Segitiga - poligon dengan tiga sisi, atau tertutup garis putus dengan tiga pautan, atau rajah yang dibentuk oleh tiga segmen yang menghubungkan tiga titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama (lihat Rajah 1).

Elemen penting segi tiga abc

Puncak – mata A, B, dan C;

parti – segmen a = BC, b = AC dan c = AB yang menghubungkan bucu;

Sudut – α, β, γ dibentuk oleh tiga pasang sisi. Sudut selalunya ditetapkan dengan cara yang sama seperti bucu, dengan huruf A, B dan C.

Sudut yang dibentuk oleh sisi segi tiga dan terletak di kawasan pedalamannya dipanggil sudut pedalaman, dan sudut yang bersebelahan dengannya ialah sudut bersebelahan segitiga itu (2, ms 534).

Ketinggian, median, pembahagi dua dan garis tengah segitiga

Sebagai tambahan kepada elemen utama dalam segitiga, segmen lain dengan sifat menarik juga dipertimbangkan: ketinggian, median, pembahagi dua dan garis tengah.

Ketinggian

Ketinggian segi tiga- ini adalah serenjang yang dijatuhkan dari bucu segitiga ke sisi bertentangan.

Untuk merancang ketinggian, anda mesti melakukan langkah berikut:

1) lukis garis lurus yang mengandungi salah satu sisi segitiga (jika ketinggian dilukis dari bucu sudut akut dalam segi tiga tumpul);

2) dari puncak yang terletak bertentangan dengan garis yang dilukis, lukiskan segmen dari titik ke garis ini, buat sudut 90 darjah dengannya.

Titik persilangan ketinggian dengan sisi segi tiga dipanggil asas ketinggian (lihat Rajah 2).

Sifat ketinggian segi tiga

Dalam segi tiga tepat, ketinggian yang dilukis dari bucu sudut tepat, membahagikannya kepada dua segi tiga sama dengan segi tiga asal.

Dalam segi tiga akut, dua ketinggiannya memotong segi tiga yang serupa daripadanya.

Jika segi tiga itu akut, maka semua tapak ketinggian tergolong dalam sisi segi tiga, dan segi tiga tumpul dua ketinggian jatuh pada kesinambungan sisi.

Tiga ketinggian dalam segi tiga akut bersilang pada satu titik dan titik ini dipanggil pusat ortopusat segi tiga.

Median

Median(dari Latin mediana – “tengah”) - ini adalah segmen yang menghubungkan bucu segitiga dengan titik tengah sisi bertentangan (lihat Rajah 3).

Untuk membina median, anda mesti melakukan langkah berikut:

1) cari bahagian tengah sisi;

2) sambungkan titik yang merupakan bahagian tengah sisi segi tiga dengan bucu bertentangan dengan ruas.

Sifat median segi tiga

Median membahagikan segitiga kepada dua segi tiga yang sama luas.

Median segitiga bersilang pada satu titik, yang membahagikan setiap satu daripadanya dalam nisbah 2:1, mengira dari puncak. Titik ini dipanggil Pusat graviti segi tiga.

Keseluruhan segitiga dibahagikan dengan mediannya kepada enam segi tiga sama.

Pembelah dua

Pembelah dua(dari bahasa Latin bis - dua kali dan seko - potong) ialah segmen garis lurus yang disertakan di dalam segitiga yang membelah dua sudutnya (lihat Rajah 4).

Untuk membina pembahagi dua, anda mesti melakukan langkah berikut:

1) membina sinar yang keluar dari bucu sudut dan membahagikannya kepada dua bahagian yang sama (pembahagi dua sudut);

2) cari titik persilangan pembahagi dua sudut segi tiga dengan sisi bertentangan;

3) pilih segmen yang menghubungkan puncak segi tiga dengan titik persilangan di sebelah bertentangan.

Sifat pembahagi dua segi tiga

Pembahagi bagi sudut segi tiga membahagi sisi bertentangan dalam nisbah sama dengan nisbah dua sisi yang bersebelahan.

Pembelah dua sudut dalaman segi tiga bersilang pada satu titik. Titik ini dipanggil pusat bulatan bertulis.

Pembelah dua bagi sudut dalam dan luar adalah berserenjang.

Jika pembahagi bagi sudut luar segi tiga bersilang dengan kesinambungan sebelah bertentangan, kemudian ADBD=ACBC.

Bisektor satu dalaman dan dua sudut luar segi tiga bersilang pada satu titik. Titik ini adalah pusat salah satu daripada tiga excircles segi tiga ini.

Tapak pembahagi dua sudut dalam dan satu sudut luar segitiga terletak pada garis lurus yang sama jika pembahagi dua sudut luar itu tidak selari dengan sisi bertentangan segi tiga itu.

Jika pembahagi dua sudut luar segitiga tidak selari dengan sisi bertentangan, maka tapaknya terletak pada garis lurus yang sama.

Teorem pembahagi dua segi tiga:
Pembahagi bagi segi tiga membahagi sisinya dengan
bahagian yang berkadar dengan dua sisi yang lain
A
1
DALAM
DS
VD
=
AC
AB
2
D
DENGAN
)

Akibat:
Dalam ΔABC dengan sisi AB, BC, AC dan
pembahagi dua AD, persamaan berikut dipegang:
A
1
DALAM
BC AB
1) DB
,
SEBUAH TEKSI
2
BC AC
2) DC
,
SEBUAH TEKSI
D
DENGAN

Pernyataan berikut mengaitkan pembahagi dua
AD dengan sisi ΔABC:
Segiempat bagi pembahagi dua segi tiga,
diambil dari mana-mana bucunya,
sama dengan hasil dua sisinya,
A
dijalankan dari puncak yang sama,
tolak hasil bagi segmen ketiga
1
DALAM
2
AD AB AC DB DC
2
D
DENGAN

Sifat median bagi segi tiga:
Median bagi segi tiga bersilang pada satu
titik yang membahagi setiap median pada
nisbah 2:1, mengira dari atas.
DENGAN
VO JSC
2
=
=
OV1 A1O
1
DALAM 1
A1
TENTANG
A
DALAM

Diberi: ABC, BB1 = 15 cm
Cari: VO, OV1
DALAM 1
Masalah 1
DENGAN
5
A1
TENTANG
10
A
C1
DALAM

Diberi: ABC, OB1 = 4 cm
Cari: VO, BB1
DALAM 1
Masalah 2
DENGAN
4
A1
TENTANG
8
A
C1
DALAM

Teorem median segitiga:
Segi empat bagi median segi tiga yang dilukis daripada
mana-mana bucunya adalah sama dengan separuh jumlah
segi empat sama dua sisinya dilukis daripada sisi yang sama
bucu, tolak suku persegi dari sisi ketiga
A
AB AC BC
pagi
2
2
4
2
2
2
2
1
2
2
2
pagi
2 AB 2 AC BC
2
DALAM
M
DENGAN

Akibat:
Jumlah kuasa dua pepenjuru segi empat selari
sama dengan jumlah segi empat sama sisinya.
D
DENGAN
AC2+VD2=AV2+BC2+SD2+AD2
AC2+VD2=2АВ2+2ВС2
A
DALAM

Masalah 3
Tapak segi tiga ialah 22 dm,
A sisi 13 dm dan 19 dm.
Tentukan median tapak.
A
Jawapan: 12 dm
DALAM
M
DENGAN

Masalah 4
Dalam segitiga, dua sisi adalah sama dengan 11
dan 23 dan median bagi sisi ketiga ialah
10. Cari pihak ketiga
A
Jawapan: 30
DALAM
M
DENGAN

Masalah 5
Dalam segi tiga ABC, tentukan
pembahagi dua A pada panjang seterusnya
sisi: 1) a = 7, b = 6, c = 8;
A
2) a = 18, b = 15, c = 12;
1
2
Jawapan: 1) 6
Jawapan: 2) 10
DALAM
D
DENGAN

Masalah 6
Sisi segi empat selari ialah 10 dan 24,
dan salah satu pepenjuru adalah sama dengan 26. Cari
panjang pepenjuru yang lain.
D
A
TENTANG
Jawapan: 26
DALAM
DENGAN

abstrak
Dalam segi tiga ABC, tentukan pembahagi bagi sudut A
dengan panjang sisi berikut: a = 39, b = 20, c = 45.
soalan 17 – 22 (halaman 157)
Sisi segi tiga ialah 11, 13 dan 12. Cari
median dilukis ke sisi yang lebih panjang.
№32, №
3311(hlm.
158)
Sisi segi empat selari
sama rata
dan 23,
dan pepenjuru
nisbah ialah 2:3. Cari panjang pepenjuru
Semakan: formula kawasan

Jika graduan bercadang untuk mengambil Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam bidang matematik peringkat asas dan berusaha untuk mendapatkan markah yang kompetitif, dia pasti harus belajar bagaimana untuk menyelesaikan masalah yang memerlukan mencari ketinggian segi tiga. Tugas planimetrik yang serupa ditemui dalam ujian pensijilan dari tahun ke tahun. Ini bermakna pelajar sekolah yang mempunyai apa-apa peringkat latihan mesti menghadapi masalah Peperiksaan Negeri Bersepadu di mana kuantiti yang diperlukan adalah ketinggian segi tiga.

Maklumat berguna

Masalah Peperiksaan Negeri Bersepadu yang memerlukan mencari sudut antara ketinggian dan median atau saiz segi tiga yang lain selalunya boleh diselesaikan dengan mengingat semula konsep asas daripada asas. kursus sekolah. Adalah disyorkan untuk mengikuti algoritma tertentu. Mula-mula buat lukisan. Kemudian plot semua data yang diketahui padanya mengikut keadaan. Selepas ini adalah perlu untuk menentukan segala-galanya konsep geometri(pembahagi dua, median segi tiga, dsb.), yang diketahui dan yang mesti ditemui dalam tugas Peperiksaan Negeri Bersepadu. Setelah melakukan ini, ingat teorem yang berkaitan dengannya dan renungkan lukisan semua hubungan antara unsur-unsur yang secara logik mengikutinya. Mari kita beri contoh. Jika dalam Tugas Peperiksaan Negeri Bersatu konsep "pembahagi dua sudut segi tiga" muncul, perlu diingat definisi dan sifat asasnya, dan kemudian mencari dan merenungkan lukisan yang sama atau segmen berkadar dan sudut.

Bagaimana untuk membuat persediaan untuk peperiksaan?

Adakah tugasan dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu untuk mencari sudut antara pembahagi dua segi tiga, serta pengiraan, menyebabkan anda kesulitan? Portal pendidikan Shkolkovo akan membantu anda menyelesaikan masalah ini. Dengan kami, anda boleh menyemak bahan mengenai topik yang sukar untuk anda. Pakar kami telah mengumpul dan membentangkan semua maklumat teori dalam bentuk yang paling mudah diakses dan difahami.

Untuk setiap tugas di portal anda akan menemui jawapan yang betul dan penerangan tentang algoritma penyelesaian. Anda boleh berlatih dengan latihan mudah, serta dengan yang lebih kompleks. Graduan boleh berlatih menyelesaikan masalah mencari sudut antara pembahagi dua dan median segitiga, yang terdapat dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu, dalam talian, dari mana-mana wilayah Rusia. Setelah menyelesaikan tugas, pelajar mempunyai peluang untuk menyimpannya di bahagian "Kegemaran", dan kemudian, jika perlu, membincangkannya dengan guru di sekolah atau tutor.

Untuk menyelesaikan masalah geometri yang melibatkan segi tiga, adalah penting untuk memahami satu kebenaran yang mudah tetapi penting. Terdapat kriteria ketiga untuk kesamaan segitiga ("pada tiga sisi"), dari mana ia mengikuti bahawa tidak ada dua segi tiga yang berbeza Dengan sisi yang sama. Oleh itu, mengetahui panjang semua sisi segitiga, anda boleh mengetahui semua yang anda perlukan tentang segi tiga ini. Termasuk panjang median, pembahagi dua dan ketinggiannya. Mari lihat dengan lebih terperinci bagaimana ini boleh dilakukan.

Teorem Ketinggian Segitiga

Untuk mencari panjang ketinggian segi tiga, anda boleh menulis luasnya dalam dua cara. Pertama, menggunakan formula Heron, dan kedua, sebagai separuh hasil darab ketinggian dan tapak di mana ketinggian yang diberikan dilukis.

berikut ialah separuh perimeter bagi segi tiga itu.

Daripada perbandingan formula ini kita dapati:

Ambil perhatian bahawa ini hanyalah satu cara untuk mencari panjang ketinggian segi tiga di sepanjang sisinya, yang tidak selalunya mudah. wujud pelbagai besar cara alternatif, yang pembaca boleh membiasakan diri mereka dalam pelajaran sebelumnya.

Contoh 1. Adalah diketahui bahawa jarak dari pusat bulatan ke sisi AB segi tiga ABC sama dengan separuh jejari bulatan ini. Cari ketinggian segi tiga itu ABC, diturunkan ke tepi AB, jika ia (ketinggian) kurang dan dua sisi yang lain ialah 2 dan 3.

Penyelesaian. Segi tiga BOA dalam rajah ialah sama kaki, oleh itu ∠ OAH = ∠ OBH= 30° (kaki segi tiga tepat, terletak bertentangan dengan sudut 30°, sama dengan separuh hipotenus). Kemudian ∠ BOA dan lengkok bulatan yang sepadan dengannya adalah sama dengan 120°. Kemudian lengkok di mana ∠ BCA terletak adalah sama dengan 240°, yang bermaksud sudut itu sendiri ∠ BCA = 120°.

Luas segi tiga ABC kita dapati dengan formula: Panjang sisi AB kita dapati menggunakan teorem kosinus untuk segitiga ABC, ia sama dengan . Sebaliknya, luas segi tiga ialah separuh hasil darab ketinggian dan tapak di mana ketinggian yang diberikan dilukis. Dari sini kami menyatakan panjang ketinggian yang diperlukan itu kurang kes dengan segi tiga akut ABC tidak sesuai. Semak sendiri.

Tugas untuk keputusan bebas №1. Dalam segi tiga akut ABC B.C. = a, A.C. = b, ∠ ACB sama α . Cari ketinggian CD dan ∠ ABC.

Tunjukkan jawapan

Jawapan:

Teorem mengenai panjang median segitiga

Median segitiga ditentukan melalui tiga sisinya menggunakan formula:

di mana a, b, c- sisi segi tiga, m a ialah median yang dilukis ke a. Pembaca yang berminat boleh melihat bukti kenyataan ini dalam tutorial video.

Contoh 2. Dalam segi tiga ABC dengan sebelah AB= dari atas B ke sisi A.C. median telah dijalankan B.M.= dan ketinggian B.H.= 2. Cari sisi B.C., jika diketahui bahawa ∠ B + ∠ C< 90°.

Penyelesaian. Daripada analisis keadaan masalah kami membuat kesimpulan bahawa ∠ A- tumpul. Sesungguhnya, jumlah semua sudut dalam segitiga adalah sama dengan 180°. Dengan menggunakan teorem Pythagoras, kita mencari panjangnya H.A.= 1. Seterusnya, dengan menggunakan teorem Pythagoras, kita mencari panjangnya H.M.= 2. Oleh itu, A.M. = H.M. — H.A.= 1. Pada masa yang sama A.M. = M.C.= 1 (sejak B.M.- median). Jadi, H.C. = H.A. + A.M. + M.C.= 3. Oleh itu, dengan teorem Pythagoras B.C.= . Dengan penggantian langsung kami mengesahkan kesahihan formula yang diperoleh sebelum ini untuk panjang median segitiga.

Masalah untuk penyelesaian bebas No. 2. Dalam segi tiga ABC median ditarik ke sisi A.C. Dan B.C., bersilang pada sudut tepat. Adalah diketahui bahawa A.C. = b, B.C. = a. Cari panjang sisi AB.

Tunjukkan jawapan

Jawapan:

Teorem panjang pembahagi dua segi tiga

Panjang pembahagi dua segi tiga ditentukan oleh formula berikut: di mana - pembahagi dua yang dilukis ke sisi - segmen di mana pembahagi dua bahagian itu membahagikan bahagian yang bersebelahan dengan sisi dan, masing-masing. Pembaca yang berminat boleh melihat bukti kenyataan ini dalam tutorial video.

Penyelesaian. Mari kita cari panjang segmen dahulu C.L. Dan L.A.. Untuk ini kita menggunakan sifat pembahagi bagi segi tiga. Pembahagi bagi segi tiga pecah sebelah bertentangan ke dalam segmen yang berkadar dengan sisi bersebelahan. Itu dia C.L.: C.B. = L.A.: B.A. atau C.L.: 4 = L.A.: 8. Memandangkan juga C.L.+ L.A.= 9, kita dapat itu C.L. = 3, L.A.= 6. Mengikut teorem yang telah dibuktikan sebelum ini, panjang pembahagi dua B.L. boleh didapati menggunakan formula berikut: B.L. 2 = C.B. · B.A. — C.L. · L.A.= 4 8 - 3 6 = 14. Jadi, B.L. =

Masalah untuk penyelesaian bebas No. 3. Dalam segi tiga ABC sebelah AB sama dengan 21, pembahagi dua BD sama dengan segmen DC adalah sama dengan 8. Cari perimeter segi tiga itu ABC.

Tunjukkan jawapan