Tõenäosusteoorias kasutatakse lisaks matemaatilisele ootusele ja dispersioonile ka mitmeid arvulisi tunnuseid, mis kajastavad jaotuse teatud tunnuseid.
Definitsioon. Mood Mo(X) juhuslik muutuja X on selle kõige tõenäolisem väärtus(mille puhul on tõenäosus r g või tõenäosustihedus
Kui tõenäosus või tõenäosustihedus saavutab maksimumi mitte ühes, vaid mitmes punktis, nimetatakse jaotust nn. multimodaalne(joonis 3.13).
Mood sammal), millise tõenäosusega R ( või nimetatakse tõenäosustihedust (p(x) saavutab globaalse maksimumi). kõige tõenäolisem tähendus juhuslik suurus (joonisel 3.13 on see Mo(X) 2).
Definitsioon. Pideva juhusliku suuruse X mediaan Ме(Х) on selle väärtus, mille jaoks
need. tõenäosus, et juhuslik suurus X võtab mediaanist väiksema väärtuse karusnahk) või sellest suurem, on sama ja võrdne 1/2-ga. Geomeetriliselt vertikaalne sirgjoon X = Karusnahk), läbides punkti, mille abstsiss on võrdne Karusnahk), jagab jaotuskõvera joonise joodi pindala kaheks võrdseks osaks (joonis 3.14). Ilmselgelt punktis X = karusnahk) jaotusfunktsioon on võrdne 1/2-ga, s.o. P(mina(X))= 1/2 (joonis 3.15).
Märge oluline vara juhusliku suuruse mediaan: oodatud väärtus absoluutväärtus juhusliku suuruse X hälve konstantsest väärtusest C on minimaalne siis, kui see konstant C on võrdne mediaaniga Me(X) = m, st. 
(omadus on sarnane juhusliku suuruse matemaatilisest ootusest kõrvalekaldumise minimaalse ruudu omadusega (3,10").
O Näide 3.15. Leidke juhusliku suuruse režiim, mediaan ja matemaatiline ootus X s tõenäosustihedus f(x) = 3x 2 xx korral.
Lahendus. Jaotuskõver on näidatud joonisel fig. 3.16. Ilmselgelt on tõenäosustihedus φ(x) maksimaalne juures X= Mo(X) = 1.
Mediaan karusnahk) = b leiame tingimusest (3.28):
kus 
Arvutame valemi (3.25) abil matemaatilise ootuse:
Punktide vastastikune paigutus M(X)>Mina(X) Ja sammal) abstsissi kasvavas järjekorras on näidatud joonisel fig. 3.16. ?
Lisaks ülaltoodud numbrilistele tunnustele kasutatakse juhusliku suuruse kirjeldamiseks kvantiilide ja protsendipunktide mõistet.
Definitsioon. Kvantiilne tase y-kvantiil )
nimetatakse seda juhusliku suuruse väärtust x q , mille korral selle jaotusfunktsioon saab väärtuse, mis on võrdne d, st.
Mõned kvantilid on saanud erilise nime. Ilmselgelt tutvustati ülaltoodut mediaan juhuslik suurus on 0,5 taseme kvantiil, s.o. Me(X) = x 05. Kvantiilid dg 0 2 5 ja x 075 nimetati vastavalt madalam Ja ülemine kvartiilK
Kvantiili mõistega on tihedalt seotud mõiste protsendipunkti. Under YuOuHo-noy punkt
eeldatakse kvantiili x x (( ,
need. selline juhusliku suuruse väärtus X,
mille juures 
0 Näide 3.16. Leia näite 3.15 andmete põhjal kvantiil x 03 ja juhusliku suuruse 30% punkt X.
Lahendus. Valemi (3.23) järgi jaotusfunktsioon
Kvantiili 0 s leiame võrrandist (3.29), s.o. x 3 dollarit =0,3, kust L "oz -0,67. Leiame juhusliku suuruse 30% punkti X, või kvantiil x 0 7 võrrandist. x $ 7 = 0,7, kust x 0 7 «0,89. ?
Juhusliku suuruse arvuliste tunnuste hulgas eriline tähendus on hetked - esialgne ja keskne.
Definitsioon. AlgushetkJuhusliku suuruse X k-ndat järku nimetatakse matemaatiliseks ootuseks aste see väärtus :
Definitsioon. Keskne hetkjuhusliku suuruse X k-s järk on juhusliku suuruse X k-nda kõrvalekalde astme matemaatiline ootus selle matemaatilisest ootusest:
Valemid diskreetsete juhuslike suuruste momentide arvutamiseks (väärtuste võtmine x 1 tõenäosustega p,) ja pidev (tõenäosustihedusega cp(x)) on toodud tabelis. 3.1.
Tabel 3.1
Lihtne on märgata, et millal k = 1 juhusliku suuruse esimene algmoment X on selle matemaatiline ootus, st. h x = M[X) = a, juures To= 2 sekundit keskmoment – dispersioon, s.o. p 2 = T)(X).
Keskseid momente p A saab väljendada algmomentide kaudu, kuid valemitega:
jne. 
Näiteks c 3 = M(X-a)* = M(X*-ZaX2 +Za2X-a->) = M(X*)~ -ZaM(X2)+Za2M(X)~ a3 = y 3 -Зу^ + Зу(у, -у^ = y 3 - Зу^ + 2у^ (tuletamisel võtsime arvesse, et A = M(X)= V, on mittejuhuslik väärtus). ?
Eespool märgiti, et matemaatiline ootus M(X), ehk esimene algmoment, iseloomustab keskmist väärtust või positsiooni, juhusliku suuruse jaotuse keskpunkti X arvteljel; dispersioon oh), või teine keskmoment p 2, - s t s - jaotusdispersiooni känd X suhteliselt M(X). Lisateabe saamiseks Täpsem kirjeldus jaotused toimivad kõrgema järgu hetkedena.
Kolmas keskpunkt p 3 on mõeldud jaotuse asümmeetria (viltuse) iseloomustamiseks. Sellel on juhusliku kuubi mõõde. Mõõtmeteta suuruse saamiseks jagatakse see o 3-ga, kus a on keskmine standardhälve juhuslik muutuja X. Saadud väärtus A helistas juhusliku suuruse asümmeetriakordaja.
Kui jaotus on matemaatilise ootuse suhtes sümmeetriline, siis asümmeetriakordaja A = 0.
Joonisel fig. Joonisel 3.17 on kujutatud kaks jaotuskõverat: I ja II. Kõveral I on positiivne (parempoolne) asümmeetria (L > 0) ja kõveral II on negatiivne (vasakpoolne) asümmeetria (L 
Neljas keskpunkt p 4 iseloomustab jaotuse järsust (teravust või tasasust).
Juhuslike suuruste arvuliste karakteristikute hulgast tuleb esmajoones ära märkida need, mis iseloomustavad juhusliku suuruse asukohta arvteljel, s.o. näitavad mingit keskmist, ligikaudset väärtust, mille ümber on rühmitatud kõik juhusliku suuruse võimalikud väärtused.
Juhusliku muutuja keskmine väärtus on teatud arv, mis on justkui selle "esindaja" ja asendab selle ligikaudsetes arvutustes. Kui me ütleme: "lambi keskmine tööaeg on 100 tundi" või "keskmine löögipunkt on sihtmärgi suhtes nihutatud 2 m võrra paremale", osutame juhusliku suuruse teatud arvulisele omadusele, mis kirjeldab selle asukohta. numbriteljel, s.o. "positsiooni omadused".
Positsiooni tunnustest tõenäosusteoorias oluline roll mängib juhusliku suuruse matemaatilist ootust, mida mõnikord nimetatakse lihtsalt juhusliku suuruse keskmiseks väärtuseks.
Vaatleme diskreetset juhuslikku muutujat, millel on võimalikud väärtused tõenäosustega. Peame mõne numbriga iseloomustama juhusliku suuruse väärtuste asukohta x-teljel, võttes arvesse asjaolu, et nendel väärtustel on erinev tõenäosus. Selleks on loomulik kasutada väärtuste nn “kaalutud keskmist” ning iga väärtust tuleks keskmistamisel arvesse võtta “kaaluga”, mis on võrdeline selle väärtuse tõenäosusega. Seega arvutame juhusliku suuruse keskmise, mida tähistame:
või seda arvestades
. (5.6.1)
Seda kaalutud keskmist nimetatakse juhusliku suuruse matemaatiliseks ootuseks. Seega võtsime arvesse ühte neist kõige olulisemad mõisted tõenäosusteooria – matemaatilise ootuse mõiste.
Juhusliku suuruse matemaatiline ootus on juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste ja nende väärtuste tõenäosuste korrutis.
Pange tähele, et ülaltoodud sõnastuses kehtib matemaatilise ootuse määratlus rangelt võttes ainult diskreetsete juhuslike muutujate puhul; Allpool üldistame seda mõistet pidevate suuruste puhul.
Matemaatilise ootuse mõiste selgemaks muutmiseks pöördugem diskreetse juhusliku suuruse jaotuse mehaanilise tõlgendamise poole. Olgu abstsissteljel abstsissidega punktid, millesse massid on koondunud vastavalt ja . Ilmselgelt pole valemiga (5.6.1) defineeritud matemaatiline ootus midagi muud kui antud materiaalsete punktide süsteemi raskuskeskme abstsiss.
Juhusliku suuruse matemaatiline ootus on seotud omapärase sõltuvusega juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmisega suur number katsed. See sõltuvus on sama tüüpi kui sageduse ja tõenäosuse vaheline sõltuvus, nimelt: suure arvu katsete korral läheneb juhusliku muutuja vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine (tõenäosuses läheneb) selle matemaatilisele ootusele. Sageduse ja tõenäosuse vahelise seose olemasolust võib järeldada sarnase seose olemasolu aritmeetilise keskmise ja matemaatilise ootuse vahel.
Tõepoolest, kaaluge diskreetset juhuslikku muutujat, mida iseloomustab jaotusseeria:
Kus 
.
Tehke sõltumatud katsed, millest igaühes saab kogus teatud väärtuse. Oletame, et väärtus ilmus üks kord, väärtus ilmus üks kord ja väärtus ilmus üks kord. Ilmselgelt
Arvutame suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmise, mida erinevalt matemaatilisest ootusest tähistame:
Kuid pole midagi muud kui sündmuse sagedus (või statistiline tõenäosus); seda sagedust saab määrata. Siis
,
need. juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine on võrdne juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste ja nende väärtuste sageduste korrutistega.
Eksperimentide arvu suurenedes lähenevad sagedused (tõenäosuses koonduvad) vastavatele tõenäosustele. Järelikult läheneb juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine (tõenäosusega läheneb) selle matemaatilisele ootusele, kui katsete arv suureneb.
Eelpool sõnastatud seos aritmeetilise keskmise ja matemaatilise ootuse vahel moodustab seaduse ühe vormi sisu suured numbrid. Me anname selle seaduse täpse tõestuse 13. peatükis.
Teame juba, et suurte arvude seaduse kõik vormid kinnitavad tõsiasja, et mõned keskmised on paljude katsete puhul stabiilsed. Siin me räägime aritmeetilise keskmise stabiilsuse kohta sama koguse vaatluste seeriast. Väikese arvu katsete korral on nende tulemuste aritmeetiline keskmine juhuslik; katsete arvu piisava suurenemisega muutub see "peaaegu juhuslikuks" ja stabiliseerudes läheneb püsiv väärtus– matemaatiline ootus.
Paljude katsete keskmiste stabiilsust saab hõlpsasti katseliselt kontrollida. Näiteks laboris keha kaalumisel täpsed kaalud, kaalumise tulemusena saame iga kord uue väärtuse; Vaatlusvea vähendamiseks kaalume keha mitu korda ja kasutame saadud väärtuste aritmeetilist keskmist. On hästi näha, et katsete (kaalumiste) arvu edasisel suurenemisel reageerib aritmeetiline keskmine sellele tõusule üha vähem ja piisavalt suure katsete arvu korral praktiliselt lakkab muutumast.
Matemaatilise ootuse valem (5.6.1) vastab diskreetse juhusliku suuruse korrale. Sest pidev väärtus matemaatilist ootust ei väljendata loomulikult mitte summana, vaid integraalina:
, (5.6.2)
kus on suuruse jaotustihedus .
Valem (5.6.2) saadakse valemist (5.6.1), kui selle asendame individuaalsed väärtused pidevalt muutuv parameeter x, vastavad tõenäosused on tõenäosuse element, lõplik summa– lahutamatu. Tulevikus kasutame sageli seda meetodit katkendlike suuruste jaoks tuletatud valemite laiendamiseks pidevatele suurustele.
Mehaanilises tõlgenduses säilitab pideva juhusliku suuruse matemaatiline ootus sama tähenduse - raskuskeskme abstsiss juhul, kui mass jaotub piki abstsissi pidevalt, tihedusega . See tõlgendus võimaldab sageli lihtsate mehaaniliste kaalutluste põhjal leida matemaatilise ootuse integraali (5.6.2) arvutamata.
Eespool tutvustasime koguse matemaatilise ootuse tähistust. Paljudel juhtudel, kui kogus sisaldub valemites konkreetse numbrina, on seda mugavam tähistada ühe tähega. Nendel juhtudel tähistame väärtuse matemaatilist ootust järgmiselt:
Märgistusi ja matemaatilisi ootusi kasutatakse edaspidi paralleelselt, sõltuvalt valemite konkreetse salvestamise mugavusest. Leppigem kokku ka sõnade “matemaatiline ootus” lühendamine tähtedega m.o.
Tuleb märkida, et positsiooni kõige olulisem tunnus – matemaatiline ootus – ei eksisteeri kõigi juhuslike muutujate puhul. Võimalik on koostada näiteid sellistest juhuslikest suurustest, mille jaoks matemaatilist ootust ei eksisteeri, kuna vastav summa või integraal lahkneb.
Vaatleme näiteks katkendlikku juhuslikku muutujat jaotusseeriaga:
Seda on lihtne kontrollida, s.t. jaotusseeria on mõttekas; aga summa sisse sel juhul lahkneb ja seetõttu puudub väärtusele matemaatiline ootus. Kuid sellised juhtumid ei paku praktikale olulist huvi. Tavaliselt on juhuslikud muutujad, millega me tegeleme piiratud ala võimalikud väärtused ja loomulikult on neil matemaatilisi ootusi.
Eespool esitasime valemid (5.6.1) ja (5.6.2), mis väljendavad vastavalt katkendliku ja pideva juhusliku muutuja matemaatilist ootust.
Kui kogus kuulub koguste hulka segatüüpi, siis väljendatakse selle matemaatilist ootust järgmise vormi valemiga:
, (5.6.3)
kus summa laieneb kõikidele punktidele, kus jaotusfunktsioon on katkendlik, ja integraal laieneb kõikidele aladele, kus jaotusfunktsioon on pidev.
Lisaks positsiooni kõige olulisematele tunnustele - matemaatilisele ootusele - kasutatakse praktikas mõnikord ka muid positsiooni tunnuseid, eelkõige juhusliku suuruse moodust ja mediaani.
Juhusliku muutuja moodus on selle kõige tõenäolisem väärtus. Mõiste "kõige tõenäolisem väärtus" kehtib rangelt võttes ainult katkendlike suuruste kohta; pideva suuruse korral on moodus väärtus, mille korral tõenäosustihedus on maksimaalne. Leppigem kokku, et tähistame režiimi tähega . Joonisel fig. 5.6.1 ja 5.6.2 näitavad vastavalt katkendlike ja pidevate juhuslike muutujate režiimi.
Kui jaotuspolügoonil (jaotuskõveral) on rohkem kui üks maksimum, nimetatakse jaotust “multimodaalseks” (joonis 5.6.3 ja 5.6.4).
Mõnikord on jaotusi, mille keskel on pigem miinimum kui maksimum (joonis 5.6.5 ja 5.6.6). Selliseid jaotusi nimetatakse "antimodaalseteks". Antimodaalse jaotuse näide on näites 5, nr 5.1 saadud jaotus.
IN üldine juhtum juhusliku suuruse mood ja matemaatiline ootus ei lange kokku. Konkreetsel juhul, kui jaotus on sümmeetriline ja modaalne (st omab moodust) ja on olemas matemaatiline ootus, langeb see kokku jaotuse mooduse ja sümmeetriakeskmega.
Sageli kasutatakse teist positsioonikarakteristikut – juhusliku suuruse nn mediaani. Seda tunnust kasutatakse tavaliselt ainult pidevate juhuslike muutujate jaoks, kuigi seda saab formaalselt määratleda katkendliku muutuja jaoks.
Juhusliku muutuja mediaan on selle väärtus, mille korral
need. sama tõenäoline on, et juhuslik suurus on väiksem või suurem kui . Geomeetriliselt on mediaan selle punkti abstsiss, kus jaotuskõveraga piiratud ala jagatakse pooleks (joonis 5.6.7).
Oodatud väärtus. Matemaatiline ootus diskreetne juhuslik suurus X, peremees lõplik number väärtused Xi tõenäosustega Ri, summat nimetatakse:
Matemaatiline ootus pidev juhuslik suurus X nimetatakse selle väärtuste korrutise integraaliks X tõenäosusjaotuse tiheduse kohta f(x):
(6b)
Vale integraal (6 b) eeldatakse olevat absoluutselt konvergentne (in muidu nad ütlevad, et matemaatiline ootus M(X) ei eksisteeri). Matemaatiline ootus iseloomustab keskmine väärtus juhuslik muutuja X. Selle mõõde langeb kokku juhusliku suuruse mõõtmega.
Matemaatilise ootuse omadused:
Dispersioon. Dispersioon juhuslik muutuja X numbrit kutsutakse:
Dispersioon on hajumise tunnus juhusliku muutuja väärtused X võrreldes selle keskmise väärtusega M(X). Dispersiooni mõõde on võrdne juhusliku suuruse ruudu mõõtmega. Diskreetse juhusliku suuruse dispersiooni (8) ja matemaatilise ootuse (5) ja pideva juhusliku suuruse (6) definitsioonide põhjal saame dispersiooni jaoks sarnased avaldised:
(9)
Siin m = M(X).
Dispersiooni omadused:
Standardhälve:
(11)
Alates keskmise mõõtmest ruuthälve sama, mis juhuslikku suurust, kasutatakse seda sagedamini dispersiooni kui dispersiooni mõõtjana.
Jaotamise hetked. Matemaatilise ootuse ja dispersiooni mõisted on enama erijuhtumid üldine kontseptsioon juhuslike suuruste arvkarakteristikute jaoks – jaotushetked. Juhusliku suuruse jaotusmomente tutvustatakse juhusliku suuruse mõne lihtsa funktsiooni matemaatiliste ootustena. Niisiis, tellimuse hetk k punkti suhtes X 0 nimetatakse matemaatiliseks ootuseks M(X–X 0 )k. Hetki päritolust X= 0 kutsutakse esialgsed hetked ja on määratud:
(12)
Esimest järku algushetk on vaadeldava juhusliku suuruse jaotuse keskpunkt:
(13)
Hetki levikeskusest X= m kutsutakse kesksed punktid ja on määratud:
(14)
(7)-st järeldub, et esimest järku keskmoment on alati võrdne nulliga:
Kesksed momendid ei sõltu juhusliku suuruse väärtuste päritolust, kuna nihutamisest püsiv väärtus KOOS selle jaotuskeskus nihkub sama väärtuse võrra KOOS, ja kõrvalekalle keskpunktist ei muutu: X – m = (X – KOOS) – (m – KOOS).
Nüüd on see selge dispersioon- See teist järku keskne moment:
Asümmeetria. Kolmanda järgu keskne moment:
(17)
kasutatakse hindamiseks jaotuse asümmeetriad. Kui jaotus on punkti suhtes sümmeetriline X= m, siis on kolmandat järku keskmoment võrdne nulliga (nagu kõik paaritu järgu keskmomendid). Seega, kui kolmandat järku keskmoment erineb nullist, ei saa jaotus olla sümmeetriline. Asümmeetria suurust hinnatakse mõõtmeteta asümmeetria koefitsient:
(18)
Asümmeetriakoefitsiendi märk (18) näitab parem- või vasakpoolset asümmeetriat (joonis 2).
Riis. 2. Jaotuse asümmeetria tüübid.
Liigne. Neljanda järgu keskne moment:
(19)
aitab hinnata nn üleliigne, mis määrab jaotuskõvera järsuse (teravuse) jaotuse keskpunkti lähedal kõvera suhtes normaaljaotus. Kuna normaaljaotuse korral on kurtoosiks võetud väärtus:
(20)
Joonisel fig. 3 näitab jaotuskõverate näiteid erinevaid tähendusiüleliigne. Normaaljaotuse jaoks E= 0. Tavalisest teravamatel kõveratel on positiivne kurtoos, lamedamatel kõveratel on negatiivne kõverus.
Riis. 3. Jaotuskõverad koos erineval määral jahedus (liigne).
Kõrgemat järku hetked insenerirakendustes matemaatiline statistika tavaliselt ei kasutata.
Mood
diskreetne juhuslik suurus on selle kõige tõenäolisem väärtus. Mood pidev juhuslik suurus on selle väärtus, mille korral tõenäosustihedus on maksimaalne (joonis 2). Kui jaotuskõveral on üks maksimum, siis nimetatakse jaotust unimodaalne. Kui jaotuskõveral on rohkem kui üks maksimum, kutsutakse jaotus multimodaalne. Mõnikord on jaotusi, mille kõveratel on pigem miinimum kui maksimum. Selliseid jaotusi nimetatakse antimodaalne. Üldjuhul juhusliku suuruse mood ja matemaatiline ootus ei lange kokku. Erijuhtudel jaoks modaalne, st. millel on mood, sümmeetriline jaotus ja eeldusel, et on olemas matemaatiline ootus, langeb viimane kokku jaotuse mooduse ja sümmeetriakeskmega.
Mediaan juhuslik muutuja X- see on selle tähendus meh, mille puhul kehtib võrdsus: st. sama tõenäoline on, et juhuslik suurus X on vähem või rohkem meh. Geomeetriliselt mediaan on selle punkti abstsiss, kus jaotuskõvera alune pindala on pooleks jagatud (joonis 2). Sümmeetrilise modaaljaotuse korral on mediaan, mood ja matemaatiline ootus samad.