Дополнителни знаци на паралелограм со доказ. Теореми за паралелограм

Знак-ки па-рал-ле-ло-грам-ма

1. Дефиниција и основни својства на паралелограм

Да почнеме со потсетување на дефиницијата за пара-рал-ле-ло-грам.

Дефиниција. Паралелограм- what-you-rekh-gon-nick, кој ги има секои две про-ти-лажни страни кои се паралелни (види Сл. 1).

Ориз. 1. Па-рал-ле-ло-грам

Да се потсетиме основни својства на pa-ral-le-lo-gram-ma:

За да можете да ги користите сите овие својства, треба да бидете сигурни дека фи-гу-ра, за некој -Рој ние зборуваме за, - па-рал-ле-ло-грам. За да го направите ова, неопходно е да се знаат такви факти како знаци на па-рал-ле-ло-грам-ма. Сега ги гледаме првите две од нив.

2. Првиот знак на паралелограм

Теорема. Првиот знак на па-рал-ле-ло-грам-ма.Ако во четири-јаглен двете спротивни страни се еднакви и паралелни, тогаш овој прекар со четири јаглен - паралелограм. .

Ориз. 2. Првиот знак на pa-ral-le-lo-gram-ma

Доказ. Да го ставиме дијагоналот во четири-рех-јаглен-ни-ка (види слика 2), таа го подели на два три-јаглен-ни-ка. Ајде да запишеме што знаеме за овие триаголници:

според првиот знак за еднаквост на триаголниците.

Од еднаквоста на посочените триаголници произлегува дека, со знакот на паралелизам на прави при вкрстување на ч-нии нивните с-ку-шчи. Го имаме тоа:

До-ка-за-но.

3. Втор знак на паралелограм

Теорема. Вториот знак е pa-ral-le-lo-gram-ma.Ако во четири агол, секои две про-ти-лажни страни се еднакви, тогаш овој четириаголник е паралелограм. .

Ориз. 3. Вториот знак на pa-ral-le-lo-gram-ma

Доказ. Го ставаме дијагоналот во четириаголникот (види слика 3), таа го дели на два триаголници. Ајде да запишеме што знаеме за овие триаголници, врз основа на формата на теоријата:

според третиот знак за еднаквост на триаголниците.

Од еднаквоста на триаголниците следува дека, со знакот на паралелни прави, кога се сечат с-ку-шчеј. Ајде да јадеме:

пар-рал-ле-ло-грам по дефиниција. Q.E.D.

До-ка-за-но.

4. Пример за користење на првата паралелограмска карактеристика

Ајде да го погледнеме примерот за користење на знаците на pa-ral-le-lo-gram.

Пример 1. Во испакнатоста нема јаглен Најди ги: а) аглите на јагленот; б) сто-ро-бунар.

Решение. Илустрација Сл. 4.

па-рал-ле-ло-грам според првиот знак на па-рал-ле-ло-грам-ма.

А. по својство на пар-рал-ле-ло-грам за про-ти-неточни агли, со својство на пар-рал-ле-ло-грам за збирот на аглите, кога се лежи на едната страна.

Б. по природата на еднаквоста на про-лажните страни.

re-tiy знак pa-ral-le-lo-gram-ma

5. Преглед: Дефиниција и својства на паралелограм

Да се потсетиме на тоа паралелограм- ова е четири квадратен агол, кој има про-ти-лажни страни во парови. Тоа е, ако - пар-рал-ле-ло-грам, тогаш (види Сл. 1).

Паралелата-ле-ло-грам има голем број својства: спротивните агли се еднакви (), спротивните агли - ние сме еднакви ( ). Покрај тоа, дија-го-на-ли па-рал-ле-ло-грам на точката на ре-се-че-нија се дели според збирот на аглите, притискајќи на која било страна па -рал-ле-ло-грам-ма, еднакви итн.

Но, за да ги искористите сите овие својства, неопходно е да бидете апсолутно сигурни дека ри-ва-е-мојот ти-ти-рекх-јаглен-прекар - па-рал-ле-ло-грам. За таа цел, постојат знаци на пар-рал-ле-ло-грам: тоа е, оние факти од кои може да се извлече единствен вреден заклучок, дека она што-ти-рекх-јаглен-ник е пар-рал- ле-ло-грам-мамо. Во претходната лекција, веќе разгледавме два знака. Сега гледаме по трет пат.

6. Третиот знак на паралелограм и неговиот доказ

Ако во четири-јаглен има дија-го-он на точката на ре-се-че-нија тие го прават-ба-лам, тогаш дадениот четири-ти Рох-јаглен-ник е па-рал-ле -ннд-грам-мамо.

Со оглед на:

Што-ти-ре-јаглен-прекар; ; .

Доказ:

Паралелограм.

Доказ:

За да се докаже овој факт, потребно е да се прикаже паралелизмот на страните со пар-ле-ло-грамот. А паралелизмот на правите линии најчесто се постигнува преку еднаквоста на внатрешните вкрстени агли на овие прави агли. Така, еве го следниот метод за да се добие третиот знак на par-ral -le-lo-gram-ma: преку еднаквоста на триаголниците .

Ајде да видиме како овие триаголници се еднакви. Навистина, од условот следува: . Покрај тоа, бидејќи аглите се вертикални, тие се еднакви. Тоа е:

(првиот знак на еднаквосттри-јаглен-ни-ков- по две страни и аголот меѓу нив).

Од еднаквоста на триаголниците: (бидејќи внатрешните попречни агли кај овие прави линии и разделувачи се еднакви). Покрај тоа, од еднаквоста на триаголниците произлегува дека . Ова значи дека разбираме дека во четири јаглен двесте се еднакви и паралелни. Според првиот знак, па-рал-ле-ло-грам-ма: - па-рал-ле-ло-грам.

До-ка-за-но.

7. Пример за задача на трет знак на паралелограм и генерализација

Да го погледнеме примерот за користење на третиот знак на pa-ral-le-lo-gram.

Пример 1

Со оглед на:

- паралелограм; . - се-ре-ди-на, - се-ре-ди-на, - се-ре-ди-на, - се-ре-ди-на (види слика 2).

Доказ:- па-рал-ле-ло-грам.

Доказ:

Ова значи дека во четири-јаглен-не-диа-оди-на-дали на точката на ре-се-че-нија тие прават-по-лам. Со третиот знак на па-рал-ле-ло-грам, од ова произлегува дека - па-рал-ле-ло-грам.

До-ка-за-но.

Ако го анализирате третиот знак на pa-ral-le-lo-gram, тогаш можете да забележите дека овој знак е со-vet- има својство на par-ral-le-lo-gram. Односно, фактот дека dia-go-na-li de-la-xia не е само својство на пар-ле-ло-грам, а неговата карактеристична, ха-рак-те-ри-сти-че- својство, со кое може да се разликува од множеството what-you-rekh-coal-ni-cov.

ИЗВОР

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://wwww.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

Паралелограм е четириаголник со спротивни странипаралелно во пар. Оваа дефиниција е веќе доволна, бидејќи од неа произлегуваат преостанатите својства на паралелограмот и се докажуваат во форма на теореми.

Главните својства на паралелограмот се:

паралелограм е конвексен четириаголник;
Паралелограмот има спротивни страни кои се еднакви во парови;
на паралелограмот спротивни агливо пар еднакви;
Дијагоналите на паралелограмот се делат на половина со точката на пресек.

Паралелограм - конвексен четириаголник

Прво да ја докажеме теоремата дека паралелограм е конвексен четириаголник. Многуаголникот е конвексен ако од која страна и да се прошири на права линија, сите други страни на многуаголникот ќе бидат на истата страна од оваа права линија.

Нека се даде паралелограм ABCD, во која AB е спротивната страна за CD, а BC е спротивната страна за AD. Тогаш од дефиницијата на паралелограм произлегува дека AB || ЦД, п.н.е. || А.Д.

У паралелни сегментибр заеднички точки, тие не се вкрстуваат. Ова значи дека ЦД лежи на едната страна од AB. Бидејќи отсечката BC ја поврзува точката B од отсечката AB со точката C од отсечката CD, а отсечката AD ги поврзува другите точки AB и CD, отсечките BC и AD исто така лежат на истата страна од правата AB каде што лежи CD. Така, сите три страни - CD, BC, AD - лежат на истата страна на AB.

Слично, се докажува дека во однос на другите страни на паралелограмот, другите три страни лежат на истата страна.

Спротивните страни и агли се еднакви

Едно од својствата на паралелограмот е тоа Во паралелограм, спротивните страни и спротивните агли се еднакви во парови. На пример, ако е даден паралелограм ABCD, тогаш тој има AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Оваа теорема се докажува на следниов начин.

Паралелограм е четириаголник. Ова значи дека има две дијагонали. Бидејќи паралелограмот е конвексен четириаголник, кој било од нив го дели на два триаголници. Во паралелограмот ABCD, разгледајте ги триаголниците ABC и ADC добиени со цртање на дијагоналата AC.

Овие триаголници имаат една заедничка страна - AC. Агол BCA еднаков на аголот CAD како вертикална со паралелни BC и AD. Аглите BAC и ACD се исто така еднакви на вертикалните агли кога AB и CD се паралелни. Затоа, ∆ABC = ∆ADC под два агли и страната меѓу нив.

Во овие триаголници, страната AB одговара на страната CD, а страната BC одговара на AD. Затоа, AB = CD и BC = AD.

Аголот B одговара на аголот D, т.е. ∠B = ∠D. Аголот А на паралелограмот е збир на два агли - ∠BAC и ∠CAD. Аголот C е еднаков на ∠BCA и ∠ACD. Бидејќи паровите агли се еднакви еден на друг, тогаш ∠A = ∠C.

Така, докажано е дека во паралелограм спротивните страни и аглите се еднакви.

Дијагоналите се поделени на половина

Бидејќи паралелограмот е конвексен четириаголник, тој има две дијагонали и тие се сечат. Нека е даден паралелограм ABCD, неговите дијагонали AC и BD се сечат во точката E. Размислете за триаголниците ABE и CDE формирани од нив.

Овие триаголници имаат страни AB и CD еднакви на спротивните страни на паралелограмот. Аголот ABE е еднаков на аголот CDE како вкрстено лежи со паралелни прави AB и CD. Од истата причина, ∠BAE = ∠DCE. Тоа значи ∆ABE = ∆CDE под два агли и страната меѓу нив.

Можете исто така да забележите дека аглите AEB и CED се вертикални и затоа исто така се еднакви еден на друг.

Бидејќи триаголниците ABE и CDE се еднакви еден на друг, тогаш сите нивни соодветни елементи се еднакви. Страната AE на првиот триаголник одговара на страната CE од вториот, што значи AE = CE. Слично БЕ = ДЕ. Секој пар еднакви сегментие дијагонала на паралелограм. Така се докажува дека Дијагоналите на паралелограмот се преполовуваат со нивната пресечна точка.

Со цел да се утврди дали оваа бројкапаралелограм постојат голем број на карактеристики. Да ги погледнеме трите главни карактеристики на паралелограмот.

1 паралелограмски знак

Ако две страни на четириаголник се еднакви и паралелни, тогаш овој четириаголник ќе биде паралелограм.

Доказ:

Размислете за четириаголникот ABCD. Нека страните AB и CD се паралелни. И нека AB=CD. Да ја нацртаме дијагоналата BD во неа. Дадениот четириаголник ќе го подели на два еднаков триаголник: ABD и CBD.

Овие триаголници се еднакви еден на друг на двете страни и аголот меѓу нив (BD - заедничка страна, AB = CD по услов, агол1 = агол2 како попречни агли со попречната BD на паралелните прави AB и CD.), и затоа аголот3 = аголот4.

И овие агли ќе лежат попречно кога правата BC и AD се сечат со секантата BD. Од ова произлегува дека п.н.е. и н.е. се паралелни едни со други. Имаме дека во четириаголникот ABCD спротивните страни се паралелни во пар, и затоа четириаголникот ABCD е паралелограм.

Паралелограмски знак 2

Ако во четириаголник спротивните страни се еднакви во парови, тогаш овој четириаголник ќе биде паралелограм.

Доказ:

Размислете за четириаголникот ABCD. Да ја нацртаме дијагоналата BD во неа. Ќе го подели овој четириаголник на два еднакви триаголници: ABD и CBD.

Овие два триаголници ќе бидат еднакви еден со друг на три страни (BD е заедничката страна, AB = CD и BC = AD по услов). Од ова можеме да заклучиме дека агол1 = агол2. Следи дека AB е паралелна со ЦД. И бидејќи AB = CD и AB е паралелно со CD, тогаш според првиот критериум на паралелограм, четириаголникот ABCD ќе биде паралелограм.

3 паралелограмски знак

Ако дијагоналите на четириаголник се сечат и се пресечат со точката на пресек, тогаш овој четириаголник ќе биде паралелограм.

Размислете за четириаголникот ABCD. Да нацртаме две дијагонали AC и BD во него, кои ќе се сечат во точката O и се пресечени со оваа точка.

Триаголниците AOB и COD ќе бидат еднакви еден со друг, според првиот знак за еднаквост на триаголниците. (AO = OC, BO = OD по услов, агол AOB = агол COD како вертикални агли.) Затоа, AB = CD и агол 1 = агол 2. Од еднаквоста на аглите 1 и 2, имаме дека AB е паралелно со CD. Тогаш имаме дека во четириаголникот ABCD страните AB се еднакви на CD и паралелни, а според првиот критериум на паралелограм, четириаголникот ABCD ќе биде паралелограм.

Четириаголник ABCD е фигура која се состои од четири точки A, B, C, D, по три, кои не лежат на иста права линија, и четири отсечки AB, BC, CD и AD што ги поврзуваат овие точки.

На сликите се прикажани четириаголници.

Точките A, B, C и D се нарекуваат темиња на четириаголник, и отсечки AB, BC, CD и AD - забави. Темињата A и C, B и D се нарекуваат спротивни темиња. Се нарекуваат страните AB и CD, BC и AD спротивставените страни .

Постојат четириаголници конвексни(лево на сликата) и неконвексни(на сликата - десно).

Секоја дијагонала конвексен четириаголник го дели на два триаголници(дијагоналата AC го дели ABCD на два триаголник ABCи ACD; дијагонала BD - на BCD и BAD). У неконвексен четириаголниксамо една од дијагоналите ја дели на два триаголници(дијагоналата AC го дели ABCD на два триаголници ABC и ACD; дијагоналата BD не).

Ајде да размислиме главни типови на четириаголници, нивните својства, формули за области:

Паралелограм

Паралелограм е четириаголник чии спротивни страни се паралелни во парови.

Својства:

Знаци на паралелограм:

1. Ако две страни на четириаголник се еднакви и паралелни, тогаш овој четириаголник е паралелограм.
2. Ако во четириаголник спротивните страни се еднакви во парови, тогаш овој четириаголник е паралелограм.
3. Ако во четириаголник дијагоналите се сечат и се поделат на половина со точката на пресек, тогаш овој четириаголник е паралелограм.

Површина на паралелограм: