មួយនៃ ភារកិច្ចសំខាន់បំផុត ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាការអភិវឌ្ឍន៍ ឧទាហរណ៍ទូទៅការសិក្សាអំពីឥរិយាបថមុខងារ។
ប្រសិនបើអនុគមន៍ y=f(x) បន្តនៅចន្លោះពេល ហើយដេរីវេរបស់វាគឺវិជ្ជមាន ឬស្មើនឹង 0 នៅលើចន្លោះពេល (a,b) បន្ទាប់មក y=f(x) កើនឡើងដោយ (f"(x)0) ប្រសិនបើអនុគមន៍ y=f (x) បន្តនៅលើផ្នែក ហើយដេរីវេរបស់វាគឺអវិជ្ជមាន ឬស្មើនឹង 0 នៅចន្លោះពេល (a,b) នោះ y=f(x) ថយចុះដោយ (f"(x)0។ )
ចន្លោះពេលដែលអនុគមន៍មិនថយចុះ ឬកើនឡើង ត្រូវបានគេហៅថាចន្លោះពេលនៃ monotonicity នៃអនុគមន៍។ monotonicity នៃអនុគមន៍មួយអាចផ្លាស់ប្តូរបានតែនៅចំណុចទាំងនោះនៃដែននិយមន័យរបស់វា ដែលសញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេទី 1 ។ ចំនុចដែលដេរីវេទី 1 នៃអនុគមន៍មួយបាត់ ឬមានការមិនដំណើរការ ត្រូវបានគេហៅថាសំខាន់។
ទ្រឹស្តីបទ ១ (ទី១ លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់អត្ថិភាពនៃភាពជ្រុលនិយម) ។
អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y = f(x) ត្រូវបានកំណត់នៅចំណុច x 0 ហើយអនុញ្ញាតឱ្យមានសង្កាត់ δ> 0 ដែលអនុគមន៍បន្តនៅចន្លោះពេល និងអាចខុសគ្នានៅលើចន្លោះពេល (x 0 -δ, x 0)u( x 0 , x 0 + δ) និងដេរីវេរបស់វារក្សាទុក សញ្ញាអចិន្រ្តៃយ៍នៅចន្លោះពេលនីមួយៗទាំងនេះ។ បន្ទាប់មកប្រសិនបើនៅលើ x 0 -δ, x 0) និង (x 0 , x 0 + δ) សញ្ញានៃដេរីវេគឺខុសគ្នា នោះ x 0 គឺជាចំណុចខ្លាំង ហើយប្រសិនបើពួកគេស្របគ្នានោះ x 0 មិនមែនជាចំណុចខ្លាំងនោះទេ។ . លើសពីនេះទៅទៀត ប្រសិនបើនៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x0 និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក (នៅខាងឆ្វេង x 0 f"(x)> 0 គឺពេញចិត្ត នោះ x 0 គឺជាចំណុចអតិបរមា ប្រសិនបើនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពី ដកទៅបូក (នៅខាងស្តាំ x 0 ប្រតិបត្តិ f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.
ចំណុចអតិបរិមា និងអប្បរមាត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍ ហើយអតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃខ្លាំងរបស់វា។
ទ្រឹស្តីបទ 2 (សញ្ញាចាំបាច់នៃភាពជ្រុលនិយមក្នុងតំបន់) ។
ប្រសិនបើអនុគមន៍ y=f(x) មានចំនុចខ្លាំងនៅ x=x 0 បច្ចុប្បន្ន នោះ f'(x 0)=0 ឬ f'(x 0) មិនមានទេ។
នៅចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារដែលអាចបែងចែកបាន តង់សង់ទៅក្រាហ្វរបស់វាគឺស្របទៅនឹងអ័ក្សអុក។
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការសិក្សាមុខងារមួយសម្រាប់ខ្លាំងមួយ:
1) ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍។
2) ស្វែងរកចំណុចសំខាន់, i.e. ចំនុចដែលអនុគមន៍បន្ត ហើយដេរីវេគឺសូន្យ ឬមិនមាន។
3) ពិចារណាពីសង្កាត់នៃចំណុចនីមួយៗ ហើយពិនិត្យមើលសញ្ញានៃដេរីវេនៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃចំណុចនេះ។
4) កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចខ្លាំងសម្រាប់តម្លៃនេះ។ ចំណុចសំខាន់ជំនួសមុខងារនេះ។ ដោយប្រើលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់កម្រិតខ្លាំង សូមធ្វើការសន្និដ្ឋានសមស្រប។
ឧទាហរណ៍ 18. ពិនិត្យអនុគមន៍ y=x 3 -9x 2 +24x សម្រាប់ extremum
ដំណោះស្រាយ។
1) y"=3x 2-18x+24=3(x-2)(x-4) ។
2) សមីការដេរីវេទៅសូន្យ យើងរកឃើញ x 1 = 2, x 2 = 4 ។ IN ក្នុងករណីនេះដេរីវេត្រូវបានកំណត់នៅគ្រប់ទីកន្លែង; នេះមានន័យថា ក្រៅពីចំណុចពីរដែលរកឃើញនោះ ក៏មិនមានចំណុចសំខាន់ផ្សេងទៀតដែរ។
3) សញ្ញានៃដេរីវេទី y"=3(x-2)(x-4) ផ្លាស់ប្តូរអាស្រ័យលើចន្លោះពេលដូចបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 1។ នៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x=2 និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក។ ហើយនៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុច x = 4 - ពីដកទៅបូក។
4) នៅចំណុច x = 2 អនុគមន៍មានអតិបរមា y អតិបរមា = 20 ហើយនៅចំណុច x = 4 - អប្បបរមា y min = 16 ។
ទ្រឹស្តីបទ 3. (លក្ខខណ្ឌទី 2 គ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃភាពជ្រុលនិយម) ។
អនុញ្ញាតឱ្យ f"(x 0) ហើយនៅចំណុច x 0 មាន f""(x 0) បន្ទាប់មកប្រសិនបើ f""(x 0)>0 នោះ x 0 គឺជាចំនុចអប្បបរមា ហើយប្រសិនបើ f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).
នៅលើផ្នែកមួយ អនុគមន៍ y=f(x) អាចឈានដល់តម្លៃតូចបំផុត (y តិចបំផុត) ឬតម្លៃធំបំផុត (y ខ្ពស់បំផុត) ទាំងនៅចំណុចសំខាន់នៃមុខងារដែលស្ថិតនៅចន្លោះពេល (a;b) ឬនៅ ចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក។
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍បន្ត y=f(x) នៅលើផ្នែក៖
1) ស្វែងរក f "(x) ។
2) ស្វែងរកចំណុចដែល f"(x)=0 ឬ f"(x) មិនមាន ហើយជ្រើសរើសពីចំនុចទាំងនោះដែលស្ថិតនៅខាងក្នុងផ្នែក។
3) គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ y=f(x) នៅចំនុចដែលទទួលបានក្នុងជំហានទី 2) ក៏ដូចជានៅខាងចុងនៃផ្នែក ហើយជ្រើសរើសធំបំផុត និងតូចបំផុតពីពួកគេ៖ ពួកគេគឺ រៀងគ្នា ធំបំផុត (y ធំបំផុត) និងតម្លៃតូចបំផុត (y តិចបំផុត) នៃអនុគមន៍នៅចន្លោះពេល។
ឧទាហរណ៍ 19. ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុតនៃអនុគមន៍បន្ត y=x 3 -3x 2 -45+225 នៅលើផ្នែក។
1) យើងមាន y"=3x 2 -6x-45 នៅលើផ្នែក
2) ដេរីវេទី y" មានសម្រាប់ x ទាំងអស់។ ចូរស្វែងរកចំណុចដែល y"=0; យើងទទួលបាន៖
3x 2 −6x–45=0
x 2 −2x −15 = 0
x 1 =-3; x 2 = 5
៣) គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំនុច x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
ផ្នែកមានតែចំនុច x=5 ប៉ុណ្ណោះ។ ធំបំផុតនៃតម្លៃដែលបានរកឃើញនៃអនុគមន៍គឺ 225 ហើយតូចបំផុតគឺលេខ 50។ ដូច្នេះ y max = 225, y min = 50 ។
ការសិក្សាអំពីមុខងារលើភាពប៉ោង
តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃមុខងារពីរ។ ទីមួយគឺប៉ោងឡើងលើ ទីពីរគឺប៉ោងចុះក្រោម។
មុខងារ y=f(x) គឺបន្តនៅលើផ្នែក និងអាចខុសគ្នាក្នុងចន្លោះពេល (a;b) ត្រូវបានគេហៅថាប៉ោងឡើងលើ (ចុះក្រោម) នៅលើផ្នែកនេះ ប្រសិនបើសម្រាប់ axb ក្រាហ្វរបស់វាមិនខ្ពស់ជាង (មិនទាបជាង) ជាង។ តង់សង់ត្រូវបានគូរនៅចំណុចណាមួយ M 0 (x 0 ; f (x 0)) ដែល axb ។
ទ្រឹស្តីបទ 4. សូមអោយអនុគមន៍ y=f(x) មានដេរីវេទី 2 នៅចំនុចខាងក្នុងណាមួយ x នៃចម្រៀក ហើយបន្តនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកនេះ។ បន្ទាប់មក ប្រសិនបើវិសមភាព f""(x)0 ពេញចិត្តនៅចន្លោះពេល (a;b) នោះមុខងារគឺប៉ោងចុះក្រោមនៅចន្លោះពេល ; ប្រសិនបើវិសមភាព f""(x)0 រក្សាចន្លោះពេល (a;b) នោះមុខងារគឺប៉ោងឡើងលើ។
ទ្រឹស្តីបទ 5. ប្រសិនបើអនុគមន៍ y=f(x) មានដេរីវេទី 2 នៅចន្លោះពេល (a;b) ហើយប្រសិនបើវាផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x 0 នោះ M(x 0 ;f(x 0)) គឺ ចំណុចឆ្លង។
វិធានសម្រាប់ការស្វែងរកចំណុចប្រសព្វ៖
1) ស្វែងរកចំណុចដែល f""(x) មិនមាន ឬបាត់។
2) ពិនិត្យសញ្ញា f""(x) នៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃចំនុចនីមួយៗដែលរកឃើញក្នុងជំហានដំបូង។
3) ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទទី 4 សូមធ្វើការសន្និដ្ឋានមួយ។
ឧទាហរណ៍ 20. ស្វែងរកចំណុចខ្លាំង និងចំណុចបញ្ឆេះនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 ។
យើងមាន f"(x)=12x 3 −24x 2 +12x=12x(x-1) 2. ជាក់ស្តែង f"(x)=0 នៅពេល x 1 =0, x 2 =1។ នៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x=0 និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីដកទៅបូក ប៉ុន្តែនៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x=1 វាមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាទេ។ នេះមានន័យថា x=0 គឺជាចំណុចអប្បបរមា (y min=12) ហើយមិនមានចំណុចខ្លាំងបំផុតនៅចំនុច x=1 ទេ។ បន្ទាប់យើងរកឃើញ 
. ដេរីវេទី 2 បាត់នៅចំនុច x 1 = 1, x 2 = 1/3 ។ សញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេទី 2 ដូចខាងក្រោម៖ នៅលើកាំរស្មី (-∞;) យើងមាន f""(x)>0 នៅចន្លោះពេល (;1) យើងមាន f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. ដូច្នេះ x= គឺជាចំណុចបញ្ឆេះនៃក្រាហ្វអនុគមន៍ (ការផ្លាស់ប្តូរពីប៉ោងចុះក្រោមទៅប៉ោងឡើងលើ) ហើយ x=1 ក៏ជាចំណុចបញ្ឆេះ (ការផ្លាស់ប្តូរពីប៉ោងឡើងលើទៅប៉ោងចុះក្រោម)។ ប្រសិនបើ x = នោះ y=; ប្រសិនបើ x = 1, y = 13 ។
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរក asymptote នៃក្រាហ្វ
I. ប្រសិនបើ y=f(x) ជា x → a នោះ x=a ជា asymptote បញ្ឈរ។
II. ប្រសិនបើ y = f(x) ជា x → ∞ ឬ x → -∞ នោះ y = A គឺជា asymptote ផ្ដេក។
III. ដើម្បីស្វែងរក asymptote oblique យើងប្រើ algorithm ខាងក្រោម៖
1) គណនា។ ប្រសិនបើដែនកំណត់មាន ហើយស្មើនឹង b នោះ y=b គឺជា asymptote ផ្ដេក។ ប្រសិនបើបន្ទាប់មកទៅជំហានទីពីរ។
2) គណនា។ ប្រសិនបើដែនកំណត់នេះមិនមានទេ នោះមិនមាន asymptote ទេ។ ប្រសិនបើវាមាន ហើយស្មើនឹង k បន្ទាប់មកទៅជំហានទីបី។
3) គណនា។ ប្រសិនបើដែនកំណត់នេះមិនមានទេ នោះមិនមាន asymptote ទេ។ ប្រសិនបើវាមាន ហើយស្មើនឹង b បន្ទាប់មកទៅជំហានទីបួន។
4) សរសេរសមីការនៃ oblique asymptote y=kx+b ។
ឧទាហរណ៍ 21: ស្វែងរក asymptote សម្រាប់មុខងារមួយ។ 
1) 
2)
3)
4) សមីការនៃ oblique asymptote មានទម្រង់
គ្រោងការណ៍សម្រាប់សិក្សាមុខងារ និងបង្កើតក្រាហ្វរបស់វា។
I. ស្វែងរកដែននិយមន័យនៃអនុគមន៍។
II. ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ។
III. ស្វែងរក asymtotes ។
IV. ស្វែងរកចំណុចខ្លាំងដែលអាចកើតមាន។
V. ស្វែងរកចំណុចសំខាន់។
VI. ដោយប្រើតួលេខជំនួយ រុករកសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុទីមួយ និងទីពីរ។ កំណត់តំបន់នៃការកើនឡើង និងការថយចុះនៃមុខងារ ស្វែងរកទិសដៅនៃភាពប៉ោងនៃក្រាហ្វ ចំណុចខ្លាំង និងចំណុចបញ្ឆេះ។
VII. សាងសង់ក្រាហ្វដោយគិតគូរពីការស្រាវជ្រាវដែលបានធ្វើឡើងនៅក្នុងកថាខណ្ឌ 1-6 ។
ឧទាហរណ៍ 22: សង់ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍តាមដ្យាក្រាមខាងលើ
ដំណោះស្រាយ។
I. ដែននៃអនុគមន៍ គឺជាសំណុំនៃចំនួនពិតទាំងអស់ លើកលែងតែ x=1។
II. ដោយសារសមីការ x 2 +1=0 មិនមានឫសពិត ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មិនមានចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សអុកទេ ប៉ុន្តែប្រសព្វអ័ក្ស Oy នៅចំណុច (0;-1)។
III. ចូរយើងស្រាយចម្ងល់អំពីអត្ថិភាពនៃ asymtotes ។ ចូរយើងសិក្សាពីឥរិយាបទនៃអនុគមន៍នៅជិតចំនុច discontinuity x=1។ ចាប់តាំងពី y → ∞ ជា x → -∞, y → +∞ ជា x → 1+ បន្ទាប់មកបន្ទាត់ x=1 គឺជា asymptote បញ្ឈរនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍។
ប្រសិនបើ x → +∞(x → -∞) បន្ទាប់មក y → +∞(y → -∞); ដូច្នេះ ក្រាហ្វមិនមាន asymptote ផ្ដេកទេ។ លើសពីនេះទៀតពីអត្ថិភាពនៃដែនកំណត់
ការដោះស្រាយសមីការ x 2 -2x-1=0 យើងទទួលបានចំណុចខ្លាំងពីរដែលអាចកើតមាន៖
x 1 =1-√2 និង x 2 =1+√2
V. ដើម្បីស្វែងរកចំណុចសំខាន់ យើងគណនាដេរីវេទី ២៖
ដោយសារ f""(x) មិនរលាយបាត់ គ្មានចំណុចសំខាន់ទេ។
VI. ចូរយើងពិនិត្យមើលសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុទីមួយ និងទីពីរ។ ចំណុចខ្លាំងដែលអាចពិចារណាបាន៖ x 1 = 1-√2 និង x 2 = 1+√2 បែងចែកដែនអត្ថិភាពនៃអនុគមន៍ទៅជាចន្លោះពេល (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) និង (1+√2;+∞)។
ក្នុងចន្លោះពេលនីមួយៗ និស្សន្ទវត្ថុរក្សាសញ្ញារបស់វា៖ នៅក្នុងទីមួយ - បូក, ក្នុងទីពីរ - ដក, នៅទីបី - បូក។ លំដាប់នៃសញ្ញានៃដេរីវេទី 1 នឹងត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម: +,-,+ ។
យើងឃើញថាមុខងារកើនឡើងនៅ (-∞;1-√2) ថយចុះនៅ (1-√2;1+√2) ហើយកើនឡើងម្តងទៀតនៅ (1+√2;+∞)។ ចំណុចខ្លាំង៖ អតិបរមានៅ x=1-√2 និង f(1-√2)=2-2√2 អប្បបរមានៅ x=1+√2 និង f(1+√2)=2+2√2។ នៅ (-∞;1) ក្រាហ្វគឺប៉ោងឡើងលើ ហើយនៅ (1;+∞) វាប៉ោងចុះក្រោម។
VII ចូរយើងបង្កើតតារាងនៃតម្លៃដែលទទួលបាន
VIII ដោយផ្អែកលើទិន្នន័យដែលទទួលបាន យើងបង្កើតគំនូរព្រាងនៃក្រាហ្វនៃមុខងារ 
ប្រសិនបើភារកិច្ចទាមទារ ការស្រាវជ្រាវពេញលេញអនុគមន៍ f (x) = x 2 4 x 2 − 1 ជាមួយនឹងការសាងសង់ក្រាហ្វរបស់វា បន្ទាប់មកយើងនឹងពិចារណាគោលការណ៍នេះឱ្យបានលម្អិត។
ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានៃប្រភេទនេះ អ្នកគួរតែប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ និងក្រាហ្វនៃមេ មុខងារបឋម. ក្បួនដោះស្រាយស្រាវជ្រាវរួមមានជំហានដូចខាងក្រោមៈ
Yandex.RTB R-A-339285-1
ការស្វែងរកដែននៃនិយមន័យ
ចាប់តាំងពីការស្រាវជ្រាវត្រូវបានអនុវត្តលើដែននៃនិយមន័យនៃមុខងារ វាចាំបាច់ក្នុងការចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងជំហាននេះ។
ឧទាហរណ៍ ១
សម្រាប់ ឧទាហរណ៍នេះ។ពាក់ព័ន្ធនឹងការស្វែងរកលេខសូន្យនៃភាគបែង ដើម្បីដកពួកគេចេញពី ODZ ។
4 x 2 − 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ − ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞
ជាលទ្ធផល អ្នកអាចទទួលបានឫស លោការីត និងអ្វីៗផ្សេងទៀត។ បន្ទាប់មក ODZ អាចស្វែងរកឫសនៃកម្រិតគូនៃប្រភេទ g (x) 4 ដោយវិសមភាព g (x) ≥ 0 សម្រាប់លោការីតកត់ត្រា a g (x) ដោយវិសមភាព g (x) > 0 ។
សិក្សាព្រំដែននៃ ODZ និងការស្វែងរក asymtotes បញ្ឈរ
មាន asymptotes បញ្ឈរនៅព្រំដែននៃមុខងារ នៅពេលដែលដែនកំណត់ម្ខាងនៅចំណុចបែបនេះគឺគ្មានកំណត់។
ឧទាហរណ៍ ២
ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាចំណុចព្រំដែនស្មើនឹង x = ± 1 2 ។
បន្ទាប់មកចាំបាច់ត្រូវសិក្សាមុខងារដើម្បីស្វែងរកដែនកំណត់ម្ខាង។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាននោះ៖ lim x → − 1 2 − 0 f (x) = lim x → − 1 2 − 0 x 2 4 x 2 − 1 = = lim x → − 1 2 − 0 x 2 (2 x − 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (− 2) · - 0 = + ∞ lim x → − 1 2 + 0 f (x) = lim x → − 1 2 + 0 x 2 4 x − 1 = lim x → − 1 2 + 0 x 2 (2 x − 1) (2 x + 1) = 1 4 (− 2) (+ 0) = − ∞ lim x → 1 2 − 0 f (x) = lim x → 1 2 − 0 x 2 4 x 2 − 1 = = lim x → 1 2 − 0 x 2 (2 x − 1) (2 x + 1) = 1 4 ( − 0) 2 = − ∞ lim x → 1 2 − 0 f (x) = lim x → 1 2 − 0 x 2 4 x 2 − 1 = = lim x → 1 2 − 0 x 2 (2 x − 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞
នេះបង្ហាញថាដែនកំណត់ម្ខាងគឺគ្មានកំណត់ ដែលមានន័យថាបន្ទាត់ត្រង់ x = ± 1 2 គឺជា asymtotes បញ្ឈរនៃក្រាហ្វ។
សិក្សាមុខងារមួយ និងថាតើវាជាគូ ឬសេស
នៅពេលដែលលក្ខខណ្ឌ y (- x) = y (x) ត្រូវបានពេញចិត្ត អនុគមន៍ត្រូវបានចាត់ទុកជាគូ។ នេះបង្ហាញថាក្រាហ្វមានទីតាំងនៅស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹង Oy ។ នៅពេលដែលលក្ខខណ្ឌ y (- x) = - y (x) ត្រូវបានពេញចិត្ត មុខងារត្រូវបានចាត់ទុកថាសេស។ នេះមានន័យថាស៊ីមេទ្រីគឺទាក់ទងទៅនឹងប្រភពដើមនៃកូអរដោនេ។ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់វិសមភាពមួយមិនពេញចិត្ត យើងទទួលបានមុខងារនៃទម្រង់ទូទៅមួយ។
សមភាព y (- x) = y (x) បង្ហាញថាអនុគមន៍គឺគូ។ នៅពេលសាងសង់វាចាំបាច់ត្រូវយកទៅពិចារណាថានឹងមានស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងអូយ។
ដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាព ចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងបន្ថយ ត្រូវបានប្រើជាមួយលក្ខខណ្ឌ f " (x) ≥ 0 និង f " (x) ≤ 0 រៀងគ្នា។
និយមន័យ ១
ចំណុចស្ថានី- ទាំងនេះគឺជាចំណុចដែលបង្វែរនិស្សន្ទវត្ថុទៅជាសូន្យ។
ចំណុចសំខាន់- ទាំងនេះគឺជាចំណុចខាងក្នុងពីដែននិយមន័យដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាន។
នៅពេលធ្វើការសម្រេចចិត្ត កំណត់ចំណាំខាងក្រោមត្រូវយកមកពិចារណា៖
- សម្រាប់ចន្លោះពេលដែលមានស្រាប់នៃការបង្កើន និងបន្ថយវិសមភាពនៃទម្រង់ f " (x) > 0 ចំនុចសំខាន់ៗមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងដំណោះស្រាយទេ។
- ចំនុចដែលអនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់ដោយគ្មាននិស្សន្ទវត្ថុកំណត់ត្រូវតែរួមបញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេលនៃការបង្កើន និងបន្ថយ (ឧទាហរណ៍ y = x 3 ដែលចំនុច x = 0 ធ្វើឱ្យអនុគមន៍កំណត់ ដេរីវេមានគុណតម្លៃគ្មានកំណត់នៅនេះ ចំណុច, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 ត្រូវបានរួមបញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេលកើនឡើង);
- ដើម្បីជៀសវាងជម្លោះវាត្រូវបានណែនាំឱ្យប្រើ អក្សរសិល្ប៍គណិតវិទ្យាដែលត្រូវបានណែនាំដោយក្រសួងអប់រំ។
ការដាក់បញ្ចូលចំណុចសំខាន់ៗក្នុងចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងថយចុះ ប្រសិនបើពួកគេបំពេញតាមដែននៃនិយមន័យនៃមុខងារ។
និយមន័យ ២
សម្រាប់ កំណត់ចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងការថយចុះនៃមុខងារមួយ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរក:
- ដេរីវេ;
- ចំណុចសំខាន់;
- បែងចែកនិយមន័យដែនទៅជាចន្លោះពេលដោយប្រើចំណុចសំខាន់;
- កំណត់សញ្ញានៃដេរីវេនៅចន្លោះពេលនីមួយៗ ដែល + ជាការកើនឡើង និង - គឺជាការថយចុះ។
ឧទាហរណ៍ ៣
ស្វែងរកដេរីវេនៅលើដែននៃនិយមន័យ f " (x) = x 2 " (4 x 2 − 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 − 1) 2 = − 2 x (4 x 2 - ១) ២.
ដំណោះស្រាយ
ដើម្បីដោះស្រាយអ្នកត្រូវការ៖
- ស្វែងរក ចំណុចស្ថានីឧទាហរណ៍នេះមាន x = 0;
- រកលេខសូន្យនៃភាគបែង ឧទាហរណ៍យកតម្លៃសូន្យនៅ x = ± 1 2 ។
យើងដាក់ចំណុចនៅលើអ័ក្សលេខដើម្បីកំណត់ដេរីវេនៅចន្លោះនីមួយៗ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីយកចំណុចណាមួយពីចន្លោះពេលហើយអនុវត្តការគណនា។ នៅ លទ្ធផលវិជ្ជមាននៅលើក្រាហ្វដែលយើងពណ៌នា + ដែលមានន័យថាមុខងារកំពុងកើនឡើង ហើយ - មានន័យថាវាកំពុងថយចុះ។
ឧទាហរណ៍ f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0 ដែលមានន័យថា ចន្លោះពេលដំបូងនៅខាងឆ្វេងមានសញ្ញា + សូមពិចារណាលើបន្ទាត់លេខ។
ចម្លើយ៖
- មុខងារកើនឡើងនៅលើចន្លោះពេល - ∞; - 1 2 និង (- 1 2 ; 0 ] ;
- មានការថយចុះនៃចន្លោះពេល [ 0 ; 1 2) និង 12 ; + ∞ .
នៅក្នុងដ្យាក្រាម ការប្រើប្រាស់ + និង - ភាពវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាននៃអនុគមន៍ត្រូវបានបង្ហាញ ហើយព្រួញបង្ហាញពីការថយចុះ និងកើនឡើង។
ចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍ គឺជាចំណុចដែលមុខងារត្រូវបានកំណត់ ហើយតាមរយៈនោះសញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេ។
ឧទាហរណ៍ 4
ប្រសិនបើយើងពិចារណាឧទាហរណ៍ដែល x = 0 នោះតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅក្នុងវាគឺស្មើនឹង f (0) = 0 2 4 · 0 2 − 1 = 0 ។ នៅពេលដែលសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរពី + ទៅ - ហើយឆ្លងកាត់ចំនុច x = 0 បន្ទាប់មកចំនុចដែលមានកូអរដោណេ (0; 0) ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាចំណុចអតិបរមា។ នៅពេលដែលសញ្ញាផ្លាស់ប្តូរពី - ទៅ + យើងទទួលបានចំណុចអប្បបរមា។
ភាពប៉ោង និង concavity ត្រូវបានកំណត់ដោយការដោះស្រាយវិសមភាពនៃទម្រង់ f "" (x) ≥ 0 និង f "" (x) ≤ 0 ។ មិនសូវមានគេប្រើទេគឺ ប៉ោងចុះក្រោម ជំនួសឲ្យប៉ោង ហើយប៉ោងឡើងលើ ជំនួសឲ្យប៉ោង។
និយមន័យ ៣
សម្រាប់ កំណត់ចន្លោះពេលនៃ concavity និង convexityចាំបាច់៖
- ស្វែងរកដេរីវេទីពីរ;
- រកលេខសូន្យនៃអនុគមន៍ដេរីវេទី 2;
- បែងចែកតំបន់និយមន័យទៅជាចន្លោះពេលជាមួយនឹងចំណុចលេចឡើង;
- កំណត់សញ្ញានៃចន្លោះពេល។
ឧទាហរណ៍ 5
ស្វែងរកដេរីវេទីពីរពីដែននៃនិយមន័យ។
ដំណោះស្រាយ
f "" (x) = − 2 x (4 x 2 − 1) 2 " = = (− 2 x) " (4 x 2 − 1) 2 − − 2 x 4 x 2 − 1 2" (4 x 2 − 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 − 1) ៣
យើងរកឃើញលេខសូន្យនៃភាគបែង និងភាគបែង ដែលក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង យើងមានថាសូន្យនៃភាគបែង x = ± 1 2
ឥឡូវអ្នកត្រូវគូសចំនុចនៅលើបន្ទាត់លេខ ហើយកំណត់សញ្ញានៃដេរីវេទី 2 ពីចន្លោះនីមួយៗ។ យើងទទួលបាននោះ។
ចម្លើយ៖
- មុខងារគឺប៉ោងពីចន្លោះពេល - 1 2 ; 12 ;
- អនុគមន៍គឺប៉ោងពីចន្លោះពេល - ∞ ; - 1 2 និង 1 2; + ∞ .
និយមន័យ ៤
ចំណុចឆ្លង- នេះគឺជាចំណុចនៃទម្រង់ x 0 ; f (x 0) ។ នៅពេលដែលវាមានតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ នោះនៅពេលដែលវាឆ្លងកាត់ x 0 មុខងារនឹងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាទៅផ្ទុយ។
ម៉្យាងទៀត នេះគឺជាចំណុចដែលនិស្សន្ទវត្ថុទីពីរឆ្លងកាត់ និងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា ហើយនៅចំណុចខ្លួនវាស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាន។ ចំណុចទាំងអស់ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាដែននៃមុខងារ។
នៅក្នុងឧទាហរណ៍ វាច្បាស់ណាស់ថាមិនមានចំណុចបញ្ឆេះទេ ចាប់តាំងពីសញ្ញាផ្លាស់ប្តូរដេរីវេទី 2 ខណៈពេលដែលឆ្លងកាត់ចំនុច x = ± 1 2 ។ ពួកវាមិនត្រូវបានដាក់បញ្ចូលក្នុងវិសាលភាពនៃនិយមន័យទេ។
ការស្វែងរក asymtotes ផ្ដេក និង oblique
នៅពេលកំណត់មុខងារនៅភាពគ្មានកំណត់ អ្នកត្រូវរកមើល asymptotes ផ្ដេក និង oblique ។
និយមន័យ ៥
រោគសញ្ញា Obliqueត្រូវបានបង្ហាញដោយប្រើបន្ទាត់ត្រង់ ផ្តល់ដោយសមីការ y = k x + b ដែល k = lim x → ∞ f (x) x និង b = lim x → ∞ f (x) − k x ។
សម្រាប់ k = 0 និង b មិនស្មើនឹង infinity យើងឃើញថា asymptote oblique ក្លាយជា ផ្ដេក.
ម្យ៉ាងវិញទៀត asymptotes ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាបន្ទាត់ដែលក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ចូលទៅជិតភាពគ្មានកំណត់។ នេះជួយសម្រួលដល់ការសាងសង់ក្រាហ្វមុខងារយ៉ាងរហ័ស។
ប្រសិនបើមិនមាន asymptotes ទេ ប៉ុន្តែមុខងារត្រូវបានកំណត់នៅភាពគ្មានដែនកំណត់ទាំងពីរនោះ ចាំបាច់ត្រូវគណនាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅភាពគ្មានកំណត់ទាំងនេះ ដើម្បីយល់ពីរបៀបដែលក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នឹងមានឥរិយាបទ។
ឧទាហរណ៍ ៦
ចូរយើងពិចារណាជាឧទាហរណ៍នោះ។
k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 − 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) − k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 − 1 = 1 4 ⇒ y = 1 ៤
គឺជា asymptote ផ្ដេក។ បន្ទាប់ពីពិនិត្យមើលមុខងារអ្នកអាចចាប់ផ្តើមសាងសង់វាបាន។
ការគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមធ្យម
ដើម្បីធ្វើឱ្យក្រាហ្វមានភាពត្រឹមត្រូវជាងមុន វាត្រូវបានណែនាំឱ្យស្វែងរកតម្លៃមុខងារជាច្រើននៅចំណុចមធ្យម។
ឧទាហរណ៍ ៧
តាមឧទាហរណ៍ដែលយើងបានពិចារណា ចាំបាច់ត្រូវរកតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំនុច x = − 2 , x = − 1 , x = − 3 4 , x = − 1 4 ។ ដោយសារអនុគមន៍គឺគូ យើងទទួលបានថាតម្លៃស្របគ្នាជាមួយនឹងតម្លៃនៅចំណុចទាំងនេះ នោះគឺយើងទទួលបាន x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4 ។
តោះសរសេរនិងដោះស្រាយ៖
F ( − 2 ) = f ( 2 ) = 2 2 4 2 2 − 1 = 4 15 ≈ 0 , 27 f ( − 1 ) − f ( 1 ) = 1 2 4 1 2 − 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f − 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 − 1 = 9 20 = 0 , 45 f − 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 − 1 = − 1 12 ≈ − 0.08
ដើម្បីកំណត់អតិបរិមា និងអប្បបរមានៃមុខងារ ចំណុចបញ្ឆេះ និងចំណុចមធ្យម វាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើត asymptotes ។ សម្រាប់ការរចនាងាយស្រួល ចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង ការថយចុះ ភាពប៉ោង និង concavity ត្រូវបានកត់ត្រាទុក។ តោះមើលរូបភាពខាងក្រោម។
វាចាំបាច់ក្នុងការគូរបន្ទាត់ក្រាហ្វតាមចំណុចដែលបានសម្គាល់ ដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកចូលទៅជិត asymtotes ដោយធ្វើតាមព្រួញ។
នេះបញ្ចប់ការរុករកពេញលេញនៃមុខងារ។ មានករណីនៃការសាងសង់អនុគមន៍បឋមមួយចំនួនដែលការបំប្លែងធរណីមាត្រត្រូវបានប្រើប្រាស់។
ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter