KIRJELDATUD JA RINGJAD HULKnurgad,
§ 106. KIRJELDATUD JA KIRJELDATUD NELIKOND OMADUSED.
1. teoreem. Summa vastasnurgad tsükliline nelinurk on võrdne 180°.
Olgu nelinurk ABCD kantud ringjoonele, mille keskpunkt on O (joonis 412). Seda on vaja tõestada / A+ / C = 180° ja / B + / D = 180°.
/
A, nagu on kirjutatud ringile O, mõõdab 1/2 BCD.
/
C, nagu on kirjutatud samasse ringi, mõõdab 1/2 BAD.
Järelikult mõõdetakse nurkade A ja C summat kaare BCD ja BAD poolsummaga; kokkuvõttes moodustavad need kaared ringi, st nende kaared on 360°.
Siit /
A+ /
C = 360°: 2 = 180°.
Samamoodi on tõestatud, et / B + / D = 180°. Seda saab aga järeldada ka muul viisil. Me teame seda summat sisemised nurgad kumer nelinurk võrdne 360°. Nurkade A ja C summa võrdub 180°, mis tähendab, et nelinurga ülejäänud kahe nurga summa jääb samuti 180°.
2. teoreem(tagurpidi). Kui nelinurgas on kahe vastandnurga summa võrdne 180° , siis saab sellise nelinurga ümber kirjeldada ringi.
Olgu nelinurga ABCD vastasnurkade summa võrdne 180°, nimelt
/
A+ /
C = 180° ja /
B + /
D = 180° (joonis 412).
Tõestame, et sellise nelinurga ümber saab kirjeldada ringi.
Tõestus. Läbi selle nelinurga suvalise 3 tipu saab tõmmata ringi, näiteks läbi punktide A, B ja C. Kus asub punkt D?
Punkt D võib hõivata ainult ühe järgmised kolm positsioonid: olla ringi sees, olla väljaspool ringi, olla ringi ümbermõõdul.
Oletame, et tipp on ringi sees ja võtab positsiooni D" (joonis 413). Siis nelinurgas ABCD" saame:
/ B + / D" = 2 d.
Jätkates külge AD" ristmikuni punktis E ning ühendades punktid E ja C, saame tsüklilise nelinurga ABCE, milles otsese teoreemi järgi
/ B+ / E = 2 d.
Nendest kahest võrdsusest järeldub:
/
D" = 2 d - /
B;
/
E=2 d - /
B;
/ D" = / E,
aga see ei saa olla, sest / D", mis on kolmnurga CD"E suhtes väline, peab olema suurem kui nurk E. Seetõttu ei saa punkt D olla ringi sees.
Samuti on tõestatud, et tipp D ei saa võtta positsiooni D" väljaspool ringi (joonis 414).
Jääb üle tõdeda, et tipp D peab asuma ringi ümbermõõdul, st ühtima punktiga E, mis tähendab, et ringjoont saab kirjeldada ümber nelinurga ABCD.
Tagajärjed. 1. Ringi saab kirjeldada mis tahes ristküliku ümber.
2. Ümberringi võrdhaarne trapets oskab kirjeldada ringi.
Mõlemal juhul on vastasnurkade summa 180°.
3. teoreem. Kirjeldatud nelinurgas summad vastasküljed on võrdsed. Olgu nelinurk ABCD kirjeldatud ringi ümber (joonis 415), st selle küljed AB, BC, CD ja DA on selle ringi puutujad.
On vaja tõestada, et AB + CD = AD + BC. Tähistame puutepunkte tähtedega M, N, K, P. Ühest punktist ringile tõmmatud puutujate omaduste põhjal (§ 75) saame:
AR = AK;
VR = VM;
DN = DK;
CN = CM.
Lisame need võrdsused terminite kaupa. Saame:
AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,
st AB + CD = AD + BC, mida oli vaja tõestada.
Harjutused.
1. Sissekirjutatud nelinurga kaks vastandnurka on vahekorras 3:5,
ja ülejäänud kaks on vahekorras 4 : 5. Määrake nende nurkade suurus.
2. Kirjeldatud nelinurga kahe vastaskülje summa on 45 cm, ülejäänud kaks külge on vahekorras 0,2: 0,3. Leidke nende külgede pikkus.
Nelinurk on kirjutatud ringi, kui kõik selle tipud asuvad ringil. Selline ring on ümbritsetud nelinurga ümber.
Nii nagu iga nelinurka ei saa kirjeldada ringi ümber, ei saa iga nelinurka kirjutada ringi.
Ringi sisse kirjutatud kumeral nelinurgal on omadus, et selle vastasnurgad annavad kokku 180°. Seega, kui anda nelinurk ABCD, milles nurk A on nurga C vastas ja nurk B on nurga D vastas, siis ∠A + ∠C = 180° ja ∠B + ∠D = 180°.
Üldiselt on nii, et kui nelinurga üks vastandnurkade paar annab kokku 180°, siis teise paari vastandnurkade summa on sama palju. See tuleneb asjaolust, et kumera nelinurga nurkade summa on alati võrdne 360°. See fakt tuleneb omakorda sellest, et kumerad hulknurgad nurkade summa määratakse valemiga 180° * (n – 2), kus n on nurkade (või külgede) arv.
Saate tõestada sissekirjutatud nelinurga omadust järgmisel viisil. Olgu nelinurk ABCD kirjutatud ringile O. Peame tõestama, et ∠B + ∠D = 180°.
Nurk B on kirjutatud ringi. Teatavasti selline nurk võrdne poolega kaar, millele see toetub. IN sel juhul nurka B toetab kaar ADC, mis tähendab ∠B = ½◡ADC. (Kuna kaar on võrdne seda moodustavate raadiuste vahelise nurgaga, võime kirjutada, et ∠B = ½∠AOC, mille sisemine piirkond sisaldab punkti D.)
Teisel pool toetub nelinurga nurk D kaarele ABC, st ∠D = ½◡ABC.
Kuna nurkade B ja D küljed lõikuvad ringi samades punktides (A ja C), jagavad nad ringi ainult kaheks kaareks – ◡ADC ja ◡ABC. Sest täisring liidab kuni 360°, siis ◡ADC + ◡ABC = 360°.
Seega saadi järgmised võrdsused:
∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°
Avaldame nurkade summat:
∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC
Paneme ½ sulgudest välja:
∠B + ∠D = ½ (◡ADC + ◡ABC)
Asendame kaare summa nende arvväärtusega:
∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°
Leidsime, et sissekirjutatud nelinurga vastasnurkade summa on 180°. See oli see, mida oli vaja tõestada.
Asjaolu, et sissekirjutatud nelinurgal on see omadus (vastasnurkade summa on 180°), ei tähenda, et ringjoonele saaks kirjutada iga nelinurka, mille vastasnurkade summa on 180°. Kuigi tegelikult on see tõsi. See asjaolu helistas sissekirjutatud nelinurga test ja on sõnastatud järgmiselt: kui kumera nelinurga vastasnurkade summa on 180°, siis saab selle ümber kirjeldada (või ringi sisse kirjutada) ringi.
Saate tõestada sissekirjutatud nelinurga testi vastuoluga. Olgu antud nelinurk ABCD, mille vastasnurgad B ja D annavad kokku 180°. Sel juhul ei asu nurk D ringil. Seejärel võtke lõiku CD sisaldaval sirgel punkt E nii, et see asub ringil. Tulemuseks on tsükliline nelinurk ABCE. Sellel nelinurgal on vastandnurgad B ja E, mis tähendab, et nende nurgad on kokku 180°. See tuleneb sissekirjutatud nelinurga omadusest.
Selgub, et ∠B + ∠D = 180° ja ∠B + ∠E = 180°. Kuid nelinurga ABCD nurk D kolmnurga AED suhtes on väline ja seega suurem kui selle kolmnurga nurk E. Seega oleme jõudnud vastuoluni. See tähendab, et kui nelinurga vastasnurkade summa annab kokku 180°, siis saab selle alati kirjutada ringi.
1. teoreem. Tsüklilise nelinurga vastasnurkade summa on 180°.
Olgu nelinurk ABCD kantud ringjoonele, mille keskpunkt on O (joonis 412). On vaja tõestada, et ∠A + ∠C = 180° ja ∠B + ∠D = 180°.
∠A, nagu on kirjutatud ringile O, mõõdab 1/2 \(\breve(BCD)\).
∠C, nagu on kirjutatud samasse ringi, mõõdab 1/2 \(\breve(BAD)\).
Järelikult mõõdetakse nurkade A ja C summat kaare BCD ja BAD poolsummaga, kokkuvõttes moodustavad need kaared ringi, s.t. on 360°.
Seega ∠A + ∠C = 360°: 2 = 180°.
Samamoodi on tõestatud, et ∠B + ∠D = 180°. Seda saab aga järeldada ka muul viisil. Teame, et kumera nelinurga sisenurkade summa on 360°. Nurkade A ja C summa võrdub 180°, mis tähendab, et nelinurga ülejäänud kahe nurga summa jääb samuti 180°.
Teoreem 2 (vastupidine). Kui nelinurgas on kahe vastandnurga summa võrdne 180° , siis saab sellise nelinurga ümber kirjeldada ringi.
Olgu nelinurga ABCD vastasnurkade summa võrdne 180°, nimelt
∠A + ∠C = 180° ja ∠B + ∠D = 180° (joonis 412).
Tõestame, et sellise nelinurga ümber saab kirjeldada ringi.
Tõestus. Läbi selle nelinurga suvalise 3 tipu saab tõmmata ringi, näiteks läbi punktide A, B ja C. Kus asub punkt D?
Punkt D võib hõivata ainult ühe järgmistest kolm positsiooni: olema ringi sees, olema väljaspool ringi, olema ringi ümbermõõdul.
Oletame, et tipp on ringi sees ja võtab positsiooni D’ (joonis 413). Siis on nelinurgas ABCD':
∠B + ∠D’ = 2 d.
Jätkates külge AD’ ristmikuni punktis E ning ühendades punktid E ja C, saame tsüklilise nelinurga ABCE, milles otsese teoreemi järgi
∠B + ∠E = 2 d.
Nendest kahest võrdsusest järeldub:
∠D' = 2 d- ∠B;
∠E = 2 d- ∠B;
kuid see ei saa olla, kuna ∠D’, olles kolmnurga CD’E suhtes väline, peab olema suurem kui nurk E. Seetõttu ei saa punkt D olla ringi sees.
Samuti on tõestatud, et tipp D ei saa võtta positsiooni D" väljaspool ringi (joonis 414).
Jääb üle tõdeda, et tipp D peab asuma ringi ümbermõõdul, st ühtima punktiga E, mis tähendab, et ringjoont saab kirjeldada ümber nelinurga ABCD.
Tagajärjed.
1. Ringi saab kirjeldada mis tahes ristküliku ümber.
2. Võrdhaarse trapetsi ümber saab kirjeldada ringi.
Mõlemal juhul on vastasnurkade summa 180°.
Teoreem 3. Piiratud nelinurgas on vastaskülgede summad võrdsed. Olgu nelinurk ABCD kirjeldatud ringi ümber (joonis 415), st selle küljed AB, BC, CD ja DA on selle ringi puutujad.
On vaja tõestada, et AB + CD = AD + BC. Tähistame puutepunkte tähtedega M, N, K, P. Ühest punktist ringile tõmmatud puutujate omaduste põhjal saame:
Lisame need võrdsused terminite kaupa. Saame:
AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,
st AB + CD = AD + BC, mida oli vaja tõestada.
Muud materjalidTeema: “Ümberringi kirjeldatud ring korrapärane hulknurk» on sees üksikasjalikult arutatud kooli õppekava. Vaatamata sellele, ülesanded, mis on seotud see jaotis planimeetria põhjustab paljudele keskkooliõpilastele teatud raskusi. Samal ajal mõista lahenduse põhimõtet Ühtse riigieksami probleemid polügooni ümber kirjeldatud ringiga peavad mis tahes koolitustasemega lõpetajad.
Kuidas valmistuda ühtseks riigieksamiks?
Selleks, et Ühtse riigieksami ülesanded teemal “Korrapärase hulknurga ümber piiratud ring” õpilastele raskusi ei valmistanud, õppige koos haridusportaaliga “Shkolkovo”. Meiega saate korrata teoreetiline materjal teemadel, mis teile raskusi valmistavad. Varem üsna keerulisena tundunud teoreemid ja valemid on esitatud juurdepääsetavalt ja arusaadavalt.
Hulknurga ümber piiratud ringi nurkade ja keskpunkti põhimääratluste ja mõistete ning lõikude pikkusega seotud teoreemide mälu värskendamiseks peavad lõpetajad lihtsalt minema jaotisse "Teoreetiline abi". Siia oleme postitanud meie kogenud töötajate poolt spetsiaalselt õpilastele koostatud materjali erinevad tasemed ettevalmistus.
Õpitud teabe kinnistamiseks saavad gümnasistid harjutada harjutuste tegemist. Peal haridusportaal"Shkolkovo" jaotises "Kataloog" pakub suurt andmebaasi erineva keerukusega ülesannetest maksimaalselt tõhus ettevalmistusühtsele riigieksamile. Iga saidi ülesanne sisaldab lahendusalgoritmi ja õiget vastust. Shkolkovo õppuste andmebaasi uuendatakse ja täiendatakse regulaarselt.
Moskva ja teiste riikide õpilased harjutavad meie veebisaidil ülesannete täitmist Venemaa linnad saab teha võrgus. Vajadusel saab mis tahes harjutuse salvestada jaotisesse "Lemmikud". Edaspidi on võimalik selle ülesande juurde tagasi pöörduda ja näiteks selle lahendamise algoritmi läbi arutada. kooli õpetaja või juhendaja.