ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ಅಡ್ಡ ವಿಭಾಗ. ಏಕ-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್, ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ; ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಜನರೇಟರ್ಗಳು

ಏಕ-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್. ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

ಒಂದು ಹಾಳೆಯ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಮೂರು ಸಮ್ಮಿತಿ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - ಸಮನ್ವಯ ಸಮತಲಗಳು, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಸ್ತುತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು y ಮತ್ತು z ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸಮ ಪವರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ (55) ಸೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ABCD ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 97)

ಅಂತೆಯೇ, ಸಮತಲದಿಂದ ಸಿಂಗಲ್-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ EFGH ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ

ಏಕ-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ಸಮತಲದಿಂದ ಛೇದಿಸಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತ BFCG ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ:

ಈ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಂ.

ನೀವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಪಡೆದಾಗ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಅರೆ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ a ಮತ್ತು b. ನಾವು ಕ್ರಾಂತಿಯ ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ವಿಮಾನಗಳು ಅದನ್ನು ಛೇದಿಸಿದಾಗ, ವಲಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಪ್ಯಾರಾಗಳಲ್ಲಿ 2 ಮತ್ತು 3 ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ಮತ್ತು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ. ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ನೇರ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಇದರಲ್ಲಿ a, b ಮತ್ತು c ಏಕ-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ನ ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳು, ಮತ್ತು k ಎಂಬುದು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆ

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಹಾಳೆಯ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ನ ಸಮೀಕರಣ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ಸಮೀಕರಣವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ (59). ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (59) ಪೂರೈಸುವ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (55) ಸಹ ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರೇಖೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು (59) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ (55) ಗೆ ಸೇರಿವೆ. ಕೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲೆ ಇರುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (55). ಅಂತೆಯೇ, ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಎಲ್ಲಾ ನೇರ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನಿಯತಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕುಟುಂಬದಿಂದ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಹ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಏಕ-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ನೇರ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 98). ಈ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ನ ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಜನರೇಟರ್‌ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಏಕ-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ರಚಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಾಣ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಂಜಿನಿಯರ್ V. G. ಶುಕೋವ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ವಿನ್ಯಾಸದ ಪ್ರಕಾರ, ಮಾಸ್ಕೋದಲ್ಲಿ ರೇಡಿಯೊ ಮಾಸ್ಟ್ ಅನ್ನು ಏಕ-ಕುಹರದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಜೆನೆರೆಟ್ರಿಸಸ್ನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಕಿರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಎರಡು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್. ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

ಎರಡು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಪ್ಲೇನ್‌ಗಳು ಎರಡು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್‌ಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ಗೆ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಸಮತಲಗಳಾಗಿವೆ.

ಈ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲಗಳೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಏಕ-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=1.

ಎರಡು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ಕೆಲವು ಕಡೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ ಆಯತಾಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ Oxyz ಅನ್ನು ಸಂಘಟಿಸುತ್ತದೆ

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=-1.

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ (4.48), (4.49) a, b, c ಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಯತಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು a\geqslant b .

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳು ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ (4.48) ನ ನಾಲ್ಕು ಅಂಕಗಳು (\pm a,0,0), (0,\pm b,0) ಮತ್ತು ಎರಡು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ಎರಡು ಅಂಕಗಳು (0,0,\pm c) (4.49) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ಗಳ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೂರು ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ಗಳ ಅಕ್ಷಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. Ox,\,Oy ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ಗಳ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ಗಳ ಅಡ್ಡ ಅಕ್ಷಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅಕ್ಷದ Oz ಗೆ ಸೇರಿದ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ಗಳ ಉದ್ದದ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a,\,b,\,c , ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ಗಳ ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಏಕ-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ಪ್ಲೇನ್ ವಿಭಾಗಗಳು

z=0 ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (4.48) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲ ಆಕ್ಸಿಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ನ ಛೇದನದ ರೇಖೆ. ಆಕ್ಸಿ ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಗಂಟಲು ಎಂಬ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಇತರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ಛೇದನದ ಸಾಲುಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x=0 ಗಾಗಿ ನಾವು ಮುಖ್ಯ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(z^2)=1, ಮತ್ತು y=0 ಗಾಗಿ - ಮುಖ್ಯ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ \frac(x^2)(a^2)-\frac(z^2)(c^2)=1

ಆಕ್ಸಿ ಪ್ಲೇನ್‌ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಪ್ಲೇನ್‌ಗಳಿಂದ ಸಿಂಗಲ್-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ನ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. z=h ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ h ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ (ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್), ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (4.48), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(h^2)(c^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac(x ^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1+\frac(h^2)(c^2).

h ನಿಯತಾಂಕದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣವು ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ a"=a\sqrt(1+\frac(h^2)(c^2)), b"=b\sqrt(1+\frac(h^2)(c^2)),. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, z=h ಸಮತಲದಿಂದ ಏಕ-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ವಿಭಾಗವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಅನ್ವಯಿಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳು ಮುಖ್ಯ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ. z=h ನಲ್ಲಿ ಸಮತಲಗಳ ಮೂಲಕ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಎಲ್ಲಾ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಅರ್ಥಗಳುನಿಯತಾಂಕ h, ಗಂಟಲು ದೀರ್ಘವೃತ್ತ (h=0 ನಲ್ಲಿ) ಚಿಕ್ಕ ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಶೃಂಗಗಳು ಮುಖ್ಯ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ (Fig. 4.42, a)

ಎರಡು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ಪ್ಲೇನ್ ವಿಭಾಗಗಳು

Oyz ಮತ್ತು Oxz ಸಮನ್ವಯ ವಿಮಾನಗಳಿಂದ ಎರಡು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ನ ವಿಭಾಗಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು (ಪ್ರಧಾನ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಸ್).

ಆಕ್ಸಿ ಪ್ಲೇನ್‌ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಪ್ಲೇನ್‌ಗಳಿಂದ ಎರಡು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್‌ಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ನ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. z=h ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ h ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ (ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್), ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (4.49), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(h^2)(c^2)=-1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac( x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=\frac(h^2)(c^2)-1.

ಗಾಗಿ |h| c ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ \frac(x^2)((a")^2)+\frac(y^2)((b")^2)=1ಆಕ್ಸಲ್ ಶಾಫ್ಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ a"=a\sqrt(\frac(h^2)(c^2)-1), b"=b\sqrt(\frac(h^2)(c^2)-1). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮತಲದಿಂದ z=h |h|>c ನೊಂದಿಗೆ ಎರಡು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ವಿಭಾಗವು ಅನ್ವಯಿಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಶೃಂಗಗಳು ಮುಖ್ಯ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಶೃಂಗಗಳು ಮುಖ್ಯ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ (Fig. 4.43, a).

ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ಗಳು

ಅಡ್ಡ ಅರೆ ಅಕ್ಷಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ (a=b) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ರಾಂತಿಯ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್. ಅಂತಹ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಭಾಗಗಳು z=h (ಎರಡು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ಗಾಗಿ |h|>c) ಅನ್ವಯಿಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಲಯಗಳಾಗಿವೆ. Oz ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಏಕ-ಹಾಳೆ ಅಥವಾ ಡಬಲ್-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=1(ಚಿತ್ರ 4.42, ಬಿ) ಅಥವಾ ಸಂಯೋಜಿತ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=-1(ಚಿತ್ರ 4.43, ಬಿ) ಕ್ರಮವಾಗಿ. ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ -\frac(y^2)(b^2)+\frac(z^2)(c^2)=1.

ಅಡ್ಡ ಅಕ್ಷಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ (a\ne b) ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ಟ್ರಯಾಕ್ಸಿಯಲ್ (ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು 4.9

1. ಎಕ್ಸ್ ವಿಮಾನಗಳು x=\pm a,\,y=\pm b,\,z=\pm cಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮೂಲಭೂತ ಘನಾಕೃತಿಯ , ಅದರ ಹೊರಗೆ ಎರಡು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಇದೆ (ಚಿತ್ರ 4.43, ಸಿ). ಎರಡು ಮುಖಗಳು (z=\pm c) ಪ್ಯಾರಲೆಲೆಪಿಪ್ಡ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ.

2. ಸಮತಲದಿಂದ ಏಕ-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ನ ವಿಭಾಗ, ಸಮಾನಾಂತರ ಅಕ್ಷಅನ್ವಯಿಸಿ ಮತ್ತು ಗಂಟಲಿನ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು (ಅಂದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ), ಸ್ಪರ್ಶದ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x=\pm a ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (4.48) ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=0ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು (Fig. 4.42, a ನೋಡಿ).

3. ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಒಂದು ರೂಲ್ಡ್ ಮೇಲ್ಮೈ, ಅಂದರೆ. ಮೇಲ್ಮೈ, ಚಳುವಳಿಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡಿತುನೇರ (ಚಿತ್ರ 4.42, ಸಿ ನೋಡಿ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ರಾಂತಿಯ ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ರೇಖೆಯ ಸುತ್ತಲೂ ರೇಖೆಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು (ಆದರೆ ಲಂಬವಾಗಿಲ್ಲ).

4. ಅಂಗೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ನ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ, ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳು- ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಗಳು, ಸಮನ್ವಯ ವಿಮಾನಗಳು - ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ವಿಮಾನಗಳು.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, M(x,y,z) ಬಿಂದುವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳು (\pm x,\pm y,\pm z)ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (4.48) ಅಥವಾ (4.49) ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ.

ನಿಮ್ಮ ಬ್ರೌಸರ್‌ನಲ್ಲಿ Javascript ಅನ್ನು ನಿಷ್ಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು, ನೀವು ActiveX ನಿಯಂತ್ರಣಗಳನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಬೇಕು!

ಅನುಬಂಧ 2

ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಏಕ-ಗುಹೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್

(ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಮಾಹಿತಿ)

ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ರೇಖೆಯ ಚಲನೆಯು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ನೇರ ರೇಖೆಯ (ಅಕ್ಷ) ಸುತ್ತ ತಿರುಗಿದರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ರೇಖೆಯು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಅಥವಾ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಕರ್ವ್ ಆಗಿರಬಹುದು, ಹಾಗೆಯೇ ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿರಬಹುದು.

ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು, ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗಿದಾಗ, ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ. ಈ ವಲಯಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವಿಮಾನಗಳು ಸಮಾನಾಂತರಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಅಕ್ಷದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮೆರಿಡಿಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೆರಿಡಿಯನ್ಗಳು ಸರ್ವಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಸಮಾನಾಂತರಗಳು ಅಥವಾ ಮೆರಿಡಿಯನ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯ ನಿರಂತರ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಮತ್ತು ಒಂದು ಮೆರಿಡಿಯನ್ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಸಮಾನಾಂತರ ಅಥವಾ ಮೆರಿಡಿಯನ್‌ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಮೇಲೆ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ. ಈ ಹಂತದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮಾನಾಂತರ ಅಥವಾ ಮೆರಿಡಿಯನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಬಿಂದುವಿನ ಎರಡನೇ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಭಾಗವು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ಜೆನೆರಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು:

1. - ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಿಲಿಂಡರ್ ರಚನೆಯಾಗುತ್ತದೆ;

2. - ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನ್ ರಚನೆಯಾಗುತ್ತದೆ;

3. - ಕ್ರಾಂತಿಯ ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ದಾಟುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ;

ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಮಾನಾಂತರಗಳು ವೃತ್ತಗಳಾಗಿವೆ.

ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೆರಿಡಿಯನ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಆಗಿದೆ.

ಕ್ರಾಂತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಆಳ್ವಿಕೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿವೆ.

ತಮ್ಮ ಅಕ್ಷಗಳ ಸುತ್ತ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ರಚನೆಯಾಗುತ್ತವೆ

1. ಅದರ ವ್ಯಾಸದ ಸುತ್ತ ವೃತ್ತವನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗೋಳವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

2. ದೊಡ್ಡ ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕ್ರಾಂತಿಯ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

3. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಅದರ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕ್ರಾಂತಿಯ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

4. ಅದರ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕ್ರಾಂತಿಯ ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ರಚನೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಈ ಮೇಲ್ಮೈಯು ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕೂಡ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: ಹಂತ a-1).

ಏಕ-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಒಂದು ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಇದು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಇಲ್ಲಿ a, b, c ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಇದು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಮೂರು ವಿಮಾನಗಳು, ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಮೂರು ಅಕ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅವು ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಸಮನ್ವಯ ವಿಮಾನಗಳು, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ನಾವು ಅದರ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ವಿಮಾನಗಳ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. xOy ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ಛೇದನದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಈ ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ z = 0, ಆದ್ದರಿಂದ

xOy ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳು a ಮತ್ತು b (Fig. 1) ನೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. yOz ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ಛೇದನದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ x = 0, ಆದ್ದರಿಂದ

ಇದು yOz ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ ಅರೆ-ಅಕ್ಷವು b ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅರೆ-ಅಕ್ಷವು c ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಹೈಪರ್ಬೋಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ.

xOz ಸಮತಲದ ವಿಭಾಗವು ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಆಗಿದೆ

ನಾವು ಈ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಸಹ ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಓವರ್ಲೋಡ್ ಮಾಡದಿರಲು, ನಾವು ಅದರ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು yOz ಪ್ಲೇನ್ ಮೂಲಕ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ.

z = ± h, h > 0 ವಿಮಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಛೇದನದ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಅಕ್ಕಿ. 1. ಏಕ-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ವಿಭಾಗ

ಈ ಸಾಲುಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು:

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ

ಈ ಸಮೀಕರಣವು xOy ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಹೋಲುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಹೋಲಿಕೆಯ ಗುಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳು a 1 ಮತ್ತು b 1 . ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ (ಚಿತ್ರ 2).

ಅಕ್ಕಿ. 2. ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಏಕ-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಚಿತ್ರ

ರೇಖೆಯು ಸುತ್ತುವ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕ್ರಾಂತಿಯ ಏಕ-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವ್ಯಕ್ತಿ(ಚಿತ್ರ 3), ಇದರ ಮೇಲ್ಮೈ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸತತ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 3. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷವನ್ನು ದಾಟುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಕ್ರಾಂತಿಯ ಏಕ-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್

ಅಂತಹ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೆರಿಡಿಯನ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಆಗಿದೆ. ಈ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಆಕೃತಿಯೊಳಗಿನ ಸ್ಥಳವು ನೈಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೊರಗೆ ಅದು ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಏಕ-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಸಮತಲವನ್ನು ಫೋಕಲ್ ಪ್ಲೇನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಣ್ಣಿಗೆ ಸಿಂಗಲ್-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ಪರಿಚಿತ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 6.4

a=b ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, xOy ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಸಮತಲಗಳ ಮೂಲಕ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ನ ವಿಭಾಗಗಳು ವೃತ್ತಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಕ್ರಾಂತಿಯ ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು Oz ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ yOz ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 4).

ಅಕ್ಕಿ. 4. ಕ್ರಾಂತಿಯ ಏಕ-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್,

ಸಿಂಗಲ್-ಸ್ಟ್ರಿಪ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ x 2 /a 2 + y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =1 a>0,b>0,c>0;ದಾಟಿದೆ ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷದ ವಿಮಾನಗಳು x=0,y=0,z=0 ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಸ್ ಮೂಲಕ y 2 /b 2 – z 2 /c 2 = 1 x 2 /a 2 – z 2 /c 2 =1 ಮತ್ತು ಎಲಿಪ್ಸಾಯ್ಡ್ x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =1 ಕ್ರಮವಾಗಿ. ಏಕ-ಪಟ್ಟಿಯ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ನ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ವಿಮಾನಗಳು z=h, ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 + h 2 /c 2 ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗಲೂ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ:

a = b- ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಏಕ-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಓಝ್.

ಕತ್ತಿನ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ:

ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಕೋನ್:

ಸಮತಲಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕ-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ನ ವಿಭಾಗಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಅಥವಾ ಜೋಡಿ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು (ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಜನರೇಟರ್‌ಗಳು).

ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಜನರೇಟರ್ಗಳು

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಜೆನರೇಟ್ರಿಸ್‌ಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗಂಟಲಿನ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಆರಿಸಿದರೆ ನಂತರ ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಜನರೇಟರ್‌ಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹೀಗಿರುತ್ತವೆ:

ಎರಡು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್, ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ.

ಎರಡು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ x 2 /a 2 - y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =1 a>0,b>0,c>0; x=h ಫಲಿತಾಂಶವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿದೆ x 2 /a 2 + z 2 /b 2 = -1 + h 2 /c 2 ಅರೆ ಅಕ್ಷಗಳು b*Root(h 2 /a 2 -1) ಮತ್ತು c*Root(h 2/a 2 - 1). ಯಾವಾಗ h=a ನಾವು ಅಡ್ಡ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು (±a,0,0) ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ಎರಡು ಹಾಳೆಯ ಶೃಂಗಗಳು. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಚೌಕ. z=0 ಮತ್ತು y=0 ನಾವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಸ್ x 2 /a 2 – y 2 /b 2 =1 ಮತ್ತು x 2 /a 2 – z 2 /c 2 =1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ:

a = b- ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಎರಡು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಓಝ್.

ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಕೋನ್:

ವಿಮಾನಗಳ ಮೂಲಕ ಎರಡು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ನ ವಿಭಾಗಗಳು: ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ಅಥವಾ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ, ಅಥವಾ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ, ಅಥವಾ ಬಿಂದು, ಅಥವಾ.

ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್, ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ.

ಅಂಡಾಕಾರದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್ x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =2pz a>0,b>0;

ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ:

p = q- ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಓಝ್.

ಸಮತಲಗಳ ಮೂಲಕ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ನ ವಿಭಾಗಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ, ಒಂದು ಬಿಂದು, ಅಥವಾ.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್, ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ನ ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಜನರೇಟರ್‌ಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳು.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್ x 2 /a 2 - y 2 /b 2 =2pz a>0,b>0;

ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ:

ವಿಮಾನಗಳಿಂದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ನ ವಿಭಾಗಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಥವಾ ಜೋಡಿ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು (ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಜನರೇಟರ್‌ಗಳು).
ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಜನರೇಟರ್ಗಳು

ಪ್ರತಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಹಾದು ಹೋಗುತ್ತವೆ:

ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು.

ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಈ ರೇಖೆಯ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸುತ್ತಲೂ ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೇಖೆಯ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ.

ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಕಾಣುವಂತೆ ಮಾಡಲು, ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಳಗೆ ಬಿಡಿ ಸಮನ್ವಯ ಸಮತಲ Oyz ಅನ್ನು ಕರ್ವ್ L ನಿಂದ F(Y, Z)=0 (Fig. 24) ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. Oy ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ನಾವು ಕರ್ವ್ L ಅನ್ನು ತಿರುಗಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸ್ವಲ್ಪ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ. M(x, y, z) - ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೇಲ್ಮೈ. ನಂತರ
, ಆದರೆ ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ M 1 ಅನ್ನು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಆಗ

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು Y = y ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಮತ್ತು M(x, y, z) ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ

ಸಮೀಕರಣ (62) ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಮೇಲ್ಮೈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡಿದೆ Oy ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ Oyz ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ L ರೇಖೆ, ನೀವು ಈ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ z ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ

ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ಪಡೆದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಇದೇ ನಿಯಮಗಳು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಾಲುಗಳುಇತರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಸುತ್ತಲೂ.

ಸಿಲಿಂಡರ್ಗಳು.

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಿಲಿಂಡರ್‌ಗಳು: ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಿಲಿಂಡರ್ x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 a>0, b>0; ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಿಲಿಂಡರ್ x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 a>0, b>0; ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಸಿಲಿಂಡರ್ y 2 =2px; ಒಂದು ಜೋಡಿ ಛೇದಿಸುವ ವಿಮಾನಗಳು a2x2-b2y2=0 a>0 b>0 ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಮಾನಾಂತರ ಅಥವಾ ಕಾಕತಾಳೀಯ ವಿಮಾನಗಳು x-a=0 a>=0; ನೇರ ರೇಖೆ x 2 +y 2 =0

ಶಂಕುಗಳು.

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕೋನ್ x 2 /a 2 - y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =0 a>0,b>0,c>0;ಚೌಕವನ್ನು ದಾಟುವುದು z=h -> x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =1. ಸಮತಲಗಳ ಮೂಲಕ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ x=0 y=0 ನಾವು ದಾಟಿದ ರೇಖೆಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =0; x 2 /a 2 - z 2 /c 2 =0 ರೆಸ್ಪ್.

ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಳಗಳು

©2015-2019 ಸೈಟ್
ಎಲ್ಲಾ ಹಕ್ಕುಗಳು ಅವರ ಲೇಖಕರಿಗೆ ಸೇರಿವೆ. ಈ ಸೈಟ್ ಕರ್ತೃತ್ವವನ್ನು ಕ್ಲೈಮ್ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಉಚಿತ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.
ಪುಟ ರಚನೆ ದಿನಾಂಕ: 2016-02-12

ಅದನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತಲೂ (ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ).

ಡಿ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (43) ಕ್ರಾಂತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸರಿಸಲು, ನಾವು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ Xಮೇಲೆ
, ನಾವು ಕ್ರಾಂತಿಯ ಎರಡು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

.

ಈ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಂಕೋಚನದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

. (44)

ಕೆಲವು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು (44) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎರಡು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್.ಇಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಎರಡು ಶಾಖೆಗಳು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಎರಡು ಸಂಪರ್ಕವಿಲ್ಲದ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ("ಕುಳಿಗಳು") ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಕ್ರಾಂತಿಯ ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶಾಖೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 60).

ಎರಡು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ಗಾಗಿ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ಒಂದು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ (ಚಿತ್ರ 61) ಗಾಗಿ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡು-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ (44) ನ ಛೇದಕಗಳನ್ನು ಈಗ ಸಮನ್ವಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ವಿಮಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ವಿಮಾನ z = ಗಂನಲ್ಲಿ | ಗಂ| < ಸಿಕಾಲ್ಪನಿಕ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು (44) ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ | ಗಂ| > ಸಿನೈಜವಾದವುಗಳ ಪ್ರಕಾರ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ = ಬಿ, ನಂತರ ಈ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು ವೃತ್ತಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಕ್ರಾಂತಿಯ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಆಗಿದೆ. ಯಾವಾಗ | ಗಂ| = ಸಿನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

,

ಅಂದರೆ, ಒಂದು ನೈಜ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಯೋಜಿತ ರೇಖೆಗಳು (0; 0; ಜೊತೆಗೆ) (ಅಥವಾ (0; 0; - ಜೊತೆಗೆ) ಕ್ರಮವಾಗಿ).

ವಿಮಾನಗಳು X= α ಮತ್ತು ವೈ= β ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್ (44) ಅನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ

ಮತ್ತು
.

8. ಅಂಡಾಕಾರದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವಾಗ X 2 = 2pzಅದರ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ನಾವು ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

X 2 + ವೈ 2 = 2pz,

ಎನ್ ಎಂದು ಕರೆದರು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್. ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಂಕೋಚನ ನಲ್ಲಿ= 0 ಕ್ರಾಂತಿಯ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ

. (45)

ಕೆಲವು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂಡಾಕಾರದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ನೋಟವು ಅದರ ನಿರ್ಮಾಣದ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಇದೆಲ್ಲವೂ ವಿಮಾನದ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿದೆ z= 0, ಅರ್ಧ ಜಾಗದಲ್ಲಿ z > 0 (ಚಿತ್ರ 62). ವಿಮಾನಗಳ ಮೂಲಕ ವಿಭಾಗಗಳು z = ಗಂ, ಗಂ> 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳಾಗಿವೆ.

ವಿಮಾನಗಳಿಂದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್ (45) ವಿಭಾಗಗಳು ನಲ್ಲಿ= 0 ಮತ್ತು X= 0 ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳು

X 2 = 2ಎ 2 z, ವೈ = 0; (46)

ವೈ 2 = 2ಬಿ 2 z, X = 0. (47)

ಈ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳುಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ (46) ಅನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಚಲನರಹಿತ, ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ (47) - ಮೊಬೈಲ್.

ಅಂಡಾಕಾರದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ನ ಕೆಳಗಿನ ಅತ್ಯಂತ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಜೊತೆಗೆ ಜಾರುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಬಹುದು (ನಿರ್ದೇಶನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಆಯತಾಕಾರದದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ).

ನಾವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್ (45) ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಮಾನದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ X= α, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಓ 0 ಇ 2 ಇ 3 ಅಲ್ಲಿ ಓ 0 = (α, 0, 0), ಸಮೀಕರಣದ ವಕ್ರರೇಖೆ

, X = α

ವೈ 2 = 2ಬಿ 2 (z – γ), X= α, (48)

ಎಲ್ಲಿ
.

ನಾವು ವಿಮಾನಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ X= α ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಓಇ 2 ಇ 3 ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಘಟಿಸಲು ಓ′ ಇ 2 ಇ 3 ಅಲ್ಲಿ ಓ′ = (α, 0, γ) ಸಮತಲದ ಛೇದಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ X= α ಸ್ಥಿರವಾದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದೊಂದಿಗೆ X 2 = 2ಎ 2 z, ವೈ = 0.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಓ 0 ಇ 2 ಇ 3 ಬಿಂದುವಿಗೆ ಓ′, ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡಿದೆ:

ವೈ = ವೈ′, z = z′ + γ.

ಈ ರೂಪಾಂತರದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣ (48) ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ:

ವೈ′ 2 = 2 pz′, X = α.

ಕರ್ವ್ (48) ಅದೇ "ಚಲಿಸುವ" ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ, ಆದರೆ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ವರ್ಗಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ X= α. ಈ ವರ್ಗಾವಣೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಚಲಿಸುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸ್ಥಿರವಾದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಜಾರುತ್ತದೆ ಬಗ್ಗೆನಿಖರವಾಗಿ ಓ′, ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಸ್ವತಃ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಘನ, ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ yOz.

ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು.

ಎಲಿಪ್ಟಿಕಲ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಎನ್ನುವುದು ಒಂದು ("ಚಲಿಸುವ") ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ (47) ಇನ್ನೊಂದರ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುವ ಮೇಲ್ಮೈ, ಸ್ಥಿರವಾದ ಒಂದು (46), ಆದ್ದರಿಂದ ಚಲಿಸುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಜಾರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷ ಚಲಿಸುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳು ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳು (ಚಲಿಸುವ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ) ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಕಾನ್ಕೇವ್ ಆಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ (ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಬದಿಅಕ್ಷಗಳು ಓಝ್).

ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಯಾವುದೇ ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಜನರೇಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನೇರ ವಿಮಾನಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ xOy, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಛೇದಿಸಬಹುದು z = ಗಂ, ಮತ್ತು ಈ ವಿಭಾಗವು ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳುಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್ನೊಂದಿಗೆ.

ರೇಖೆಯು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ xOy, ನಂತರ ಅದರ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಯು ಅರ್ಧ-ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ z < 0, где нет ни одной точки параболоида. Таким образом, нет прямой, которая всеми своими точками лежала бы на эллиптическом параболоиде.

9. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್

ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ (45), ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು

. (49)

ಕೆಲವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ರೂಪದ (49) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್.

ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್ನ ನೋಟವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 63). ಪ್ಲೇನ್ ವಿಭಾಗ z = ಗಂಹೈಪರ್ಬೋಲಾ, ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಅಥವಾ
.

ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಗಂಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಅರ್ಧ-ಅಕ್ಷಗಳು
ಮತ್ತು
ಅವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದರೊಂದಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಗಂ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಅಕ್ಷವು ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಇ 1 .

ನಲ್ಲಿ ಗಂ= 0 ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳಾಗಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ

=>

,
.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಗಂ < 0, то ось гиперболы, которая ее пересекает, параллельна вектору ಇ 2. ಆಕ್ಸಲ್ ಶಾಫ್ಟ್ಗಳು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವಂತೆ ಬೆಳೆಯುತ್ತವೆ | ಗಂ|. ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳಿಗೆ ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳ ಅನುಪಾತ ಗಂಅದೇ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವ ಜೋಡಿ ರೇಖೆಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

,
.

ವಿಮಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ನ ವಿಭಾಗಗಳು ನಲ್ಲಿ= 0 ಮತ್ತು X= 0 ಎರಡು "ಪ್ರಧಾನ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳು":

X 2 = 2ಎ 2 z, ವೈ = 0 (50)

ಸ್ಥಿರ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ, ಮತ್ತು

ವೈ 2 = –2ಬಿ 2 z, X = 0 (51)

- ಚಲಿಸಬಲ್ಲ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ.

ಈ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾನ್ಕೇವ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ: ಸ್ಥಿರವಾದದ್ದು "ಮೇಲಕ್ಕೆ" (ಅಂದರೆ ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಓಝ್), ಮತ್ತು ಚಲಿಸಬಲ್ಲದು "ಕೆಳಗೆ" (ಅಂದರೆ ಅಕ್ಷದ ಋಣಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿದೆ ಓಝ್) ಪ್ಲೇನ್ ವಿಭಾಗ X= α ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿದೆ ಓ 0 ಇ 2 ಇ 3 ಅಲ್ಲಿ ಓ 0 = (α, 0, 0), ಸಮೀಕರಣ

, X = α

ವೈ 2 = –2ಬಿ 2 (z – z 0), X= α, (52)

ಎಲ್ಲಿ
.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸರಿಸಿದ ನಂತರ ಓ′ = (α, 0, z 0), ಸಮೀಕರಣ (51) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ವೈ′ 2 = -2 ಬಿ 2 z′, X = α,

ಎಲ್ಲಿ ವೈ = ವೈ′, z = z′ + z 0 ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಕರ್ವ್ (52) ಅದೇ ಚಲಿಸುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ (51) ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಶೃಂಗವು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸ್ಥಿರವಾದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದೊಂದಿಗೆ ಜಾರಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಗ್ಗೆವಿ ಓ′.

ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ಇದರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್, ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (49) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ (ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ) ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ ವೈ 2 = –2ಬಿ 2 z, X= 0 ಅದು ಸ್ಥಾಯಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ (50) ಜೊತೆಗೆ ಚಲಿಸಿದಾಗ ಚಲಿಸಬಲ್ಲ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಮೇಲ್ಭಾಗವು ಸ್ಥಾಯಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಜಾರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಲಿಸಬಲ್ಲ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎರಡೂ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ತಮ್ಮ ಕಾನ್ಕೇವಿಟಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಎದುರಿಸಿ: ಸ್ಥಿರವಾದವು ಅವುಗಳ ಕಾನ್ಕಾವಿಟಿ "ಮೇಲಕ್ಕೆ", ಅಂದರೆ ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಓ z, ಮತ್ತು ಚಲಿಸುವ ಒಂದು "ಕೆಳಗೆ".

ಈ ನಿರ್ಮಾಣದಿಂದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್ ತಡಿ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್, ಸಿಂಗಲ್-ಶೀಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಯ್ಡ್, ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಜನರೇಟರ್‌ಗಳ ಎರಡು ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಚಿತ್ರ 64). ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತವೆ, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿವೆ.

ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (49) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ

.

ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳ ಛೇದಕ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

(53)

ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು (53) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (49) ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ (53)

.

ಇದರರ್ಥ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವೂ (53) ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್ (49) ಗೆ ಸೇರಿದೆ.

ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಲೈನ್ (54) ಕೂಡ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ.