millest järeldame, et m1, m2 on kahemõõtmelise normaaljuhusliku suuruse (X, Y) komponentide X, Y matemaatilised ootused, σ1, σ2 on nende komponentide standardhälbed.

Kahemõõtmelise normaaltiheduse graafik ruumis on künkakujuline pind, mis asub kogu xOy tasandi kohal, lähenedes sellele lõpmatuseni eemaldamisel asümptootiliselt, sümmeetriline keskpunkti läbiva vertikaaltelje suhtes (m1, m2) ja tipuga. sel hetkel. Igasugune normaaltihedusgraafiku pinna osa xOy-ga risti oleva tasapinnaga on Gaussi kõver.

6.5 Kahe juhusliku suuruse sõltuvus ja sõltumatus

Definitsioon. Juhuslikke muutujaid X, Y nimetatakse sõltumatuteks, kui sündmused X on sõltumatud< x и Y < y для любых вещественных x, y. В противном случае случайные величины (X, Y) называются зависимыми.

Teoreem. Üldine vajalik ja piisav tingimus kahe juhusliku suuruse sõltumatuseks:

FXY (x, y) = FX (x) FY (y)

mis tahes reaalse x ja y jaoks.

See tingimus on erinevalt kirjutatud vajalik ja piisav tingimus kahe sündmuse sõltumatuse jaoks: P (AB) = P (A)P (B) sündmuste A = (X) korral< x), B = (Y < y).

Teoreem. Kahe pideva juhusliku suuruse sõltumatuse vajalik ja piisav tingimus:

fXY (x, y) = fX (x) fY (y), x, y.

Teoreem. Kahe diskreetse juhusliku suuruse sõltumatuse vajalik ja piisav tingimus:

p ik= p i · p k

mis tahes i jaoks = 1, 2, . . . , m; k = 1, 2, . . . , n.

Kommenteeri. Korrelatsioonikordaja ρ võrdsus nulliga on kahemõõtmelise normaalse juhusliku suuruse (X, Y) komponentide X, Y sõltumatuse vajalik ja piisav tingimus.

6.6 Jaotuse tingimuslikud seadused. Kahemõõtmelise juhusliku suuruse arvulised karakteristikud. Juhuslike muutujate vaheline seos

6.6.1 Jaotuse tingimuslikud seadused

Definitsioon. Tingimusliku levitamise seadus Kahemõõtmelise juhusliku suuruse (X, Y) ühte ühemõõtmelist komponenti nimetatakse selle jaotusseaduseks, mis arvutatakse tingimusel, et teine ​​komponent omandas teatud väärtuse (või langes mingi intervall).

Diskreetsete juhuslike suuruste korral on tingimuslike tõenäosuste leidmise valemid järgmine:

pj(xi) =	P [(X = xi )(Y = yj )]		Pi(yj) =	P [(X = xi )(Y = yj )]
	P(Y=yj)
				P (X = xi)

Pidevate juhuslike muutujate korral võtavad need valemid kuju

	fY (x) =	fXY(x, y)	FX(y)=	fXY(x, y)
		fY(y)		fX(x)

need. kahemõõtmelise juhusliku suuruse ühe ühemõõtmelise komponendi tingimuslik tõenäosustihedus on võrdne selle liittiheduse ja selle teise komponendi tõenäosustiheduse suhtega.

Need suhted, mis on kirjutatud kujul

fXY (x, y) = fX (x) fX (y) = fX (y) fY (x),

nimetatakse jaotustiheduste korrutamise teoreemiks (reegliks).

Kasutades valemeid pideva juhusliku suuruse ühemõõtmeliste komponentide saamiseks, kirjutame tingimuslike komponentide valemid:

fY (x) =		fXY(x, y)		FX(y)=		fXY(x, y)
		fXY (x, y)dx				fXY (x, y)dy

6.6.2 Numbrilised omadused

Vaatleme juhuslikku suurust ϕ(X, Y), mis on kahemõõtmelise juhusliku suuruse (X, Y) komponentide X, Y funktsioon. Kehtivad järgmised üldvalemid:

diskreetse juhtumi jaoks.

Siin fXY (x, y) on juhusliku suuruse (X, Y) tõenäosustihedus ja pik = P (X = xi, Y = yk) (i = 1, . . . , m; k = 1, ). ..., n) - diskreetse kahemõõtmelise juhusliku suuruse jaotuse seadus

Neid valemeid kasutades saate kirjutada valemeid diskreetse juhusliku suuruse ühemõõtmeliste komponentide matemaatiliseks ootuseks ja hajutamiseks.

Valemid matemaatilise ootuse leidmiseks on järgmised:

M(X) = ZZ	xfXY (x, y)dxdy;

M(Y) = yfXY (x, y)dxdy

pidevate juhuslike muutujate jaoks;

M(X) = xi pik ;

M(Y) = yk pik

diskreetse juhtumi jaoks.

Kahemõõtmelise juhusliku muutuja ühemõõtmeliste komponentide dispersiooni arvutamise valemid on kujul:

D(Y) = M[(Y − M(Y))2 ] = (yk − M(Y))pik

diskreetse juhtumi jaoks.

6.6.3 Korrelatsioonimoment ja korrelatsioonikordaja

Kahe juhusliku suuruse sõltuvuse funktsionaalsed karakteristikud sõnastati eespool. Vaatleme nüüd juhuslike muutujate vahelise seose arvulisi karakteristikuid.

Definitsioon. Korrelatsioonimoment K XY, muidu - kovariatsioon , kahte juhuslikku muutujat X, Y nimetatakse nende juhuslike suuruste matemaatilistest ootustest kõrvalekallete korrutise matemaatiliseks ootuseks:

KXY = M[(X − mX )(Y − mY )].

Ilmselgelt KXY = KY X.

KXY arvutamise valemid on järgmised:

KXY = Z Z

(x − mX )(y − mY )fXY (x, y)dxdyXY = ρY X . Korrelatsioonimoment ja korrelatsioonikordaja on kahemõõtmelise juhusliku suuruse arvkarakteristikud ja ρXY on mõõtmeteta tunnus. Nende omadustest järeldub, et need iseloomustavad juhuslike muutujate vahelist seost. Korrelatsioonimomendi ja korrelatsioonikordaja omadused. Vara 1. KXY = M − mX mY . Seda valemit on mugav kasutada kovariatsiooni arvutamiseks. Vara 2. −1 ≤ ρ ≤ 1. See omadus tähendab, et korrelatsioonikordaja on normaliseeritud tunnus. Omadus 3. Sõltumatute juhuslike suuruste X, Y korral nende korrelatsioonimoment, ja järelikult on korrelatsioonikoefitsient võrdne nulliga. Kommenteeri. Vastupidine väide on üldiselt vale, s.t. on sõltumatud juhuslikud muutujad (X, Y), mille puhul KXY = 0. Definitsioon. Kutsutakse kahte juhuslikku muutujat X, Y korrelatsioonita, kui nende korrelatsioonimoment on null. Kui KXY 6= 0, siis öeldakse, et X, Y korreleeruvad omavahel. Kommenteeri. Kui KXY 6= 0, siis on juhuslikud suurused X, Y sõltuvad. Omadus 4. Juhuslike suuruste X, Y = aX + b korral, mis on seotud lineaarse sõltuvusega, on korrelatsioonikordaja 1, kui a > 0, ja −1, kui a< 0. Omadus 5. Kui |ρXY | = 1, siis on juhuslikud suurused X, Y seotud lineaarse sõltuvusega tõenäosusega üks. Kommenteeri. Suurust M = α 1,1 nimetatakse teiseks segatud algmomendiks kahemõõtmeline juhuslik suurus (X, Y) ja selle korrelatsioonimoment K XY- teine ​​segatud keskmoment.

Juhuslike sündmuste sõltuvuse ja sõltumatuse mõisted. Tinglik tõenäosus. Sõltuvate ja sõltumatute juhuslike sündmuste tõenäosuste liitmise ja korrutamise valemid. Kogutõenäosuse valem ja Bayesi valem.

Tõenäosuste liitmise teoreemid

Leiame sündmuste A ja B summa tõenäosuse (eeldades nende ühilduvust või mitteühilduvust).

Teoreem 2.1. Lõpliku arvu kokkusobimatute sündmuste summa tõenäosus on võrdne nende tõenäosuste summaga:

P\(A+B+\ldots+N\)=P\(A\)+P\(B\)+\ldots+P\(N\).

Näide 1. Tõenäosus, et pood müüb paari suuruses 44 meeste kingi, on 0,12; 45. - 0,04; 46. ​​ja üle selle - 0,01. Leia tõenäosus, et müüakse vähemalt 44 suuruses meeste kingade paar.

Lahendus. Nõutav sündmus D leiab aset, kui müüakse 44 (üritus A) või 45 (üritus B) või vähemalt 46 (üritus C) jalatsite paar, st sündmus D on sündmuste A, B ,C summa. . Sündmused A, B ja C ei ühildu. Seetõttu saame tõenäosuste summa teoreemi järgi

P\(D\)=P\(A+B+C\)=P\(A\)+P\(B\)+P\(C\)=0,\!12+0,\!04 +0,\!01 =0,\!17.

Näide 2. Näite 1 tingimustes leidke tõenäosus, et müüakse järgmine paar jalatseid, mis on väiksemad kui suurus 44.

Lahendus. Sündmused “Müüakse järgmine paar väiksemaid kui 44 jalatseid” ja “Müüakse mitte väiksemaid kui 44 jalanõusid” on vastandlikud. Seega valemi (1.2) järgi soovitud sündmuse toimumise tõenäosus

P\(\overline(D)\)=1-P\(D\)=1-0,\!17=0,\!83.

kuna P\(D\)=0,\!17 nagu leiti näites 1.

Tõenäosuste liitmise teoreem 2.1 kehtib ainult mitteühilduvate sündmuste puhul. Selle kasutamine ühissündmuste tõenäosuse leidmiseks võib viia valede ja mõnikord absurdsete järeldusteni, nagu on selgelt näha järgmisest näitest. Olgu Electra Ltd poolt tellimuse õigeaegne täitmine hinnatud tõenäosusega 0,7. Kui suur on tõenäosus, et kolmest tellimusest täidab ettevõte vähemalt ühe õigeaegselt? Tähistame sündmusi, et ettevõte täidab esimese, teise ja kolmanda tellimuse õigeaegselt, vastavalt A, B, C. Kui rakendame soovitud tõenäosuse leidmiseks tõenäosuste liitmise teoreemi 2.1, saame P\(A+B+C\)=0,\!7+0,\!7+0,\!7=2,\!1. Sündmuse tõenäosus osutus suuremaks kui üks, mis on võimatu. Seda seletatakse asjaoluga, et sündmused A, B, C on ühised. Tõepoolest, esimese tellimuse õigeaegne täitmine ei välista ülejäänud kahe õigeaegset täitmist.

Sõnastame teoreemi tõenäosuste liitmiseks kahe ühise sündmuse korral (arvestatakse nende ühise toimumise tõenäosust).

Teoreem 2.2. Kahe ühise sündmuse summa tõenäosus on võrdne nende kahe sündmuse tõenäosuste summaga, ilma nende ühise toimumise tõenäosuseta:

P\(A+B\)=P\(A\)+P\(B\)-P\(AB\).

Sõltuvad ja iseseisvad üritused. Tinglik tõenäosus

On sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Kaht sündmust nimetatakse sõltumatuks, kui neist ühe toimumine ei muuda teise toimumise tõenäosust. Näiteks kui töökojas töötab kaks automaatliini, mis tootmistingimustest tulenevalt ei ole omavahel ühendatud, siis on nende liinide peatumised iseseisvad sündmused.

Näide 3. Münti visatakse kaks korda. Esimesel katsel (sündmus A) "vapi" ilmumise tõenäosus ei sõltu "vapi" ilmumisest või mitteilmumisest teises katses (sündmus B). Teises katses “vapi” ilmumise tõenäosus ei sõltu omakorda esimese katse tulemusest. Seega on sündmused A ja B sõltumatud.

Nimetatakse mitmeid üritusi kollektiivselt sõltumatud, kui ükski neist ei sõltu ühestki teisest sündmusest ega teiste kombinatsioonist.

Sündmused on nn sõltuv, kui üks neist mõjutab teise tõenäosust. Näiteks kaks tootmisettevõtet on ühendatud ühe tehnoloogilise tsükliga. Siis sõltub ühe ebaõnnestumise tõenäosus teise olekust. Ühe sündmuse B tõenäosust, mis on arvutatud teise sündmuse A toimumise eeldusel, nimetatakse tingimuslik tõenäosus sündmus B ja seda tähistatakse P\(B|A\) .

Sündmuse B sõltumatuse tingimus sündmusest A kirjutatakse kujul P\(B|A\)=P\(B\) , ja selle sõltuvuse tingimus - kujul P\(B|A\)\ne(P\(B\)). Vaatleme näidet sündmuse tingimusliku tõenäosuse arvutamisest.

Näide 4. Karbis on 5 lõikurit: kaks kulunud ja kolm uut. Tehakse kaks järjestikust lõikehammaste ekstraheerimist. Määrake tinglik tõenäosus kulunud lõikuri ilmumiseks teisel väljatõmbamisel, eeldusel, et esimest korda eemaldatud lõikurit ei tagastata kasti.

Lahendus. Tähistagem esimesel juhul kulunud lõikuri väljavõtmist A-ga ja uue väljatõmbamist \overline(A). Siis P\(A\)=\frac(2)(5),~P\(\overline(A)\)=1-\frac(2)(5)=\frac(3)(5). Kuna eemaldatud lõikurit ei tagastata kasti, muutub kulunud ja uute lõikurite koguste suhe. Järelikult sõltub kulunud lõikuri eemaldamise tõenäosus teisel juhul sellest, milline sündmus toimus enne.

Tähistagem B-ga sündmust, mis teisel juhul tähendab kulunud lõikuri eemaldamist. Selle sündmuse tõenäosus võib olla:

P\(B|A\)=\frac(1)(4),~~~P\(B|\overline(A)\)=\frac(2)(4)=\frac(1)(2 ).

Seetõttu sõltub sündmuse B tõenäosus sellest, kas sündmus A toimub või mitte.

Tõenäosuse korrutamise valemid

Olgu sündmused A ja B sõltumatud ning nende sündmuste tõenäosused on teada. Leiame sündmuste A ja B kombineerimise tõenäosuse.

Teoreem 2.3. Kahe sõltumatu sündmuse ühise toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega:

P\(AB\)=P\(A\)\cdot P\(B\).

Järeldus 2.1. Mitme sõltumatu sündmuse ühise toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega:

P\(A_1A_2\ldots(A_n)\)=P\(A_1\)P\(A_2\)\ldots(P\(A_n\)).

Näide 5. Kolm karpi sisaldavad 10 osa. Esimeses kastis on 8 standardosa, teises – 7 ja kolmandas – 9. Igast karbist võetakse juhuslikult välja üks osa. Leidke tõenäosus, et kõik kolm väljavõetud osa on standardsed.

Lahendus. Tõenäosus, et standardosa võetakse esimesest kastist (sündmus A), P\(A\)=\frac(8)(10)=\frac(4)(5). Tõenäosus, et teisest kastist võetakse standardosa (sündmus B), P\(B\)=\frac(7)(10). Tõenäosus, et standardosa võetakse kolmandast kastist (sündmus C), P\(C\)=\frac(9)(10). Kuna sündmused A, B ja C on agregaadis sõltumatud, siis soovitud tõenäosus (korrutusteoreemi järgi)

P\(ABC\)=P\(A\)P\(B\)P\(C\)=\frac(4)(5)\frac(7)(10)\frac(9)(10) =0,\!504.

Olgu sündmused A ja B sõltuvad ning tõenäosused P\(A\) ja P\(B|A\) on teada. Leiame nende sündmuste korrutise tõenäosuse, st nii sündmuse A kui ka sündmuse B ilmnemise tõenäosuse.

Teoreem 2.4. Kahe sõltuva sündmuse ühise toimumise tõenäosus on võrdne neist ühe tõenäosuse ja teise tingimusliku tõenäosuse korrutisega, mis arvutatakse eeldusel, et esimene sündmus on juba toimunud:

P\(AB\)=P\(A\)\cdot P\(B|A\);\qquad P\(AB\)=P\(B\)\cdot P\(A|B\)

Järeldus 2.2. Mitme sõltuva sündmuse ühise toimumise tõenäosus on võrdne neist ühe tõenäosuse ja kõigi teiste tingimuslike tõenäosuste korrutisega ning iga järgneva sündmuse tõenäosus arvutatakse eeldusel, et kõik eelnevad sündmused on juba toimunud .

Näide 6. Urnis on 5 valget palli, 4 musta ja 3 sinist. Iga katse seisneb ühe palli juhuslikus tõmbamises ilma seda urni tagasi viimata. Leidke tõenäosus, et esimesel katsel (sündmus A) ilmub valge pall, teisel (sündmus B) must ja kolmandal (sündmus C) sinine pall.

Lahendus. Valge palli ilmumise tõenäosus esimesel katsel P\(A\)=\frac(5)(12). Teisel katsel musta palli ilmumise tõenäosus, mis on arvutatud eeldusel, et esimesel katsel ilmus valge pall, st tingimuslik tõenäosus P\(B|A\)=\frac(4)(11). Sinise palli ilmumise tõenäosus kolmandal katsel, arvutatuna eeldusel, et esimesel katsel ilmus valge pall ja teisel katsel must pall, P\(C|AB\)=\frac(3)(10). Nõutav tõenäosus

P\(ABC\)=P\(A\)P\(B|A\)P\(C|AB\)=\frac(5)(12)\frac(4)(11)\frac(3) )(10).

Kogutõenäosuse valem

Teoreem 2.5. Kui sündmus A leiab aset ainult tingimusel, et toimub üks sündmustest, mis moodustavad kokkusobimatute sündmuste täieliku rühma, siis on sündmuse A tõenäosus võrdne iga sündmuse tõenäosuste korrutistega B_1,B_2,\ldots(B_n) sündmuse vastavale tingimuslikule tõenäosusele B_1,B_2,\ldots(B_n):

P\(A\)=\summa\limits_(i=1)^(n)P\(B_i\)P\(A|B_i\).

Sel juhul nimetatakse sündmusi B_i,~i=1,\ldots,n hüpoteesideks ja tõenäosusi P\(B_i\) a priorideks. Seda valemit nimetatakse kogu tõenäosuse valemiks.

Näide 7. Koosteliinile saab osi kolmelt masinalt. Masinate tootlikkus ei ole sama. Esimene masin toodab 50% kõigist osadest, teine ​​- 30% ja kolmas - 20%. Kvaliteetse koostu tõenäosus esimesel, teisel ja kolmandal masinal valmistatud detaili kasutamisel on vastavalt 0,98, 0,95 ja 0,8. Määrake tõenäosus, et koosteliinilt mahatulev koost on kvaliteetne.

Lahendus. Tähistame A-ga sündmust, mis näitab kokkupandud sõlme kehtivust; B_1, B_2 ja B_3 - sündmused, mis tähendab, et osad valmistati vastavalt esimesel, teisel ja kolmandal masinal. Siis

P\(B_1\)=0,\!5;~~~~~P\(B_2\)=0,\!3;~~~~~P\(B_3\)=0,\!2;
P\(A|B_1\)=0,\!98;~~~P\(A|B_2\)=0,\!95;~~~P\(A|B_3\)=0,\!8 .

Nõutav tõenäosus

Bayesi valem

Seda valemit kasutatakse praktiliste ülesannete lahendamisel, kui sündmus A ilmub koos mis tahes sündmusega B_1,B_2,\ldots(B_n), mis moodustab tervikliku sündmuste rühma, on toimunud ja on vaja läbi viia hüpoteeside tõenäosuste kvantitatiivne ümberhindamine B_1,B_2,\ldots(B_n). Eelnevad (enne kogemust) tõenäosused P\(B_1\),P\(B_2\),\ldots(P\(B_n\)) teatud. On vaja arvutada tagumised (pärast katset) tõenäosused, st sisuliselt tuleb leida tingimuslikud tõenäosused P\(B_1|A\),P\(B_2|A\),\ldots(P\(B_n|A\)). Hüpoteesi B_j puhul näeb Bayesi valem välja järgmine:

P\(B_j|A\)=\frac(P\(B_j\) P\(A|B_j\))(P\(A\)).

Laiendades P\(A\) selles võrrandis, kasutades kogutõenäosuse valemit (2.1), saame

P\(B_j|A\)=\dfrac(P\(B_j\)P\(A|B_j\))(\sum\limits_(i=1)^(n)P\(B_i\)P\( A|B_i\)).

Näide 8. Näite 7 tingimustes arvutage välja tõenäosused, et koost sisaldab vastavalt esimesel, teisel ja kolmandal masinal valmistatud detaili, kui koosteliinilt tulev koost on kvaliteetne.

Allikas

Jaotuse tingimuslikud seadused. Regressioon.

Definitsioon. Kahemõõtmelise juhusliku suuruse (X, Y) ühe ühemõõtmelise komponendi tingimuslik jaotusseadus on selle jaotusseadus, mis arvutatakse tingimusel, et teine ​​komponent omandas teatud väärtuse (või langes mingisse intervalli). Eelmises loengus vaatlesime diskreetsete juhuslike muutujate tingimusjaotuste leidmist. Seal on toodud ka tingimuslike tõenäosuste valemid:

Pidevate juhuslike suuruste puhul on vaja määrata tingimusjaotuste j y (x) ja j X (y) tõenäosustihedused. Selleks asendame antud valemites sündmuste tõenäosused nende “tõenäosuselementidega”!

pärast dx ja dy võrra vähendamist saame:

need. kahemõõtmelise juhusliku suuruse ühe ühemõõtmelise komponendi tingimuslik tõenäosustihedus on võrdne selle liittiheduse ja teise komponendi tõenäosustiheduse suhtega. Need seosed on kirjutatud kujul

nimetatakse jaotustiheduste korrutamise teoreemiks (reegliks).

Tingimuslikud tihedused j y (x) ja j X (y). neil on kõik "tingimusteta" tiheduse omadused.

Kahemõõtmeliste juhuslike suuruste uurimisel arvestatakse ühemõõtmeliste komponentide X ja Y arvkarakteristikuid - matemaatilisi ootusi ja dispersioone. Pideva juhusliku suuruse (X, Y) korral määratakse need valemitega:

Koos nendega vaadeldakse ka tingimusjaotuste arvulisi karakteristikuid: tingimuslikke matemaatilisi ootusi M x (Y) ja M y (X) ning tingimuslikke dispersioone D x (Y) ja D Y (X). Need karakteristikud leitakse tavaliste matemaatilise ootuse ja dispersiooni valemite abil, milles sündmuste tõenäosuste või tõenäosustiheduste asemel kasutatakse tingimuslikke tõenäosusi või tingimuslikke tõenäosustihedusi.

Juhusliku suuruse Y tingimuslik matemaatiline ootus X = x, s.o. M x (Y) on x funktsioon, mida nimetatakse regressioonifunktsiooniks või lihtsalt Y regressiooniks X-i suhtes. Samamoodi nimetatakse M Y (X) regressioonifunktsiooniks või lihtsalt X-i regressiooniks Y-s. Nende funktsioonide graafikud on järgmised: nimetatakse regressioonijoonteks (või regressioonikõverateks) Y vastavalt X või X vastavalt Y.

Sõltuvad ja sõltumatud juhuslikud muutujad.

Definitsioon. Juhuslikke muutujaid X ja Y nimetatakse sõltumatuteks, kui nende ühine jaotusfunktsioon F(x,y) on esitatud nende juhuslike suuruste jaotusfunktsioonide F 1 (x) ja F 2 (y) korrutisena, s.o.

Vastasel juhul nimetatakse juhuslikke muutujaid X ja Y sõltuvateks.

Diferentseerides võrdsuse kaks korda argumentide x ja y suhtes, saame

need. sõltumatute pidevate juhuslike suuruste X ja Y korral on nende liittihedus j(x,y) võrdne nende juhuslike suuruste tõenäosustiheduste j 1 (x) ja j 2 (y) korrutisega.

Seni oleme kohanud muutujate X ja Y vahelise funktsionaalse seose kontseptsiooni, kui ühe muutuja iga väärtus x vastas teise rangelt määratletud väärtusele. Näiteks kahe juhusliku muutuja seos – teatud aja jooksul rikkis olevate seadmete arv ja nende maksumus – on funktsionaalne.

Üldiselt seisavad nad silmitsi erinevat tüüpi sõltuvusega, mis on vähem tõsine kui funktsionaalne.

Definitsioon. Kahe juhusliku muutuja vahelist seost nimetatakse tõenäosuslikuks (stohhastiliseks või statistiliseks), kui neist ühe iga väärtus vastab teise teatud (tingimuslikule) jaotusele.

Tõenäosusliku (stohhastilise) sõltuvuse korral on ühe väärtust teades võimatu teise väärtust täpselt määrata, kuid näidata saab vaid teise suuruse jaotust. Näiteks seos seadmete rikete arvu ja selle ennetava remondi maksumuse, inimese kaalu ja pikkuse, koolilapse telesaadete vaatamise ja raamatute lugemise aja jms vahel. on tõenäosuslikud (stohhastilised).

Joonisel fig. Joonisel 5.10 on toodud näited sõltuvatest ja sõltumatutest juhuslikest suurustest X ja Y.

Kaht juhuslikku muutujat $X$ ja $Y$ nimetatakse sõltumatuks, kui ühe juhusliku muutuja jaotusseadus ei muutu sõltuvalt sellest, milliseid võimalikke väärtusi teine ​​juhuslik suurus võtab. See tähendab, et iga $x$ ja $y$ puhul on sündmused $X=x$ ja $Y=y$ sõltumatud. Kuna sündmused $X=x$ ja $Y=y$ on sõltumatud, siis sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutise teoreemi järgi $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ right)\right)=P \left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.

Näide 1 . Laske juhuslikul muutujal $X$ väljendada ühe loterii “Vene Lotto” piletitelt saadud rahalist võitu ja juhusliku muutujaga $Y$ teise loterii “Kuldvõti” piletitelt saadud rahalist võitu. On ilmne, et juhuslikud suurused $X,\Y$ on sõltumatud, kuna ühe loterii piletite võidud ei sõltu teise loterii piletitelt saadud võitude jaotamise seadusest. Juhul, kui juhuslikud muutujad $X,\Y$ väljendaksid sama loterii võitu, siis ilmselgelt oleksid need juhuslikud suurused sõltuvad.

Näide 2 . Kaks töötajat töötavad erinevates töökodades ja toodavad erinevaid tooteid, mis ei ole tootmistehnoloogia ja kasutatud tooraine poolest omavahel seotud. Esimese töötaja poolt vahetuses toodetud defektsete toodete arvu levitamise seadus on järgmisel kujul:

$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
\ defektsete \ toodete arv \ x & 0 ja 1 \\
\hline
Tõenäosus & 0,8 ja 0,2 \\
\hline
\end(massiiv)$

Teise töötaja poolt vahetuses toodetud defektsete toodete arv järgib järgmist jaotusseadust.

$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
\ defektsete \ toodete arv \ y & 0 & 1 \\
\hline
Tõenäosus & 0,7 ja 0,3 \\
\hline
\end(massiiv)$

Leiame jaotusseaduse kahe töötaja poolt vahetuses toodetud defektsete toodete arvu kohta.

Olgu juhuslik suurus $X$ esimese töötaja poolt vahetuses toodetud defektsete toodete arv ja $Y$ teise töötaja poolt vahetuses toodetud defektsete toodete arv. Tingimuse järgi on juhuslikud muutujad $X,\Y$ sõltumatud.

Kahe töötaja poolt vahetuses toodetud defektsete toodete arv on juhuslik suurus $X+Y$. Selle võimalikud väärtused on $0,\1$ ja $2$. Leiame tõenäosuse, millega juhuslik suurus $X+Y$ võtab oma väärtused.

$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right) =0.8\cdot 0.7=0.56.$

$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\ Y=1\ or\ X=1,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right) )P\vasak(Y=1\parem)+P\vasak(X=1\parem)P\vasak(Y=0\parem)=0,8\cpunkt 0,3+0,2\cpunkt 0,7 =0,38.$

$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right) =0,2\cdot 0,3=0,06.$

Siis kahe töötaja poolt vahetuses toodetud defektsete toodete arvu jaotusseadus:

$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
\ defektsete \ toodete arv & 0 & 1 ja 2 \\
\hline
Tõenäosus & 0,56 & 0,38 & 0,06\\
\hline
\end(massiiv)$

Eelmises näites tegime juhuslike suurustega $X,\Y$ operatsiooni, nimelt leidsime nende summa $X+Y$. Andkem nüüd täpsem definitsioon juhuslike suuruste tehtetele (liitmine, erinevus, korrutamine) ja näiteid lahendustest.

Definitsioon 1. Juhusliku muutuja $X$ korrutis $kX$ konstantse muutujaga $k$ on juhuslik suurus, mis võtab väärtused $kx_i$ samade tõenäosustega $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \ dots ,\ n\ right)$.

2. definitsioon. Juhuslike muutujate $X$ ja $Y$ summa (erinevus või korrutis) on juhuslik muutuja, mis võtab kõik võimalikud väärtused kujul $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ või $x_i\cdot y_i$) , kus $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, tõenäosusega $p_(ij)$, et juhuslik muutuja $X$ saab väärtuse $x_i$ ja $Y$ väärtuse $y_j$:

$$p_(ij)=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$

Kuna juhuslikud suurused $X,\Y$ on sõltumatud, siis sõltumatute sündmuste tõenäosuse korrutusteoreemi järgi $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ paremal)= p_i\cdot p_j$.

Näide 3 . Sõltumatud juhuslikud muutujad $X,\ Y$ on määratud nende tõenäosusjaotuse seadustega.

$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i ja 0,4 & 0,1 ja 0,5 \\
\hline
\end(massiiv)$

$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
y_i ja 2 ja 8 \\
\hline
p_i & 0,3 ja 0,7 \\
\hline
\end(massiiv)$

Sõnastame juhusliku suuruse $Z=2X+Y$ jaotuse seaduse. Juhuslike muutujate $X$ ja $Y$ summa ehk $X+Y$ on juhuslik muutuja, mis võtab kõik võimalikud väärtused kujul $x_i+y_j$, kus $i=1,\ 2 ,\punktid ,\ n$ , tõenäosusega $p_(ij)$, et juhuslik muutuja $X$ saab väärtuse $x_i$ ja $Y$ väärtuse $y_j$: $p_(ij)=P\left [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. Kuna juhuslikud suurused $X,\Y$ on sõltumatud, siis sõltumatute sündmuste tõenäosuse korrutusteoreemi järgi $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ paremal)= p_i\cdot p_j$.

Seega on sellel juhuslike muutujate $2X$ ja $Y$ jaotusseadused.

$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i ja 0,4 & 0,1 ja 0,5 \\
\hline
\end(massiiv)$

$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
y_i ja 2 ja 8 \\
\hline
p_i & 0,3 ja 0,7 \\
\hline
\end(massiiv)$

Summa $Z=2X+Y$ kõigi väärtuste ja nende tõenäosuste leidmise mugavuse huvides koostame abitabeli, mille igas lahtris asetame vasakusse nurka summa $ väärtused. Z=2X+Y$ ja paremas nurgas - nende väärtuste tõenäosused, mis on saadud juhuslike suuruste $2X$ ja $Y$ vastavate väärtuste tõenäosuste korrutamisel.

Selle tulemusena saame jaotuse $Z=2X+Y$:

$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 ja 0,35 \\
\hline
\end(massiiv)$