ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣ. ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣ: ಹೇಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು? ಸಮತಲ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವಿಧಗಳು

ನೇರ ರೇಖೆ y = f(x) ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ x0 ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅದು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಈ ಹಂತನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (x0; f(x0)) ಮತ್ತು ಹೊಂದಿದೆ ಇಳಿಜಾರು f"(x0) ಈ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಸ್ಪರ್ಶದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ.

ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ

• - ಗಣಿತದ ಉಲ್ಲೇಖ ಪುಸ್ತಕ;
• - ನೋಟ್ಬುಕ್;
• - ಸರಳ ಪೆನ್ಸಿಲ್;
• - ಪೆನ್;
• - ಪ್ರೊಟ್ರಾಕ್ಟರ್;
• - ದಿಕ್ಸೂಚಿ.

ಸೂಚನೆಗಳು

• x0 ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ನ ಗ್ರಾಫ್ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ l ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ (x0; f(x0)) ಮತ್ತು (x0+Δx; f(x0 + Δx)). ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (x0; f(x0)) ಪಾಯಿಂಟ್ A ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, ಅದರ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು Δy/Δx ಸೆಕೆಂಟ್ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ (Δх→0) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು f‘(x0) ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಹ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.
• F‘(x0) ಗೆ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಬಹುಶಃ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕವಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಬಹುಶಃ ಅದು ಲಂಬವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ x0 ನಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಲಂಬವಲ್ಲದ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಿಂದ ವಿವರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಪಾಯಿಂಟ್ (x0, f(x0)) ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕದಲ್ಲಿದೆ. IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಸ್ಪರ್ಶಕದ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವು f"(x0) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಅಂದರೆ, ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು.
• ಅಂದರೆ, ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಸ್ಪರ್ಶದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನೀವು ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆ: abscissa X0 = 1 ನೊಂದಿಗೆ ಹಂತದಲ್ಲಿ y = x³ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಪರಿಹಾರ: ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ y΄(x) = 3x² X0 = 1 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. у΄(1) = 3 × 1² = 3. X0 = 1 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಕೋನ ಗುಣಾಂಕವು 3 ಆಗಿದೆ.
• ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಇದರಿಂದ ಅವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ: x1, x2 ಮತ್ತು x3. ಈ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನಗಳನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಿ (ಕೋನವನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ - ಅಕ್ಷದಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯವರೆಗೆ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಕೋನ α1 ತೀವ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದು (α2) ಚೂಪಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯ (α3) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯು ಸಮಾನಾಂತರ ಅಕ್ಷಓಹ್. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಚೂಪಾದ ಕೋನಇದೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಅರ್ಥ, ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ತೀವ್ರ ಕೋನ- ಧನಾತ್ಮಕ, tg0 ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಕಲಿಯಿರಿ.ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗ್ರಾಫ್ ನೇರ ಅಥವಾ ಬಾಗಿದ ರೇಖೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ನೆನಪಿರಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳು, ಅದರ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಮುಂದಿನ ಹಂತಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ.

• ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಿ.
• ಸರಳವಾದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉತ್ಪನ್ನ ಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣ, ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮುಂದಿನ ಹಂತಗಳು, ಅದರಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲಕ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತಿಳಿಯಿರಿ.ಕಾರ್ಯದ ಇಳಿಜಾರು ಅಥವಾ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, A(x,y) ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಬಹುದು. A(x,y) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಸಹ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಬಹುದು. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ನಿಮಗೆ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.ಇಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ - ನಿಮಗೆ ಕಾರ್ಯದ ಸಮೀಕರಣ ಮಾತ್ರ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ:

• ಉತ್ಪನ್ನ:

ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ನೀಡಿದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಬಂದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, f"(x) ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ (x,f(x)) ಕಾರ್ಯದ ಇಳಿಜಾರು. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ:

• ಕಾರ್ಯದ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಹುಡುಕಿ f (x) = 2 x 2 + 6 x (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ f(x)=2x^(2)+6x)ಪಾಯಿಂಟ್ A (4,2) ನಲ್ಲಿ
• ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:
  • f′ (x) = 4 x + 6 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ f"(x)=4x+6)
• ಈ ಬಿಂದುವಿನ "x" ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ:
  • f′ (x) = 4 (4) + 6 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ f"(x)=4(4)+6)
• ಇಳಿಜಾರು ಹುಡುಕಿ:
• ಇಳಿಜಾರು ಕಾರ್ಯ f (x) = 2 x 2 + 6 x (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ f(x)=2x^(2)+6x)ಪಾಯಿಂಟ್ A (4,2) ನಲ್ಲಿ 22 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿಯೂ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೆನಪಿಡಿ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳುಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಳು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ನೀವು ನೀಡಿದ ಕಾರ್ಯದ ಇಳಿಜಾರು ಸರಿಯಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಗ್ರಾಫಿಂಗ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ. IN ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆನಿಮಗೆ ನೀಡಲಾದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಇಳಿಜಾರಿನ ಮೌಲ್ಯವು ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ನೀವು ನೋಡುವುದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಯೋಚಿಸಿ.

• ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು, X ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಎಡಕ್ಕೆ/ಬಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ (ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, 22 ಮೌಲ್ಯಗಳು ಬಲಕ್ಕೆ), ತದನಂತರ Y ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ, ತದನಂತರ ಅದನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ನಿಮಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (4,2) ಮತ್ತು (26,3) ಸಂಪರ್ಕಿಸಿ.