Til rasjonalt tall m/n skrives som en desimalbrøk du må dele telleren på nevneren. I dette tilfellet skrives kvotienten som en endelig eller uendelig desimalbrøk.
Skrive ned gitt nummer som en desimalbrøk.
Løsning. Del telleren for hver brøk i en kolonne med nevneren: EN) del 6 med 25; b) del 2 med 3; V) del 1 med 2, og legg deretter den resulterende brøken til en - heltallsdelen av dette blandede tallet.
Irreduserbare vanlige brøker hvis nevnere ikke inneholder andre primfaktorer enn 2 Og 5 , skrives som en siste desimalbrøk.
I eksempel 1 når EN) nevner 25=5·5; når V) nevneren er 2, så vi får de siste desimalene 0,24 og 1,5. Når b) nevneren er 3, så resultatet kan ikke skrives som en endelig desimal.
Er det mulig, uten lang divisjon, å gjøre om til en desimalbrøk en slik vanlig brøk, hvis nevner ikke inneholder andre divisorer enn 2 og 5? La oss finne ut av det! Hvilken brøk kalles en desimal og skrives uten brøkstrek? Svar: brøk med nevner 10; 100; 1000 osv. Og hvert av disse tallene er et produkt lik antall toere og femmere. Faktisk: 10=2 ·5; 100=2 ·5 ·2 ·5; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 osv.
Derfor, nevneren av det irreduserbare vanlig brøk må representeres som et produkt av "toere" og "femmere", og deretter multipliseres med 2 og (eller) 5 slik at "toere" og "femere" blir like. Da vil nevneren til brøken være lik 10 eller 100 eller 1000 osv. For å sikre at verdien av brøken ikke endres, multipliserer vi telleren til brøken med det samme tallet som vi multipliserte nevneren med.
Uttrykk følgende vanlige brøker som desimaler:
Løsning. Hver av disse fraksjonene er irreduserbare. La oss utvide nevneren til hver brøk til primære faktorer.
20=2·2·5. Konklusjon: en "A" mangler.
8=2·2·2. Konklusjon: tre "A" mangler.
25=5·5. Konklusjon: to "toere" mangler.
Kommentar. I praksis bruker de ofte ikke faktorisering av nevneren, men stiller ganske enkelt spørsmålet: hvor mye skal nevneren multipliseres slik at resultatet blir én med nuller (10 eller 100 eller 1000 osv.). Og så multipliseres telleren med det samme tallet.
Så i tilfelle EN)(eksempel 2) fra tallet 20 kan du få 100 ved å multiplisere med 5, derfor må du gange telleren og nevneren med 5.
Når b)(eksempel 2) fra tallet 8 vil ikke tallet 100 fås, men tallet 1000 oppnås ved å multiplisere med 125. Både telleren (3) og nevneren (8) til brøken multipliseres med 125.
Når V)(eksempel 2) fra 25 får du 100 hvis du multipliserer med 4. Dette betyr at telleren 8 må ganges med 4.
En uendelig desimalbrøk der ett eller flere sifre alltid gjentas i samme rekkefølge kalles periodisk som en desimal. Settet med repeterende sifre kalles perioden for denne brøkdelen. For korthets skyld skrives perioden til en brøk én gang, omsluttet i parentes.
Når b)(eksempel 1) det er bare ett repeterende siffer og er lik 6. Derfor vil resultatet vårt 0,66... skrives slik: 0,(6) . De leste: null poeng, seks i punktum.
Hvis det er ett eller flere ikke-repeterende sifre mellom desimaltegn og første punktum, så dette periodisk brøk kalt en blandet periodisk brøk.
En irreduserbar fellesbrøk hvis nevner er sammen med andre multiplikator inneholder multiplikator 2 eller 5 , blir blandet periodisk brøk.
Skriv tallene som en desimalbrøk:
Ethvert rasjonelt tall kan skrives som en uendelig periodisk desimalbrøk.
Skriv tallene som en uendelig periodisk brøk.
Av de mange brøkene som finnes i aritmetikk, fortjener de som har 10, 100, 1000 i nevneren – generelt sett en hvilken som helst potens av ti – spesiell oppmerksomhet. Disse brøkene har et spesielt navn og notasjon.
En desimal er enhver tallbrøk hvis nevner er en potens av ti.
Eksempler på desimalbrøker:
Hvorfor var det i det hele tatt nødvendig å skille ut slike brøker? Hvorfor trenger de egen form rekorder? Det er minst tre grunner til dette:
- Desimaler mye mer praktisk å sammenligne. Husk: til sammenligning vanlige brøker de må trekkes fra hverandre, og spesielt for å bringe brøkene til en fellesnevner. I desimaler kreves ingenting slikt;
- Reduser beregningen. Desimalbrøker legges til og multipliseres med egne regler, og etter litt trening vil du jobbe med dem mye raskere enn med vanlige;
- Enkel innspilling. I motsetning til vanlige brøker, skrives desimaler på én linje uten tap av klarhet.
De fleste kalkulatorer gir også svar med desimaler. I noen tilfeller kan et annet opptaksformat forårsake problemer. For eksempel, hva om du ber om endring i butikken i mengden 2/3 av en rubel :)
Regler for å skrive desimalbrøker
Den største fordelen med desimalbrøker er praktisk og visuell notasjon. Nemlig:
Desimalnotasjon er en form for å skrive desimalbrøker, hvor hele delen skilt fra en brøk med et vanlig punktum eller komma. I dette tilfellet kalles selve skilletegnet (punktum eller komma) et desimaltegn.
For eksempel 0,3 (les: "nullpunkt, 3 tideler"); 7,25 (7 hele, 25 hundredeler); 3.049 (3 hele, 49 tusendeler). Alle eksempler er hentet fra forrige definisjon.
Skriftlig brukes vanligvis komma som et desimaltegn. Her og videre på siden vil også kommaet brukes.
For å skrive en vilkårlig desimalbrøk i dette skjemaet, må du følge tre enkle trinn:
- Skriv ut telleren separat;
- Flytt desimaltegnet til venstre med så mange plasser som det er nuller i nevneren. Anta at desimaltegnet i utgangspunktet er til høyre for alle sifre;
- Hvis desimaltegnet har flyttet seg, og etter det er det nuller på slutten av oppføringen, må de krysses ut.
Det hender at i det andre trinnet har telleren ikke nok sifre til å fullføre skiftet. I dette tilfellet fylles de manglende posisjonene med nuller. Og generelt, til venstre for et hvilket som helst tall kan du tilordne et hvilket som helst antall nuller uten å skade helsen din. Det er stygt, men noen ganger nyttig.
Ved første øyekast kan denne algoritmen virke ganske komplisert. Faktisk er alt veldig, veldig enkelt - du trenger bare å øve deg litt. Ta en titt på eksemplene:
Oppgave. For hver brøk, angi dens desimalnotasjon:
Telleren til den første brøken er: 73. Vi forskyver desimaltegnet med ett sted (siden nevneren er 10) - vi får 7,3.
Teller for den andre brøken: 9. Vi forskyver desimaltegnet med to plasser (siden nevneren er 100) - vi får 0,09. Jeg måtte legge til en null etter desimaltegnet og en til før den, for ikke å legge igjen en merkelig oppføring som ".09".
Telleren til den tredje brøken er: 10029. Vi forskyver desimaltegnet med tre plasser (siden nevneren er 1000) - vi får 10,029.
Telleren til den siste brøken: 10500. Igjen forskyver vi punktet med tre sifre - vi får 10 500. Det er ekstra nuller på slutten av tallet. Stryk dem ut og vi får 10,5.
Vær oppmerksom på de to siste eksemplene: tallene 10.029 og 10.5. I følge reglene skal nullene til høyre krysses ut, slik det gjøres i siste eksempel. Du bør imidlertid aldri gjøre dette med nuller inne i et tall (som er omgitt av andre tall). Derfor fikk vi 10,029 og 10,5, og ikke 1,29 og 1,5.
Så vi fant ut definisjonen og formen for å skrive desimalbrøker. La oss nå finne ut hvordan du konverterer vanlige brøker til desimaler - og omvendt.
Konvertering fra brøker til desimaler
Tenk på en enkel numerisk brøkdel av formen a /b. Du kan bruke grunnegenskapen til en brøk og gange telleren og nevneren med et slikt tall at bunnen viser seg å være ti potens. Men før du gjør det, les følgende:
Det er nevnere som ikke kan reduseres til ti potenser. Lær å gjenkjenne slike brøker, fordi de ikke kan arbeides med ved hjelp av algoritmen beskrevet nedenfor.
Det er det. Vel, hvordan forstår du om nevneren er redusert til ti potens eller ikke?
Svaret er enkelt: faktor nevneren inn i primfaktorer. Hvis utvidelsen bare inneholder faktorene 2 og 5, kan dette tallet reduseres til en potens på ti. Hvis det er andre tall (3, 7, 11 - uansett), kan du glemme kraften til ti.
Oppgave. Sjekk om de angitte brøkene kan representeres som desimaler:
La oss skrive ut og faktorisere nevnerne til disse brøkene:
20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - bare tallene 2 og 5 er tilstede. Derfor kan brøken representeres som en desimal.
12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - det er en "forbudt" faktor 3. Brøken kan ikke representeres som en desimal.
640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Alt er i orden: det er ingenting annet enn tallene 2 og 5. En brøk kan representeres som en desimal.
48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Faktoren 3 "overflate" igjen Den kan ikke representeres som en desimalbrøk.
Så, vi har sortert ut nevneren - la oss nå se på hele algoritmen for å flytte til desimalbrøker:
- Faktor nevneren til den opprinnelige brøken og sørg for at den generelt er representert som en desimal. De. sjekk at kun faktor 2 og 5 er tilstede i utvidelsen. Ellers fungerer ikke algoritmen.
- Tell hvor mange toere og femmere som er tilstede i utvidelsen (det vil ikke være andre tall der, husker du?). Velg en tilleggsfaktor slik at antall toere og femmere er like.
- Faktisk multipliser telleren og nevneren til den opprinnelige brøken med denne faktoren - vi får ønsket representasjon, dvs. nevneren vil være en potens av ti.
Selvfølgelig vil tilleggsfaktoren også dekomponeres bare i toere og femmere. Samtidig, for ikke å komplisere livet ditt, bør du velge den minste multiplikatoren av alle mulige.
Og en ting til: hvis den opprinnelige brøken inneholder en heltallsdel, sørg for å konvertere denne brøken til en uekte brøk - og først deretter bruke den beskrevne algoritmen.
Oppgave. Oversett data numeriske brøker til desimal:
La oss faktorisere nevneren til den første brøken: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Derfor kan brøken representeres som en desimal. Utvidelsen inneholder to toere og ikke en eneste femmer, så tilleggsfaktoren er 5 2 = 25. Med den blir antallet toere og femmere like. Vi har:
La oss nå se på den andre brøken. For å gjøre dette, merk at 24 = 3 8 = 3 2 3 - det er en trippel i utvidelsen, så brøken kan ikke representeres som en desimal.
De to siste brøkene har henholdsvis nevnerne 5 (primtall) og 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - bare toere og femmere er tilstede overalt. Dessuten, i det første tilfellet, "for fullstendig lykke" er en faktor på 2 ikke nok, og i det andre - 5. Vi får:
Konvertering fra desimaler til vanlige brøker
Omvendt konvertering- fra desimalformen for notasjon til den vanlige - det er mye lettere. Det er ingen begrensninger eller spesielle kontroller her, så du kan alltid konvertere en desimalbrøk til den klassiske "to-etasjes" brøken.
Oversettelsesalgoritmen er som følger:
- Kryss ut alle nullene på venstre side av desimalen, så vel som desimaltegnet. Dette vil være telleren for ønsket brøk. Det viktigste er ikke å overdrive det og ikke krysse ut de indre nullene omgitt av andre tall;
- Tell hvor mange desimaler det er etter desimaltegn. Ta tallet 1 og legg til så mange nuller til høyre som det er tegn du teller. Dette vil være nevneren;
- Skriv faktisk ned brøken hvis teller og nevner vi nettopp fant. Hvis mulig, reduser den. Hvis den opprinnelige brøken inneholdt en heltallsdel, får vi nå uekte brøk, noe som er veldig praktisk for videre beregninger.
Oppgave. Konverter desimalbrøker til vanlige brøker: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.
Kryss av nullene til venstre og kommaene - vi får følgende tall(disse vil være tellerne): 8; 3107; 225; 72008.
I den første og andre brøken er det 3 desimaler, i den andre - 2, og i den tredje - så mange som 4 desimaler. Vi får nevnerne: 1000; 1000; 100; 10 000.
Til slutt, la oss kombinere tellerne og nevnerne til vanlige brøker:
Som det fremgår av eksemplene, kan den resulterende fraksjonen svært ofte reduseres. La meg merke igjen at enhver desimalbrøk kan representeres som en vanlig brøk. Omvendt konvertering er kanskje ikke alltid mulig.
§ 114. Omregning av en alminnelig brøk til en desimal.Å konvertere en fellesbrøk til en desimal betyr å finne en desimalbrøk som vil være lik den gitte fellesbrøken. Når du konverterer vanlige brøker til desimaler, vil vi støte på to tilfeller:
1) når vanlige brøker kan konverteres til desimaler nøyaktig;
2) når vanlige brøker kun kan konverteres til desimaler omtrent. La oss vurdere disse tilfellene sekvensielt.
1. Hvordan konvertere en ordinær irreduserbar brøk til en desimal, eller med andre ord, hvordan erstatte en ordinær brøk med en desimal lik den?
I tilfelle hvor vanlige brøker kan være nøyaktig konvertert til desimal, er det to veier slik behandling.
La oss huske hvordan du erstatter en brøk med en annen som er lik den første, eller hvordan du flytter fra en brøk til en annen uten å endre verdien av den første. Dette er hva vi gjorde da vi reduserte brøker til en fellesnevner ( §86). Når vi reduserer brøker til en fellesnevner, gjør vi det på følgende måte: Vi finner fellesnevner for gitte brøker, beregner vi en tilleggsfaktor for hver brøk og multipliserer deretter telleren og nevneren for hver brøk med denne faktoren.
Etter å ha lagt merke til dette, la oss ta den irreduserbare brøken 3/20 og prøve å konvertere den til en desimal. Nevneren til denne brøken er 20, men du må bringe den til en annen nevner, som vil bli representert av en med null. Vi vil se etter den minste nevneren av én etterfulgt av nuller.
Første veiå konvertere en brøk til en desimal er basert på å dekomponere nevneren til primfaktorer.
Du må finne ut hvilket tall du skal gange 20 med slik at produktet uttrykkes som ett etterfulgt av nuller. For å finne det ut, må du først huske hvilke primfaktorer tallene representert av én og nuller er dekomponert. Dette er nedbrytningene:
10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.
Vi ser at tallet representert ved en med nuller bare dekomponeres i toere og femmere, og det er ingen andre faktorer i utvidelsen. I tillegg er toere og femmere inkludert i utvidelsen i samme nummer. Og til slutt er antallet av disse og andre faktorer separat lik antallet nuller etter den i bildet av et gitt tall.
La oss nå se hvordan 20 dekomponeres i primfaktorer: 20 = 2 2 5. Fra dette er det klart at i dekomponeringen av tallet 20 er det to toere, og en femmer. Dette betyr at hvis vi legger til én fem til disse faktorene, vil vi få et tall representert med én med null. Med andre ord, for at nevneren skal ha et tall representert med en med null i stedet for 20, må du multiplisere 20 med 5, og for at verdien av brøken ikke endres, må du multiplisere telleren med 5 , dvs.
For å konvertere en ordinær brøk til en desimal, må du derfor dekomponere nevneren til denne ordinære brøken til primfaktorer og deretter utjevne antallet toere og femmere i den, introdusere i den (og, selvfølgelig, i telleren) ) de manglende faktorene i det nødvendige antallet.
La oss bruke denne konklusjonen på noen brøker.
Konverter 3/50 til en desimal. Nevneren til denne brøken utvides som følger:
Dette betyr at det mangler én toer. La oss legge det til:
Konverter 7/40 til en desimal.
Nevneren til denne brøken dekomponeres som følger: 40 = 2 2 2 5, dvs. den mangler to femmere. La oss introdusere dem i telleren og nevneren som faktorer:
Ut fra det som er oppgitt, er det ikke vanskelig å konkludere hvilke vanlige brøker som konverteres nøyaktig til desimaler. Det er ganske åpenbart at en irreduserbar ordinær brøk, hvis nevner ikke inneholder andre primfaktorer enn 2 og 5, konverteres nøyaktig til en desimal. En desimalbrøk, som oppnås ved å reversere en vanlig brøk, vil ha like mange desimaler som antall ganger nevneren til den vanlige brøken etter reduksjonen inkluderer den numerisk dominerende faktoren 2 eller 5.
Hvis vi tar brøken 9/40, vil den for det første bli en desimal, fordi dens nevner inkluderer faktorene 2 2 2 5, og for det andre vil den resulterende desimalbrøken ha 3 desimaler, fordi den numerisk dominerende faktoren 2 går inn i utvidelse tre ganger. Faktisk:
Andre vei(ved å dele telleren med nevneren).
Anta at du vil konvertere 3/4 til en desimalbrøk. Vi vet at 3/4 er kvotienten av 3 delt på 4. Vi kan finne denne kvotienten ved å dele 3 på 4. La oss gjøre dette:
Dermed er 3/4 = 0,75.
Et annet eksempel: konverter 5/8 til en desimalbrøk.
Så 5/8 = 0,625.
Så, for å konvertere en brøk til en desimal, trenger du bare å dele telleren til brøken med dens nevner.
2. La oss nå vurdere det andre av tilfellene som er angitt i begynnelsen av avsnittet, dvs. tilfellet når en vanlig brøk ikke kan konverteres til en eksakt desimal.
En vanlig irreduserbar brøk hvis nevner inneholder andre primfaktorer enn 2 og 5 kan ikke konverteres nøyaktig til en desimal. Faktisk, for eksempel, kan ikke brøken 8/15 konverteres til en desimal, siden dens nevner 15 er dekomponert i to faktorer: 3 og 5.
Vi kan ikke eliminere trippelen fra nevneren og kan ikke velge et heltall slik at, etter å ha multiplisert den gitte nevneren med det, blir produktet uttrykt som en etterfulgt av null.
I slike tilfeller kan vi bare snakke om tilnærming vanlige brøker til desimaler.
Hvordan gjøres det? Dette gjøres ved å dele telleren til en felles brøk med nevneren, dvs. i dette tilfellet brukes den andre metoden for å konvertere en felles brøk til en desimal. Dette betyr at denne metoden brukes til både presis og omtrentlig håndtering.
Hvis en brøk konverteres nøyaktig til en desimal, gir divisjon en endelig desimalbrøk.
Hvis en vanlig brøk ikke konverteres til en eksakt desimal, gir divisjon en uendelig desimalbrøk.
Siden vi ikke kan oppfylle endeløs prosess divisjon, så må vi stoppe divisjon ved en eller annen desimal, det vil si gjøre en omtrentlig divisjon. Vi kan for eksempel slutte å dele ved første desimal, det vil si begrense oss til tideler; om nødvendig kan vi stoppe ved andre desimal, få hundredeler osv. I disse tilfellene sier vi at vi runder en uendelig desimalbrøk. Avrunding gjøres med den nøyaktigheten som kreves for å løse dette problemet.
§ 115. Begrepet periodisk brøk.
En evig desimalbrøk der ett eller flere sifre alltid gjentas i samme sekvens kalles en periodisk desimalbrøk. For eksempel:
0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...
Et sett med repeterende tall kalles periode denne brøkdelen. Perioden til den første av brøkene skrevet ovenfor er 3, perioden til den andre brøken er 12, perioden til den tredje brøken er 234. Dette betyr at perioden kan bestå av flere sifre - ett, to, tre, etc. Det første settet med repeterende sifre kalles den første perioden, den andre totaliteten - den andre perioden, etc., dvs.
Periodiske fraksjoner kan være rene eller blandede. En periodisk brøk kalles ren hvis perioden begynner umiddelbart etter desimaltegnet. Dette betyr at de periodiske brøkene skrevet ovenfor vil være rene. Tvert imot kalles en periodisk brøk blandet hvis den har ett eller flere ikke-repeterende sifre mellom desimaltegn og første punktum, for eksempel:
2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160
For å forkorte bokstaven kan du skrive periodetallene én gang i parentes og ikke sette ellipser etter parentesene, dvs. i stedet for 0,33... kan du skrive 0,(3); i stedet for 2,515151... kan du skrive 2,(51); i stedet for 0,2333... kan du skrive 0,2(3); i stedet for 0,8333... kan du skrive 0,8(3).
Periodiske brøker leses slik:
0,(3) - 0 heltall, 3 i punktum.
7,2(3) - 7 heltall, 2 før perioden, 3 i perioden.
5.00(17) - 5 heltall, to nuller før perioden, 17 i perioden.
Hvordan oppstår periodiske brøker? Vi har allerede sett at når man konverterer brøker til desimaler, kan det være to tilfeller.
for det første, nevneren for det vanlige irreduserbar fraksjon inneholder ingen andre multiplikatorer enn 2 og 5; i dette tilfellet blir den vanlige brøken en siste desimal.
For det andre, nevneren til en ordinær irreduserbar brøk inneholder alle andre primfaktorer enn 2 og 5; i dette tilfellet blir ikke den vanlige brøken til en siste desimal. I det sistnevnte tilfelle Når du prøver å konvertere en brøk til en desimal ved å dele telleren på nevneren, blir resultatet uendelig brøkdel, som alltid vil være periodisk.
For å se dette, la oss se på et eksempel. La oss prøve å konvertere brøken 18/7 til en desimal.
Vi vet selvfølgelig på forhånd at en brøk med en slik nevner ikke kan gjøres om til en endelig desimal, og vi snakker kun om en omtrentlig omregning. Del telleren 18 med nevneren 7.
Vi fikk åtte desimaler i kvotienten. Det er ingen grunn til å fortsette delingen videre, for den vil uansett ikke ta slutt. Men av dette er det klart at delingen kan fortsettes i det uendelige og dermed få nye tall i kvotienten. Disse nye tallene vil oppstå fordi vi alltid vil ha rester; men ingen rest kan være større enn divisoren, som for oss er 7.
La oss se hvilke balanser vi hadde: 4; 5; 1; 3; 2; b, det vil si at dette var tall mindre enn 7. Det er klart at det ikke kan være mer enn seks av dem, og med videre fortsettelse av delingen vil de måtte gjentas, og etter dem vil sifrene i kvotienten gjentas. Eksemplet ovenfor bekrefter denne ideen: desimalplassene i kvotienten er i denne rekkefølgen: 571428, og etter det dukket tallene 57 opp igjen. Dette betyr at den første punktum er avsluttet og den andre begynner.
Dermed, en uendelig desimalbrøk oppnådd ved å invertere en fellesbrøk vil alltid være periodisk.
Hvis du møter en periodisk brøkdel når du løser et problem, blir den tatt med den nøyaktigheten som kreves av betingelsene for problemet (til tiendedelen, til hundredelen, til tusendelen, osv.).
§ 116. Samarbeid med ordinære og desimalbrøker.
Når man bestemmer seg ulike oppgaver Vi vil møte tilfeller der problemet involverer både vanlige og desimalbrøker.
I disse tilfellene kan du gå på forskjellige måter.
1. Konverter alle brøker til desimaler. Dette er praktisk fordi beregninger med desimalbrøk er enklere enn med vanlige brøker. For eksempel,
La oss konvertere brøkene 3/4 og 1 1/5 til desimaler:
2. Gjør om alle brøker til vanlige brøker. Dette gjøres oftest i tilfeller der det er vanlige brøker som ikke blir til endelige desimaler.
For eksempel, 
La oss konvertere desimalbrøker til vanlige brøker:
3. Beregninger utføres uten å konvertere noen brøker til andre.
Dette er spesielt nyttig når eksemplet bare involverer multiplikasjon og divisjon. For eksempel,
La oss omskrive eksemplet slik:
4. I noen tilfeller konvertere alle brøker til desimaler(selv de som blir til periodiske) og finne et omtrentlig resultat. For eksempel,
La oss konvertere 2/3 til en desimalbrøk, og begrense oss til tusendeler.