NNN ನ ಸಂಪಾದಕರು ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ xtsarx ಬಳಕೆದಾರರ ಬ್ಲಾಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಷಯವನ್ನು ನೋಡಿದರು, ಇದು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸಮರ್ಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್. ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ನ್ಯಾನೊಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗಳ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಥೆರಿಯಾ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಉತ್ತಮ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ ನಂತರ, ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಓದುಗರಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೇರಳವಾದ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಮತ್ತು ವೀಡಿಯೊ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಬೆಂಬಲಿತವಾಗಿದೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಗಮನಕ್ಕೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. NNN ಓದುಗರು ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಪ್ರಕೃತಿ ಎಷ್ಟು ನಿಗೂಢವಾಗಿದೆ ಎಂದರೆ ನೀವು ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದಷ್ಟೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ... ರಾತ್ರಿಯ ಮಿಂಚು - ಕವಲೊಡೆಯುವ ಡಿಸ್ಚಾರ್ಜ್‌ಗಳ ನೀಲಿ “ಜೆಟ್‌ಗಳು”, ಕಿಟಕಿಯ ಮೇಲೆ ಫ್ರಾಸ್ಟಿ ಮಾದರಿಗಳು, ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್ಗಳು, ಪರ್ವತಗಳು, ಮೋಡಗಳು, ಮರದ ತೊಗಟೆ - ಇವೆಲ್ಲವೂ ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ. ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು, ವೃತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಬಂಡೆಯನ್ನು ಅಥವಾ ದ್ವೀಪದ ಗಡಿಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಅವರು ನಮ್ಮ ಸಹಾಯಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತಾರೆ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್. ಈ ಪರಿಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರು ಯಾವುವು?
"ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಅವರು ಚಿಗಟದ ಮೇಲೆ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು
ಜೀವಗಳನ್ನು ಕಚ್ಚುವ ಚಿಗಟ;
ಆ ಚಿಗಟದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಚಿಕ್ಕ ಚಿಗಟವಿದೆ,
ಒಂದು ಹಲ್ಲು ಚಿಗಟವನ್ನು ಕೋಪದಿಂದ ಚುಚ್ಚುತ್ತದೆ
ಲಿಟಲ್ ಫ್ಲಿಯಾ, ಮತ್ತು ಅಡ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಮ್. D. ಸ್ವಿಫ್ಟ್
ಸ್ವಲ್ಪ ಇತಿಹಾಸ
ಮೊದಲ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ 19 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಕ್ಯಾಂಟರ್, ಸರಳವಾದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ (ಪುನರಾವರ್ತಿತ) ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಂಪರ್ಕವಿಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿತು (ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಡಸ್ಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ). ಅವನು ಒಂದು ಸಾಲನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಕೇಂದ್ರ ಮೂರನೆಯದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ವಿಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತಾನೆ.
ಅಕ್ಕಿ. 1. ಪೀನೋ ಕರ್ವ್ 1.2-5 ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು.
ಪೀನೋ ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆದನು. ಪೀನೋ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರು:: ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಮೂಲ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕಿಂತ 3 ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆ 9 ವಿಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರು. ನಂತರ ಅವರು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಾಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಿದರು. ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಜಾಹೀರಾತು ಅನಂತ. ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯು ಇಡೀ ವಿಮಾನವನ್ನು ತುಂಬುತ್ತದೆ. ಸಮತಲದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಪೀನೋ ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಪೀನೊದ ವಕ್ರರೇಖೆ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾಂಟರ್‌ನ ಧೂಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಮೀರಿದೆ. ಅವರಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ಆಯಾಮವಿರಲಿಲ್ಲ. ಕ್ಯಾಂಟರ್‌ನ ಧೂಳು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿತ್ತು (ಆಯಾಮ 0). ಮತ್ತು ಪೀನೋ ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ರೇಖೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಯಿತು, ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಮತಲವಾಗಿತ್ತು. ವಿಜ್ಞಾನದ ಇತರ ಹಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು, ಅದರ ಪರಿಹಾರವು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆಯೇ ವಿಚಿತ್ರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು (ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ, ಷೇರು ಬೆಲೆಗಳು). ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು ...
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್ ತಂದೆ
20 ನೇ ಶತಮಾನದವರೆಗೆ, ಅಂತಹ ವಿಚಿತ್ರ ವಸ್ತುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಡೇಟಾವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಯತ್ನವಿಲ್ಲದೆ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಯಿತು. ನಾನು ಅವರನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವವರೆಗೂ ಅದು ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ – ಆಧುನಿಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪಿತಾಮಹ ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಪದ.
ಅಕ್ಕಿ. 2. ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್.
IBM ನಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಕರಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ, ಅವರು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಲಾಗದ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಶಬ್ದವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಕ್ರಮೇಣ ಸತ್ಯಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ, ಅವರು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ದಿಕ್ಕಿನ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಬಂದರು - ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ.
"ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್" ಪದವನ್ನು 1975 ರಲ್ಲಿ B. ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಪ್ರಕಾರ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್(ಲ್ಯಾಟಿನ್ "ಫ್ರಾಕ್ಟಸ್" ನಿಂದ - ಭಾಗಶಃ, ಮುರಿದ, ಮುರಿದ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಹೋಲುವ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ರಚನೆ. ಸ್ವಯಂ-ಸಾಮ್ಯತೆಯ ಆಸ್ತಿಯು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ತೀವ್ರವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ. ಅವಧಿ ಸ್ವಯಂ ಹೋಲಿಕೆಅರ್ಥ ವಸ್ತುವಿನ ಚಿಕ್ಕ ಮಾಪಕಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ರೋಸ್ಕೇಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾದ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ರಚನೆಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿ.
ಅಕ್ಕಿ. 3. "ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಕಡೆಗೆ.
ಸ್ವಯಂ ಹೋಲಿಕೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳು: ಕೋಚ್, ಲೆವಿ, ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು, ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ತ್ರಿಕೋನ, ಮೆಂಗರ್ ಸ್ಪಾಂಜ್, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಮರ, ಇತ್ಯಾದಿ.
ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್- ಇದು, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಭಾಗಶಃ (ಮಧ್ಯಂತರ, "ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ") ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ನಯವಾದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ತುಂಬುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಒಳನುಗ್ಗುತ್ತದೆ ಇದು, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಸ್ತುವಿಗೆ, ಅದರ ಉದ್ದವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಅಳೆಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ! ಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ, ಮೊದಲನೆಯದು ಬಹಳ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ - ಕೋಚ್ನ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್.
ಅಕ್ಕಿ. 4. "ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಕಡೆಗೆ.
ಇದನ್ನು ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ ಸಮಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲನ್ನು 4 ಸಾಲುಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಮೂಲ ಉದ್ದದ 1/3. ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯೊಂದಿಗೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದವು ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗದಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ನಾವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ, ನಾವು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ಅನಂತ ಉದ್ದದ ಕೋಚ್ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್. ನಮ್ಮ ಅನಂತ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸೀಮಿತ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಿಂದ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.
ಕೋಚ್ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್ ಆಯಾಮ(ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್ 3 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, ಅದರ ಉದ್ದವು 4 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ) D=log(4)/log(3)=1.2619.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಬಗ್ಗೆ
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಮುಖ್ಯ ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಅವರು ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಅಥವಾ ಗಣಿತಕ್ಕಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಸ್ತುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಅನಂತವಾಗಿ ನೀಡಬಹುದು - ಇವು ಮೋಡಗಳು, ಮತ್ತು ಹಿಮದ ಪದರಗಳು, ಮತ್ತು ಪರ್ವತಗಳು, ಮತ್ತು ಮಿಂಚಿನ ಮಿಂಚು, ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಹೂಕೋಸು. ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಸ್ತುವಾಗಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಶಾಶ್ವತ ನಿರಂತರ ಚಲನೆ, ಹೊಸ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿ.
ಅಕ್ಕಿ. 5. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್.
ಜೊತೆಗೆ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು ವಿಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ನೆಟ್‌ವರ್ಕ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು "ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್ ಆಂಟೆನಾಗಳು" . "ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವವು ಬಹಳ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಸ್ಥಾಪಿತ (ನಿರ್ಣಾಯಕವಲ್ಲದ) "ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ" ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮಾಡಲು ಭರವಸೆ ನೀಡುತ್ತವೆ. ನ್ಯಾನೊತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು ಸಹ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ , ಏಕೆಂದರೆ ಅವರ ಕ್ರಮಾನುಗತ ಸ್ವಯಂ-ಸಂಘಟನೆಯಿಂದಾಗಿ ಅನೇಕ ನ್ಯಾನೊಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಂದರೆ, ಅವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ, ಭೌತರಾಸಾಯನಿಕ ಅಥವಾ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸ್ವಭಾವದಲ್ಲಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರಾಸಾಯನಿಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗಳ ಗಮನಾರ್ಹ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ "ಡೆಂಡ್ರೈಮರ್‌ಗಳ" ಅಣುಗಳು . ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲಿಟಿಯ ತತ್ವ (ಸ್ವಯಂ-ಸದೃಶ, ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ರಚನೆ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ರಚನೆಯ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನ್ಯಾನೊಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗಳ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿದೆ.
ಅಕ್ಕಿ. 6. "ಡೆಂಡ್ರಿಮರ್" ಅಣುಗಳು.
ಅಕ್ಕಿ. 7. ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪ ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಾಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಂವಹನದ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಮಾದರಿ. ಮೈಕ್ರೋಪ್ರೊಸೆಸ್‌ಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೊದಲ ಹಂತ.
ಅಕ್ಕಿ. 8. ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪ ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಾಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಂವಹನದ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಮಾದರಿ. ಮ್ಯಾಕ್ರೋ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಎರಡನೇ ಹಂತದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆ (ಮಾದರಿಯ ಒಂದು ತುಣುಕು).
ಅಕ್ಕಿ. 9. ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪ ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಾಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಂವಹನದ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಮಾದರಿ. ಮ್ಯಾಕ್ರೋ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಎರಡನೇ ಹಂತದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆ (ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾದರಿ)
ಅಕ್ಕಿ. 10. ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಮಾದರಿಯ ಪ್ಲಾನರ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ. ಮೊದಲ ಹೋಮಿಯೋಸ್ಟಾಟಿಕ್ ಸ್ಥಿತಿ.
ಸುಂದರವಾದ ಮತ್ತು ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಫೋಟೋ ಗ್ಯಾಲರಿ
ಅಕ್ಕಿ. ಹನ್ನೊಂದು.
ಅಕ್ಕಿ. 12.
ಅಕ್ಕಿ. 13.
ಅಕ್ಕಿ. 14.
ಅಕ್ಕಿ. 15.
ಅಕ್ಕಿ. 16.
ಅಕ್ಕಿ. 17.
ಅಕ್ಕಿ. 18.
ಅಕ್ಕಿ. 19.
ಅಕ್ಕಿ. 20.
ಅಕ್ಕಿ. 21.
ಅಕ್ಕಿ. 22.
ಅಕ್ಕಿ. 23.
ಅಕ್ಕಿ. 24.
ಅಕ್ಕಿ. 25.
ಅಕ್ಕಿ. 26.
ಅಕ್ಕಿ. 27.
ಅಕ್ಕಿ. 28.
ಅಕ್ಕಿ. 29.
ಅಕ್ಕಿ. ಮೂವತ್ತು.
ಅಕ್ಕಿ. 31.
ಅಕ್ಕಿ. 32.
ಅಕ್ಕಿ. 33.
ಅಕ್ಕಿ. 34.
ಅಕ್ಕಿ. 35.
ತಿದ್ದುಪಡಿ ಮತ್ತು ಸಂಪಾದನೆ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ ಫಿಲಿಪ್ಪೋವ್ ಯು.ಪಿ.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ (ಲ್ಯಾಟ್. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಸ್- ಪುಡಿಮಾಡಿದ, ಮುರಿದ, ಮುರಿದ) ಒಂದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಸ್ವಯಂ-ಸಾಮ್ಯತೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಹಲವಾರು ಭಾಗಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಂಶಿಕ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಳ (ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಥವಾ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ), ಅಥವಾ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಯಾಮ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಸ್ಮ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮತ್ತು ರಚಿಸುವ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿಖರವಾದ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ.
ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು ಭಾಗಶಃ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಆಯಾಮವು 1, ಪ್ರದೇಶವು 2, ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣವು 3. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗೆ ಆಯಾಮದ ಮೌಲ್ಯವು 1 ಮತ್ತು 2 ರ ನಡುವೆ ಅಥವಾ 2 ಮತ್ತು 3 ರ ನಡುವೆ ಇರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸುಕ್ಕುಗಟ್ಟಿದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮ ಕಾಗದದ ಚೆಂಡು ಸರಿಸುಮಾರು 2.5 ಆಗಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಆಯಾಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ವಿಶೇಷ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸೂತ್ರವಿದೆ. ಶ್ವಾಸನಾಳದ ಕೊಳವೆಗಳ ಶಾಖೆಗಳು, ಮರಗಳ ಮೇಲಿನ ಎಲೆಗಳು, ಕೈಯಲ್ಲಿ ರಕ್ತನಾಳಗಳು, ನದಿ - ಇವು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಒಂದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ, ಅದರ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾಗವು ಮತ್ತೆ ಮತ್ತೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ - ಇದು ಸ್ವಯಂ ಹೋಲಿಕೆಯ ತತ್ವವಾಗಿದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು ತಮ್ಮನ್ನು ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಅವು ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ) ತಮ್ಮನ್ನು ಹೋಲುತ್ತವೆ. ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಿವೆ. ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ನೈಜ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲವೂ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಎಂದು ವಾದಿಸಬಹುದು, ಅದು ಮೋಡ ಅಥವಾ ಆಮ್ಲಜನಕದ ಅಣುವಾಗಿದೆ.
"ಅವ್ಯವಸ್ಥೆ" ಎಂಬ ಪದವು ಅನಿರೀಕ್ಷಿತವಾದದ್ದನ್ನು ಯೋಚಿಸುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ. ಅವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಗುರಿಯು ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾಗಿರುವ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುವುದು.
ಈ ಜ್ಞಾನದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರವರ್ತಕ ಫ್ರೆಂಚ್-ಅಮೆರಿಕನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ಪ್ರೊಫೆಸರ್ ಬೆನೈಟ್ ಬಿ. ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್. 1960 ರ ದಶಕದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಇದರ ಉದ್ದೇಶವು ಮುರಿದ, ಸುಕ್ಕುಗಟ್ಟಿದ ಮತ್ತು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವುದು. ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ (ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ) "ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಕೇಳಿದಾಗ ವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಮೊದಲ ಸಂಘವಾಗಿದೆ. ಮೂಲಕ, ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಕರಾವಳಿಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮವು 1.25 ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಅಥವಾ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕಿಂತಲೂ ನೈಜ ಪ್ರಪಂಚವನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀರಿನಲ್ಲಿ ಅಮಾನತುಗೊಂಡಿರುವ ಧೂಳಿನ ಕಣಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮತ್ತು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾಗಿರುವ ಚಲನೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಚಲನೆಯು ಬಹುಶಃ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಅದು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯು ಆವರ್ತನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದ ಡೇಟಾ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉಣ್ಣೆಯ ಬೆಲೆಗಳಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಊಹಿಸಿದರು.
"ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಗಣಿತದ ಪದವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪತ್ರಿಕಾ ಮತ್ತು ಜನಪ್ರಿಯ ವಿಜ್ಞಾನ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಕೃತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು:
ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಮಾಪಕಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ನಿಯಮಿತ ಅಂಕಿಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವೃತ್ತ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ನಯವಾದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್): ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಕೃತಿಯ ಸಣ್ಣ ತುಣುಕನ್ನು ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಅದು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ತುಣುಕಿನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಾಗಿ, ಸ್ಕೇಲ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದರಿಂದ ರಚನೆಯ ಸರಳೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ;
ಸ್ವಯಂ-ಸದೃಶ ಅಥವಾ ಸರಿಸುಮಾರು ಸ್ವಯಂ-ಸದೃಶವಾಗಿದೆ.
ಇದು ಭಾಗಶಃ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಅಥವಾ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಒಂದನ್ನು ಮೀರಿದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತ ಬಳಕೆ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಡೇಟಾ ಕಂಪ್ರೆಷನ್ ಆಗಿದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾಡುವುದಕ್ಕಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - 600: 1 ವರೆಗೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಕಂಪ್ರೆಷನ್‌ನ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ, ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ, ಯಾವುದೇ ಪಿಕ್ಸಲೇಷನ್ ಪರಿಣಾಮವಿಲ್ಲ, ಇದು ಚಿತ್ರವನ್ನು ನಾಟಕೀಯವಾಗಿ ಹದಗೆಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲಿ ಸಂಕುಚಿತ ಚಿತ್ರವು ಹಿಗ್ಗಿದ ನಂತರ ಮೊದಲಿಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ಸೌಂದರ್ಯದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ಸರಳ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಸಹ ತಿಳಿದಿದ್ದಾರೆ. ಚಲನಚಿತ್ರ ಉದ್ಯಮವು ವಾಸ್ತವಿಕ ಭೂದೃಶ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು (ಮೋಡಗಳು, ಬಂಡೆಗಳು ಮತ್ತು ನೆರಳುಗಳು) ರಚಿಸಲು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನವನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ.
ಹರಿವುಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಅಧ್ಯಯನವು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಹರಿವಿನ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಜ್ವಾಲೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಅನುಕರಿಸಬಹುದು. ಸರಂಧ್ರ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಬಹಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ದೂರದವರೆಗೆ ಡೇಟಾವನ್ನು ರವಾನಿಸಲು, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಕಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಂಟೆನಾಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅವುಗಳ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ತೂಕವನ್ನು ಬಹಳವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಸಮ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿನ ಅನೇಕ ವಸ್ತುಗಳು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕರಾವಳಿಗಳು, ಮೋಡಗಳು, ಮರದ ಕಿರೀಟಗಳು, ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್ಗಳು, ರಕ್ತಪರಿಚಲನಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಮಾನವರು ಅಥವಾ ಪ್ರಾಣಿಗಳ ಅಲ್ವಿಯೋಲಾರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬಳಸಿ ನಿರ್ಮಾಣದ ಸುಲಭತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೌಂದರ್ಯದ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದಾಗಿ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿವೆ.
ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಯಂ-ಸದೃಶವಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಗಳು 19 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೊಲ್ಜಾನೊ ಕಾರ್ಯ, ವೈರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಕಾರ್ಯ, ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್). "ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು 1975 ರಲ್ಲಿ ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಅವರು ರಚಿಸಿದರು ಮತ್ತು 1977 ರಲ್ಲಿ ಅವರ ಪುಸ್ತಕ "ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಆಫ್ ನೇಚರ್" ಪ್ರಕಟಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಪಕ ಜನಪ್ರಿಯತೆಯನ್ನು ಗಳಿಸಿದರು.
ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರವು ಡೇರೆರ್ ಪೆಂಟಗನ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ನ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಪೆಂಟಗನ್‌ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಹಿಸುಕಿದಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಒಂದು ಪೆಂಟಗನ್ ಅನ್ನು ಇನಿಶಿಯೇಟರ್ ಮತ್ತು ಐಸೊಸೆಲ್ಸ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಭಾಗದ ಸಣ್ಣ ಭಾಗದ ಅನುಪಾತವು ನಿಖರವಾಗಿ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗೋಲ್ಡನ್ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ (1.618033989 ಅಥವಾ 1/(2cos72 °)) ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಜನರೇಟರ್. ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ಪೆಂಟಗನ್‌ನ ಮಧ್ಯದಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ 5 ಸಣ್ಣ ಪೆಂಟಗನ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ ಅಂಟಿಸಲಾಗಿದೆ. 
ಚೋಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಕೀರ್ಣ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಅನಿರೀಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನವು ನಿಖರವಾದ ಸಮಾನತೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಲ್ಲಿ - ವಿಚಿತ್ರವಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಕರ್ಷಕಗಳು. ಹೀಗಾಗಿ, ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅನಿರೀಕ್ಷಿತತೆ ಎಂದು ಅನೇಕರು ಭಾವಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಅಸ್ಥಿರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾಗಿರುವ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎಂದಿಗೂ ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಮಾದರಿಯು ಗೋಚರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ನಿಯತಾಂಕದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯದವರೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಎರಡು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿವೆ, ನಂತರ ನಾಲ್ಕು ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾಗಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳ ಸೆಟ್.
ತಾಂತ್ರಿಕ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಯೋಜನೆಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಕನಿಷ್ಠ ತಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ (ಟಿಎಸ್) ರಚನೆಯು ಟಿಎಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಂಭವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ - ಮುಖ್ಯ ಮತ್ತು ಪೋಷಕ, ಮತ್ತು ಈ ವಿಭಾಗವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಮತ್ತು ಸಾಪೇಕ್ಷವಾಗಿದೆ. ಪೋಷಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮುಖ್ಯವಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು "ಅದರ" ಪೋಷಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಯಾವುದೇ ಪೋಷಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮುಖ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ವಲಯಗಳು "ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ" ವಾಹನಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ರಚಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಂಭವವನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸುವ ಭೌತಿಕ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ವಸ್ತುಗಳು, ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ಭೌತಿಕ ಪರಿಣಾಮವು ವಾಹನವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ತತ್ವವು ನಾವು ಪ್ರಭಾವಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅದರ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಪ್ರವೇಶಿಸಲು ನಾವು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಅವಕಾಶವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. 
ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹರಿವು ಮೂರು ಪೋಷಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದಿಂದ ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಟಿಎಸ್ಗೆ ಮುಖ್ಯವಾದವುಗಳಾಗಿವೆ. ನ್ಯಾಯೋಚಿತವಾಗಿ, ಕನಿಷ್ಠ TS ನ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಣೆಗೆ, ಮೂರು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಯೋಜನೆಯು ತುಂಬಾ ಉತ್ಪ್ರೇಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ.
ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉಪಯುಕ್ತವಾದ (ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ) ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೂರು ಪ್ರತಿಶತ ದಕ್ಷತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಚದುರಿದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹಾನಿಕಾರಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಖರ್ಚು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ - ತಾಪನ, ಕಂಪನ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹಾನಿಕಾರಕವು ಪ್ರಯೋಜನಕಾರಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. "ಕೆಟ್ಟ" ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು "ಒಳ್ಳೆಯ" ಒಂದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಹಾನಿಕಾರಕ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಸರಿದೂಗಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹೊಸ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಘಟಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಘರ್ಷಣೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಚತುರ ನಯಗೊಳಿಸುವ ಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಸಂಘಟಿಸಲು, ದುಬಾರಿ ಘರ್ಷಣೆ-ನಿರೋಧಕ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಅಥವಾ ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಭಾಗಗಳ ನಯಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಅಥವಾ ಅದರ ಆವರ್ತಕ ಬದಲಿಗಾಗಿ ಸಮಯವನ್ನು ಕಳೆಯಲು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತದೆ.
ಬದಲಾಗಬಹುದಾದ ಪರಿಸರದ ಅನಿವಾರ್ಯ ಪ್ರಭಾವದಿಂದಾಗಿ, ಉಪಯುಕ್ತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾಗಬಹುದು. ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಅಥವಾ ನೇರವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ವಿಶೇಷ ಆಜ್ಞೆಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್. ಪ್ರತಿ ಆಜ್ಞೆಯ ಸಾರ (ವಿವರಣೆ) ಒಂದೇ ಉಪಯುಕ್ತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣತೆ, ಅದರ ಜೊತೆಗಿನ ಹಾನಿಕಾರಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯ ನಿಯಂತ್ರಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್. ಅಂತಹ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿ, ಪೋಷಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ನಿಯಮಿತ ಸಬ್ರುಟೀನ್ ಆಗಿದೆ - ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಕಾಲು ಶತಮಾನದ ಹಿಂದೆ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ, R. ಕೊಲ್ಲರ್ ಅವರ ವಿಧಾನವು ಕೇವಲ 12 ಜೋಡಿ ಕಾರ್ಯಗಳ (ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು) ಸಾಕಷ್ಟು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.
ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಯಂ-ಸದೃಶವಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳು
19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಅಂತ್ಯದಿಂದ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ರೋಗಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಯಂ-ಸದೃಶ ವಸ್ತುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿವೆ. ಇವುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ:
ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾದ ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಧನಾತ್ಮಕ ಉದ್ದದ ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯಬಹುದು.
ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ತ್ರಿಕೋನ ("ಮೇಜುಬಟ್ಟೆ") ಮತ್ತು ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ಕಾರ್ಪೆಟ್‌ಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಲಾದ ಕ್ಯಾಂಟರ್‌ನ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.
ಮೆಂಗರ್‌ನ ಸ್ಪಾಂಜ್ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಲಾದ ಕ್ಯಾಂಟರ್‌ನ ಅನಲಾಗ್ ಆಗಿದೆ;
ವೀಯರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಮತ್ತು ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ವಾರ್ಡನ್‌ರ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಿಯೂ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆ.
ಕೋಚ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಅನಂತ ಉದ್ದದ ಸ್ವಯಂ-ಛೇದಿಸದ ನಿರಂತರ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ;
ಪೀನೋ ಕರ್ವ್ ಎಂಬುದು ಚೌಕದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನಿರಂತರ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.
ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಕಣದ ಪಥವು ಸಂಭವನೀಯತೆ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಿಯೂ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರ Hausdorff ಆಯಾಮ ಎರಡು
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನ
ಕೋಚ್ ಕರ್ವ್ ನಿರ್ಮಾಣ
ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸರಳವಾದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನವಿದೆ. ಜನರೇಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಿಂಕ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮುರಿದ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಮುಂದೆ, ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಜನರೇಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸೋಣ (ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಜನರೇಟರ್ನಂತೆಯೇ ಮುರಿದ ರೇಖೆ). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮುರಿದ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮತ್ತೆ ಪ್ರತಿ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಜನರೇಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅನಂತಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತಾ, ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರವು ಕೋಚ್ ಕರ್ವ್ಗಾಗಿ ಈ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಹಂತಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
ಅಂತಹ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
ಡ್ರ್ಯಾಗನ್ ಕರ್ವ್,
ಕೋಚ್ ಕರ್ವ್ (ಕೋಚ್ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್),
ಲೆವಿ ಕರ್ವ್,
ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಕರ್ವ್,
ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಕರ್ವ್,
ಡ್ರ್ಯಾಗನ್‌ನ ಮುರಿದ (ಕರ್ವ್) (ಹಾರ್ಟರ್-ಹೈಥ್‌ವೇ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್),
ಪೀನೋ ಕರ್ವ್.
ಇದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಮರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕಂಪ್ರೆಷನ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು
ಸ್ವಯಂ-ಸಾಮ್ಯತೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ವಿಮಾನದ ಸಂಕೋಚನದ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ. ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ (ಮುಚ್ಚಿದ ಮತ್ತು ಸುತ್ತುವರಿದ) ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನೊಂದಿಗೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಾದ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಕೋಚನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬನಾಚ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ಈ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ನಮ್ಮ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನವು ಈ ನಿರ್ಮಾಣದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳು ಹೋಲಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳು ಮತ್ತು - ಜನರೇಟರ್ ಲಿಂಕ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ತ್ರಿಕೋನ ಮತ್ತು ನಕ್ಷೆಗೆ , , ಸಾಮಾನ್ಯ ತ್ರಿಕೋನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕ 1/2 ನ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಮೋಥೆಟಿಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದಾಗ ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ತ್ರಿಕೋನವು ಸ್ವತಃ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ.
ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳು ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆಯ ರೂಪಾಂತರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ನ ಆಯಾಮವನ್ನು (ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ತಾಂತ್ರಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 
.
ಅದೇ ಬನಾಚ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ನಮ್ಮ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ (ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್‌ನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು
ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್
ಮತ್ತೊಂದು ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್
ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಅಥವಾ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಿಂದ ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಾಗ ಹೆಚ್ಚು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ಅಧ್ಯಯನಗಳು 20 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭಕ್ಕೆ ಹಿಂದಿನವು ಮತ್ತು ಫ್ಯಾಟೌ ಮತ್ತು ಜೂಲಿಯಾ ಹೆಸರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ.
ಅವಕಾಶ ಎಫ್(z) - ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ, z 0 ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ. ಕೆಳಗಿನ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: z 0 , z 1 =ಎಫ್(z 0), z 2 =ಎಫ್(ಎಫ್(z 0)) = ಎಫ್(z 1),z 3 =ಎಫ್(ಎಫ್(ಎಫ್(z 0)))=ಎಫ್(z 2), …
ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ನಡವಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎನ್ಅನಂತತೆಗೆ. ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಮಾಡಬಹುದು:
ಅನಂತತೆಯ ಕಡೆಗೆ ಶ್ರಮಿಸು,
ಅಂತಿಮ ಮಿತಿಗಾಗಿ ಶ್ರಮಿಸಿ
ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಆವರ್ತಕ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …
ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾಗಿ ವರ್ತಿಸಿ, ಅಂದರೆ, ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಮೂರು ರೀತಿಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬೇಡಿ.
ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ z 0, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರಗಳ ನಡುವಿನ ಬಹು ವಿಭಜನೆಯ ಬಿಂದುಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ ಎಫ್(z)=z 2 +ಸಿ(ಅಥವಾ ಇತರ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯ), ಅಂದರೆ, ಆ ಮೌಲ್ಯಗಳು z 0 ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅನುಕ್ರಮದ ನಡವಳಿಕೆ ( z ಎನ್) ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಬದಲಾವಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾಟಕೀಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗಬಹುದು z 0 .
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಇನ್ನೊಂದು ಆಯ್ಕೆಯು ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಎಫ್(z) ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ ಆ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ( z ಎನ್) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ z 0 ಹೀಗಾಗಿ, ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ( z ಎನ್) ಫಾರ್ ಎಫ್(z)=z 2 +ಸಿಮತ್ತು z 0 ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಈ ರೀತಿಯ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಪೂಲ್‌ಗಳು.
ಅನುಗುಣವಾದ ಡೈನಾಮಿಕ್ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಪ್ಲೇನ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸುಂದರವಾದ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಇದು ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ನೀವು ಆಕಾಂಕ್ಷೆಯ ವೇಗವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬಹುದು ( z ಎನ್) ಅನಂತಕ್ಕೆ (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಹೇಳಿ, ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್, ಇದರಲ್ಲಿ | z ಎನ್| ಸ್ಥಿರ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೀರುತ್ತದೆ ಎ.
ಬಯೋಮಾರ್ಫ್‌ಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಜೀವಂತ ಜೀವಿಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸುವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳಾಗಿವೆ.
ಸ್ಟೊಕಾಸ್ಟಿಕ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್
ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್ ಆಧರಿಸಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಸ್ತುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಸ್ಟೊಕಾಸ್ಟಿಕ್ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ) ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳನ್ನು ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಸ್ಟೊಕಾಸ್ಟಿಕ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಪಥ;
ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಪಥದ ಗಡಿ. 2001 ರಲ್ಲಿ, ಲಾಲರ್, ಸ್ಕ್ರಾಮ್ ಮತ್ತು ವರ್ನರ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ನ ಊಹೆಯನ್ನು ಅದರ ಆಯಾಮವು 4/3 ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು.
Schramm-Löwner ವಿಕಸನಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಅನುರೂಪವಾಗಿ ಬದಲಾಗದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಪರ್ಕೋಲೇಷನ್.
ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು. ಪ್ಲಾಸ್ಮಾ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಬಳಕೆಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.
ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ
ಶ್ವಾಸನಾಳ ಮತ್ತು ಶ್ವಾಸನಾಳದ ಮುಂಭಾಗದ ನೋಟ
ಶ್ವಾಸನಾಳದ ಮರ
ರಕ್ತನಾಳಗಳ ಜಾಲ
ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್
ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನ
ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ದ್ರವ ಹರಿವು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಸರಣ-ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು, ಜ್ವಾಲೆಗಳು, ಮೋಡಗಳು ಮುಂತಾದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವಾಗ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಸರಂಧ್ರ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವಾಗ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪೆಟ್ರೋಕೆಮಿಸ್ಟ್ರಿಯಲ್ಲಿ. ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಮಾದರಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಅಂಗ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ರಕ್ತನಾಳದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ).
ರೇಡಿಯೋ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಂಟೆನಾಗಳು
ಆಂಟೆನಾ ಸಾಧನಗಳ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಅಮೇರಿಕನ್ ಇಂಜಿನಿಯರ್ ನಾಥನ್ ಕೋಹೆನ್ ಬಳಸಿದರು, ಅವರು ನಂತರ ಡೌನ್ಟೌನ್ ಬೋಸ್ಟನ್ನಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದರು, ಅಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟಡಗಳ ಮೇಲೆ ಬಾಹ್ಯ ಆಂಟೆನಾಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದನ್ನು ನಿಷೇಧಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾಥನ್ ಅಲ್ಯೂಮಿನಿಯಂ ಫಾಯಿಲ್‌ನಿಂದ ಕೋಚ್ ಕರ್ವ್ ಆಕಾರವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ ಅದನ್ನು ಕಾಗದದ ತುಂಡು ಮೇಲೆ ಅಂಟಿಸಿ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ರಿಸೀವರ್‌ಗೆ ಜೋಡಿಸಿದರು. ಕೊಹೆನ್ ತನ್ನದೇ ಆದ ಕಂಪನಿಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅವರ ಸರಣಿ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು.
ಗಣಕ ಯಂತ್ರ ವಿಜ್ಞಾನ
ಚಿತ್ರ ಸಂಕೋಚನ
ಮುಖ್ಯ ಲೇಖನ: ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಕಂಪ್ರೆಷನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮರ
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇಮೇಜ್ ಕಂಪ್ರೆಷನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳಿವೆ. ಚಿತ್ರದ ಬದಲಿಗೆ ಸಂಕೋಚನ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅವು ಆಧರಿಸಿವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಚಿತ್ರವು (ಅಥವಾ ಕೆಲವು ನಿಕಟವಾದದ್ದು) ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ರೂಪಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ [ ಮೂಲವನ್ನು 895 ದಿನಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ] ಮೈಕ್ರೋಸಾಫ್ಟ್ ತನ್ನ ವಿಶ್ವಕೋಶವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸುವಾಗ, ಆದರೆ ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗಲಿಲ್ಲ.
ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್
ಮತ್ತೊಂದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮರ
ಮರಗಳು, ಪೊದೆಗಳು, ಪರ್ವತ ಭೂದೃಶ್ಯಗಳು, ಸಮುದ್ರ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮತ್ತು ಮುಂತಾದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಸ್ತುಗಳ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಹಲವು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜನರೇಟರ್ (ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ) ನೋಡಿ.
ವಿಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಜಾಲಗಳು
Netsukuku ನೆಟ್‌ವರ್ಕ್‌ನಲ್ಲಿನ IP ವಿಳಾಸ ನಿಯೋಜನೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನೆಟ್‌ವರ್ಕ್ ನೋಡ್‌ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮಾಹಿತಿ ಸಂಕೋಚನದ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. Netsukuku ನೆಟ್‌ವರ್ಕ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೋಡ್ ನೆರೆಯ ನೋಡ್‌ಗಳ ಸ್ಥಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಕೇವಲ 4 KB ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಹೊಸ ನೋಡ್ IP ವಿಳಾಸಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಕೇಂದ್ರ ನಿಯಂತ್ರಣದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೆಟ್‌ವರ್ಕ್‌ಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಇಂಟರ್ನೆಟ್. ಹೀಗಾಗಿ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮಾಹಿತಿ ಸಂಕೋಚನದ ತತ್ವವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಪೂರ್ಣ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ನ ಅತ್ಯಂತ ಸ್ಥಿರವಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ.
ಗಣಿತ,
ನೀವು ಅದನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನೋಡಿದರೆ,
ಸತ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ,
ಆದರೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗದ ಸೌಂದರ್ಯ.
ಬರ್ಟ್ರಾಂಡ್ ರಸ್ಸೆಲ್.
ನೀವು ಸಹಜವಾಗಿ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕೇಳಿದ್ದೀರಿ. Bryce3d ಯ ಈ ಉಸಿರು ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ನೋಡಿದ್ದೀರಿ ಅದು ವಾಸ್ತವಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನೈಜವಾಗಿದೆ. ಪರ್ವತಗಳು, ಮೋಡಗಳು, ಮರದ ತೊಗಟೆ - ಇವೆಲ್ಲವೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಮೀರಿದೆ. ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು, ವೃತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಬಂಡೆಯನ್ನು ಅಥವಾ ದ್ವೀಪದ ಗಡಿಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು ನಮ್ಮ ಸಹಾಯಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತವೆ. ಈ ಪರಿಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರು ಯಾವುವು? ಅವರು ಯಾವಾಗ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರು?
ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆಯ ಇತಿಹಾಸ.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೊದಲ ಕಲ್ಪನೆಗಳು 19 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡವು. ಕ್ಯಾಂಟರ್, ಸರಳವಾದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ (ಪುನರಾವರ್ತಿತ) ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಂಪರ್ಕವಿಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿತು (ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಡಸ್ಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ). ಅವನು ಒಂದು ಸಾಲನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಕೇಂದ್ರ ಮೂರನೆಯದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ವಿಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತಾನೆ. ಪೀನೋ ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯಿತು (ಚಿತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 1). ಅದನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು, ಪೀನೋ ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರು.
ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಮೂಲ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕಿಂತ 3 ಪಟ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾದ 9 ವಿಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರು (ಚಿತ್ರ 1 ರ ಭಾಗ 1 ಮತ್ತು 2). ನಂತರ ಅವರು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಾಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಿದರು. ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಜಾಹೀರಾತು ಅನಂತ. ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯು ಇಡೀ ವಿಮಾನವನ್ನು ತುಂಬುತ್ತದೆ. ಸಮತಲದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಪೀನೋ ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಪೀನೊದ ವಕ್ರರೇಖೆ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾಂಟರ್‌ನ ಧೂಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಮೀರಿದೆ. ಅವರಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ಆಯಾಮವಿರಲಿಲ್ಲ. ಕ್ಯಾಂಟರ್‌ನ ಧೂಳು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿತ್ತು (ಆಯಾಮ 0). ಮತ್ತು ಪೀನೋ ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ರೇಖೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಯಿತು, ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಮತಲವಾಗಿತ್ತು. ವಿಜ್ಞಾನದ ಇತರ ಹಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು, ಅದರ ಪರಿಹಾರವು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆಯೇ ವಿಚಿತ್ರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು (ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ, ಷೇರು ಬೆಲೆಗಳು).
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್ ತಂದೆ
20 ನೇ ಶತಮಾನದವರೆಗೆ, ಅಂತಹ ವಿಚಿತ್ರ ವಸ್ತುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಡೇಟಾವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಯತ್ನವಿಲ್ಲದೆ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಯಿತು. ಆಧುನಿಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಪದದ ಪಿತಾಮಹ ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೊಟ್ ಅವುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವವರೆಗೂ ಅದು ಇತ್ತು. IBM ನಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಕರಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ, ಅವರು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಲಾಗದ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಶಬ್ದವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಕ್ರಮೇಣ ಸತ್ಯಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದಾಗ, ಅವರು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ದಿಕ್ಕಿನ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಬಂದರು - ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಎಂದರೇನು? ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಸ್ವತಃ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಪದವಾದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಸ್‌ನಿಂದ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದಾನೆ, ಇದರರ್ಥ ಮುರಿದು (ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ). ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯು ಭಾಗಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಇಡೀ (ಕನಿಷ್ಠ ಅಂದಾಜು) ಸಣ್ಣ ಪ್ರತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, B. ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕ "ದಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಆಫ್ ನೇಚರ್" ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅದು ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಆಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟಿದೆ - "ಬ್ರಿಟನ್ ಕರಾವಳಿಯ ಉದ್ದ ಎಷ್ಟು?" ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವು ತೋರುವಷ್ಟು ಸರಳವಲ್ಲ. ಇದು ಎಲ್ಲಾ ನಾವು ಬಳಸುವ ಉಪಕರಣದ ಉದ್ದವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ರೂಲರ್ ಬಳಸಿ ತೀರವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಸ್ವಲ್ಪ ಉದ್ದವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಮ್ಮ ರೇಖೆಗಿಂತ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಅನೇಕ ಸಣ್ಣ ಕೊಲ್ಲಿಗಳು ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ ದ್ವೀಪಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆಡಳಿತಗಾರನ ಗಾತ್ರವನ್ನು 1 ಮೀಟರ್ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಭೂದೃಶ್ಯದ ಈ ವಿವರಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಕರಾವಳಿಯ ಉದ್ದವು ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ ಹೋಗೋಣ ಮತ್ತು ಮಿಲಿಮೀಟರ್ ಆಡಳಿತಗಾರನನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತೀರದ ಉದ್ದವನ್ನು ಅಳೆಯೋಣ, ನಾವು ಮಿಲಿಮೀಟರ್ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ವಿವರಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಉದ್ದವು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಂತಹ ತೋರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವು ಯಾರನ್ನಾದರೂ ದಿಗ್ಭ್ರಮೆಗೊಳಿಸಬಹುದು - ಬ್ರಿಟನ್ನ ಕರಾವಳಿಯ ಉದ್ದವು ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಆಯಾಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ.
ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ನಾವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ರಸ್ತೆಯ ಉದ್ದವನ್ನು (250 ಮೀ) ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅಪಾರ್ಟ್ಮೆಂಟ್ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು (78 ಮೀ 2) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಟಿಕ್ಕರ್ನಲ್ಲಿ (0.33 ಡಿಎಂ 3) ಬಿಯರ್ ಬಾಟಲಿಯ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ರೇಖೆಯು ಆಯಾಮ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಉಲ್ಲೇಖದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು 1 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು - ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ - ವೃತ್ತ, ಚೌಕ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ, ಇತ್ಯಾದಿ.
ಆಯಾಮ 2 ಎಂದರೆ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ಆಯಾಮ ಎಂದರೆ ಫ್ಲಾಟ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬೇಡಿ. ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಇದನ್ನು ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು - ಅಗಲ ಮತ್ತು ರೇಖಾಂಶದಂತಹ ಕೋನಗಳು).
ನಾವು ಅದನ್ನು ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ನೋಡಿದರೆ, ಆಯಾಮವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಒಂದು ಆಯಾಮದ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ, ಅವುಗಳ ರೇಖೀಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಉದ್ದ) ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿಂದ (2) ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ^1).
ಎರಡು ಆಯಾಮದ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ, ರೇಖೀಯ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶ) ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು (2^2) ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.
3 ಆಯಾಮದ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ, ರೇಖೀಯ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿ ಎಂಟು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ (2^3) ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, L. D=log(S)/log(L) ರೇಖೀಯ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳದ ಮೇಲೆ ವಸ್ತು S ನ "ಗಾತ್ರ" ದಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅವಲಂಬನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ D ಆಯಾಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು. ಸಾಲಿಗೆ D=log(2)/log(2)=1. ವಿಮಾನಕ್ಕೆ D=log(4)/log(2)=2. ಪರಿಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ D=log(8)/log(2)=3. ಇದು ಸ್ವಲ್ಪ ಗೊಂದಲಮಯವಾಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ನಾನು ಇದನ್ನೆಲ್ಲ ಯಾಕೆ ಹೇಳುತ್ತಿದ್ದೇನೆ? ಮತ್ತು ಸಾಸೇಜ್‌ನಿಂದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು. ಪೀನೋ ಕರ್ವ್ಗಾಗಿ ಆಯಾಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು X ಉದ್ದದ ಮೂರು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೂಲ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, 9 ಭಾಗಗಳಿಂದ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕನಿಷ್ಠ ವಿಭಾಗವು 3 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಲಿನ ಉದ್ದವು 9 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು D=log(9)/log(3)=2 ಎರಡು ಆಯಾಮದ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ!!!
ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ಸರಳ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ (ವಿಭಾಗಗಳು) ಪಡೆದ ಆಕೃತಿಯ ಆಯಾಮವು ಈ ವಸ್ತುಗಳ ಆಯಾಮಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ನೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ದೊಡ್ಡ ಗುಂಪುಗಳೆಂದರೆ:
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು.
ಇಲ್ಲಿಯೇ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಇತಿಹಾಸ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು. ಈ ರೀತಿಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಸರಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿರ್ಮಾಣಗಳ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ, ಅವರು ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ: ಅವರು “ಬೀಜ” - ಒಂದು ಮೂಲತತ್ವ - ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿಭಾಗಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಮುಂದೆ, ಈ "ಬೀಜ" ಗೆ ನಿಯಮಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಫಿಗರ್ ಆಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಾಗಕ್ಕೂ ಅದೇ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಹೆಜ್ಜೆಯೊಂದಿಗೆ, ಆಕೃತಿಯು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು (ಕನಿಷ್ಠ ನಮ್ಮ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ) ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದರೆ, ನಾವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಪೀನೋ ಕರ್ವ್ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಕೋಚ್ನ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್, ಲಿಸ್ಟ್, ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ತ್ರಿಕೋನ).
ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್ ಕೋಚ್
ಹಾಳೆ
ಸಿರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ತ್ರಿಕೋನ
ಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ, ಮೊದಲನೆಯದು, ಕೋಚ್ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್, ಬಹಳ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಾಲು ___ ಅನ್ನು 4 ಸಾಲುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿ 1/3 ಮೂಲ _/\_ ಉದ್ದದ ಮೂಲಕ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯೊಂದಿಗೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದವು ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗದಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ನಾವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ, ನಾವು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ಅನಂತ ಉದ್ದದ ಕೋಚ್ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್. ನಮ್ಮ ಅನಂತ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸೀಮಿತ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಿಂದ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.
ಕೋಚ್ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್ನ ಆಯಾಮ (ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್ 3 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, ಅದರ ಉದ್ದವು 4 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ) D=log(4)/log(3)=1.2619...
ಎಲ್-ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸೂಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮೂಲತತ್ವವೆಂದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್ ಇದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಸಂಕೇತ ಪರಿವರ್ತನೆ ನಿಯಮಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫ್ರಾಕ್ಟಿಂಟ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ಎಲ್-ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಬಳಸಿ ಕೋಚ್ನ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್ನ ವಿವರಣೆ
; ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಅವರಿಂದ ದಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಆಫ್ ನೇಚರ್‌ನಿಂದ ಆಡ್ರಿಯನ್ ಮರಿಯಾನೋಕೋಚ್1 ( ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನವನ್ನು 360/6=60 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಿಕೋನ 6 ; ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ ಆರಂಭಿಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರಆಕ್ಸಿಯಮ್ ಎಫ್--ಎಫ್--ಎಫ್ ; ಅಕ್ಷರ ಪರಿವರ್ತನೆ ನಿಯಮ F=F+F--F+F )ಈ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥಗಳು ಕೆಳಕಂಡಂತಿವೆ:
ಎಫ್ ಎಂದರೆ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ + ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗಿ - ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗಿ
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಎರಡನೇ ಆಸ್ತಿ ಸ್ವಯಂ ಹೋಲಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಅದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ನಾವು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು "ಕತ್ತರಿಸಿ". ರೂಪುಗೊಂಡ ಮೂರು ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಅದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸೋಣ (ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಮತ್ತು ಆಡ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಮ್. ನಾವು ಈಗ ಯಾವುದೇ ಫಲಿತಾಂಶದ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ದೊಡ್ಡದಾಗಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಪ್ರತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸ್ವಯಂ ಹೋಲಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ.
ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಫ್ರಾಕ್ಟಿಂಟ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಬಳಸಿ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಕಾಯ್ದಿರಿಸುತ್ತೇನೆ. ನೀವು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಇದು ನಿಮಗಾಗಿ ಹೊಂದಿರಬೇಕಾದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಆಗಿದೆ. ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ನೀವು ನೂರಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಮಗ್ರ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು ಹೇಗೆ ಧ್ವನಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಕೇಳಬಹುದು;).
ಕಾರ್ಯಕ್ರಮ ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದರೆ ಏನನ್ನೂ ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ವಿಷಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇದು ಅದ್ಭುತವಾಗಿದೆ - ಇತ್ತೀಚಿನ ಆವೃತ್ತಿ 20.0 ಕೇವಲ DOS ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿದೆ:(. ನೀವು ಈ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು (ಇತ್ತೀಚಿನ ಆವೃತ್ತಿ 20.0) http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು .
ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಿ
ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು
ಸರಿ, ಆರಂಭಿಕರಿಗಾಗಿ, ಮೈಕ್ರೋಸಾಫ್ಟ್ ಎಕ್ಸೆಲ್ ಸೆಲ್‌ಗಳು ಎ 2 ಮತ್ತು ಬಿ 2 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. 0.5 ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಣಾಮವಿಲ್ಲ.
ಫ್ರಾಟಲ್ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮಾಡಲು ನಿರ್ವಹಿಸಿದ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನಮಸ್ಕಾರ. 2800 mH ಹೊಂದಿರುವ ಕಲ್ಲಿನ ಮೇಲೆ 100,000 dt ಪುನರಾವರ್ತನೆಯೊಂದಿಗೆ 3d ಗರಿಷ್ಠ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜರೀಗಿಡಗಳ ತೆರವು ನಿರ್ಮಿಸಲು ನನಗೆ ಯಾವ ಸೈಕಲ್ ವಿಧಾನವು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಯಾರು ನನಗೆ ಹೇಳಬಹುದು
ಡ್ರ್ಯಾಗನ್ ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನೊಂದಿಗೆ ಮೂಲ ಕೋಡ್ ಇದೆ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಕೂಡ.
ಲೇಖನ ಅದ್ಭುತವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಎಕ್ಸೆಲ್ ಬಹುಶಃ ಕೊಪ್ರೊಸೆಸರ್ ದೋಷವಾಗಿದೆ (ಕೊನೆಯ ಕಡಿಮೆ-ಆರ್ಡರ್ ಅಂಕಿಗಳಲ್ಲಿ)
ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನಮಸ್ಕಾರ! ನನ್ನ ಹೆಸರು, ರಿಬೆನೆಕ್ ವಲೇರಿಯಾ,ಉಲಿಯಾನೋವ್ಸ್ಕ್ ಮತ್ತು ಇಂದು ನಾನು LCI ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ನನ್ನ ಹಲವಾರು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಲೇಖನಗಳನ್ನು ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ.
ಈ ಬ್ಲಾಗ್‌ನಲ್ಲಿ ನನ್ನ ಮೊದಲ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಲೇಖನವನ್ನು ಮೀಸಲಿಡಲಾಗುವುದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್. ನನ್ನ ಲೇಖನಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಪ್ರೇಕ್ಷಕರಿಗಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ. ಆ. ಅವರು ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.
ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ನಾನು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಂತಹ ಗಣಿತದ ಪ್ರಪಂಚದ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಸ್ತುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕಲಿತಿದ್ದೇನೆ. ಆದರೆ ಅವು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ. ಅವರು ನಮ್ಮನ್ನು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಸುತ್ತುವರೆದಿರುತ್ತಾರೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು ಸಹಜ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು ಯಾವುವು, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಬಗ್ಗೆ, ಈ ವಸ್ತುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನ್ವಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಾನು ಮಾತನಾಡುತ್ತೇನೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಎಂದರೇನು ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್(ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಫ್ರಾಕ್ಟಸ್ - ಪುಡಿಮಾಡಿದ, ಮುರಿದ, ಮುರಿದ) ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಸ್ವಯಂ-ಸಾಮ್ಯತೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಹಲವಾರು ಭಾಗಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಕೃತಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ವಿಶಾಲವಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳೆಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಭಾಗಶಃ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅಥವಾ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ), ಅಥವಾ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಯಾಮ. ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ನಾನು ನಾಲ್ಕು ವಿಭಿನ್ನ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇನೆ.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಇತಿಹಾಸದ ಬಗ್ಗೆ ನಾನು ನಿಮಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ. 70 ರ ದಶಕದ ಉತ್ತರಾರ್ಧದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು 80 ರ ದಶಕದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮರ್ಗಳಲ್ಲಿ ದೃಢವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿತವಾಗಿವೆ. "ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಅವರು 1975 ರಲ್ಲಿ ಅನಿಯಮಿತ ಆದರೆ ಸ್ವಯಂ-ಸದೃಶವಾದ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ರಚಿಸಿದರು. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಜನನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ನ ಪುಸ್ತಕ ದಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಆಫ್ ನೇಚರ್ 1977 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಅವರ ಕೃತಿಗಳು ಅದೇ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ 1875-1925ರ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದವು (ಪೊಯಿನ್‌ಕೇರ್, ಫ್ಯಾಟೌ, ಜೂಲಿಯಾ, ಕ್ಯಾಂಟರ್, ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್). ಆದರೆ ನಮ್ಮ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅವರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಒಂದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ, ನಾನು ಹೇಳಿದಂತೆ, ಅವು ನಮ್ಮನ್ನು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಸುತ್ತುವರೆದಿವೆ. ನನ್ನ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಲ್ಲಿ, ನಮ್ಮ ಇಡೀ ವಿಶ್ವವೂ ಸಹ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲವೂ, ಪರಮಾಣುವಿನ ರಚನೆಯಿಂದ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ರಚನೆಯವರೆಗೆ, ನಿಖರವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಂದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ. ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ಡೈನಾಮಿಕ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದಾಗ ಹೆಚ್ಚು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ ಬಹುಪದೀಯಅಥವಾ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಕಾರ್ಯಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲೆ. ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಕೆಲವು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳೆಂದರೆ ಜೂಲಿಯಾ ಸೆಟ್, ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್ ಪೂಲ್‌ಗಳು. ಕೆಳಗೆ, ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಗಳು ಚಿತ್ರಿಸುತ್ತವೆ.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಕರ್ವ್‌ಗಳು. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ಈ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೋಚ್ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸರಳವಾದ ವಿಧಾನವಿದೆ. ಜನರೇಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಿಂಕ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮುರಿದ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಮುಂದೆ, ನಾವು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಜನರೇಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ (ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಜನರೇಟರ್ನಂತೆಯೇ ಮುರಿದ ರೇಖೆ). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮುರಿದ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮತ್ತೆ ಪ್ರತಿ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಜನರೇಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅನಂತಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತಾ, ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕೆಳಗೆ ಕೋಚ್ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್ (ಅಥವಾ ಕರ್ವ್) ಇದೆ.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಕರ್ವ್‌ಗಳ ಬೃಹತ್ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯೂ ಇದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದವು ಈಗಾಗಲೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಕೋಚ್ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್, ಹಾಗೆಯೇ ಲೆವಿ ಕರ್ವ್, ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಕರ್ವ್, ಡ್ರ್ಯಾಗನ್ ಮುರಿದ ರೇಖೆ, ಪಿಯಾನೋ ಕರ್ವ್ ಮತ್ತು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಮರ. ನೀವು ಬಯಸಿದರೆ ಈ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಚಿತ್ರ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾದಲ್ಲಿ ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.
ಮೂರನೇ ಉದಾಹರಣೆ ಅಥವಾ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಪ್ರಕಾರವು ಸ್ಟೊಕಾಸ್ಟಿಕ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂತಹ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಪಥವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಸ್ಕ್ರಾಮ್-ಲೋನರ್ ವಿಕಸನ, ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು.
ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳೂ ಇವೆ. ಇವುಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್, ಮೆಂಗರ್ ಸ್ಪಾಂಜ್, ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ಟ್ರಯಾಂಗಲ್ ಮತ್ತು ಇತರರು.
ಆದರೆ ಬಹುಶಃ ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿವೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳು. ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಈಗಾಗಲೇ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ನಾನು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವುದು ಬಹುಶಃ ಅಸಾಧ್ಯ, ಆದರೆ ನಾನು ಕೆಲವು ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜೀವಂತ ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು ನಮ್ಮ ರಕ್ತಪರಿಚಲನಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಶ್ವಾಸಕೋಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಮತ್ತು ಮರಗಳ ಕಿರೀಟಗಳು ಮತ್ತು ಎಲೆಗಳು. ಇದು ಸ್ಟಾರ್ಫಿಶ್, ಸಮುದ್ರ ಅರ್ಚಿನ್ಗಳು, ಹವಳಗಳು, ಸಮುದ್ರ ಚಿಪ್ಪುಗಳು ಮತ್ತು ಎಲೆಕೋಸು ಅಥವಾ ಕೋಸುಗಡ್ಡೆಯಂತಹ ಕೆಲವು ಸಸ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಜೀವಂತ ಪ್ರಕೃತಿಯಿಂದ ಅಂತಹ ಹಲವಾರು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.
ನಾವು ನಿರ್ಜೀವ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಜೀವಂತ ಪ್ರಕೃತಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ಮಿಂಚು, ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್ಗಳು, ಮೋಡಗಳು, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಚಿರಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ, ಫ್ರಾಸ್ಟಿ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಕಿಟಕಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಮಾದರಿಗಳು, ಹರಳುಗಳು, ಪರ್ವತ ಶ್ರೇಣಿಗಳು - ಇವೆಲ್ಲವೂ ನಿರ್ಜೀವ ಪ್ರಕೃತಿಯಿಂದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ.
ನಾವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಬಳಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಜ್ಞಾನದ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ದ್ರವ ಹರಿವು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಸರಣ-ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು, ಜ್ವಾಲೆಗಳು, ಮೋಡಗಳು ಮುಂತಾದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವಾಗ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಸರಂಧ್ರ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವಾಗ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪೆಟ್ರೋಕೆಮಿಸ್ಟ್ರಿಯಲ್ಲಿ. ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಮಾದರಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಅಂಗ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ರಕ್ತನಾಳದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ). ಕೋಚ್ ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಿದ ನಂತರ, ಕರಾವಳಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಅದನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಯಿತು. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ರೇಡಿಯೋ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, ಮಾಹಿತಿ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ, ದೂರಸಂಪರ್ಕ ಮತ್ತು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ದೃಷ್ಟಿಯನ್ನು ಆಧುನಿಕ ಕಲೆ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪದಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಮಾದರಿಗಳ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:
ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದರೊಂದಿಗೆ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ನಂತಹ ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಗಣಿತದ ವಿದ್ಯಮಾನದ ಬಗ್ಗೆ ನನ್ನ ಕಥೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಎಂದರೇನು, ಅದು ಹೇಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಇಂದು ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ನಾನು ಅವರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಿದ್ದೇನೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದೆ. ಅದ್ಭುತ ಮತ್ತು ಆಕರ್ಷಕ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ವಸ್ತುಗಳ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಈ ಚಿಕ್ಕ ವಿಹಾರವನ್ನು ನೀವು ಆನಂದಿಸಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಉದಾಹರಣೆ
"ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್" ಅನ್ನು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಅರ್ಧ ಶತಮಾನದ ಹಿಂದೆಯೇ ಬಳಕೆಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಸಿನರ್ಜಿಟಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅಟ್ರಾಕ್ಟರ್ ಜೊತೆಗೆ ಯುವ ಡಿಟರ್ಮಿನಿಸ್ಟಿಕ್ ಚೋಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ "ಮೂರು ಸ್ತಂಭಗಳಲ್ಲಿ" ಒಂದಾಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟಿತು ಮತ್ತು ಇಂದು ಈಗಾಗಲೇ ಇದನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ರಚನೆಯ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳು.
ಜೊತೆಗೆ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಪದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಸ್ ಅನ್ನು ಅನುವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ"ಮುರಿದ" ಎಂದು, ಆಧುನಿಕ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಗಳು "ಹರಿದ" ಎಂಬ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡಿತು. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ/ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ನಕಲಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, "ಫ್ರಾಕ್ಟಾಲಿಟಿ" ಎನ್ನುವುದು ಅದರ ಘಟಕಗಳಿಗೆ "ಎಲ್ಲವೂ" ನ ಅನಂತ ಹೋಲಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂ ಹೋಲಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಶಾಖೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತವನ್ನು "ಪುನರಾವರ್ತನೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ವಿವರಿಸಿದ ಅಥವಾ ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಿದೆ, ವೀಕ್ಷಕನು ಹೆಚ್ಚು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾನೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿಭಜನೆಯು ಸಂಭವಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾಂಡವನ್ನು ಶಾಖೆಗಳಾಗಿ, ನದಿಯನ್ನು ಎರಡು ಹೊಳೆಗಳಾಗಿ, ಇತ್ಯಾದಿ) ಕವಲೊಡೆಯುವ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಸ್ ಪದವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಆವಿಷ್ಕಾರವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು 1975 ರಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಬೆನೈಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೋಟ್ ಅವರು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪುಸ್ತಕ ದಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿಟ್ರಿ ಆಫ್ ನೇಚರ್‌ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕ ಪ್ರೇಕ್ಷಕರಿಗೆ ವಿಷಯವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ನಂತರ ಜನಪ್ರಿಯರಾದರು.
ಇಂದು, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳಿಂದ ರಚಿಸಲಾದ "ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್ ಆರ್ಟ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅದ್ಭುತ ಮಾದರಿಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸಹಾಯದಿಂದ ನೀವು ಸುಂದರವಾದ ಅಮೂರ್ತ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ರಚಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅತ್ಯಂತ ನಂಬಲರ್ಹವಾದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭೂದೃಶ್ಯಗಳು - ಪರ್ವತಗಳು, ನದಿಗಳು, ಕಾಡುಗಳು. ಇಲ್ಲಿ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ನಿಜ ಜೀವನದ ನಡುವಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಿದರೆ.
ವಾಸ್ತವವೆಂದರೆ ಅದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ತತ್ವನಿಖರವಾದ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿನ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ. ಇದು ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪ್ರಕೃತಿಯ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ತತ್ವವಾಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಲಿನ ಎಲ್ಲವೂ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು! ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಗುಂಪು ಉಪನದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನದಿಗಳು, ಕ್ಯಾಪಿಲ್ಲರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಿರೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ಮಿಂಚು, ಫ್ರಾಸ್ಟ್ ಮಾದರಿಗಳು, ಮರಗಳು ... ಇತ್ತೀಚೆಗೆ, ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು, ಪರೀಕ್ಷೆ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಒಂದು ಮರದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಈ ಮರಗಳು ಬೆಳೆಯುವ ಅರಣ್ಯ ಪ್ರದೇಶದ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಗುಂಪುಗಳ ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳು: ಪರಮಾಣು - ಅಣು - ಗ್ರಹಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ - ಸೌರವ್ಯೂಹ - ಗೆಲಕ್ಸಿಗಳು - ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡ ... ನಿಮಿಷ - ಗಂಟೆ - ದಿನ - ವಾರ - ತಿಂಗಳು - ವರ್ಷ - ಶತಮಾನ ... ಜನರ ಸಮುದಾಯವೂ ಸಹ ತತ್ವಗಳ ಪ್ರಕಾರ ತನ್ನನ್ನು ತಾನು ಸಂಘಟಿಸುತ್ತದೆ ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯ: ನಾನು - ಕುಟುಂಬ - ಕುಲ - ರಾಷ್ಟ್ರೀಯತೆ - ರಾಷ್ಟ್ರೀಯತೆಗಳು - ಜನಾಂಗಗಳು... ವೈಯಕ್ತಿಕ - ಗುಂಪು - ಪಕ್ಷ - ರಾಜ್ಯ. ಉದ್ಯೋಗಿ - ಇಲಾಖೆ - ಇಲಾಖೆ - ಉದ್ಯಮ - ಕಾಳಜಿ ... ಕ್ರಿಶ್ಚಿಯನ್ ಧರ್ಮ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಧರ್ಮಗಳ ದೈವಿಕ ಪಂಥಾಹ್ವಾನಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಂದೇ ತತ್ವದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ: ತಂದೆಯಾದ ದೇವರು - ಟ್ರಿನಿಟಿ - ಸಂತರು - ಚರ್ಚ್ - ಭಕ್ತರು, ದೈವಿಕ ಪ್ಯಾಂಥಿಯನ್ಗಳ ಸಂಘಟನೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಾರದು. ಪೇಗನ್ ಧರ್ಮಗಳು.
ಕಥೆ 19 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂ-ಸದೃಶವಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಗಮನಿಸಲಾಯಿತು - ಪೊಯಿನ್‌ಕೇರ್, ಫ್ಯಾಟೌ, ಜೂಲಿಯಾ, ಕ್ಯಾಂಟರ್, ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್, ಆದರೆ ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಈಗಾಗಲೇ ಪೇಗನ್ ಸ್ಲಾವ್‌ಗಳು ಜನರು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಣ್ಣ ವಿವರವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಕೊಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ. ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಅನಂತತೆಯಲ್ಲಿ. ಇದು ಬೆಲಾರಸ್ ಮತ್ತು ಉಕ್ರೇನ್ನ ಕಲಾ ಇತಿಹಾಸಕಾರರು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ "ಜೇಡ" ಎಂಬ ಜಾನಪದ ಸಂಸ್ಕೃತಿಯ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ. ಇದು ಆಧುನಿಕ "ಮೊಬೈಲ್" ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಶಿಲ್ಪಕಲೆಯ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಮೂಲಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ (ಭಾಗಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿ ನಿರಂತರ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿವೆ). "ಸ್ಪೈಡರ್" ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಣಹುಲ್ಲಿನಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಆಕಾರದ ಸಣ್ಣ, ಮಧ್ಯಮ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಪರಸ್ಪರ ಅಮಾನತುಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಸಣ್ಣ ಭಾಗವು ನಿಖರವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದನ್ನು ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ರಚನೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಮನೆಯ ಮುಖ್ಯ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ ನೇತುಹಾಕಲಾಯಿತು, ಒಬ್ಬರ ಮನೆಯನ್ನು ಇಡೀ ಪ್ರಪಂಚದ ಅಂಶವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುವಂತೆ.
ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಇಂದು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಜೀವನವು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯಲು ಮತ್ತು ಒಂದು ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ "ವಿಭಜನೆಯ ಬಿಂದುಗಳು" ಇವೆ. ವ್ಯಕ್ತಿ "ಆಯ್ಕೆಯ ಮೊದಲು ತನ್ನನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ", ಅವನ ಜೀವನದ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ "ಬಫರ್ಕೇಶನ್ ಪಾಯಿಂಟ್" ಆಗಿದೆ.
ಡಿಟರ್ಮಿನಿಸ್ಟಿಕ್ ಚೋಸ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಪ್ರತಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ನ ಬೆಳವಣಿಗೆಯು ಅನಂತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆಯು ನಿಲ್ಲುವ ಮಿತಿಯನ್ನು ಮೀರಿದೆ ಎಂದು ನಂಬುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ "ಕಿರಿದಾದ" ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಕ್ರಮೇಣ ಅದರ ಮೂಲ ಘಟಕದ ಅಳತೆಯನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮತ್ತೆ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಹೋಗುತ್ತದೆ - ಇನ್ಹಲೇಷನ್ ಮತ್ತು ಹೊರಹಾಕುವಿಕೆಯಂತೆಯೇ, ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಬೆಳಿಗ್ಗೆ ಮತ್ತು ರಾತ್ರಿ, ಚಳಿಗಾಲ ಮತ್ತು ಬೇಸಿಗೆಯ ಬದಲಾವಣೆಗಳು.