Страница 2
Конечни низи на основни симболи се нарекуваат изрази на S-теоријата.
бесплатно конечна низазнаците од азбуката (вклучувајќи го и празното) се нарекуваат синџир, произволно подмножество LA од множеството од сите можни синџири -, проверката се нарекува јазик над А.
SPD што се разгледува имплементира режим на префрлување на пакети, кој е метод на пренос во кој податоците од корисничките пораки се поделени на посебни пакети, чии правци на пренос во мрежата од изворот до примачот се одредуваат во секој контролен центар каде што се наоѓаат пакетите. се примени. Пораките се сфаќаат како конечна низа од симболи кои имаат семантичка содржина. Пакетот е блок од податоци со заглавие, претставен во одреден формат и има ограничена максимална должина. Забележете дека системите за пренос на податоци со комутација на пакети имаат висока ефикасностблагодарение на можноста за брзо преуредување на патеките за пренос на податоци (рутирање) во случај на преоптоварување и оштетување на елементите за пренос на податоци. Ефикасност различни опцииизградбата на системот за пренос на податоци и неговите фрагменти се проценува според просечните времиња на испорака на податоците до корисниците и веројатноста за неуспех да се воспостави врската што ја бара корисникот во овој моментвреме.
Се разбира, не секоја конечна низа од симболи е изјава; на пример, (S0 L (55)) е исказ, но l l) S3 и S0 l не се.
F е множество од сите конечни низи на симболи кои се генератори или нивни инверзни. Сите зборови од F се поделени во класи на следниот начин: ако Wi и W2 се еквивалентни зборови од F, тогаш Wi и W2 припаѓаат на иста класа; ако Wi и W2 не се еквивалентни зборови од F, тогаш Wi и W2 не се во иста класа. Со други зборови, зборовите Wi и W2 се во иста класа ако и само ако се еквивалентни. заеднички проблем, што се состои во тоа да се одлучи, во случај на произволна група, дали два збора се еквивалентни, е исклучително тешко.
Метаматематиката е теорија која ги проучува формализираните математички теории. Формализирана теорија е, грубо кажано, збир од некои конечни низи на симболи, наречени формули и термини, и збир на некои едноставни операции извршени на овие низи. Формули и термини добиени со помош на пита - колку едноставни правила, служи како замена за интуитивни предлози и функции математичка теорија. Операциите на формулите одговараат на елементарните чекори на дедукција во математичкото расудување. Формулите што одговараат на аксиомите на интуитивната теорија играат посебна улога - тие се аксиоми на формализираната теорија. Формулите кои можат да се изведат од аксиомите со помош на усвоените операции одговараат на теоремите на теоријата.
Метаматематиката е теорија која ги проучува формализираните математички теории. Формализирана теорија е, грубо кажано, збир од некои конечни низи на симболи, наречени формули и термини, и збир на некои едноставни операции извршени на овие низи. Формулите и термините изведени од неколку едноставни правила служат како замена за предлозите и функциите на интуитивната математичка теорија. Операциите на формулите одговараат на елементарните чекори на дедукција во математичкото расудување. Формулите што одговараат на аксиомите на интуитивната теорија играат посебна улога - тие се аксиоми на формализираната теорија.
Второ, можеме да го напуштиме барањето потписот да може да се брои и да го кажеме ова: за секое подмножество A C M постои елементарна потструктура M C M што содржи A чија кардиналност не го надминува максимумот од NQ, кардиналноста на множеството A и кардиналноста на потписот. . Всушност, и изградбата на затворање во однос на операциите на потпис, и изградбата на егзистенцијално затворање, и броибилната заедница на зголемениот синџир не ја земаат моќта над наведениот максимум, бидејќи и формулите и термините се конечни секвенци на симболи за потпис и бројни други симболи (види повеќе детали во ); истото може да се каже и за бројот на можни множества на вредности на параметрите.
Во разгледуваниот IVS, се имплементира режим на префрлување на пакети, кој обезбедува метод на пренос во кој податоците од корисничките пораки се поделени во посебни пакети. Рутите за пренос на пакети во мрежата од извор до примач се одредуваат во секоја компанија за управување каде што пристигнуваат. Пораките се сфаќаат како конечна низа од симболи кои имаат семантичка содржина. Пакетот е блок од податоци со заглавие, претставен во одреден формат и има ограничена максимална должина. Забележете дека МВС со префрлување пакети се многу ефикасни поради можноста за брзо преуредување на патеките за пренос на податоци (рутирање) во случај на преоптоварување и оштетување на елементите на IVS. Ефективноста на различни опции за конструирање на IVS и неговите фрагменти се проценува според просечните времиња за доставување податоци до корисниците и веројатноста за неуспех да се воспостави врската што ја бара корисникот во дадено време.
Кога се разгледува (конечно или бесконечно) бројливо множество, броевите што одговараат на неговите елементи во некоја фиксна конверзија може да се користат како поединечни ознаки или имиња на овие елементи. Но, обратно, ако име или експлицитен израз во некој претходно даден недвосмислен систем на нотација може да биде поединечноповрзан со секој елемент од одредено множество, тогаш ова множество (конечно или бесконечно) може да се изброи, под услов името или изразот да биде конечна низа од симболи избрани од дадена конечна азбука на симболи што ни е достапна. На пример, алгебарски равенкисо цел број коефициенти може да се запише со користење на децимална нотација за коефициенти и експоненти. Пишувањето експоненти на врвот е неважна карактеристика на нашата нотација што може да се елиминира со соодветна конвенција.
Да го разгледаме, на пример, проблемот со множење на два полиноми со коефициенти на цели броеви. Проблемот е како да се напишат овие полиноми за да можат да се внесат во компјутер. Туринговите машини, кои ги разгледуваме подолу, разбираат само конечни низи од симболи (зборови) од одредено конечно множество А, наречено надворешна азбука. Затоа, ригорозна формулација на пресметковен проблем мора да вклучува азбука и метод за кодирање на влезните податоци.
Секој азбучен оператор е поврзан со интуитивна идеја за неговата сложеност. Наједноставни се азбучните оператори кои вршат пресликување карактер по знак. Мапирањето знак по знак се состои од замена на секој знак s од влезниот збор А со некој знак од излезната азбука Б. Големо значењеимаат таканаречени мапирања за кодирање. Мапата за кодирање се подразбира како кореспонденција што го поврзува секој знак од влезната азбука со одредена конечна низа од знаци во излезната азбука, наречена код.
Тие формираат неброено мноштво. Пресметливите функции формираат многу важно подмножество што почнуваме да го проучуваме. Навистина, кога користите било кој алгоритамски јазикСекоја програма се состои од конечна низа на симболи од конечна или броилива азбука. Следи дека множеството програми е броиво бесконечно.
Да разгледаме малку поинаква форма на проблеми со индуктивни заклучоци. Да претпоставиме дека ни е дадена доволно долга низа од симболи и дека задачата е да ги предвидиме следните симболи од оваа низа. Ова е вообичаена задача за оние случаи каде што треба да ги процените веројатностите со индукција. Оваа задача е донекаде освежена со воведот модерен концептуниверзална компјутери програмски јазик составен за него. Се вели дека програмата е валидна ако, откако ја примила, машината отпечати низа, дури и бесконечна, која започнува со дадена конечна низа знаци. Така, секоја валидна програма прави предвидување.
Природната серија на броеви е убава сама по себе: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .... Покажува растечки редослед во во својата најчиста форма. Принципот на конструирање на следниот синџир на броеви не е толку очигледен: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., иако тие исто така не се случајни: секој број, почнувајќи од третиот, е еднаков на збирот на двата претходни. Оваа серија на природни броеви, која има своја историско име– серијата Фибоначи има своја логика и убавина, чие разбирање е можно само со целно проучување.
БРОЕВИ ФИБОНАЦИ. Леонардо Фибоначи (). Истакнат италијански математичар, автор на Книгата на Абакус. Оваа книга остана главно складиште на информации за аритметика и алгебра неколку векови. Преку делата на Л. Фибоначи цела Европа ги совлада арапските бројки, системот за броење, како и практичната геометрија. Тие останаа десктоп учебници речиси до ерата на Декарт (а ова е веќе 17 век!).
Се изразува правилото за низа вербален опис. Примери. 1) Низа прости броеви двоцифрени броеви, помалку од 50, постои конечна низа: 11, 13, 17, 19, 23, 43, 47; 2) Бесконечна низа од приближувања ирационален број= =1, ...: 2, 1.7, 1.73, 1.732, 1, 7321, ... Вербална
Наведено е правило кое овозможува да се пресмета n-тиот член на дадена низа ако се познати сите нејзини претходни членови. Пример. Y 1 = 1, y n = y n-1 n, ако n2. Да ги пресметаме првите неколку члена од оваа низа: 1, 2, 6, 24, 120, .... Можете да потврдите дека n-тиот член од оваа низа еднаков на производотпрви n природни броеви: y n = n ! Повторливи
Задача 2 Најдете ги првите пет члена од низата дадена повторливо: y 1 = 2, y n = y n Одговор: 2, 7, 12, 17, 22. Диктат за обукаОпција 1 (2) 1. Дали низата делители на бројот 1200 е конечна или бесконечна? (Множење на 8?) 2. Дали низата од броеви кои се множители на 6 е конечна или бесконечна? (Деленици на бројот 2400?) 3. Низата е дадена со формулата a n =5n+2 (b n =n 2 -3). На што е еднаков неговиот трет член? 4. Запиши го последниот член од низата од сите трицифрени (двоцифрени) броеви. 5.Дана формула за повторувањесеквенци a n+1 =a n -4 и 1 =5 (b n+1 =b n /4, b 1 =8). Најдете 2 (б 2).
Опција Ultimate. 2. Бесконечна опција Бесконечна. 2. Крајна
Последователијае збир на елементи на одредено множество. Бесконечна низа- низа која е специфицирана со функција со домен на дефиниција Н. Во случај кога оваа функција е нумеричка, тогаш бесконечна броена низа. Следно ќе ги разгледаме низите на броеви. Значење ѓ(n), што одговара на природен број n, повикан n-ти член на низата. Понекогаш наместо тоа ѓ(n) се користат ознаки а n , x n .
Примери за низа на броеви:
ѓ(n) = 3n+ 2, од каде ѓ(1) = 5, ѓ(2) = 8,..., ѓ(100) = 302,... ;
ѓ(n) = 1 + (-1) n, каде ѓ(1) = 0, ѓ(2) = 2,... или, во општ случај, ѓ(2к - 1) = 0, ѓ(2к) = 2 (к ∈ Н).
Како функција може да се наведе броена низа различни начини. Формулата која одредува броена низа се нарекува формула n-ти (или заеднички) член. Со негова помош, можете да ја добиете вредноста на кој било елемент од низата со замена на неговиот број во формулата. На пример: а n = 2 n .
Постои уште еден начин да се определи нумеричка низа - повторлива. Го изразува секој член на низата во однос на претходните. На пример: а n = 2(а n-1 + 3), а 1 = 2. Потоа а 2 = 10, а 3 = 26,...
Ако низата има конечен број членови, таа се нарекува конечна. На пример, последната низа е трицифрени броеви: 100, 101, ... , 999. Се состои од 900 елементи.
Низата се нарекува се зголемува, доколку има некој n ∈ Ннееднаквоста важи а nа n+1 .
Низата се нарекува паѓање, доколку има некој n ∈ Ннееднаквоста важи а n > а n+1 .
Зголемувачките и намалувачките низи се нарекуваат монотоно.
На пример, низата дадена со формулата а n = n/(n+ 1), е монотоно, се зголемува, бидејќи разлика а n+1 - а n = (n + 1)/(n + 2) - n/(n + 1) = 1/(n + 1)(n+ 2) > 0. Односно а nа n+1. Низа со заеднички термин а n = 1 + (-1) nне е монотоно, бидејќи а 1 а 2, а а 2 > а 3 .
Низата се нарекува ограничени погоре М ∈ Р, Што а n ≤ М.
Низата се нарекува ограничени подолу, доколку постои таков број м ∈ Р, Што а n ≥ м.
На пример, низата а n = nограничен одоздола, но не ограничен одозгора. Последователија а n = (-1) n nне е ограничен ниту горе, ниту долу.
Низата се нарекува ограничен, ако е истовремено ограничен и горе и долу.
Број анаречена граница на низата ( а n), ако за било кој ε > 0 има природен број Н, таков што за секого n > Ннееднаквоста важи | а n - а| лим n→∞ а n = аили а n → а.
Се нарекува низа што има граница конвергентен. Се нарекува низа која нема граница дивергентни.
Ако лим n→∞ а n= 0, потоа низата ( а n) се нарекува бесконечно мало.
Својства на границите на нумеричката низа:
1. Ако лим n→∞ а n = аи лим n→∞ б n = б, потоа лим n→∞ (а n + б n) = а + б;
2. Ако лим n→∞ а n = аи лим n→∞ б n = б, потоа лим n→∞ (а n б n) = аб;
3. Ако лим n→∞ а n = аи лим n→∞ б n = б≠ 0, потоа лим n→∞ (а n /б n) = а/б;
4.lim n→∞ ва n = влим n→∞ а n, Каде в ∈ Р;
5. Ако лим n→∞ а n= лим n→∞ б n = аИ а n ≤ в n ≤ б n, потоа лим n→∞ в n = а.
6. Ако лим n→∞ а n = а, лим n→∞ б n = бИ а nб nна n ∈ Н, Тоа а ≤ б.
Низата е еден од основните поими на математиката. Низата може да биде составена од броеви, точки, функции, вектори итн. Низата се смета за дадена ако е наведен закон според кој секој природен број се поврзува со елемент од одредено множество. Редоследот е напишан во форма, или накратко. Елементите се нарекуваат членови на низата, - првиот, - вториот, - заедничкиот (ти) член на низата.
Најчесто се разгледуваат секвенците на броеви, т.е. низи чии членови се броеви. Аналитички метод- најлесниот начин да поставите низа од броеви. Ова се прави со помош на формула која го изразува тиот член на низата преку неговиот број. На пример, ако
Друг метод е повторлив (од Латински зборповторувања - „враќање“), кога се специфицирани првите неколку членови на низата и правило кое овозможува секој следен член да се пресмета со користење на претходните. На пример:
Примери на низи од броеви - аритметичка прогресијаи геометриска прогресија.
Интересно е да се следи однесувањето на членовите на низата бидејќи бројот се зголемува бесконечно (она што се зголемува бесконечно се пишува во форма и се чита: „се стреми кон бесконечност“).
Размислете за низа со заеднички термин: , , , …, , …. Сите поими од оваа низа се различни од нула, но колку повеќе, толку помалку се разликуваат од нула. Условите на оваа низа имаат тенденција на нула бидејќи се зголемуваат на неодредено време. Тие велат дека бројот нула е граница на оваа низа.
Друг пример: - дефинира низа
Условите на оваа низа исто така имаат тенденција на нула, но тие понекогаш се поголеми од нула, понекогаш помали од нула - нивната граница.
Ајде да погледнеме друг пример: 
. Доколку е претставено во форма
тогаш ќе стане јасно дека оваа низа тежнее кон единство.
Дозволете ни да ја дефинираме границата на низата. Бројот се нарекува граница на низата ако за кој било позитивен број е можно да се определи број така што неравенството важи за сите.
Ако има ограничување на низата, тогаш тие пишуваат или (првите три букви од латинскиот збор limes - „граница“).
Оваа дефиниција ќе стане појасна ако ја дадеме геометриско значење. Ајде да го приложиме бројот во интервал (сл. 1). Бројот е граница на низата ако, без оглед на малата интервал, сите членови на низата со броеви поголеми од некои ќе лежат во овој интервал. Со други зборови, само конечен број на членови од низата може да биде надвор од кој било интервал.
За разгледуваната низа, -соседството на точката нула at ги вклучува сите членови на низата освен првите десет, и at - сите членови од низата освен првите сто.
Низата што има граница се нарекува конвергентна, а низата што нема граница се нарекува дивергентна. Еве пример за дивергентна низа: . Нејзините членови се наизменично еднакви и не се склони кон ниту една граница.
Ако низата се конвергира, тогаш таа е ограничена, т.е. има броеви и такви што сите поими од низата го задоволуваат условот. Следи дека сите неограничени низи се дивергентни. Ова се низите:
„Блисното, длабоко проучување на природата е изворот на најплодните откритија во математиката“. Ј. Фурие
Низата која тежнее кон нула се нарекува бесконечно мала. Концептот на бесконечно мало може да се користи како основа општа дефиницијаграница на низата, бидејќи границата на низата е еднаква ако и само ако може да се претстави како збир, каде што е бесконечно мала.
Разгледуваните низи се бесконечно мали. Низата , како што следува од (2), се разликува од 1 за бесконечно мало, и затоа границата на оваа низа е 1.
Голема вредност во математичка анализаго има и концептот на бесконечно голема низа. Се вели дека низата е бесконечно голема ако низата е бесконечно мала. Бесконечно голема низа е напишана во форма или , и се вели дека „се стреми кон бесконечноста“. Еве примери на бесконечно големи секвенци:
Тоа го нагласуваме бесконечно голема низанема ограничување.
Да ги разгледаме низите и . Можно е да се дефинираат низи со заеднички термини , , и (ако). Вистина е следнава теорема, која често се нарекува теорема за аритметички операциисо граници: ако низите се конвергентни, тогаш низите , , и исто така се конвергентни и важат следните еднаквости:
Во вториот случај, неопходно е да се бара, покрај сите услови на низата да се разликуваат од нула, условот да биде исполнет.
Со примена на оваа теорема, може да се најдат многу граници. Да ја најдеме, на пример, границата на низа со заеднички член и нерастечки. Сосема е очигледно дека оваа низа се стреми кон некој број кој е или помал или еднаков на . Во текот на математичката анализа, се докажува теоремата дека низата што не се намалува и е ограничена над има граница (слична изјава е точно за низа што не се зголемува и ограничена под). Оваа извонредна теорема дава доволни условипостоење на граница. Од него, на пример, произлегува дека низата области редовни -гони, впишан во круг со единичен радиус, има граница, бидејќи монотоно се зголемува и ограничува одозгора. Границата на оваа низа е означена со .
Користејќи ја границата на монотона ограничена низа, го одредуваме играњето голема улогаво математичката анализа, бројот е основа на природните логаритми:
.
Секвенцата (1), како што веќе беше забележано, е монотона и, згора на тоа, ограничена одозгора. Има граница. Лесно можеме да ја најдеме оваа граница. Ако е еднаков, тогаш бројот мора да ја задоволува еднаквоста. Решавајќи ја оваа равенка, добиваме.
Ако секој природен број n е поврзан со некои реален број x n , тогаш велат дека е дадено броена низа
x 1 , x 2 , … x n , …
Број x 1 се нарекува член на низата со број 1 или првиот член на низата, број x 2 - член на низата со број 2 или вториот член на низата итн. Се повикува бројот x n член на низата со број n.
Постојат два начина за одредување низи на броеви - со и со рекурентна формула.
Секвенца со користење формули за општиот член на низата– ова е задача во низа
x 1 , x 2 , … x n , …
користејќи формула која ја изразува зависноста на поимот x n од неговиот број n.
Пример 1. Редоследот на броеви
1, 4, 9, … n 2 , …
дадени со користење на заедничкиот термин формула
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …
Одредување на низа со помош на формула која изразува член на низата x n преку членовите на низата со претходни броеви се нарекува одредување низа со користење рекурентна формула.
x 1 , x 2 , … x n , …
повикани во зголемена секвенца, повеќепретходен член.
Со други зборови, за сите n
x n + 1 >x n
Пример 3. Низа од природни броеви
1, 2, 3, … n, …
е растечка низа.
Дефиниција 2. Низа на броеви
x 1 , x 2 , … x n , …
повикани опаѓачка низаако секој член од оваа низа помалкупретходен член.
Со други зборови, за сите n= 1, 2, 3, ... неравенството е исполнето
x n + 1 < x n
Пример 4. Последователија
дадена со формулата
е опаѓачка низа.
Пример 5. Редоследот на броеви
1, - 1, 1, - 1, …
дадена со формулата
x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …
не е ниту се зголемува ниту се намалуваниза.
Дефиниција 3. Се нарекуваат низи со зголемување и намалување монотони секвенци.
Ограничени и неограничени секвенци
Дефиниција 4. Низа на броеви
x 1 , x 2 , … x n , …
повикани ограничен одозгора,ако има број M таков што секој член од оваа низа помалкуброеви М.
Со други зборови, за сите n= 1, 2, 3, ... неравенството е исполнето
Дефиниција 5. Низа на броеви
x 1 , x 2 , … x n , …
повикани ограничени подолу,ако има број m таков што секој член од оваа низа повеќеброеви m.
Со други зборови, за сите n= 1, 2, 3, ... неравенството е исполнето
Дефиниција 6. Низа на броеви
x 1 , x 2 , … x n , …
се нарекува ограничен ако тоа ограничен и горе и долу.
Со други зборови, постојат броеви M и m такви што за сите n= 1, 2, 3, ... неравенството е исполнето
м< x n < M
Дефиниција 7. Нумерички низи кои не се ограничени, повикан неограничени секвенци.
Пример 6. Редоследот на броеви
1, 4, 9, … n 2 , …
дадена со формулата
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,
ограничени подолу, на пример, бројот 0. Меѓутоа, оваа низа неограничено одозгора.
Пример 7. Последователија
дадена со формулата
е ограничена низа , затоа што за сите n= 1, 2, 3, ... неравенството е исполнето
На нашата веб-страница можете да се запознаете и со едукативни материјали развиени од наставниците на центарот за обука Резолвента за подготовка за обединет државен испит и обединет државен испит по математика.
За ученици кои сакаат добро да се подготват и да положат Единствен државен испит по математика или руски јазикна висок резултат, Едукативниот центар„Резолвента“ спроведува
| подготвителни курсеви за ученици од 10 и 11 одделение |