Hvordan løse rasjonelle brøklikninger. Rasjonelle ligninger

Vi har allerede lært å løse andregradsligninger. La oss nå utvide de studerte metodene til rasjonelle ligninger.

Hva er et rasjonelt uttrykk? Vi har allerede møtt dette konseptet. Rasjonelle uttrykk er uttrykk som består av tall, variabler, deres potenser og symboler for matematiske operasjoner.

Følgelig er rasjonelle ligninger ligninger av formen: , hvor - rasjonelle uttrykk.

Tidligere vurderte vi bare de rasjonelle ligningene som kan reduseres til lineære. La oss nå se på de rasjonelle ligningene som kan reduseres til kvadratiske ligninger.

Eksempel 1

Løs ligningen:.

Løsning:

En brøk er lik 0 hvis og bare hvis telleren er lik 0 og nevneren ikke er lik 0.

Vi får følgende system:

Den første ligningen i systemet er en andregradsligning. Før vi løser det, la oss dele alle koeffisientene med 3. Vi får:

Vi får to røtter: ; .

Siden 2 aldri er lik 0, må to betingelser være oppfylt: . Siden ingen av røttene til ligningen oppnådd ovenfor faller sammen med ugyldige verdier variabler som ble oppnådd ved å løse den andre ulikheten, er begge løsninger gitt ligning.

Svar:.

Så la oss formulere en algoritme for å løse rasjonelle ligninger:

1. Overfør alle vilkår til venstre side, slik at høyresiden viser seg å være 0.

2. Transformer og forenkle venstre side, reduser alle brøker til fellesnevner.

3. Lik den resulterende brøken til 0 ved å bruke følgende algoritme: .

4. Skriv ned de røttene som ble oppnådd i den første ligningen og tilfredsstiller den andre ulikheten i svaret.

La oss se på et annet eksempel.

Eksempel 2

Løs ligningen:.

Løsning

Helt i begynnelsen, la oss flytte alle vilkårene til venstre side, slik at 0 forblir på høyre side.

La oss nå bringe venstre side av ligningen til en fellesnevner:

Denne ligningen tilsvarer systemet:

Den første ligningen i systemet er en andregradsligning.

Koeffisienter for denne ligningen: . Vi beregner diskriminanten:

Vi får to røtter: ; .

La oss nå løse den andre ulikheten: produktet av faktorer er ikke lik 0 hvis og bare hvis ingen av faktorene er lik 0.

To betingelser må være oppfylt: . Vi finner at av de to røttene til den første ligningen, er det bare en som passer - 3.

Svar:.

I denne leksjonen husket vi hva et rasjonelt uttrykk er, og lærte også hvordan vi løser rasjonelle ligninger, som reduserer til andregradsligninger.

I neste leksjon skal vi se på rasjonelle ligninger som modeller av virkelige situasjoner, og også se på bevegelsesproblemer.

Bibliografi

1. Bashmakov M.I. Algebra, 8. klasse. - M.: Utdanning, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. og andre Algebra, 8. 5. utg. - M.: Utdanning, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. klasse. Opplæring for utdanningsinstitusjoner. - M.: Utdanning, 2006.

1. Festival pedagogiske ideer "Offentlig leksjon" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Hjemmelekser

Vi har allerede lært hvordan vi løser andregradsligninger. La oss nå utvide de studerte metodene til rasjonelle ligninger.

Hva er et rasjonelt uttrykk? Vi har allerede møtt dette konseptet. Rasjonelle uttrykk er uttrykk som består av tall, variabler, deres potenser og symboler for matematiske operasjoner.

Følgelig er rasjonelle ligninger ligninger av formen: , hvor - rasjonelle uttrykk.

Tidligere vurderte vi bare de rasjonelle ligningene som kan reduseres til lineære. La oss nå se på de rasjonelle ligningene som kan reduseres til kvadratiske ligninger.

Eksempel 1

Løs ligningen:.

Løsning:

En brøk er lik 0 hvis og bare hvis telleren er lik 0 og nevneren ikke er lik 0.

Vi får følgende system:

Den første ligningen i systemet er en andregradsligning. Før vi løser det, la oss dele alle koeffisientene med 3. Vi får:

Vi får to røtter: ; .

Siden 2 aldri er lik 0, må to betingelser være oppfylt: . Siden ingen av røttene til ligningen oppnådd ovenfor faller sammen med de ugyldige verdiene til variabelen som ble oppnådd ved å løse den andre ulikheten, er de begge løsninger på denne ligningen.

Svar:.

Så la oss formulere en algoritme for å løse rasjonelle ligninger:

1. Flytt alle ledd til venstre side slik at høyre side ender på 0.

2. Transformer og forenkle venstre side, bring alle brøkene til en fellesnevner.

3. Lik den resulterende brøken til 0 ved å bruke følgende algoritme: .

4. Skriv ned de røttene som ble oppnådd i den første ligningen og tilfredsstiller den andre ulikheten i svaret.

La oss se på et annet eksempel.

Eksempel 2

Løs ligningen: .

Løsning

Helt i begynnelsen flytter vi alle leddene til venstre slik at 0 forblir til høyre.

La oss nå bringe venstre side av ligningen til en fellesnevner:

Denne ligningen tilsvarer systemet:

Den første ligningen i systemet er en andregradsligning.

Koeffisienter for denne ligningen: . Vi beregner diskriminanten:

Vi får to røtter: ; .

La oss nå løse den andre ulikheten: produktet av faktorer er ikke lik 0 hvis og bare hvis ingen av faktorene er lik 0.

To betingelser må være oppfylt: . Vi finner at av de to røttene til den første ligningen, er det bare en som passer - 3.

Svar:.

I denne leksjonen husket vi hva et rasjonelt uttrykk er, og lærte også hvordan vi løser rasjonelle ligninger, som reduserer til andregradsligninger.

I neste leksjon skal vi se på rasjonelle ligninger som modeller av virkelige situasjoner, og også se på bevegelsesproblemer.

Bibliografi

1. Bashmakov M.I. Algebra, 8. klasse. - M.: Utdanning, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. og andre Algebra, 8. 5. utg. - M.: Utdanning, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. klasse. Lærebok for allmenne utdanningsinstitusjoner. - M.: Utdanning, 2006.

1. Festival for pedagogiske ideer "Open Lesson" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Hjemmelekser

Den laveste fellesnevneren brukes for å forenkle denne ligningen. Denne metoden brukes når du ikke kan skrive en gitt likning med ett rasjonelt uttrykk på hver side av likningen (og bruke multiplikasjonsmetoden på kryss og tvers). Denne metoden brukes når du får en rasjonell ligning med 3 eller flere brøker (ved to brøker er det bedre å bruke multiplikasjon på kryss og tvers).

Finn den laveste fellesnevneren av brøkene (eller minst felles multiplum). NOZ er minste antall, som er jevnt delelig med hver nevner.

• Noen ganger er OD et åpenbart tall. For eksempel, hvis gitt ligningen: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, er det åpenbart at det minste felles multiplum av tallene 3, 2 og 6 er 6.
• Hvis NCD ikke er åpenbar, skriv ned multiplene av den største nevneren og finn blant dem en som vil være et multiplum av de andre nevnerne. NOD kan ofte bli funnet ved å multiplisere to nevnere. For eksempel, hvis ligningen er gitt x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, så er NOS = 8*9 = 72.
• Dersom en eller flere nevnere inneholder en variabel, blir prosessen noe mer komplisert (men ikke umulig). I dette tilfellet er NOC et uttrykk (som inneholder en variabel) som er delt på hver nevner. For eksempel, i ligningen 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), fordi dette uttrykket er delt på hver nevner: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Multipliser både telleren og nevneren for hver brøk med et tall som er lik resultatet av å dele NOC med den tilsvarende nevneren for hver brøk. Siden du multipliserer både telleren og nevneren med samme tall, multipliserer du faktisk brøken med 1 (for eksempel 2/2 = 1 eller 3/3 = 1).

• Så i vårt eksempel, multipliser x/3 med 2/2 for å få 2x/6, og 1/2 multipliser med 3/3 for å få 3/6 (brøken 3x +1/6 trenger ikke å multipliseres fordi den nevneren er 6).
• Fortsett på samme måte når variabelen er i nevneren. I vårt andre eksempel, NOZ = 3x(x-1), så multipliser 5/(x-1) med (3x)/(3x) for å få 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x multiplisert med 3(x-1)/3(x-1) og du får 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) multiplisert med (x-1)/(x-1) og du får 2(x-1)/3x(x-1).

Finn x. Nå som du har redusert brøkene til en fellesnevner, kan du kvitte deg med nevneren. For å gjøre dette, multipliser hver side av ligningen med fellesnevneren. Løs deretter den resulterende ligningen, det vil si finn "x". For å gjøre dette, isoler variabelen på den ene siden av ligningen.

• I vårt eksempel: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Du kan legge til 2 brøker med samme nevner, så skriv ligningen som: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Multipliser begge sider av ligningen med 6 og bli kvitt nevnerne: 2x+3 = 3x +1. Løs og få x = 2.
• I vårt andre eksempel (med en variabel i nevneren) ser ligningen slik ut (etter reduksjon til en fellesnevner): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Ved å multiplisere begge sider av ligningen med N3, blir du kvitt nevneren og får: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), eller 15x = 3x - 3 + 2x -2, eller 15x = x - 5 Løs og få: x = -5/14.

Presentasjon og leksjon om temaet: "Rasjonelle ligninger. Algoritme og eksempler på løsning av rasjonelle ligninger"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Pedagogiske hjelpemidler og simulatorer i Integral nettbutikk for klasse 8
En manual for læreboken av Makarychev Yu.N. En manual for læreboken av Mordkovich A.G.

Introduksjon til irrasjonelle ligninger

Gutter, vi lærte hvordan vi løser andregradsligninger. Men matematikk er ikke bare begrenset til dem. I dag skal vi lære å løse rasjonelle ligninger. Konseptet med rasjonelle ligninger ligner på mange måter konseptet rasjonelle tall. Bare i tillegg til tall, har vi nå introdusert en variabel $x$. Og dermed får vi et uttrykk der operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og heving til en heltallspotens er tilstede.

La $r(x)$ være rasjonelt uttrykk. Et slikt uttrykk kan være et enkelt polynom i variabelen $x$ eller et forhold mellom polynomer (en divisjonsoperasjon introduseres, som for rasjonelle tall).
Ligningen $r(x)=0$ kalles rasjonell ligning.
Enhver ligning av formen $p(x)=q(x)$, der $p(x)$ og $q(x)$ er rasjonelle uttrykk, vil også være rasjonell ligning.

La oss se på eksempler på løsning av rasjonelle ligninger.

Eksempel 1.
Løs ligningen: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Løsning.
La oss flytte alle uttrykkene til venstre side: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Hvis venstre side av ligningen var representert vanlige tall, så vil vi bringe to brøker til en fellesnevner.
La oss gjøre det på denne måten: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)* x )=\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) ) *x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Vi fikk ligningen: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

En brøk er lik null hvis og bare hvis telleren til brøken lik null, og nevneren er forskjellig fra null. Deretter likestiller vi telleren separat til null og finner røttene til telleren.
$3(x^2+2x-3)=0$ eller $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
La oss nå sjekke nevneren til brøken: $(x-3)*x≠0$.
Produktet av to tall er lik null når minst ett av disse tallene er lik null. Deretter: $x≠0$ eller $x-3≠0$.
$x≠0$ eller $x≠3$.
Røttene oppnådd i telleren og nevneren er ikke sammenfallende. Så vi skriver ned begge røttene til telleren i svaret.
Svar: $x=1$ eller $x=-3$.

Hvis plutselig en av røttene til telleren faller sammen med roten til nevneren, bør den ekskluderes. Slike røtter kalles fremmede!

Algoritme for å løse rasjonelle ligninger:

1. Flytt alle uttrykkene i ligningen til venstre side av likhetstegnet.
2. Konverter denne delen av ligningen til algebraisk brøk: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Lik den resulterende telleren til null, det vil si løs ligningen $p(x)=0$.
4. Lik nevneren til null og løs den resulterende ligningen. Hvis røttene til nevneren faller sammen med røttene til telleren, bør de ekskluderes fra svaret.

Eksempel 2.
Løs ligningen: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Løsning.
La oss løse i henhold til punktene i algoritmen.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Lik telleren til null: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Lik nevneren til null:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ og $x=-1$.
En av røttene $x=1$ faller sammen med roten til telleren, da skriver vi den ikke ned i svaret.
Svar: $x=-1$.

Det er praktisk å løse rasjonelle ligninger ved å bruke metoden for endring av variabler. La oss demonstrere dette.

Eksempel 3.
Løs ligningen: $x^4+12x^2-64=0$.

Løsning.
La oss introdusere erstatningen: $t=x^2$.
Da vil ligningen vår ha formen:
$t^2+12t-64=0$ - vanlig andregradsligning.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
La oss introdusere den omvendte erstatningen: $x^2=4$ eller $x^2=-16$.
Røttene til den første ligningen er et tallpar $x=±2$. Den andre tingen er at den ikke har noen røtter.
Svar: $x=±2$.

Eksempel 4.
Løs ligningen: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Løsning.
La oss introdusere en ny variabel: $t=x^2+x+1$.
Deretter vil ligningen ha formen: $t=\frac(15)(t+2)$.
Deretter fortsetter vi i henhold til algoritmen.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - røttene er ikke sammenfallende.
La oss introdusere en omvendt substitusjon.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
La oss løse hver ligning separat:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nei røtter
Og den andre ligningen: $x^2+x-2=0$.
Røttene til denne ligningen vil være tallene $x=-2$ og $x=1$.
Svar: $x=-2$ og $x=1$.

Eksempel 5.
Løs ligningen: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Løsning.
La oss introdusere erstatningen: $t=x+\frac(1)(x)$.
Deretter:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ eller $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Vi fikk ligningen: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Røttene til denne ligningen er paret:
$t=-3$ og $t=2$.
La oss introdusere den omvendte substitusjonen:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Vi avgjør separat.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
La oss løse den andre ligningen:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Roten til denne ligningen er tallet $x=1$.
Svar: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Problemer å løse selvstendig

Løs ligninger:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

« Rasjonelle ligninger med polynomer" er et av de mest opptrådte emnene i testoppgaver Unified State Examination i matematikk. Av denne grunn er de verdt å gjenta Spesiell oppmerksomhet. Mange studenter står overfor problemet med å finne diskriminanten, overføre indikatorer fra høyre side til venstre og bringe ligningen til en fellesnevner, og det er derfor lignende oppgaver forårsaker vanskeligheter. Å løse rasjonelle ligninger som forberedelse til Unified State Exam på nettstedet vårt vil hjelpe deg raskt å takle problemer av enhver kompleksitet og bestå testen med glans.

Velg Shkolkovo utdanningsportal for å forberede deg til Unified Mathematics Exam!

For å kjenne reglene for å beregne ukjente og enkelt få korrekte resultater, bruk vår nettjeneste. Shkolkovo-portalen er en unik plattform som inneholder alt som er nødvendig å forberede seg på Unified State Exam materialer. Lærerne våre systematiserte og presenterte alt i en forståelig form. matematiske regler. I tillegg inviterer vi skolebarn til å prøve seg på å løse standard rasjonelle ligninger, hvis grunnlag kontinuerlig oppdateres og utvides.

For mer effektiv forberedelse til testing anbefaler vi å følge vår spesielle metode og starte med å gjenta reglene og løsningene enkle oppgaver, går gradvis videre til mer komplekse. Dermed vil kandidaten kunne fremheve for seg selv mest vanskelige temaer og fokusere på å studere dem.

Begynn å forberede slutttesting med Shkolkovo i dag, og resultatet lar ikke vente på seg! Velg mest lett eksempel fra de foreslåtte. Hvis du mestrer uttrykket raskt, gå videre til mer vanskelig oppgave. På denne måten kan du forbedre kunnskapen din frem til å løse USE-oppgaver i matematikk på et spesialisert nivå.

Opplæring er tilgjengelig ikke bare for nyutdannede fra Moskva, men også for skolebarn fra andre byer. Bruk for eksempel et par timer om dagen på å studere på portalen vår, og veldig snart vil du kunne takle ligninger av enhver kompleksitet!