ដើម្បីកំណត់ថាតើ តួលេខនេះ។ parallelogram មានលក្ខណៈពិសេសមួយចំនួន។ សូមក្រឡេកមើលលក្ខណៈសំខាន់បីនៃប្រលេឡូក្រាម។
1 សញ្ញាប៉ារ៉ាឡែល
ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរនៃចតុកោណកែងស្មើគ្នា និងស្របគ្នា នោះចតុកោណនេះនឹងជាប្រលេឡូក្រាម។
ភស្តុតាង៖
ពិចារណា ABCD បួនជ្រុង។ ទុកអោយជ្រុង AB និង CD ស្របគ្នា។ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យ AB=CD ។ តោះគូរអង្កត់ទ្រូង BD នៅក្នុងវា។ វានឹងបែងចែកបួនជ្រុងនេះទៅជាត្រីកោណស្មើគ្នាពីរគឺ ABD និង CBD។
ត្រីកោណទាំងនេះស្មើគ្នានៅសងខាង និងមុំរវាងពួកវា (BD - ផ្នែករួម, AB = CD តាមលក្ខខណ្ឌ, angle1 = angle2 ជាមុំ crosswise ជាមួយ transversal BD នៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល AB និង CD ។) ហើយដូច្នេះ angle3 = angle4 ។
ហើយមុំទាំងនេះនឹងស្ថិតនៅច្រាសទិសគ្នា នៅពេលដែលបន្ទាត់ BC និង AD ប្រសព្វគ្នាជាមួយ BD secant ។ វាកើតឡើងពីនេះថា BC និង AD គឺស្របគ្នាទៅវិញទៅមក។ យើងមានវានៅក្នុង ABCD បួនជ្រុង ភាគីផ្ទុយគឺស្របគ្នាជាគូ ដូច្នេះហើយ ABCD បួនជ្រុងគឺជាប្រលេឡូក្រាម។
សញ្ញាប៉ារ៉ាឡែល ២
ប្រសិនបើក្នុងចតុកោណ ភាគីទល់មុខស្មើគ្នាជាគូ នោះចតុកោណនេះនឹងជាប្រលេឡូក្រាម។
ភស្តុតាង៖
ពិចារណា ABCD បួនជ្រុង។ តោះគូរអង្កត់ទ្រូង BD នៅក្នុងវា។ វានឹងបែងចែកបួនជ្រុងនេះទៅជាត្រីកោណស្មើគ្នាពីរគឺ ABD និង CBD។
ត្រីកោណទាំងពីរនេះនឹងស្មើគ្នានៅជ្រុងទាំងបី (BD ជាផ្នែករួម AB = CD និង BC = AD តាមលក្ខខណ្ឌ)។ ពីនេះយើងអាចសន្និដ្ឋានថាមុំ 1 = មុំ 2 ។ វាធ្វើតាមថា AB គឺស្របទៅនឹងស៊ីឌី។ ហើយចាប់តាំងពី AB = CD និង AB គឺស្របទៅនឹង CD បន្ទាប់មកយោងទៅតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យដំបូងនៃប្រលេឡូក្រាម ABCD បួនជ្រុងនឹងជាប្រលេឡូក្រាម។
3 សញ្ញាប៉ារ៉ាឡែល
ប្រសិនបើអង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណប្រសព្វ ហើយត្រូវបានបំបែកដោយចំនុចប្រសព្វ នោះចតុកោណនេះនឹងជាប្រលេឡូក្រាម។
ពិចារណា ABCD បួនជ្រុង។ ចូរយើងគូរអង្កត់ទ្រូងពីរ AC និង BD នៅក្នុងវា ដែលនឹងប្រសព្វគ្នានៅចំណុច O ហើយត្រូវបានបំបែកដោយចំណុចនេះ។
ត្រីកោណ AOB និង COD នឹងស្មើគ្នាទៅវិញទៅមកយោងទៅតាមសញ្ញាដំបូងនៃសមភាពនៃត្រីកោណ។ (AO = OC, BO = OD តាមលក្ខខណ្ឌ, មុំ AOB = មុំ COD ជា មុំបញ្ឈរ.) ដូចេ្នះ AB = CD និងមុំ 1 = មុំ 2. ពីសមភាពនៃមុំ 1 និង 2 យើងមានថា AB គឺស្របទៅនឹង CD ។ បន្ទាប់មកយើងមានថានៅក្នុង ABCD បួនជ្រុង ជ្រុង AB ស្មើនឹង CD និងប៉ារ៉ាឡែល ហើយយោងទៅតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យដំបូងនៃប្រលេឡូក្រាម ABCD បួនជ្រុងនឹងជាប្រលេឡូក្រាម។
ខ្ញុំ ប្រសិនបើជ្រុងម្ខាងពីរនៃបួនជ្រុងគឺស្របគ្នានិងស្មើគ្នា នោះបួនជ្រុងគឺជាប្រលេឡូក្រាម។
កិច្ចការទី 1 ។ពីចំនុចកំពូល B និង D នៃប្រលេឡូក្រាម ABCD ដែលក្នុងនោះ AB≠ BC និងមុំ A គឺស្រួច កាត់កែង BK និង DM ត្រូវបានគូរទៅបន្ទាត់ត្រង់ AC ។ បញ្ជាក់ថា BMDK ចតុកោណគឺជាប្រលេឡូក្រាម។
ភស្តុតាង។
ដោយសារ VC និង DM កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា AC បន្ទាប់មក VC II DM ។ លើសពីនេះ VK និង DM គឺជាកម្ពស់ដែលទាញចូល ត្រីកោណស្មើគ្នាΔ ABC និង Δ CDA ពីចំនុចកំពូល មុំស្មើគ្នា∠B និង ∠D ទៅម្ខាង AC ដូច្នេះ BC = DM ។ យើងមាន៖ ជ្រុងពីរ BC និង DM នៃ BMDK បួនជ្រុងគឺស្របគ្នា និងស្មើគ្នា ដែលមានន័យថា BMDK គឺជាប៉ារ៉ាឡែល ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។
II. ប្រសិនបើជ្រុងម្ខាងនៃចតុកោណកែងស្មើគ្នាជាគូ នោះចតុកោណនេះគឺជាប្រលេឡូក្រាម។
កិច្ចការទី 2 ។នៅលើជ្រុង AB, BC, CD និង DA នៃ ABCD បួនជ្រុង ចំណុច M, N, P និង Q ត្រូវបានសម្គាល់រៀងគ្នា ដូច្នេះ AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA។ បង្ហាញថា ABCD និង MNPQ គឺជាប៉ារ៉ាឡែល។
ភស្តុតាង។
1. យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៅក្នុង ABCD ចតុកោណភាគីទល់មុខមាន ផ្នែកស្មើគ្នាដូច្នេះ ស្មើ, i.e. AD=BC, AB=CD។ ដូច្នេះ ABCD គឺជាប្រលេឡូក្រាម។
2. ពិចារណា Δ MBN និង Δ PDQ ។ BM = DP និង BN = DQ តាមលក្ខខណ្ឌ។ ∠B =∠D ជាមុំទល់មុខ ប៉ារ៉ាឡែល ABCD. នេះមានន័យថា Δ MBN = Δ PDQ នៅលើភាគីទាំងពីរ និងមុំរវាងពួកវា (សញ្ញាទី 1 នៃភាពស្មើគ្នានៃត្រីកោណ) ។ ហើយនៅក្នុងត្រីកោណស្មើគ្នាទល់មុខមុំស្មើគ្នាកុហក ភាគីស្មើគ្នា. ដូច្នេះ MN=PQ ។ យើងបានបង្ហាញថាភាគីផ្ទុយ MN និង PQ នៃ MNPQ បួនជ្រុងគឺស្មើគ្នា។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរពីសមភាពនៃត្រីកោណ Δ MAQ និង Δ PCN វាដូចខាងក្រោមថាភាគី MQ និង PN គឺស្មើគ្នាដែលផ្ទុយពីជ្រុង MNPQ បួនជ្រុង។ យើងមាន៖ ជ្រុងម្ខាងនៃ MNPQ បួនជ្រុងគឺស្មើគ្នាជាគូ។ ដូច្នេះ MNPQ ចតុកោណគឺជាប្រលេឡូក្រាម។ បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។
III. ប្រសិនបើអង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណប្រសព្វ ហើយត្រូវបានបំបែកដោយចំនុចប្រសព្វ នោះចតុកោណគឺជាប្រលេឡូក្រាម។
កិច្ចការទី 3 ។អង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម ABCD ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច O. បង្ហាញថា MNPQ រាងចតុកោណដែលជាចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក OA, OB, OC និង OD គឺជាប្រលេឡូក្រាម។
ភស្តុតាង។
យោងទៅតាមទ្រព្យសម្បត្តិនៃអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម ABCD អង្កត់ទ្រូងរបស់វា AC និង BD ត្រូវបានបែងចែកពាក់កណ្តាលដោយចំនុចប្រសព្វពោលគឺឧ។ OA=OS និង OB=OD។ អង្កត់ទ្រូងនៃ MNPQ បួនជ្រុងក៏ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច O ដែលនឹងក្លាយជាចំណុចកណ្តាលនៃពួកវានីមួយៗ។ ជាការពិត ដោយសារចំនុចកំពូលនៃ MNPQ រាងបួនជ្រុង តាមលក្ខខណ្ឌ ចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក OA, OC, OB និង OD បន្ទាប់មក BN=ON=OQ=DQ និង AM=OM=OP=CP ។ អាស្រ័យហេតុនេះ អង្កត់ទ្រូង MP និង NQ នៃ MNPQ បួនជ្រុងត្រូវបានបំបែកនៅចំណុចប្រសព្វ ដូច្នេះ MNPQ រាងបួនជ្រុង គឺជាប្រលេឡូក្រាម ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។
ថយក្រោយ
យកចិត្តទុកដាក់! ការមើលជាមុនស្លាយគឺសម្រាប់គោលបំណងផ្តល់ព័ត៌មានតែប៉ុណ្ណោះ ហើយប្រហែលជាមិនតំណាងឱ្យលក្ខណៈពិសេសទាំងអស់នៃបទបង្ហាញនោះទេ។ ប្រសិនបើអ្នកចាប់អារម្មណ៍ ការងារនេះសូមទាញយកកំណែពេញលេញ។
គោលបំណងនៃមេរៀន៖ពិចារណាពីលក្ខណៈនៃប្រលេឡូក្រាម និងបង្រួបបង្រួមចំណេះដឹងដែលទទួលបានក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយបញ្ហា។
ភារកិច្ច:
- អប់រំ៖អភិវឌ្ឍសមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តមុខងារប៉ារ៉ាឡែលដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា។
- អភិវឌ្ឍន៍៖ការអភិវឌ្ឍន៍ ការគិតឡូជីខល, ការយកចិត្តទុកដាក់, ជំនាញ ការងារឯករាជ្យ, ជំនាញការគោរពខ្លួនឯង;
- អប់រំ៖បណ្តុះចំណាប់អារម្មណ៍លើប្រធានបទ សមត្ថភាពក្នុងការធ្វើការជាក្រុម វប្បធម៌ទំនាក់ទំនង។
ប្រភេទមេរៀន៖ ការរៀនសម្ភារៈថ្មី ការបង្រួបបង្រួមបឋម។
ឧបករណ៍៖ បន្ទះអន្តរកម្ម, ម៉ាស៊ីនបញ្ចាំង, កាតភារកិច្ច, បទបង្ហាញ។
ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់
1. ពេលរៀបចំ។
យូ៖ អរុណសួស្តីបងប្អូន! ថ្ងៃនេះនៅក្នុងថ្នាក់យើងនឹងនិយាយម្តងទៀតអំពីប្រលេឡូក្រាម។ យើងត្រូវបំពេញកិច្ចការជាច្រើន បញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ និងរៀនពីរបៀបអនុវត្តវានៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា។ បាវចនានៃមេរៀនរបស់យើងនឹងជាពាក្យរបស់ Le Carbusier: "អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលនៅជុំវិញគឺធរណីមាត្រ" ។
2. ការធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹងរបស់សិស្ស។
ការស្ទង់មតិទ្រឹស្តី
ផ្តល់ឱ្យសិស្សនូវកិច្ចការបុគ្គលមួយចំនួននៅលើកាតលើប្រធានបទ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រលេឡូក្រាម(អ្នករាល់គ្នាជ្រើសរើសកិច្ចការដោយឯករាជ្យនៅលើស្លាយបទបង្ហាញតាមរយៈតំណខ្ពស់ ដោយចង្អុលទ្រនិចកណ្ដុរនៅលើតួលេខ ប៉ុន្តែមិននៅលេខទេ) ស្តាប់អ្នកឆ្លើយសំណួរនីមួយៗជាលក្ខណៈបុគ្គល។
ជាមួយនឹងអ្វីដែលនៅសល់ - បញ្ជាក់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិបន្ថែមនៃប្រលេឡូក្រាម។ (ដំបូងពិភាក្សាអំពីភស្តុតាងដោយផ្ទាល់មាត់ បន្ទាប់មកពិនិត្យមើលវាជាមួយនឹងក្តារខៀនអន្តរកម្ម)។
1° bisector នៃមុំនៃ parallelogram កាត់ចេញត្រីកោណ isosceles ពីវា។
2° bisectors នៃមុំជាប់គ្នានៃ parallelogram គឺកាត់កែង ហើយ bisectors មុំទល់មុខគឺស្របគ្នា ឬស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។
បន្ទាប់ពីការរៀបចំ សូមស្តាប់ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិបន្ថែមនៃប្រលេឡូក្រាម។
ABCD - ប៉ារ៉ាឡែល,
AE គឺជាផ្នែកនៃមុំ BAD ។
បញ្ជាក់៖ ABE គឺជា isosceles ។
ភស្តុតាង៖
ដោយសារ ABCD គឺជាប្រលេឡូក្រាម ដូច្នេះ BC || AD បន្ទាប់មកមុំ EAD = មុំ BEA កុហកច្រាសទិសជាមួយបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល BC និង AD និង secant AE ។ AE គឺជាផ្នែកនៃមុំ BAD ដែលមានន័យថាមុំ BAE = មុំ EAD ដូច្នេះមុំ BAE = មុំ BEA ។
នៅក្នុង ABE មុំ BAE = មុំ BEA ដែលមានន័យថា ABE គឺជា isosceles ដែលមានមូលដ្ឋាន AE ។
សំណួរណែនាំ៖
បង្កើតសញ្ញានៃត្រីកោណ isosceles ។
តើមុំមួយណានៅក្នុង BAE អាចស្មើ? ហេតុអ្វី?
ABCD - ប៉ារ៉ាឡែល,
BE គឺជាផ្នែកនៃមុំ CBA,
AE គឺជាផ្នែកនៃមុំ BAD ។
សំណួរណែនាំ៖
តើនៅពេលណាដែលបន្ទាត់ AE និង CK នឹងស្របគ្នា?
តើមុំ BEA និង<3? Почему?
តើក្នុងករណីអ្វីដែល AE និង CK នឹងត្រូវគ្នា?
ការរៀបចំសិក្សាសម្ភារៈថ្មី។
ការងារផ្នែកខាងមុខជាមួយថ្នាក់ (ផ្ទាល់មាត់) ។
- តើពាក្យ«ទ្រព្យ»និង«លក្ខណៈ»មានន័យយ៉ាងណា? ផ្តល់ឧទាហរណ៍។
- តើទ្រឹស្តីបទសន្ទនាគឺជាអ្វី?
- តើពាក្យផ្ទុយគ្នានេះតែងតែពិតឬទេ? ផ្តល់ឧទាហរណ៍។
3. ការពន្យល់អំពីសម្ភារៈថ្មី។
U.: វត្ថុនីមួយៗមានលក្ខណៈសម្បត្តិ និងលក្ខណៈផ្ទាល់ខ្លួន។ សូមប្រាប់ខ្ញុំពីរបៀបដែលអចលនទ្រព្យខុសពីសញ្ញា។
ចូរយើងព្យាយាមយល់ពីបញ្ហានេះដោយប្រើឧទាហរណ៍សាមញ្ញ។ វត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺរដូវស្លឹកឈើជ្រុះ។ ដាក់ឈ្មោះលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា៖ លក្ខណៈរបស់វា៖
- តើសេចក្តីថ្លែងការណ៍អ្វីជាទ្រព្យសម្បត្តិ និងគុណលក្ខណៈរបស់វត្ថុដែលទាក់ទងគ្នាទៅវិញទៅមក? (ចម្លើយ៖ បញ្ច្រាស)
- តើលក្ខណៈសម្បត្តិអ្វីខ្លះដែលយើងបានសិក្សារួចហើយនៅក្នុងវគ្គសិក្សាធរណីមាត្រ? បញ្ជាក់ពួកគេ។ (ឈ្មោះពីរបី)
តើវាអាចធ្វើទៅបានក្នុងការបង្កើតសេចក្តីថ្លែងការណ៍សន្ទនាពិតសម្រាប់ទ្រព្យសម្បត្តិណាមួយទេ? (ចម្លើយផ្សេងៗគ្នា) ។
តោះពិនិត្យមើលលក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោម៖
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការបង្កើតសេចក្តីថ្លែងការណ៍សន្ទនាពិតសម្រាប់ទ្រព្យសម្បត្តិណាមួយ? (ទេមិនមែនសម្រាប់នរណាម្នាក់ទេ)
ឥឡូវនេះ ចូរយើងត្រឡប់ទៅបួនជ្រុងរបស់យើងវិញ ចងចាំលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា ហើយបង្កើតសេចក្តីថ្លែងការសន្ទនារបស់ពួកគេ ពោលគឺ៖.. (ចម្លើយ - លក្ខណៈនៃប្រលេឡូក្រាម)។ ដូច្នេះប្រធានបទនៃមេរៀនថ្ងៃនេះគឺ៖ "សញ្ញានៃប្រលេឡូក្រាម" ។
ដូច្នេះសូមដាក់ឈ្មោះលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រលេឡូក្រាម។
បង្កើតសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលច្រាសទៅនឹងលក្ខណសម្បត្តិ។ (សិស្សបង្កើតសញ្ញា គ្រូកែវា ហើយបង្កើតម្តងទៀត)
ចូរយើងបង្ហាញសញ្ញាទាំងនេះ។ សញ្ញាទីមួយគឺលម្អិត ទីពីរគឺសង្ខេប ទីបីគឺដោយខ្លួនឯងនៅផ្ទះ។
4. ការបង្រួបបង្រួមនៃសម្ភារៈដែលបានសិក្សា។
ធ្វើការនៅក្នុងសៀវភៅការងារ៖ ដោះស្រាយបញ្ហាលេខ 11 នៅលើក្តារខៀនអន្តរកម្ម ហៅសិស្សដែលមិនសូវត្រៀមខ្លួនមកក្រុមប្រឹក្សាភិបាល។
ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាលេខ ៣៧៩ (សរសេរដំណោះស្រាយនៅលើក្តារខៀនអន្តរកម្ម)។ ពីចំនុចកំពូល B និង D នៃប្រលេឡូក្រាម ABCD ដែលក្នុងនោះ AB BC និង A គឺស្រួច កាត់កែង BC និង DM ត្រូវបានគូរទៅបន្ទាត់ត្រង់ AC ។ បញ្ជាក់ថា BMDK ចតុកោណគឺជាប្រលេឡូក្រាម។
ខ្ញុំ ប្រសិនបើជ្រុងម្ខាងពីរនៃបួនជ្រុងគឺស្របគ្នានិងស្មើគ្នា នោះបួនជ្រុងគឺជាប្រលេឡូក្រាម។
កិច្ចការទី 1 ។ពីចំនុចកំពូល B និង D នៃប្រលេឡូក្រាម ABCD ដែលក្នុងនោះ AB≠ BC និងមុំ A គឺស្រួច កាត់កែង BK និង DM ត្រូវបានគូរទៅបន្ទាត់ត្រង់ AC ។ បញ្ជាក់ថា BMDK ចតុកោណគឺជាប្រលេឡូក្រាម។
ភស្តុតាង។
ដោយសារ VC និង DM កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា AC បន្ទាប់មក VC II DM ។ លើសពីនេះទៀត BC និង DM គឺជាកម្ពស់ដែលគូរក្នុងត្រីកោណស្មើគ្នា Δ ABC និង Δ CDA ពីចំនុចកំពូលនៃមុំស្មើគ្នា ∠B និង ∠D ទៅម្ខាង AC ដូច្នេះ BC = DM ។ យើងមាន៖ ជ្រុងពីរ BC និង DM នៃជ្រុងបួនជ្រុង BMDK គឺស្របគ្នា និងស្មើគ្នា ដែលមានន័យថា BMDK គឺជាប៉ារ៉ាឡែល ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។
II. ប្រសិនបើជ្រុងម្ខាងនៃចតុកោណកែងស្មើគ្នាជាគូ នោះចតុកោណនេះគឺជាប្រលេឡូក្រាម។
កិច្ចការទី 2 ។នៅលើជ្រុង AB, BC, CD និង DA នៃ ABCD បួនជ្រុង ចំណុច M, N, P និង Q ត្រូវបានសម្គាល់រៀងគ្នា ដូច្នេះ AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA។ បង្ហាញថា ABCD និង MNPQ គឺជាប៉ារ៉ាឡែល។
ភស្តុតាង។
1. តាមលក្ខខណ្ឌ ក្នុង ABCD ចតុកោណ ភាគីទល់មុខមានចម្រៀកស្មើគ្នា ដូច្នេះពួកវាស្មើគ្នា ឧ. AD=BC, AB=CD។ ដូច្នេះ ABCD គឺជាប្រលេឡូក្រាម។
2. ពិចារណា Δ MBN និង Δ PDQ ។ BM = DP និង BN = DQ តាមលក្ខខណ្ឌ។ ∠B =∠D ជាមុំទល់មុខនៃប្រលេឡូក្រាម ABCD ។ នេះមានន័យថា Δ MBN = Δ PDQ នៅលើភាគីទាំងពីរ និងមុំរវាងពួកវា (សញ្ញាទី 1 នៃភាពស្មើគ្នានៃត្រីកោណ) ។ ហើយនៅក្នុងត្រីកោណស្មើគ្នា ភាគីស្មើគ្នាស្ថិតនៅទល់មុខមុំស្មើគ្នា។ ដូច្នេះ MN=PQ ។ យើងបានបង្ហាញថាភាគីផ្ទុយ MN និង PQ នៃ MNPQ បួនជ្រុងគឺស្មើគ្នា។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរពីសមភាពនៃត្រីកោណ Δ MAQ និង Δ PCN វាដូចខាងក្រោមថាភាគី MQ និង PN គឺស្មើគ្នាដែលផ្ទុយពីជ្រុង MNPQ បួនជ្រុង។ យើងមាន៖ ជ្រុងម្ខាងនៃ MNPQ បួនជ្រុងគឺស្មើគ្នាជាគូ។ ដូច្នេះ MNPQ ចតុកោណគឺជាប្រលេឡូក្រាម។ បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។
III. ប្រសិនបើអង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណប្រសព្វ ហើយត្រូវបានបំបែកដោយចំនុចប្រសព្វ នោះចតុកោណគឺជាប្រលេឡូក្រាម។
កិច្ចការទី 3 ។អង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម ABCD ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច O. បង្ហាញថា MNPQ រាងចតុកោណដែលជាចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក OA, OB, OC និង OD គឺជាប្រលេឡូក្រាម។
ភស្តុតាង។
យោងទៅតាមទ្រព្យសម្បត្តិនៃអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម ABCD អង្កត់ទ្រូងរបស់វា AC និង BD ត្រូវបានបែងចែកពាក់កណ្តាលដោយចំនុចប្រសព្វពោលគឺឧ។ OA=OS និង OB=OD។ អង្កត់ទ្រូងនៃ MNPQ បួនជ្រុងក៏ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច O ដែលនឹងក្លាយជាចំណុចកណ្តាលនៃពួកវានីមួយៗ។ ជាការពិត ដោយសារចំនុចកំពូលនៃ MNPQ រាងបួនជ្រុង តាមលក្ខខណ្ឌ ចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក OA, OC, OB និង OD បន្ទាប់មក BN=ON=OQ=DQ និង AM=OM=OP=CP ។ អាស្រ័យហេតុនេះ អង្កត់ទ្រូង MP និង NQ នៃ MNPQ បួនជ្រុងត្រូវបានបំបែកនៅចំណុចប្រសព្វ ដូច្នេះ MNPQ រាងបួនជ្រុង គឺជាប្រលេឡូក្រាម ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។