Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus on kõigi selle võimalike väärtuste ja nende tõenäosuste korrutiste summa:
Näide.
X -4 6 10
р 0,2 0,3 0,5
Lahendus: matemaatiline ootus on võrdne X kõigi võimalike väärtuste ja nende tõenäosuste korrutistega:
M (X) = 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 = 6.
Matemaatilise ootuse arvutamiseks on mugav teha arvutusi Excelis (eriti kui andmeid on palju), soovitame kasutada valmis malli ().
Näide ise lahendamiseks (võite kasutada kalkulaatorit).
Leidke jaotusseadusega antud diskreetse juhusliku suuruse X matemaatiline ootus:
X 0,21 0,54 0,61
р 0,1 0,5 0,4
Matemaatilisel ootusel on järgmised omadused.
Omadus 1. Konstantse väärtuse matemaatiline ootus on võrdne konstandi endaga: M(C)=C.
Omadus 2. Matemaatilise ootuse märgina võib välja võtta konstantse teguri: M(CX)=CM(X).
Omadus 3. Vastastikku sõltumatute juhuslike suuruste korrutise matemaatiline ootus võrdub tegurite matemaatiliste ootuste korrutisega: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)
Omadus 4. Juhuslike suuruste summa matemaatiline ootus võrdub liikmete matemaatiliste ootuste summaga: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).
Ülesanne 189. Leidke juhusliku suuruse Z matemaatiline ootus, kui X ja Y matemaatilised ootused on teada: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
Lahendus: Kasutades matemaatilise ootuse omadusi (summa matemaatiline ootus võrdub terminite matemaatiliste ootuste summaga; konstantse teguri saab matemaatilise ootuse märgist välja võtta), saame M(Z )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.
190. Kasutades matemaatilise ootuse omadusi, tõesta, et: a) M(X - Y) = M(X) - M (Y); b) hälbe X-M(X) matemaatiline ootus on võrdne nulliga.
191. Diskreetsel juhuslikul suurusel X on kolm võimalikku väärtust: x1= 4 Tõenäosusega p1 = 0,5; xЗ = 6 Tõenäosusega P2 = 0,3 ja x3 tõenäosusega p3. Leidke: x3 ja p3, teades, et M(X)=8.
192. Diskreetse juhusliku suuruse X võimalike väärtuste loend on antud: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1, selle väärtuse ja selle ruudu matemaatilised ootused on samuti teada: M(X) = 0,1 , M(X^2) = 0,9. Leidke xi võimalikele väärtustele vastavad tõenäosused p1, p2, p3
194. 10-osaline partii sisaldab kolme mittestandardset osa. Kaks osa valiti juhuslikult. Leidke diskreetse juhusliku suuruse X matemaatiline ootus - mittestandardsete osade arv kahe valitud osa hulgas.
196. Leidke diskreetse juhusliku suuruse X-arvu matemaatiline ootus sellistele viiest täringust koosnevatele visetele, millest igaühel on kahel täringul üks punkt, kui visete koguarv on kakskümmend.
Binoomjaotuse matemaatiline ootus võrdub katsete arvuga, mis on korrutatud ühes katses toimuva sündmuse tõenäosusega:
See tähendab, et kui sl. siis kogusel on jaotusseadus
helistas selle matemaatiline ootus. Kui sl. suurusel on lõpmatu arv väärtusi, siis matemaatiline ootus määratakse lõpmatu jada summaga 
, eeldusel, et see seeria on absoluutselt konvergentne (muidu öeldakse, et matemaatilist ootust pole olemas) .
Sest pidev sl. tõenäosuse tihedusfunktsiooniga f(x) määratud väärtus, matemaatiline ootus on defineeritud kui integraal
eeldusel, et see integraal on olemas (kui integraal lahkneb, siis öeldakse, et matemaatilist ootust pole olemas).
Näide 1. Määrame jaotatud juhusliku suuruse matemaatilise ootuse Poissoni seadus. A-prioor
või tähistame
, 
Seega parameeter , Poissoni juhusliku suuruse jaotuse määrav seadus on võrdne selle muutuja keskmise väärtusega.
Näide 2. Juhusliku muutuja puhul, millel on eksponentsiaalse jaotuse seadus, on matemaatiline ootus võrdne
(
):
(võta piirid integraalis, võttes arvesse asjaolu, et f (x) on nullist erinev ainult positiivse x korral).
Näide 3. Jaotusseaduse järgi jaotatud juhuslik muutuja Cauchy, ei oma keskmist väärtust. Tõesti
Matemaatilise ootuse omadused.
Vara 1. Konstandi matemaatiline ootus on võrdne selle konstandi endaga.
Konstant C võtab selle väärtuse tõenäosusega üks ja definitsiooni järgi M(C)=C×1=C
Vara 2. Juhuslike muutujate algebralise summa matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste algebralise summaga.
Piirdume selle omaduse tõestamisega ainult kahe diskreetse juhusliku suuruse summa puhul, s.t. tõestame seda
Kahe diskreetse sõna summa all. Koguseid mõistetakse järgmiselt. Kogus, mis võtab väärtusi tõenäosustega
A-prioor
kus on sündmuse tõenäosus, mis arvutatakse tingimusel, et . Viimase võrdsuse paremal poolel on kirjas kõik sündmuse toimumise juhud, seetõttu võrdub see sündmuse toimumise summaarse tõenäosusega, s.o. 
. Samamoodi 
. Lõpuks ometi oleme
Vara 3. Kahe sõltumatu juhusliku muutuja korrutise matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste korrutisega.
| U | … | |||||||
| K | … | |||||||
| X | … | |||||||
| R | … | |||||||
Esitame selle omaduse tõendid ainult diskreetsete koguste kohta. Pidevate juhuslike muutujate puhul on see tõestatud sarnasel viisil.
Olgu X ja Y sõltumatud ja neil on jaotusseadused
Nende juhuslike suuruste korrutis on juhuslik suurus, mis võtab juhuslike suuruste sõltumatuse tõttu väärtusi võrdse tõenäosusega. Siis
Tagajärg. Konstantse teguri võib välja võtta kui matemaatilise ootuse märgi. Seega ei sõltu sajandikonstant C sõna väärtusest. väärtus X, siis omaduse järgi 3. meil on
M(CX)=M(C)×M(X)=C×M(X)
Näide. Kui a ja b on konstandid, siis M(ax+b)=aM(x)+b.
Sündmuse esinemiste arvu matemaatiline ootus sõltumatute katsete kavandamisel.
Tehakse n sõltumatut katset, millest igaühes sündmuse toimumise tõenäosus on võrdne P. Sündmuse esinemiste arv nendes n katses on juhuslik suurus X, mis jaotub binoomseaduse järgi. Selle keskmise väärtuse otsene arvutamine on aga tülikas. Lihtsustamise mõttes kasutame laiendust, mida kasutame edaspidi rohkem kui üks kord: Sündmuse esinemiste arv n katses koosneb sündmuse esinemiste arvust üksikkatsetes, s.o.
kus on jaotusseadus (võtab väärtuse 1, kui sündmus leidis aset antud katses, ja väärtuse 0, kui sündmust antud katses ei esinenud).
| R | 1 | R |
Sellepärast
need. sündmuse keskmine esinemiste arv n sõltumatus katses võrdub katsete arvu ja sündmuse toimumise tõenäosuse korrutisega ühes katses.
Näiteks kui tõenäosus tabada sihtmärki ühe lasuga on 0,1, siis keskmine tabamuste arv 20 lasuga on 20x0,1=2.
Ülesanne 1. Nisuseemnete idanemise tõenäosus on 0,9. Kui suur on tõenäosus, et neljast külvatud seemnest tärkab vähemalt kolm?
Lahendus. Las sündmus A– 4 seemnest tärkab vähemalt 3 seemet; sündmus IN– 4 seemnest tärkab 3 seemet; sündmus KOOS– 4 seemnest tärkab 4 seemet. Tõenäosuste liitmise teoreemi järgi
Tõenäosused 
Ja 
määrame Bernoulli valemiga, mida rakendatakse järgmisel juhul. Las sari peetakse P sõltumatud testid, mille käigus on sündmuse toimumise tõenäosus konstantne ja võrdne R, ja selle sündmuse mittetoimumise tõenäosus on võrdne 
. Siis tõenäosus, et sündmus A V P testid ilmuvad täpselt 
korda, arvutatuna Bernoulli valemiga
,
Kus 
– kombinatsioonide arv P elemendid poolt 
. Siis
Nõutav tõenäosus
2. ülesanne. Nisuseemnete idanemise tõenäosus on 0,9. Leidke tõenäosus, et 400 külvatud seemnest tärkab 350 seemet.
Lahendus. Arvutage nõutav tõenäosus 
Bernoulli valemi kasutamine on arvutuste kohmakuse tõttu keeruline. Seetõttu rakendame ligikaudset valemit, mis väljendab Laplace'i lokaalset teoreemi:
,
Kus 
Ja 
.
Probleemsetest tingimustest. Siis
.
Lisade tabelist 1 leiame. Nõutav tõenäosus on võrdne
3. ülesanne. Nisuseemned sisaldavad 0,02% umbrohtu. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult 10 000 seemet valides leitakse 6 umbrohuseemet?
Lahendus. Laplace'i lokaalse teoreemi rakendamine väikese tõenäosuse tõttu 
toob kaasa tõenäosuse olulise kõrvalekalde täpsest väärtusest 
. Seetõttu väikeste väärtustega R arvutada 
rakendage asümptootilist Poissoni valemit
, Kus.
Seda valemit kasutatakse siis, kui 
, ja seda vähem R ja veel P, seda täpsem on tulemus.
Vastavalt probleemi tingimustele 
;
. Siis
4. ülesanne. Nisuseemnete idanevus on 90%. Leidke tõenäosus, et 500 külvatud seemnest tärkab 400 kuni 440 seemet.
Lahendus. Kui sündmuse toimumise tõenäosus A igas P testid on konstantsed ja võrdsed R, siis tõenäosus 
et sündmus A sellistes katsetes pole vähem 
üks kord ja mitte rohkem 
ajad, mis on määratud Laplace'i integraalteoreemiga järgmise valemiga:
, Kus
, 
.
Funktsioon 
nimetatakse Laplace'i funktsiooniks. Lisades (tabel 2) on toodud selle funktsiooni väärtused 
. Kell 
funktsiooni 
. Negatiivsete väärtuste jaoks X Laplace'i funktsiooni veidruse tõttu 
. Laplace'i funktsiooni kasutades on meil:
Vastavalt ülesande tingimustele. Ülaltoodud valemeid kasutades leiame 
Ja 
:
5. ülesanne. Diskreetse juhusliku suuruse jaotuse seadus on antud X:
Leia: 1) matemaatiline ootus; 2) dispersioon; 3) standardhälve.
Lahendus. 1) Kui diskreetse juhusliku suuruse jaotusseadus on antud tabeliga
|
| ||||||
Kui esimesel real on juhusliku suuruse x väärtused ja teisel real on nende väärtuste tõenäosused, siis arvutatakse matemaatiline ootus valemi abil
2) dispersioon 
diskreetne juhuslik suurus X nimetatakse matemaatiliseks ootuseks juhusliku suuruse ruudus hälbele tema matemaatilisest ootusest, s.o.
See väärtus iseloomustab ruudu hälbe keskmist oodatavat väärtust X alates 
. Viimasest valemist, mis meil on
Dispersioon 
võib leida ka muul viisil, lähtudes selle järgmisest omadusest: dispersioon 
võrdne juhusliku suuruse ruudu matemaatilise ootuse vahega X ja selle matemaatilise ootuse ruut 
, see on
Arvutada 
koostame järgmise suuruse jaotuse seaduse 
:
3) Juhusliku suuruse võimalike väärtuste hajumise iseloomustamiseks selle keskmise väärtuse ümber võetakse kasutusele standardhälve 
juhuslik muutuja X, võrdne dispersiooni ruutjuurega 
, see on
.
Sellest valemist saame: 
6. ülesanne. Pidev juhuslik suurus X mis on antud kumulatiivse jaotusfunktsiooniga
Leia: 1) diferentsiaaljaotuse funktsioon 
; 2) matemaatiline ootus 
; 3) dispersioon 
.
Lahendus. 1) Diferentsiaaljaotuse funktsioon 
pidev juhuslik suurus X nimetatakse kumulatiivse jaotusfunktsiooni tuletiseks 
, see on
.
Otsitav diferentsiaalfunktsioon on järgmisel kujul:
2) Kui pidev juhuslik suurus X antud funktsiooniga 
, siis selle matemaatiline ootus määratakse valemiga
Alates funktsioonist 
juures 
ja kell 
on võrdne nulliga, siis viimasest valemist, mis meil on
.
3) dispersioon 
määrame valemiga
Ülesanne 7. Osa pikkus on normaaljaotusega juhuslik suurus, mille matemaatiline ootus on 40 mm ja standardhälve 3 mm. Leia: 1) tõenäosus, et suvaliselt võetud osa pikkus on suurem kui 34 mm ja väiksem kui 43 mm; 2) tõenäosus, et detaili pikkus kaldub kõrvale oma matemaatilisest ootusest mitte rohkem kui 1,5 mm.
Lahendus. 1) Lase X- osa pikkus. Kui juhuslik suurus X antud diferentsiaalfunktsiooniga 
, siis tõenäosus, et X võtab segmendile kuuluvaid väärtusi 
, määratakse valemiga
.
Range ebavõrdsuse tõenäosus 
määratakse sama valemiga. Kui juhuslik suurus X jaotatakse tavaseaduse järgi, siis
, (1)
Kus 
- Laplace'i funktsioon, 
.
Probleemis. Siis
2) Vastavalt ülesande tingimustele, kus 
. Asendades (1), on meil
. (2)
Valemist (2) saame.
Lisaks jaotusseadustele saab kirjeldada ka juhuslikke muutujaid numbrilised omadused .
Matemaatiline ootus Juhusliku suuruse M (x) nimetatakse selle keskmiseks väärtuseks.
Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus arvutatakse valemi abil
Kus – juhuslike muutujate väärtused, lk mina- nende tõenäosused.
Vaatleme matemaatilise ootuse omadusi:
1. Konstandi matemaatiline ootus on võrdne konstandi endaga
2. Kui juhuslik suurus korrutatakse teatud arvuga k, korrutatakse matemaatiline ootus sama arvuga
M (kx) = kM (x)
3. Juhuslike muutujate summa matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste summaga
M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)
4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)
5. Sõltumatute juhuslike suuruste x 1, x 2, … x n korral on korrutise matemaatiline ootus võrdne nende matemaatiliste ootuste korrutisega
M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)
6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0
Arvutame näite 11 juhusliku suuruse matemaatilise ootuse.
M(x) = = 
.
Näide 12. Olgu juhuslikud suurused x 1, x 2 määratud vastavalt jaotusseadustele:
x 1 Tabel 2
x 2 Tabel 3
Arvutame M (x 1) ja M (x 2)
M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 = 0
M (x 2) = (-20) 0,3 + (-10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 = 0
Mõlema juhusliku suuruse matemaatilised ootused on samad – need on võrdsed nulliga. Nende leviku olemus on aga erinev. Kui x 1 väärtused erinevad nende matemaatilisest ootusest vähe, siis x 2 väärtused erinevad suurel määral nende matemaatilisest ootusest ja selliste kõrvalekallete tõenäosus ei ole väike. Need näited näitavad, et keskmise väärtuse järgi on võimatu kindlaks teha, millised kõrvalekalded sellest esinevad, nii väiksemad kui ka suuremad. Nii et kahe piirkonna ühesuguse aasta keskmise sademete hulga juures ei saa väita, et need alad oleksid põllumajandustöödeks võrdselt soodsad. Samamoodi ei saa keskmise palganäitaja põhjal hinnata kõrge ja madalapalgaliste töötajate osakaalu. Seetõttu võetakse kasutusele numbriline karakteristik - dispersioon D(x) , mis iseloomustab juhusliku suuruse kõrvalekaldumise astet selle keskmisest väärtusest:
D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)
Dispersioon on juhusliku suuruse ruudus kõrvalekalde matemaatiline ootus matemaatilisest ootusest. Diskreetse juhusliku suuruse korral arvutatakse dispersioon järgmise valemi abil:
D(x)= 
= 
(3)
Dispersiooni definitsioonist järeldub, et D (x) 0.
Dispersiooni omadused:
1. Konstandi dispersioon on null
2. Kui juhuslik suurus on korrutatud teatud arvuga k, siis dispersioon korrutatakse selle arvu ruuduga
D (kx) = k 2 D (x)
3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)
4. Paaripõhiselt sõltumatute juhuslike suuruste x 1 , x 2 , … x n korral on summa dispersioon võrdne dispersioonide summaga.
D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)
Arvutame näite 11 juhusliku suuruse dispersiooni.
Matemaatiline ootus M (x) = 1. Seega on meil valemi (3) järgi:
D (x) = (0–1) 2 1/4 + (1–1) 2 1/2 + (2–1) 2 1/4 = 1 1/4 + 1 1/4 = 1/2
Pange tähele, et dispersiooni on lihtsam arvutada, kui kasutate atribuuti 3:
D (x) = M (x 2) – M 2 (x).
Arvutame näite 12 juhuslike suuruste x 1 , x 2 dispersioonid selle valemi abil. Mõlema juhusliku suuruse matemaatilised ootused on null.
D (x 1) = 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204
D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 = 260
Mida lähemal on dispersiooni väärtus nullile, seda väiksem on juhusliku suuruse levik keskmise väärtuse suhtes.
Kogust nimetatakse standardhälve. Juhusliku muutuja režiim x diskreetne tüüp Md Nimetatakse suurima tõenäosusega juhusliku suuruse väärtust.
Juhusliku muutuja režiim x pidev tüüp Md, on reaalarv, mis on määratletud kui tõenäosusjaotuse tiheduse f(x) maksimumpunkt.
Juhusliku muutuja mediaan x pidev tüüp Mn on reaalarv, mis rahuldab võrrandit
Juhusliku suuruse järgmine kõige olulisem omadus pärast matemaatilist ootust on selle dispersioon, mis on defineeritud kui keskmine ruuthälve keskmisest:
Kui see on tähistatud, on dispersioon VX eeldatav väärtus. See on X jaotuse hajuvuse tunnus.
Lihtsa näitena dispersiooni arvutamise kohta oletame, et meile tehti just pakkumine, millest me ei saa keelduda: keegi andis meile kaks sama loterii sertifikaati. Loterii korraldajad müüvad igal nädalal 100 piletit, osaledes eraldi loosimises. Loosimisel valitakse ühtse juhusliku protsessiga välja üks neist piletitest – igal piletil on võrdne võimalus valituks osutuda – ja selle õnneliku pileti omanik saab sada miljonit dollarit. Ülejäänud 99 loteriipileti omanikku ei võida midagi.
Kingitust saame kasutada kahel viisil: osta kas kaks piletit ühes loosimises või üks, et osaleda kahes erinevas loosimises. Milline strateegia on parem? Proovime seda analüüsida. Selleks tähistagem juhuslike muutujatega, mis tähistavad meie võitude suurust esimesel ja teisel piletil. Eeldatav väärtus miljonites on
ja sama kehtib ka Oodatavad väärtused on liitvad, seega on meie keskmine kogutasu
olenemata vastuvõetud strateegiast.
Need kaks strateegiat tunduvad aga erinevad. Lähme eeldatavatest väärtustest kaugemale ja uurime täielikku tõenäosusjaotust
Kui ostame ühes loteriis kaks piletit, siis on meie võimalus mitte midagi võita 98% ja 2% – võimalus võita 100 miljonit. Kui ostame pileteid erinevateks loosimisteks, on numbrid järgmised: 98,01% - võimalus mitte midagi võita, mis on veidi suurem kui varem; 0,01% - võimalus võita 200 miljonit, samuti veidi rohkem kui varem; ja võimalus võita 100 miljonit on nüüd 1,98%. Seega on teisel juhul suurusjärgu jaotus mõnevõrra hajusam; keskmine väärtus, 100 miljonit dollarit, on veidi vähem tõenäoline, samas kui äärmused on tõenäolisemad.
See on see juhusliku suuruse leviku kontseptsioon, mida dispersioon on mõeldud peegeldama. Mõõdame juhusliku suuruse jaotust selle matemaatilisest ootusest kõrvalekaldumise ruudu kaudu. Seega juhul 1 on dispersioon
juhul 2 on dispersioon
Nagu eeldasime, on viimane väärtus veidi suurem, kuna jaotus juhul 2 on mõnevõrra hajutum.
Kui töötame dispersioonidega, on kõik ruudus, nii et tulemuseks võivad olla üsna suured arvud. (kordaja on üks triljon, see peaks olema muljetavaldav
isegi suurte panustega harjunud mängijad.) Väärtuste teisendamiseks tähendusrikkamasse algskaalasse võetakse sageli dispersiooni ruutjuur. Saadud arvu nimetatakse standardhälbeks ja seda tähistatakse tavaliselt kreeka tähega a:
Meie kahe loteriistrateegia suurusjärgu standardhälbed on . Mõnes mõttes on teine võimalus umbes 71 247 dollarit riskantsem.
Kuidas dispersioon aitab strateegiat valida? See pole selge. Suurema dispersiooniga strateegia on riskantsem; aga mis on meie rahakotile parem – risk või turvaline mäng? Olgu meil võimalus osta mitte kaks piletit, vaid kõik sada. Siis saaksime garanteerida ühe loteriivõidu (ja dispersioon oleks null); või sa võid mängida sajal erineval viigil, saades tõenäoliselt mitte midagi, kuid omades nullist erinevat võimalust võita kuni dollareid. Nendest alternatiividest ühe valimine ei kuulu selle raamatu raamidesse; kõik, mida me siin teha saame, on selgitada, kuidas arvutusi teha.
Tegelikult on dispersiooni arvutamiseks lihtsam viis kui definitsiooni (8.13) otsene kasutamine. (Siin on põhjust kahtlustada mingit varjatud matemaatikat; muidu, miks osutub loterii näidete dispersioon täisarvuks? Meil on
kuna - konstantne; seega,
"Diperatsioon on ruudu keskmine miinus keskmise ruut."
Näiteks loosiülesandes osutub keskmine väärtus või Lahutamine (keskmise ruut) annab tulemused, mille oleme juba varem saanud keerulisemal viisil.
Siiski on olemas veelgi lihtsam valem, mida saab kasutada sõltumatute X ja Y arvutamisel. Meil on
kuna, nagu me teame, sõltumatute juhuslike muutujate korral
"Sõltumatute juhuslike muutujate summa dispersioon võrdub nende dispersioonide summaga." Nii on näiteks ühe loteriipiletiga võidetava summa dispersioon võrdne
Seetõttu on kahe erineva (sõltumatu) loterii kahe loteriipileti koguvõidu hajutamine. Sõltumatute loteriipiletite vastav hajumise väärtus on
Kahel täringul veeretud punktide summa dispersiooni saab saada sama valemiga, kuna see on kahe sõltumatu juhusliku suuruse summa. Meil on
õige kuubi jaoks; seetõttu nihkunud massikeskme korral
seega, kui mõlemal kuubil on nihutatud massikese. Pange tähele, et viimasel juhul on dispersioon suurem, kuigi keskmiseks väärtuseks on 7 sagedamini kui tavalise täringu puhul. Kui meie eesmärk on veeretada rohkem õnnelikke seitsmeid, siis dispersioon ei ole parim edu näitaja.
Olgu, oleme teinud kindlaks, kuidas dispersiooni arvutada. Kuid me pole veel andnud vastust küsimusele, miks on vaja dispersiooni arvutada. Kõik teevad seda, aga miks? Peamine põhjus on Tšebõševi ebavõrdsus, mis loob olulise dispersiooniomaduse:
(See ebavõrdsus erineb Tšebõševi ebavõrdsustest summade puhul, mida kohtasime 2. peatükis.) Kvalitatiivsel tasemel väidab (8.17), et juhusliku suuruse X väärtused on harva oma keskmisest kaugel, kui selle dispersioon VX on väike. Tõestus
juhtimine on erakordselt lihtne. Tõesti,
jagamine lõpetab tõestuse.
Kui tähistame matemaatilist ootust a-ga ja standardhälvet a-ga ning asendame (8.17)-ga, siis muutub tingimuseks see, saame tulemusest (8.17)
Seega jääb X oma keskmise standardhälbe - korda, välja arvatud juhtudel, kui tõenäosus ei ületa. Juhuslik suurus jääb vahemikku 2a vähemalt 75% katsetest; vahemikus kuni - vähemalt 99%. Need on Tšebõševi ebavõrdsuse juhtumid.
Kui visata paar täringut ühe korra, siis on kõigi visete punktide summa peaaegu alati lähedal. Selle põhjuseks on järgmine: sõltumatute visete dispersioon on Dispersioon tähendab kõige standardhälvet
Seetõttu saame Tšebõševi ebavõrdsusest, et punktide summa jääb vahele
vähemalt 99% kõigist õigete täringuvisetustest. Näiteks miljoniviske tulemuseks, mille tõenäosus on suurem kui 99%, jääb 6,976–7,024 miljoni vahele.
Üldiselt olgu X tõenäosusruumis Π mis tahes juhuslik muutuja, millel on lõplik matemaatiline ootus ja lõplik standardhälve a. Seejärel saame arvesse võtta tõenäosusruumi Pn, mille elementaarsündmused on -jadad, kus iga , ja tõenäosus on defineeritud kui
Kui nüüd defineerida juhuslikud suurused valemiga
siis väärtus
on sõltumatute juhuslike suuruste summa, mis vastab väärtuse X sõltumatute realisatsioonide summeerimise protsessile P-l. Matemaatiline ootus on võrdne ja standardhälve - ; seega realisatsioonide keskmine väärtus,
vahemikus kuni vähemalt 99% ajavahemikust. Teisisõnu, kui valite piisavalt suure, on sõltumatute testide aritmeetiline keskmine peaaegu alati väga lähedane eeldatavale väärtusele (Tõenäosusteooria õpikutes on tõestatud veelgi tugevam teoreem, mida nimetatakse suurte arvude tugevaks seaduseks; kuid meie jaoks on Tšebõševi ebavõrdsuse lihtne tagajärg, mille me just välja võtsime.)
Mõnikord me ei tea tõenäosusruumi omadusi, kuid me peame hindama juhusliku suuruse X matemaatilist ootust, kasutades selle väärtuse korduvaid vaatlusi. (Näiteks võiksime soovida San Francisco keskmist jaanuari keskpäeva temperatuuri või teada saada eeldatavat eluiga, millele kindlustusagendid peaksid oma arvutuste tegemisel tuginema.) Kui meie käsutuses on sõltumatud empiirilised vaatlused, võime eeldada, et tõeline matemaatiline ootus on ligikaudu võrdne
Dispersiooni saate hinnata ka valemi abil
Seda valemit vaadates võiks arvata, et selles on trükiviga; Näib, et see peaks seal olema nagu (8.19), kuna dispersiooni tegelik väärtus määratakse (8.15)-s eeldatavate väärtuste kaudu. Selle asendamine aga võimaldab meil saada parema hinnangu, kuna definitsioonist (8.20) järeldub, et
Siin on tõestus:
(Selles arvutuses tugineme vaatluste sõltumatusele, kui asendame tähega )
Praktikas arvutatakse juhusliku suurusega X katse tulemuste hindamiseks tavaliselt empiiriline keskmine ja empiiriline standardhälve ning seejärel kirjutatakse vastus kujul Siin on näiteks täringupaari viskamise tulemused, arvatavasti õige.