Parallellisme av fly er en definisjon av et eiendomstegn. Geometri i rommet

Videokurset "Få en A" inneholder alle emnene du trenger vellykket gjennomføring Unified State Examination i matematikk for 60-65 poeng. Helt alle oppgaver 1-13 Profil Unified State Examination matematikk. Også egnet for å bestå Basic Unified State Examination i matematikk. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!

Forberedelseskurs til Unified State Exam for klasse 10-11, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av Unified State Exam i matematikk (de første 12 oppgavene) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på Unified State Exam, og verken en 100-poengs student eller en humaniorastudent kan klare seg uten dem.

Alle nødvendig teori. Raske måter løsninger, fallgruver og hemmeligheter ved Unified State Exam. Alle gjeldende oppgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene til Unified State Exam 2018.

Kurset inneholder 5 store temaer, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.

Hundrevis av Unified State Exam-oppgaver. Ordproblemer og sannsynlighetsteori. Enkle og lett å huske algoritmer for å løse problemer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer Unified State Examination oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, utvikling romlig fantasi. Trigonometri fra bunnen til oppgave 13. Forståelse i stedet for å stappe. Visuell forklaring komplekse konsepter. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Grunnlag for løsning komplekse oppgaver 2 deler av Unified State-eksamenen.

Parallellisme av fly. Hvis to kryssende linjer i ett plan er henholdsvis parallelle med to kryssende linjer i et annet plan, så er disse planene parallelle.
Bevis. La en Og b- flydata, en 1 Og en 2– rette linjer i et plan en, krysser i punkt A, b 1 Og b 2 tilsvarende linjene parallelle med dem i planet b. La oss anta at flyene en Og b ikke parallelle, det vil si at de krysser hverandre langs en rett linje Med. Rett EN 1 er parallell med linjen b 1, som betyr at den er parallell med selve planet b(et tegn på parallellitet mellom en linje og et plan). Rett EN 2 er parallell med linjen b 2, dette betyr at den er parallell med selve flyet b(et tegn på parallellitet mellom en linje og et plan). Rett Med tilhører flyet en, som betyr minst én av de rette linjene en 1 eller en 2 skjærer en linje Med, det vil si at den har et felles poeng med seg. Men rett Med hører også til flyet b, som betyr å krysse linjen Med, rett en 1 eller en 2 krysser flyet b, som ikke kan være, siden de er rette en 1 Og en 2 parallelt med flyet b. Det følger av dette at flyene en Og b ikke krysser hverandre, det vil si at de er parallelle.

Teorem 1 . Hvis to parallelle plan skjærer hverandre i tredjedeler, er de rette skjæringslinjene parallelle.
Bevis. La en Og b- parallelle plan, og g - flyet som krysser dem. Fly en krysset med flyet g i en rett linje EN. Fly b krysset med flyet g i en rett linje b. Krysslinjer EN Og b ligge i samme plan g og kan derfor være enten kryssende eller parallelle linjer. Men, som tilhører to parallelle plan, kan de ikke ha felles punkter. Derfor er de parallelle.

Teorem 2. Segmentene av parallelle linjer innelukket mellom to parallelle plan er like.
Bevis. La en Og b- parallelle plan, og EN Og b- parallelle linjer som skjærer dem. Gjennom rette linjer EN Og b vi skal gjennomføre flyet g (disse linjene er parallelle, noe som betyr definere et plan, og bare ett). Fly en krysset med flyet g i en rett linje AB . Fly b krysset med flyet g langs den rette linjen SD I følge forrige teorem, den rette linjen Med parallelt med linjen d. Direkte EN,b, AB Og SD tilhører flyet g.Firekanten avgrenset av disse linjene er et parallellogram (den har motsatte sider parallell). Og siden dette er et parallellogram, så er dets motsatte sider like, det vil si AD = BC

I denne leksjonen skal vi se på tre egenskaper parallelle plan: om skjæringspunktet mellom to parallelle plan med et tredje plan; O parallelle segmenter, innelukket mellom parallelle plan; og om å kutte sidene av en vinkel med parallelle plan. Deretter vil vi løse flere problemer ved å bruke disse egenskapene.

Tema: Parallellisme av linjer og plan

Leksjon: Egenskaper til parallelle plan

Hvis to parallelle plan skjæres av et tredje, er linjene i skjæringspunktet parallelle.

Bevis

La parallelle plan og gis og et plan som skjærer planene og langs rette linjer EN Og b tilsvarende (fig. 1.).

Direkte EN Og b ligge i samme plan, nemlig i γ-planet. La oss bevise at de rette linjene EN Og b ikke krysse hverandre.

Hvis rett EN Og b krysset, det vil si ville ha et felles punkt, så dette felles punktet ville tilhøre to plan og , og , som er umulig, siden de er parallelle av betingelse.

Så, rett EN Og b er parallelle, noe som må bevises.

Segmentene av parallelle linjer inneholdt mellom parallelle plan er like.

Bevis

La parallelle plan og parallelle linjer gis AB Og MEDD, som skjærer disse planene (fig. 2.). La oss bevise at segmentene AB Og MEDD er like.

To parallelle linjer AB Og MEDD danne et enkelt plan γ, γ = ABDMED. Planet γ skjærer parallelle plan og langs parallelle linjer (i henhold til den første egenskapen). Så det er rett AC Og ID parallell.

Direkte AB Og MEDD er også parallelle (etter tilstand). Så det er en firkant ABDMED- et parallellogram, siden de motsatte sidene er parallelle i par.

Av egenskapene til et parallellogram følger det at segmentene AB Og MEDD er like, som kreves for å bevise.

Parallelle plan kutter sidene av en vinkel i proporsjonale deler.

Bevis

La oss få parallelle plan og som skjærer sidene av vinkelen EN(Fig. 3.). Det er nødvendig å bevise det.

Parallelle plan og kuttet av et vinkelplan EN. La oss kalle skjæringslinjen til vinkelplanet EN og fly - Sol, og skjæringslinjen til vinkelplanet EN og fly - B 1 C 1. I henhold til den første eiendommen, skjæringslinjene Sol Og B 1 C 1 parallell.

Så trekanter ABC Og AB 1 C 1 lignende. Vi får:

3. Matematisk nettsted til Vitaly Stanislavovich Tsegelny ()

4. Festival pedagogiske ideer"Offentlig leksjon" ()

1. Pek OM- felles midtpunkt for hvert segment AA 1, BB 1, SS 1, som ikke ligger i samme plan. Bevis at flyene ABC Og A 1 B 1 C 1 parallell.

2. Bevis at parallelle plan kan trekkes gjennom to skjeve linjer.

3. Bevis at en linje som skjærer ett av to parallelle plan også skjærer det andre.

4. Geometri. 10-11 klassetrinn: lærebok for elever utdanningsinstitusjoner(grunnleggende og profilnivåer) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. utgave, rettet og utvidet - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.

Oppgaver 6, 8, 9 s

I denne leksjonen vil vi definere parallelle plan og huske aksiomet om skjæringspunktet mellom to plan. Deretter vil vi bevise et teorem - et tegn på parallellisme av fly, og ved å stole på det, vil vi løse flere problemer på parallellisme av fly.

Tema: Parallellisme av linjer og plan

Leksjon: Parallelle plan

I denne leksjonen vil vi definere parallelle plan og huske aksiomet om skjæringspunktet mellom to plan.

Definisjon. To plan kalles parallelle hvis de ikke krysser hverandre.

Betegnelse: .

Illustrasjon av parallelle plan(Figur 1.)

1. Hvilke plan kalles parallelle?

2. Kan fly som går gjennom ikke-parallelle linjer være parallelle?

3. Hva kan være den relative posisjonen til to rette linjer, som hver ligger i ett av to forskjellige parallelle plan?

4. Geometri. Karakterer 10-11: lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner (grunnleggende og spesialiserte nivåer) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. utgave, rettet og utvidet - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.

Oppgave 1, 2, 5 s. 29

Leksjonens mål:

Introduser konseptet med parallelle plan.
Vurder og bevis teoremer som uttrykker tegnet på parallellisme til plan og egenskapene til parallelle plan.
Spor bruken av disse teoremene for å løse problemer.

Leksjonsplan (skriv på tavlen):

I. Forberedende muntlig arbeid.

II. Lære nytt materiale:

1. Gjensidig ordning to fly i rommet.
2. Bestemmelse av parallelle plan.
3. Tegn på parallelle plan.
4. Egenskap til parallelle plan.

III. Leksjonssammendrag.

IV. Hjemmelekser.

UNDER KLASSENE

I. Muntlig arbeid

Jeg vil starte leksjonen med et sitat fra Chaadaevs filosofiske brev:

"Hvor kommer denne mirakuløse analysekraften i matematikk fra? Faktum er at sinnet her handler i fullstendig underkastelse til denne regelen.»

Vi skal se på denne lydigheten til regelen i neste oppgave. For å lære nytt materiale må du gjenta noen spørsmål. For å gjøre dette må du etablere en påstand som følger av disse påstandene og begrunne svaret ditt:

II. Lære nytt stoff

1. Hvordan kan to fly lokaliseres i verdensrommet? Hva er settet med punkter som tilhører begge plan?

Svar:

a) sammenfaller (da har vi å gjøre med ett fly, det er ikke tilfredsstillende);
b) krysse, ;
c) ikke krysse hverandre (det er ingen fellespunkter i det hele tatt).

2. Definisjon: Hvis to plan ikke krysser hverandre, kalles de parallelle

3. Betegnelse:

4. Gi eksempler på parallelle plan fra miljøet

5. Hvordan finne ut om to plan i rommet er parallelle?

Svar:

Du kan bruke definisjonen, men dette er upassende, fordi Det er ikke alltid mulig å etablere skjæringspunktet mellom fly. Derfor er det nødvendig å vurdere en betingelse tilstrekkelig til å hevde at flyene er parallelle.

6. La oss vurdere situasjonene:

b) hvis ?

c) hvis ?

Hvorfor er svaret i a) og b) "ikke alltid", men i c) "ja"? (Skjærende linjer definerer et plan på en unik måte, noe som betyr at de er unikt definert!)

Situasjon 3 er et tegn på parallellitet mellom to plan.

7. Teorem: Hvis to kryssende linjer i ett plan er henholdsvis parallelle med to linjer i et annet plan, så er disse planene parallelle.

Gitt: