Moto pelajaran kami adalah kata-kata ahli matematik Rusia V.P. Ermakova: "Dalam matematik, seseorang harus ingat bukan formula, tetapi proses berfikir."

Semasa kelas

Perumusan masalah

Di papan tulis adalah potret Gauss. Seorang guru atau pelajar yang diberi tugas untuk menyediakan mesej lebih awal mengatakan bahawa semasa Gauss berada di sekolah, guru meminta pelajar menambah semua nombor asli dari 1 hingga 100. Gauss kecil menyelesaikan masalah ini dalam satu minit.

soalan . Bagaimanakah Gauss mendapat jawapannya?

Mencari penyelesaian

Pelajar menyatakan andaian mereka, kemudian merumuskan: menyedari bahawa jumlahnya ialah 1 + 100, 2 + 99, dsb. adalah sama, Gauss didarab 101 dengan 50, iaitu, dengan bilangan jumlah tersebut. Dalam erti kata lain, dia melihat corak yang wujud dalam janjang aritmetik.

Terbitan formula jumlah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik

Tulis topik pelajaran di papan tulis dan dalam buku nota anda. Pelajar, bersama-sama dengan guru, menulis kesimpulan rumus:

biarlah a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; ...; a n – 2 ; a n – 1 ; a n- janjang aritmetik.

Penggabungan utama

1. Menggunakan formula (1), kami menyelesaikan masalah Gauss:

2. Menggunakan formula (1), selesaikan masalah secara lisan (syaratnya ditulis di papan tulis atau kod positif), ( a n) - janjang aritmetik:

A) a 1 = 2, a 10 = 20. S 10 - ?

b) a 1 = –5, a 7 = 1. S 7 - ? [–14]

V) a 1 = –2, a 6 = –17. S 6 - ? [–57]

G) a 1 = –5, a 11 = 5. S 11 - ?

3. Selesaikan tugasan.

Diberi: ( a n) - janjang aritmetik;

a 1 = 3, a 60 = 57.

Cari: S 60 .

Penyelesaian. Mari kita gunakan formula jumlah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik

Jawab: 1800.

Soalan tambahan. Berapa banyak jenis masalah yang berbeza boleh diselesaikan menggunakan formula ini?

Jawab. Empat jenis tugas:

Cari jumlahnya S n;

Cari sebutan pertama suatu janjang aritmetik a 1 ;

Cari n sebutan ke satu janjang aritmetik a n;

Cari bilangan sebutan bagi suatu janjang aritmetik.

4. Tugasan lengkap: No. 369(b).

Cari hasil tambah enam puluh sebutan pertama janjang aritmetik ( a n), Jika a 1 = –10,5, a 60 = 51,5.

Penyelesaian.

Jawab: 1230.

Soalan tambahan. Tulis formula n sebutan ke satu janjang aritmetik.

Jawab: a n = a 1 + d(n – 1).

5. Kira formula bagi sembilan sebutan pertama janjang aritmetik ( b n),
Jika b 1 = –17, d = 6.

Adakah mungkin untuk mengira dengan segera menggunakan formula?

Tidak, kerana penggal kesembilan tidak diketahui.

Bagaimana untuk mencarinya?

Mengikut formula n sebutan ke satu janjang aritmetik.

Penyelesaian. b 9 = b 1 + 8d = –17 + 8∙6 = 31;

Jawab: 63.

soalan. Adakah mungkin untuk mencari jumlah tanpa mengira sebutan kesembilan janjang itu?

Perumusan masalah

Masalah: dapatkan formula jumlah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik, mengetahui sebutan pertama dan bezanya d.

(Menghasilkan formula di papan oleh pelajar.)

Kami akan memutuskan No. 371(a) pada formula baru (2):

Marilah kita secara lisan mewujudkan formula (2) ( syarat masalah ditulis di papan tulis).

(a n

1. a 1 = 3, d = 4. S 4 - ?

2. a 1 = 2, d = –5. S 3 - ? [–9]

Ketahui daripada pelajar apakah soalan yang tidak jelas.

Kerja bebas

Pilihan 1

Diberi: (a n) - janjang aritmetik.

1. a 1 = –3, a 6 = 21. S 6 - ?

2. a 1 = 6, d = –3. S 4 - ?

Pilihan 2

Diberi: (a n) - janjang aritmetik.

1.a 1 = 2, a 8 = –23. S 8 - ? [–84]

2.a 1 = –7, d = 4. S 5 - ?

Pelajar bertukar-tukar buku nota dan menyemak penyelesaian masing-masing.

Merumuskan pembelajaran bahan berdasarkan hasil kerja bebas.

Tahap pertama

Janjang aritmetik. Teori terperinci dengan contoh (2019)

Urutan nombor

Jadi, mari kita duduk dan mula menulis beberapa nombor. Sebagai contoh:
Anda boleh menulis sebarang nombor, dan boleh ada seberapa banyak nombor yang anda suka (dalam kes kami, ada mereka). Tidak kira berapa banyak nombor yang kita tulis, kita sentiasa boleh menyebut yang mana satu pertama, yang mana satu kedua, dan seterusnya sehingga yang terakhir, iaitu, kita boleh menomborkannya. Ini adalah contoh urutan nombor:

Urutan nombor
Sebagai contoh, untuk urutan kami:

Nombor yang diberikan adalah khusus untuk hanya satu nombor dalam urutan. Dalam erti kata lain, tiada tiga nombor saat dalam urutan itu. Nombor kedua (seperti nombor ke) sentiasa sama.
Nombor dengan nombor dipanggil sebutan ke-jujukan.

Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan dengan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini dengan huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .

Dalam kes kami:

Katakan kita ada urutan nombor, di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama.
Sebagai contoh:

dan lain-lain.
Urutan nombor ini dipanggil janjang aritmetik.
Istilah "kemajuan" diperkenalkan oleh pengarang Rom Boethius pada abad ke-6 dan difahami lebih banyak lagi. dalam erti kata yang luas, seperti urutan nombor tak terhingga. Nama "aritmetik" dipindahkan dari teori perkadaran berterusan, yang dikaji oleh orang Yunani kuno.

Ini ialah urutan nombor, setiap ahlinya adalah sama dengan yang sebelumnya ditambah kepada nombor yang sama. Nombor ini dipanggil perbezaan janjang aritmetik dan ditetapkan.

Cuba tentukan urutan nombor yang merupakan janjang aritmetik dan yang bukan:

a)
b)
c)
d)

faham? Mari bandingkan jawapan kami:
Adakah janjang aritmetik - b, c.
Tidak janjang aritmetik - a, d.

Mari kita kembali ke perkembangan yang diberikan() dan cuba cari nilai ahli ke-nya. wujud dua cara untuk mencarinya.

1. Kaedah

Kita boleh menambah nombor janjang kepada nilai sebelumnya sehingga kita mencapai sebutan ke-janjang itu. Ada baiknya kita tidak mempunyai banyak perkara untuk diringkaskan - hanya tiga nilai:

Jadi, sebutan ke janjang aritmetik yang diterangkan adalah sama dengan.

2. Kaedah

Bagaimana jika kita perlu mencari nilai sebutan ke-kemajuan itu? Penjumlahan akan mengambil masa lebih daripada satu jam, dan bukan fakta bahawa kita tidak akan membuat kesilapan semasa menambah nombor.
Sudah tentu, ahli matematik telah menghasilkan cara yang tidak perlu menambah perbezaan janjang aritmetik kepada nilai sebelumnya. Perhatikan gambar yang dilukis dengan lebih dekat... Pasti anda sudah perasan corak tertentu iaitu:

Sebagai contoh, mari kita lihat apakah nilai sebutan ke bagi janjang aritmetik ini terdiri daripada:


Dalam kata lain:

Cuba cari sendiri nilai ahli janjang aritmetik tertentu dengan cara ini.

Adakah anda mengira? Bandingkan nota anda dengan jawapan:

Sila ambil perhatian bahawa anda mendapat nombor yang sama seperti dalam kaedah sebelumnya, apabila kami menambah secara berurutan istilah janjang aritmetik kepada nilai sebelumnya.
Mari cuba "menyahpersonalisasi" formula ini- mari kita bawa dia ke bentuk am dan kita dapat:

Persamaan janjang aritmetik.

Janjang aritmetik boleh meningkat atau menurun.

Bertambah- janjang di mana setiap nilai terma berikutnya adalah lebih besar daripada yang sebelumnya.
Sebagai contoh:

Menurun- janjang di mana setiap nilai terma berikutnya adalah kurang daripada yang sebelumnya.
Sebagai contoh:

Formula terbitan digunakan dalam pengiraan sebutan dalam kedua-dua sebutan meningkat dan menurun bagi janjang aritmetik.
Mari kita semak ini dalam amalan.
Kami diberi janjang aritmetik yang terdiri daripada nombor berikut: Mari kita semak apakah nombor ke janjang aritmetik ini jika kita menggunakan formula kita untuk mengiranya:

Sejak itu:

Oleh itu, kami yakin bahawa formula beroperasi dalam kedua-dua janjang aritmetik yang menurun dan meningkat.
Cuba cari sendiri sebutan ke dan ke bagi janjang aritmetik ini.

Mari bandingkan hasilnya:

Sifat janjang aritmetik

Mari kita rumitkan masalah - kita akan memperoleh sifat janjang aritmetik.
Katakan kita diberi syarat berikut:
- janjang aritmetik, cari nilai.
Mudah, anda katakan dan mula mengira mengikut formula yang anda sudah tahu:

Mari, ah, kemudian:

Betul sekali. Ternyata kita mula-mula mencari, kemudian menambahnya pada nombor pertama dan mendapatkan apa yang kita cari. Jika perkembangan diwakili oleh nilai kecil, maka tidak ada yang rumit mengenainya, tetapi bagaimana jika kita diberi nombor dalam keadaan? Setuju, terdapat kemungkinan membuat kesilapan dalam pengiraan.
Sekarang fikirkan sama ada mungkin untuk menyelesaikan masalah ini dalam satu langkah menggunakan sebarang formula? Sudah tentu ya, dan itulah yang akan kami cuba kemukakan sekarang.

Mari kita nyatakan istilah yang diperlukan bagi janjang aritmetik sebagai, formula untuk mencarinya diketahui oleh kita - ini adalah formula yang sama yang kita perolehi pada mulanya:
, Kemudian:

• istilah janjang sebelumnya ialah:
• istilah janjang seterusnya ialah:

Mari kita rumuskan istilah janjang sebelumnya dan seterusnya:

Ternyata jumlah terma janjang sebelumnya dan seterusnya ialah nilai berganda bagi istilah janjang yang terletak di antara mereka. Dalam erti kata lain, untuk mencari nilai istilah janjang dengan nilai sebelumnya dan berturut-turut yang diketahui, anda perlu menambahnya dan membahagikannya dengan.

Betul, kami mendapat nombor yang sama. Mari selamatkan bahan. Kira nilai untuk kemajuan itu sendiri, ia sama sekali tidak sukar.

Bagus! Anda tahu hampir segala-galanya tentang kemajuan! Tinggal untuk mengetahui hanya satu formula, yang, menurut legenda, mudah disimpulkan oleh salah seorang ahli matematik terhebat sepanjang masa, "raja ahli matematik" - Karl Gauss...

Apabila Carl Gauss berumur 9 tahun, seorang guru, sibuk memeriksa kerja pelajar di kelas lain, bertanya masalah berikut di dalam kelas: "Kira jumlah semua nombor asli daripada kepada (mengikut sumber lain sehingga) termasuk.” Bayangkan guru terkejut apabila salah seorang pelajarnya (ialah Karl Gauss) seminit kemudian memberikan jawapan yang betul untuk tugas itu, manakala kebanyakan rakan sekelas daredevil, selepas pengiraan yang panjang, menerima keputusan yang salah...

Carl Gauss muda melihat corak tertentu yang anda juga boleh perasan dengan mudah.
Katakan kita mempunyai janjang aritmetik yang terdiri daripada sebutan -th: Kita perlu mencari jumlah sebutan janjang aritmetik ini. Sudah tentu, kita boleh menjumlahkan semua nilai secara manual, tetapi bagaimana jika tugas itu memerlukan mencari jumlah istilahnya, seperti yang dicari oleh Gauss?

Mari kita gambarkan perkembangan yang diberikan kepada kita. Lihat dengan teliti nombor yang diserlahkan dan cuba lakukan pelbagai operasi matematik dengannya.


Sudahkah anda mencubanya? Apa yang awak perasan? Betul! Jumlah mereka adalah sama

Sekarang beritahu saya, berapa jumlah pasangan sebegitu yang terdapat dalam janjang yang diberikan kepada kita? Sudah tentu, tepat separuh daripada semua nombor, iaitu.
Berdasarkan fakta bahawa jumlah dua sebutan janjang aritmetik adalah sama, dan pasangan yang serupa adalah sama, kita memperoleh bahawa jumlah keseluruhan adalah sama dengan:
.
Oleh itu, formula untuk jumlah sebutan pertama mana-mana janjang aritmetik ialah:

Dalam beberapa masalah kita tidak tahu istilah ke-, tetapi kita tahu perbezaan perkembangannya. Cuba gantikan formula sebutan ke dalam formula jumlah.
Apa yang kamu dapat?

Bagus! Sekarang mari kita kembali kepada masalah yang ditanyakan kepada Carl Gauss: hitung sendiri apakah jumlah nombor bermula dari th bersamaan dan jumlah nombor bermula dari th.

Berapa banyak yang anda dapat?
Gauss mendapati bahawa jumlah istilah adalah sama, dan jumlah istilah. Adakah itu yang anda putuskan?

Malah, formula untuk jumlah sebutan bagi janjang aritmetik telah dibuktikan oleh saintis Yunani purba Diophantus pada abad ke-3, dan sepanjang masa ini. orang cerdik menggunakan sepenuhnya sifat janjang aritmetik.
Sebagai contoh, bayangkan Mesir Purba dan yang paling banyak pembinaan berskala besar masa itu - pembinaan piramid... Gambar menunjukkan sebelahnya.

Di manakah perkembangan di sini, anda katakan? Lihat dengan teliti dan cari corak dalam bilangan blok pasir dalam setiap baris dinding piramid.


Mengapa bukan janjang aritmetik? Kira berapa banyak blok yang diperlukan untuk membina satu dinding jika bata blok diletakkan di pangkalan. Saya harap anda tidak akan mengira semasa menggerakkan jari anda pada monitor, anda masih ingat formula terakhir dan semua yang kami katakan tentang janjang aritmetik?

DALAM dalam kes ini perkembangan kelihatan seperti dengan cara berikut: .
Perbezaan janjang aritmetik.
Bilangan sebutan bagi suatu janjang aritmetik.
Mari kita gantikan data kita ke dalam formula terakhir (kira bilangan blok dalam 2 cara).

Kaedah 1.

Kaedah 2.

Dan kini anda boleh mengira pada monitor: bandingkan nilai yang diperoleh dengan bilangan blok yang ada dalam piramid kami. faham? Syabas, anda telah menguasai jumlah sebutan ke-n suatu janjang aritmetik.
Sudah tentu, anda tidak boleh membina piramid dari blok di pangkalan, tetapi dari? Cuba kira berapa banyak bata pasir yang diperlukan untuk membina dinding dengan keadaan ini.
Adakah anda berjaya?
Jawapan yang betul ialah blok:

Latihan

Tugasan:

1. Masha semakin sihat untuk musim panas. Setiap hari dia menambah bilangan cangkung. Berapa kali Masha akan melakukan squats dalam seminggu jika dia melakukan squats pada sesi latihan pertama?
2. Apakah hasil tambah semua nombor ganjil yang terkandung dalam.
3. Apabila menyimpan balak, pembalak menyusunnya sedemikian rupa sehingga setiap satu lapisan atas mengandungi satu log kurang daripada yang sebelumnya. Berapa banyak kayu balak dalam satu batu, jika asas batu itu ialah kayu balak?

Jawapan:

1. Mari kita tentukan parameter janjang aritmetik. Dalam kes ini
   (minggu = hari).

   Jawapan: Dalam dua minggu, Masha perlu melakukan squat sekali sehari.

2. Pertama nombor ganjil, nombor terakhir.
   Perbezaan janjang aritmetik.
   Bilangan nombor ganjil dalam ialah separuh, bagaimanapun, mari kita semak fakta ini menggunakan formula untuk mencari sebutan ke satu janjang aritmetik:

   Nombor memang mengandungi nombor ganjil.
   Mari kita gantikan data yang ada ke dalam formula:

   Jawapan: Jumlah semua nombor ganjil yang terkandung dalam adalah sama.

3. Mari kita ingat masalah tentang piramid. Untuk kes kami, a , kerana setiap lapisan atas dikurangkan dengan satu log, maka secara keseluruhan terdapat sekumpulan lapisan, iaitu.
   Mari kita gantikan data ke dalam formula:

   Jawapan: Terdapat kayu balak di dalam batu.

Mari kita ringkaskan

1. - urutan nombor di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama. Ia boleh meningkat atau menurun.
2. Mencari formula Sebutan ke-1 bagi suatu janjang aritmetik ditulis dengan formula - , di mana ialah bilangan nombor dalam janjang itu.
3. Harta ahli sesuatu janjang aritmetik- - di manakah bilangan nombor dalam kemajuan.
4. Jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik boleh didapati dalam dua cara:
   
   , di manakah bilangan nilai.

PERKEMBANGAN AITMETIK. TAHAP PURATA

Urutan nombor

Mari duduk dan mula menulis beberapa nombor. Sebagai contoh:

Anda boleh menulis sebarang nombor, dan boleh ada seberapa banyak nombor yang anda suka. Tetapi kita sentiasa boleh mengatakan yang mana satu pertama, yang mana satu kedua, dan seterusnya, iaitu, kita boleh menomborkannya. Ini adalah contoh urutan nombor.

Urutan nombor ialah satu set nombor, setiap satunya boleh diberikan nombor unik.

Dalam erti kata lain, setiap nombor boleh dikaitkan dengan nombor asli tertentu, dan nombor unik. Dan kami tidak akan memberikan nombor ini kepada mana-mana nombor lain daripada set ini.

Nombor dengan nombor dipanggil ahli urutan ke-.

Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan dengan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini dengan huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .

Ia adalah sangat mudah jika sebutan ke-jujukan boleh ditentukan oleh beberapa formula. Sebagai contoh, formula

menetapkan urutan:

Dan formulanya adalah urutan berikut:

Sebagai contoh, janjang aritmetik ialah jujukan (istilah pertama di sini adalah sama, dan perbezaannya ialah). Atau (, perbezaan).

formula penggal ke-n

Kami memanggil formula berulang di mana, untuk mengetahui istilah ke, anda perlu mengetahui yang sebelumnya atau beberapa yang sebelumnya:

Untuk mencari, sebagai contoh, sebutan ke-janjang menggunakan formula ini, kita perlu mengira sembilan sebelumnya. Sebagai contoh, biarkan. Kemudian:

Nah, adakah ia jelas sekarang apakah formulanya?

Dalam setiap baris yang kita tambah, didarab dengan beberapa nombor. Yang mana satu? Sangat mudah: ini ialah bilangan ahli semasa tolak:

Jauh lebih mudah sekarang, bukan? Kami menyemak:

Tentukan sendiri:

Dalam janjang aritmetik, cari formula bagi sebutan ke-n dan cari sebutan keseratus.

Penyelesaian:

Sebutan pertama adalah sama. Apakah perbezaannya? Inilah yang:

(Inilah sebabnya ia dipanggil perbezaan kerana ia sama dengan perbezaan sebutan berturut-turut janjang).

Jadi, formulanya:

Maka sebutan keseratus adalah sama dengan:

Apakah hasil tambah semua nombor asli dari hingga?

Menurut legenda, ahli matematik yang hebat Karl Gauss, sebagai budak lelaki berusia 9 tahun, mengira jumlah ini dalam beberapa minit. Dia perasan bahawa jumlah nombor pertama dan terakhir adalah sama, jumlah kedua dan kedua terakhir adalah sama, jumlah ketiga dan ke-3 dari hujung adalah sama, dan seterusnya. Berapakah jumlah pasangan sedemikian? Betul, tepat separuh daripada bilangan semua nombor, iaitu. Jadi,

Formula umum untuk jumlah sebutan pertama mana-mana janjang aritmetik ialah:

Contoh:
Cari jumlah semua nombor dua digit, gandaan.

Penyelesaian:

Nombor yang pertama ialah ini. Setiap yang berikutnya diperoleh dengan menambah tarikh sebelumnya. Oleh itu, nombor yang kita minati membentuk janjang aritmetik dengan sebutan pertama dan perbezaannya.

Formula istilah ke-1 untuk janjang ini:

Berapakah bilangan yang terdapat dalam janjang jika kesemuanya mestilah dua digit?

Sangat mudah: .

Penggal terakhir janjang adalah sama. Kemudian jumlahnya:

Jawapan: .

Sekarang tentukan sendiri:

1. Setiap hari atlet berlari lebih meter daripada hari sebelumnya. Berapakah jumlah kilometer yang dia akan larian dalam seminggu jika dia berlari km m pada hari pertama?
2. Seorang penunggang basikal menempuh lebih banyak kilometer setiap hari berbanding hari sebelumnya. Pada hari pertama dia mengembara km. Berapa hari dia perlu menempuh perjalanan sejauh satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanannya?
3. Harga peti sejuk di kedai menurun dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa banyak harga peti sejuk menurun setiap tahun jika, dijual untuk rubel, enam tahun kemudian ia dijual untuk rubel.

Jawapan:

1. Perkara yang paling penting di sini ialah mengenali janjang aritmetik dan menentukan parameternya. Dalam kes ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah sebutan pertama janjang ini:
   .
   Jawapan:
2. Di sini diberikan: , mesti dijumpai.
   Jelas sekali, anda perlu menggunakan formula jumlah yang sama seperti dalam tugasan sebelumnya:
   .
   Gantikan nilai:

   Akarnya jelas tidak sesuai, jadi jawapannya adalah.
   Mari kita mengira laluan yang dilalui pada hari terakhir menggunakan formula istilah ke-:
   (km).
   Jawapan:

3. Diberi: . Cari: .
   Ia tidak boleh menjadi lebih mudah:
   (gosok).
   Jawapan:

PERKEMBANGAN AITMETIK. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Ini ialah urutan nombor di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama.

Janjang aritmetik boleh meningkat () dan menurun ().

Sebagai contoh:

Formula untuk mencari sebutan ke-n suatu janjang aritmetik

ditulis oleh formula, di mana bilangan nombor dalam janjang.

Harta ahli sesuatu janjang aritmetik

Ia membolehkan anda mencari istilah janjang dengan mudah jika istilah jirannya diketahui - di manakah bilangan nombor dalam janjang itu.

Jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik

Terdapat dua cara untuk mencari jumlah:

Di manakah bilangan nilai.

Di manakah bilangan nilai.

Sebagai contoh, urutan \(2\); \(5\); \(8\); \(sebelas\); \(14\)... ialah janjang aritmetik kerana setiap satu elemen seterusnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan tiga (boleh diperoleh daripada yang sebelumnya dengan menambah tiga):

Dalam janjang ini, perbezaan \(d\) adalah positif (sama dengan \(3\)), dan oleh itu setiap sebutan seterusnya adalah lebih besar daripada yang sebelumnya. Perkembangan sedemikian dipanggil semakin meningkat.

Walau bagaimanapun, \(d\) juga boleh nombor negatif. Sebagai contoh, dalam janjang aritmetik \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... perbezaan janjang \(d\) adalah sama dengan tolak enam.

Dan dalam kes ini, setiap elemen seterusnya akan menjadi lebih kecil daripada yang sebelumnya. Perkembangan ini dipanggil semakin berkurangan.

tatatanda janjang aritmetik

Kemajuan ditunjukkan oleh huruf Latin kecil.

Nombor yang membentuk janjang dipanggil ahli(atau unsur-unsur).

Mereka dilambangkan dengan huruf yang sama dengan janjang aritmetik, tetapi dengan indeks berangka yang sama dengan bilangan elemen dalam susunan.

Sebagai contoh, janjang aritmetik \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) terdiri daripada unsur \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dan seterusnya.

Dalam erti kata lain, untuk janjang \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Menyelesaikan masalah janjang aritmetik

Pada dasarnya, maklumat yang dibentangkan di atas sudah cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah janjang aritmetik (termasuk yang ditawarkan di OGE).

Contoh (OGE). Janjang aritmetik ditentukan oleh keadaan \(b_1=7; d=4\). Cari \(b_5\).
Penyelesaian:

Jawapan: \(b_5=23\)

Contoh (OGE). Tiga sebutan pertama suatu janjang aritmetik diberikan: \(62; 49; 36…\) Cari nilai sebutan negatif pertama janjang ini..
Penyelesaian:

	Kami diberi elemen pertama jujukan dan mengetahui bahawa ia adalah janjang aritmetik. Iaitu, setiap elemen berbeza daripada jirannya dengan nombor yang sama. Mari kita ketahui yang mana satu dengan menolak yang sebelumnya daripada elemen seterusnya: \(d=49-62=-13\).
	Sekarang kita boleh memulihkan perkembangan kita kepada elemen (negatif pertama) yang kita perlukan.
	sedia. Anda boleh menulis jawapan.

Jawapan: \(-3\)

Contoh (OGE). Diberi beberapa unsur berturutan bagi janjang aritmetik: \(…5; x; 10; 12.5...\) Cari nilai unsur yang ditetapkan oleh huruf \(x\).
Penyelesaian:

	Untuk mencari \(x\), kita perlu tahu berapa banyak unsur seterusnya berbeza daripada yang sebelumnya, dengan kata lain, perbezaan janjang. Mari cari daripada dua unsur jiran yang diketahui: \(d=12.5-10=2.5\).
	Dan kini kita boleh mencari dengan mudah apa yang kita cari: \(x=5+2.5=7.5\).
	sedia. Anda boleh menulis jawapan.

Jawapan: \(7,5\).

Contoh (OGE). Janjang aritmetik diberikan syarat berikut: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Cari hasil tambah enam sebutan pertama janjang ini.
Penyelesaian:

Kita perlu mencari jumlah enam sebutan pertama janjang itu. Tetapi kita tidak tahu maksudnya; kita hanya diberikan unsur pertama. Oleh itu, kita mula-mula mengira nilai satu demi satu, menggunakan apa yang diberikan kepada kita: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Dan setelah mengira enam elemen yang kita perlukan, kita dapati jumlahnya.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Jumlah yang diperlukan telah ditemui.

Jawapan: \(S_6=9\).

Contoh (OGE). Dalam janjang aritmetik \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Cari perbezaan janjang ini.
Penyelesaian:

Jawapan: \(d=7\).

Formula penting untuk janjang aritmetik

Seperti yang anda lihat, banyak masalah mengenai janjang aritmetik boleh diselesaikan hanya dengan memahami perkara utama - bahawa janjang aritmetik ialah rantai nombor, dan setiap elemen berikutnya dalam rantai ini diperoleh dengan menambah nombor yang sama kepada yang sebelumnya ( perbezaan perkembangan).

Walau bagaimanapun, kadangkala terdapat situasi apabila ia adalah sangat menyusahkan untuk membuat keputusan secara "head-on". Sebagai contoh, bayangkan bahawa dalam contoh pertama kita perlu mencari bukan elemen kelima \(b_5\), tetapi tiga ratus lapan puluh enam \(b_(386)\). Patutkah kita menambah empat \(385\) kali? Atau bayangkan bahawa dalam contoh terakhir anda perlu mencari jumlah tujuh puluh tiga elemen pertama. Anda akan penat mengira...

Oleh itu, dalam kes sebegini mereka tidak menyelesaikan perkara secara "head-on", tetapi menggunakan formula khas yang diperoleh untuk janjang aritmetik. Dan yang utama ialah formula untuk sebutan ke-n bagi janjang dan formula untuk jumlah \(n\) sebutan pertama.

Formula bagi \(n\) sebutan ke: \(a_n=a_1+(n-1)d\), dengan \(a_1\) ialah sebutan pertama janjang;
\(n\) – nombor elemen yang diperlukan;
\(a_n\) – sebutan janjang dengan nombor \(n\).

Formula ini membolehkan kita mencari dengan cepat walaupun unsur tiga ratus atau sejuta, hanya mengetahui yang pertama dan perbezaan janjang.

Contoh. Janjang aritmetik ditentukan oleh syarat: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Cari \(b_(246)\).
Penyelesaian:

Jawapan: \(b_(246)=1850\).

Formula untuk hasil tambah n sebutan pertama: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), di mana

\(a_n\) – sebutan terakhir yang dijumlahkan;

Contoh (OGE). Janjang aritmetik ditentukan oleh keadaan \(a_n=3.4n-0.6\). Cari hasil tambah bagi sebutan \(25\) pertama bagi janjang ini.
Penyelesaian:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Untuk mengira jumlah bagi dua puluh lima sebutan pertama, kita perlu mengetahui nilai sebutan pertama dan dua puluh lima. Kemajuan kami diberikan oleh formula sebutan ke-n bergantung pada bilangannya (untuk butiran lanjut, lihat). Mari kita hitung elemen pertama dengan menggantikan satu untuk \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		Sekarang mari kita cari sebutan kedua puluh lima dengan menggantikan dua puluh lima bukannya \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		Nah, sekarang kita boleh mengira jumlah yang diperlukan dengan mudah.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Jawapannya sudah sedia.

Jawapan: \(S_(25)=1090\).

Untuk jumlah \(n\) sebutan pertama, anda boleh mendapatkan formula lain: anda hanya perlu \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) bukannya \(a_n\) gantikan formula untuknya \(a_n=a_1+(n-1)d\). Kita mendapatkan:

Formula untuk hasil tambah n sebutan pertama: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), di mana

\(S_n\) – jumlah yang diperlukan bagi \(n\) elemen pertama;
\(a_1\) – sebutan penjumlahan pertama;
\(d\) – perbezaan janjang;
\(n\) – bilangan elemen secara keseluruhan.

Contoh. Cari hasil tambah bagi sebutan \(33\)-ex pertama bagi janjang aritmetik: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Penyelesaian:

Jawapan: \(S_(33)=-231\).

Masalah janjang aritmetik yang lebih kompleks

Sekarang anda mempunyai segala-galanya maklumat yang diperlukan untuk menyelesaikan hampir semua masalah janjang aritmetik. Mari kita selesaikan topik dengan mempertimbangkan masalah di mana anda bukan sahaja perlu menggunakan formula, tetapi juga berfikir sedikit (dalam matematik ini boleh berguna ☺)

Contoh (OGE). Cari hasil tambah semua sebutan negatif janjang itu: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Penyelesaian:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Tugas ini sangat serupa dengan yang sebelumnya. Kita mula menyelesaikan perkara yang sama: mula-mula kita dapati \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Sekarang saya ingin menggantikan \(d\) ke dalam formula untuk jumlah... dan di sini satu nuansa kecil muncul - kita tidak tahu \(n\). Dalam erti kata lain, kita tidak tahu berapa banyak istilah yang perlu ditambah. Bagaimana untuk mengetahui? Mari berfikir. Kami akan berhenti menambah elemen apabila kami mencapai elemen positif pertama. Iaitu, anda perlu mengetahui bilangan elemen ini. Bagaimana? Mari tuliskan formula untuk mengira mana-mana unsur janjang aritmetik: \(a_n=a_1+(n-1)d\) untuk kes kami.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		Kita memerlukan \(a_n\) untuk menjadi lebih besar daripada sifar. Mari kita ketahui apa \(n\) ini akan berlaku.
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Kami membahagikan kedua-dua belah ketaksamaan dengan \(0.3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Kami memindahkan tolak satu, tidak lupa untuk menukar tanda-tanda
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Jom kira...
\(n>65,333…\)		... dan ternyata unsur positif pertama akan mempunyai nombor \(66\). Oleh itu, yang terakhir negatif mempunyai \(n=65\). Untuk berjaga-jaga, mari kita semak ini.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		Jadi kita perlu menambah elemen \(65\) pertama.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Jawapannya sudah sedia.

Jawapan: \(S_(65)=-630.5\).

Contoh (OGE). Janjang aritmetik ditentukan oleh syarat: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Cari jumlah dari \(26\)th hingga \(42\) elemen inklusif.
Penyelesaian:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Dalam masalah ini anda juga perlu mencari jumlah elemen, tetapi bukan bermula dari yang pertama, tetapi dari \(26\)th. Untuk kes sedemikian kami tidak mempunyai formula. Bagaimana untuk membuat keputusan? Mudah sahaja - untuk mendapatkan jumlah dari \(26\)th hingga \(42\)th, anda mesti mencari jumlah dari \(1\)th hingga \(42\)th, dan kemudian tolak daripadanya jumlah dari pertama hingga \(25\)th (lihat gambar).
	Untuk perkembangan kami \(a_1=-33\), dan perbezaan \(d=4\) (lagipun, kami menambah empat pada elemen sebelumnya untuk mencari yang seterusnya). Mengetahui ini mari cari jumlahnya elemen \(42\)-y pertama.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Sekarang jumlah unsur \(25\) pertama.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Dan akhirnya, kami mengira jawapannya.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Jawapan: \(S=1683\).

Untuk janjang aritmetik, terdapat beberapa lagi formula yang tidak kami pertimbangkan dalam artikel ini kerana kegunaan praktikalnya yang rendah. Walau bagaimanapun, anda boleh mencari mereka dengan mudah.