positiv abscisse og en negativ ordinat.

Rektangulært koordinatsystem i rommet er dannet av tre innbyrdes perpendikulære koordinatakser OX, OY og OZ. Koordinataksene skjærer hverandre i punktet O, som kalles origo, på hver akse velges en positiv retning, angitt med piler, og en måleenhet for segmentene på aksene. Enhetene er vanligvis like for alle akser (noe som ikke er obligatorisk). OX - abscisseakse, OY - ordinatakse, OZ - applikatakse.

Hvis tommelen på høyre hånd tas som X-retning, pekefingeren som Y-retning og langfingeren som Z-retning, dannes et høyrehendt koordinatsystem. Lignende fingre på venstre hånd danner venstre koordinatsystem. Med andre ord, den positive retningen til aksene er valgt slik at når OX-aksen roteres mot klokken med 90°, faller dens positive retning sammen med den positive retningen til OY-aksen, hvis denne rotasjonen observeres fra den positive retningen til OZ. akser. Det er umulig å kombinere høyre og venstre koordinatsystem slik at de tilsvarende aksene faller sammen.

Posisjonen til punktet A i rommet bestemmes av tre koordinater x, y og z. X-koordinaten er lik lengden på segmentet OB, y-koordinaten er lengden på segmentet OC, z-koordinaten er lengden på segmentet OD i de valgte måleenhetene. Segmentene OB, OC og OD er definert av plan trukket fra punkt A parallelt med planene YOZ, XOZ og XOY, henholdsvis. X-koordinaten kalles abscissen til punkt A, y-koordinaten kalles ordinaten til punkt A, z-koordinaten kalles applikatet til punkt A. Det skrives slik: .

ODA. Koordinatsystemet (O; , , ) kalles. rektangulær hvis: 1) basisvektorene har enhetslengde: = = =1;

2) basisvektorene er parvis ortogonale (vinkelrette): ⏊ ⏊ .

basisvektorer blir vanligvis referert til som basisvektorer, og koordinatene er angitt med x, y, z. Koordinataksene kalles: Okse - abscisseakse, Oy - ordinatakse, Oz - applikatakse.

Teorem. Lengden på vektoren =(X,Y,Z) er lik roten av summen av kvadratene av dens koordinater: | |= .

Dokument. Vektoren er representert ved diagonalen til et rektangulært parallellepiped med sidene X, .

Lengdene på sidene til parallellepipedet er lik |X|,|Y|,|Z| Kvadraten på lengden på diagonalen til den rektangulære parallellen. er lik summen av kvadratene av lengdene på sidene (du må bruke Pythagoras teorem to ganger). Herfra får vi den nødvendige formelen.

Konsekvens. avstanden mellom punktene A() og B() er lik AB=.

Dokument. AB=| |, a =().

13. Størrelsen på vektorprojeksjonen på aksen. Retning kosinus.

En akse er en rett linje som en retning er valgt på. La retningen på aksen være gitt av enhetsvektoren.

La være en vilkårlig vektor og la A΄ og B΄ være de ortogonale projeksjonene av punktene A og B på den rette linjen l. Vektornavn projeksjon av vektoren på l-aksen.

ODA. Størrelsen på projeksjonen av vektoren på l-aksen kalles. koordinat til vektoren på linjen l i forhold til grunnvektoren, dvs. et slikt tall som = , .

Dermed skiller vi mellom projeksjonen av en vektor på en akse og størrelsen på projeksjonen av en vektor på en akse: den første er en vektor, og den andre er et tall. Når en vektor overføres parallelt, forskyves vektoren også parallelt på l-aksen. Derfor avhenger ikke størrelsen på vektorprojeksjonen av valget av vektorrepresentanten. Dessuten er projeksjonsstørrelsen til summen av vektorer lik summen av projeksjonsstørrelsen deres.

Teorem. Størrelsen på projeksjonen av en vektor på aksen er lik produktet av lengden til denne vektoren og cosinus til vinkelen mellom vektoren og aksen: =| |cosφ,hvor φ=<().

Dok. La oss vurdere to tilfeller: 1) en spiss vinkel, 2) en stump vinkel.

Retning kosinus.

La α, β, γ være vinklene som vektoren =(X,Y,Z) lager med koordinataksene. Cosinusene til disse vinklene, cosα, cosβ, cosγ kalles. retning cosinus av vektoren.

α=<(Ox. ); β=<(Oy ); γ=<(Oz, .

Det er klart at koordinatene til en vektor er lik størrelsen på projeksjonene til denne vektoren på koordinataksene. Derfor X= = |cosα; Y= = |cosβ; Z= = |cosγ.

Herfra kan vi finne retning cosinus: cos = = ; cosβ= ; cosγ=