Hvordan man løser rationelle brøkligninger. Rationelle ligninger

Vi har allerede lært at løse andengradsligninger. Lad os nu udvide de undersøgte metoder til rationelle ligninger.

Hvad er et rationelt udtryk? Vi har allerede stødt på dette koncept. Rationelle udtryk er udtryk, der består af tal, variable, deres magter og symboler for matematiske operationer.

Derfor er rationelle ligninger ligninger af formen: , hvor - rationelle udtryk.

Tidligere betragtede vi kun de rationelle ligninger, der kan reduceres til lineære. Lad os nu se på de rationelle ligninger, der kan reduceres til andengradsligninger.

Eksempel 1

Løs ligningen:.

Løsning:

En brøk er lig med 0, hvis og kun hvis dens tæller er lig med 0 og dens nævner ikke er lig med 0.

Vi får følgende system:

Systemets første ligning er en andengradsligning. Før vi løser det, lad os dividere alle dets koefficienter med 3. Vi får:

Vi får to rødder: ; .

Da 2 aldrig er lig med 0, skal to betingelser være opfyldt: . Da ingen af ​​rødderne af ligningen opnået ovenfor falder sammen med ugyldige værdier variabler, der blev opnået ved at løse den anden ulighed, er de begge løsninger givet ligning.

Svar:.

Så lad os formulere en algoritme til løsning af rationelle ligninger:

1. Overfør alle vilkår til venstre side, så højre side viser sig at være 0.

2. Transformer og forenkle venstre side, reducer alle brøker til fællesnævner.

3. Sæt lighedstegn mellem den resulterende brøk og 0 ved hjælp af følgende algoritme: .

4. Skriv de rødder ned, der blev opnået i den første ligning, og opfyld den anden ulighed i svaret.

Lad os se på et andet eksempel.

Eksempel 2

Løs ligningen:.

Løsning

Lad os i begyndelsen flytte alle vilkårene til venstre side, så 0 forbliver til højre. Vi får:

Lad os nu bringe venstre side af ligningen til en fællesnævner:

Denne ligning svarer til systemet:

Systemets første ligning er en andengradsligning.

Koefficienter for denne ligning: . Vi beregner diskriminanten:

Vi får to rødder: ; .

Lad os nu løse den anden ulighed: Produktet af faktorer er ikke lig med 0, hvis og kun hvis ingen af ​​faktorerne er lig med 0.

To betingelser skal være opfyldt: . Vi finder, at af de to rødder af den første ligning, er kun den ene egnet - 3.

Svar:.

I denne lektion huskede vi, hvad et rationelt udtryk er, og lærte også, hvordan man løser rationelle ligninger, som reducerer til andengradsligninger.

I den næste lektion vil vi se på rationelle ligninger som modeller for virkelige situationer, og også se på bevægelsesproblemer.

Bibliografi

  1. Bashmakov M.I. Algebra, 8. klasse. - M.: Uddannelse, 2004.
  2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. og andre Algebra, 8. 5. udg. - M.: Uddannelse, 2010.
  3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. klasse. Tutorial til uddannelsesinstitutioner. - M.: Uddannelse, 2006.
  1. Festival pædagogiske ideer "Offentlig lektion" ().
  2. School.xvatit.com ().
  3. Rudocs.exdat.com ().

Lektier

Vi har allerede lært, hvordan man løser andengradsligninger. Lad os nu udvide de undersøgte metoder til rationelle ligninger.

Hvad er et rationelt udtryk? Vi har allerede stødt på dette koncept. Rationelle udtryk er udtryk, der består af tal, variable, deres magter og symboler for matematiske operationer.

Derfor er rationelle ligninger ligninger af formen: , hvor - rationelle udtryk.

Tidligere betragtede vi kun de rationelle ligninger, der kan reduceres til lineære. Lad os nu se på de rationelle ligninger, der kan reduceres til andengradsligninger.

Eksempel 1

Løs ligningen:.

Løsning:

En brøk er lig med 0, hvis og kun hvis dens tæller er lig med 0 og dens nævner ikke er lig med 0.

Vi får følgende system:

Systemets første ligning er en andengradsligning. Før vi løser det, lad os dividere alle dets koefficienter med 3. Vi får:

Vi får to rødder: ; .

Da 2 aldrig er lig med 0, skal to betingelser være opfyldt: . Da ingen af ​​rødderne af ligningen opnået ovenfor falder sammen med de ugyldige værdier af variablen, der blev opnået ved løsning af den anden ulighed, er de begge løsninger til denne ligning.

Svar:.

Så lad os formulere en algoritme til løsning af rationelle ligninger:

1. Flyt alle led til venstre side, så højre side ender med 0.

2. Transformer og forenkle venstre side, bring alle brøker til en fællesnævner.

3. Sæt lighedstegn mellem den resulterende brøk og 0 ved hjælp af følgende algoritme: .

4. Skriv de rødder ned, der blev opnået i den første ligning, og opfyld den anden ulighed i svaret.

Lad os se på et andet eksempel.

Eksempel 2

Løs ligningen: .

Løsning

Allerede i begyndelsen flytter vi alle led til venstre, så 0 forbliver til højre. Vi får:

Lad os nu bringe venstre side af ligningen til en fællesnævner:

Denne ligning svarer til systemet:

Systemets første ligning er en andengradsligning.

Koefficienter for denne ligning: . Vi beregner diskriminanten:

Vi får to rødder: ; .

Lad os nu løse den anden ulighed: Produktet af faktorer er ikke lig med 0, hvis og kun hvis ingen af ​​faktorerne er lig med 0.

To betingelser skal være opfyldt: . Vi finder, at af de to rødder af den første ligning, er kun den ene egnet - 3.

Svar:.

I denne lektion huskede vi, hvad et rationelt udtryk er, og lærte også, hvordan man løser rationelle ligninger, som reducerer til andengradsligninger.

I den næste lektion vil vi se på rationelle ligninger som modeller for virkelige situationer, og også se på bevægelsesproblemer.

Bibliografi

  1. Bashmakov M.I. Algebra, 8. klasse. - M.: Uddannelse, 2004.
  2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. og andre Algebra, 8. 5. udg. - M.: Uddannelse, 2010.
  3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. klasse. Lærebog for almene uddannelsesinstitutioner. - M.: Uddannelse, 2006.
  1. Festival for pædagogiske ideer "Åben lektion" ().
  2. School.xvatit.com ().
  3. Rudocs.exdat.com ().

Lektier

Den laveste fællesnævner bruges til at forenkle denne ligning. Denne metode bruges, når du ikke kan skrive en given ligning med ét rationelt udtryk på hver side af ligningen (og bruge multiplikationsmetoden på kryds og tværs). Denne metode bruges, når du får en rationel ligning med 3 eller flere brøker (i tilfælde af to brøker er det bedre at bruge multiplikation på kryds og tværs).

  • Find den laveste fællesnævner af brøkerne (eller mindste fælles multiplum). NOZ er mindste antal, som er ligeligt deleligt med hver nævner.

    • Nogle gange er NPD et indlysende tal. Hvis f.eks. gives ligningen: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, så er det indlysende, at det mindste fælles multiplum af tallene 3, 2 og 6 er 6.
    • Hvis NCD ikke er indlysende, skriv multipla af den største nævner ned og find blandt dem en, der vil være et multiplum af de andre nævnere. Ofte kan NOD findes ved blot at gange to nævnere. For eksempel, hvis ligningen er givet x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, så er NOS = 8*9 = 72.
    • Hvis en eller flere nævnere indeholder en variabel, bliver processen noget mere kompliceret (men ikke umulig). I dette tilfælde er NOC et udtryk (indeholdende en variabel), der er divideret med hver nævner. For eksempel i ligningen 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), fordi dette udtryk er divideret med hver nævner: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

  • Multiplicer både tælleren og nævneren for hver brøk med et tal svarende til resultatet af at dividere NOC med den tilsvarende nævner for hver brøk. Da du multiplicerer både tælleren og nævneren med det samme tal, multiplicerer du faktisk brøken med 1 (for eksempel 2/2 = 1 eller 3/3 = 1).

    • Så i vores eksempel skal du gange x/3 med 2/2 for at få 2x/6, og 1/2 gange med 3/3 for at få 3/6 (brøken 3x +1/6 behøver ikke at blive ganget, fordi den nævneren er 6).
    • Fortsæt på samme måde, når variablen er i nævneren. I vores andet eksempel, NOZ = 3x(x-1), så gang 5/(x-1) med (3x)/(3x) for at få 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x ganget med 3(x-1)/3(x-1) og du får 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) ganget med (x-1)/(x-1), og du får 2(x-1)/3x(x-1).

  • Find x. Nu hvor du har reduceret brøkerne til en fællesnævner, kan du slippe af med nævneren. For at gøre dette skal du gange hver side af ligningen med fællesnævneren. Løs derefter den resulterende ligning, det vil sige find "x". For at gøre dette skal du isolere variablen på den ene side af ligningen.

    • I vores eksempel: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Du kan tilføje 2 brøker med samme nævner, så skriv ligningen som: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Gang begge sider af ligningen med 6 og slip for nævnerne: 2x+3 = 3x +1. Løs og få x = 2.
    • I vores andet eksempel (med en variabel i nævneren) ser ligningen sådan ud (efter reduktion til en fællesnævner): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Ved at gange begge sider af ligningen med N3 slipper man for nævneren og får: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), eller 15x = 3x - 3 + 2x -2, eller 15x = x - 5 Løs og få: x = -5/14.

    • Oplæg og lektion om emnet: "Rationelle ligninger. Algoritme og eksempler på løsning af rationelle ligninger"

    Yderligere materialer
    Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.

    Pædagogiske hjælpemidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 8. klasse
    En manual til lærebogen af ​​Makarychev Yu.N. En manual til lærebogen af ​​Mordkovich A.G.

    Introduktion til irrationelle ligninger

    Gutter, vi lærte at løse andengradsligninger. Men matematik er ikke begrænset til kun dem. I dag vil vi lære at løse rationelle ligninger. Begrebet rationelle ligninger ligner på mange måder begrebet rationelle tal. Kun ud over tal, har vi nu introduceret en eller anden variabel $x$. Og dermed får vi et udtryk, hvor operationerne addition, subtraktion, multiplikation, division og hæve til en heltalspotens er til stede.

    Lad $r(x)$ være rationelt udtryk. Et sådant udtryk kan være et simpelt polynomium i variablen $x$ eller et forhold mellem polynomier (en divisionsoperation er indført, som for rationelle tal).
    Ligningen $r(x)=0$ kaldes rationel ligning.
    Enhver ligning af formen $p(x)=q(x)$, hvor $p(x)$ og $q(x)$ er rationelle udtryk, vil også være rationel ligning.

    Lad os se på eksempler på løsning af rationelle ligninger.

    Eksempel 1.
    Løs ligningen: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

    Løsning.
    Lad os flytte alle udtrykkene til venstre side: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
    Hvis venstre side af ligningen var repræsenteret almindelige tal, så ville vi bringe to brøker til en fællesnævner.
    Lad os gøre dette: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
    Vi fik ligningen: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

    En brøk er lig med nul, hvis og kun hvis brøkens tæller lig med nul, og nævneren er forskellig fra nul. Derefter sidestiller vi separat tælleren med nul og finder rødderne af tælleren.
    $3(x^2+2x-3)=0$ eller $x^2+2x-3=0$.
    $x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
    Lad os nu tjekke nævneren for brøken: $(x-3)*x≠0$.
    Produktet af to tal er lig nul, når mindst et af disse tal er lig nul. Derefter: $x≠0$ eller $x-3≠0$.
    $x≠0$ eller $x≠3$.
    Rødderne opnået i tæller og nævner er ikke sammenfaldende. Så vi skriver begge rødder af tælleren ned i svaret.
    Svar: $x=1$ eller $x=-3$.

    Hvis en af ​​tællerens rødder pludselig falder sammen med roden af ​​nævneren, skal den udelukkes. Sådanne rødder kaldes uvedkommende!

    Algoritme til løsning af rationelle ligninger:

    1. Flyt alle udtryk indeholdt i ligningen til venstre side af lighedstegnet.
    2. Konverter denne del af ligningen til algebraisk brøk: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
    3. Sæt lighedstegn mellem den resulterende tæller med nul, det vil sige løs ligningen $p(x)=0$.
    4. Sæt lighedstegn mellem nævneren og nul, og løs den resulterende ligning. Hvis nævnerens rødder falder sammen med tællerens rødder, skal de udelukkes fra svaret.

    Eksempel 2.
    Løs ligningen: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

    Løsning.
    Lad os løse i henhold til algoritmens punkter.
    1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
    2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
    $\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
    3. Sæt lighedstegn mellem tælleren og nul: $3x^2+7x-10=0$.
    $x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
    4. Sæt lighedstegn mellem nævneren og nul:
    $(x-1)(x+1)=0$.
    $x=1$ og $x=-1$.
    En af rødderne $x=1$ falder sammen med tællerens rod, så skriver vi den ikke ned i svaret.
    Svar: $x=-1$.

    Det er praktisk at løse rationelle ligninger ved hjælp af ændring af variable-metoden. Lad os demonstrere dette.

    Eksempel 3.
    Løs ligningen: $x^4+12x^2-64=0$.

    Løsning.
    Lad os introducere erstatningen: $t=x^2$.
    Så vil vores ligning have formen:
    $t^2+12t-64=0$ - almindelig andengradsligning.
    $t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
    Lad os introducere den omvendte substitution: $x^2=4$ eller $x^2=-16$.
    Rødderne af den første ligning er et talpar $x=±2$. Den anden ting er, at den ikke har nogen rødder.
    Svar: $x=±2$.

    Eksempel 4.
    Løs ligningen: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
    Løsning.
    Lad os introducere en ny variabel: $t=x^2+x+1$.
    Så vil ligningen have formen: $t=\frac(15)(t+2)$.
    Dernæst vil vi fortsætte i henhold til algoritmen.
    1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
    2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
    3. $t^2+2t-15=0$.
    $t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
    4. $t≠-2$ - rødderne falder ikke sammen.
    Lad os introducere en omvendt substitution.
    $x^2+x+1=-5$.
    $x^2+x+1=3$.
    Lad os løse hver ligning separat:
    $x^2+x+6=0$.
    $x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nej rødder.
    Og den anden ligning: $x^2+x-2=0$.
    Rødderne til denne ligning vil være tallene $x=-2$ og $x=1$.
    Svar: $x=-2$ og $x=1$.

    Eksempel 5.
    Løs ligningen: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

    Løsning.
    Lad os introducere erstatningen: $t=x+\frac(1)(x)$.
    Derefter:
    $t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ eller $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
    Vi fik ligningen: $t^2-2+t=4$.
    $t^2+t-6=0$.
    Rødderne til denne ligning er parret:
    $t=-3$ og $t=2$.
    Lad os introducere den omvendte substitution:
    $x+\frac(1)(x)=-3$.
    $x+\frac(1)(x)=2$.
    Vi afgør separat.
    $x+\frac(1)(x)+3=0$.
    $\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
    $x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
    Lad os løse den anden ligning:
    $x+\frac(1)(x)-2=0$.
    $\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
    $\frac((x-1)^2)(x)=0$.
    Roden af ​​denne ligning er tallet $x=1$.
    Svar: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

    Problemer, der skal løses selvstændigt

    Løs ligninger:

    1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

    2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
    3. $x^4-7x^2-18=0$.
    4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
    5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

    « Rationelle ligninger med polynomier" er et af de oftest stødte emner i test opgaver Unified State Examination i matematik. Af denne grund er de værd at gentage Særlig opmærksomhed. Mange elever står over for problemet med at finde diskriminanten, overføre indikatorer fra højre side til venstre og bringe ligningen til en fællesnævner, hvorfor lignende opgaver volder vanskeligheder. Løsning af rationelle ligninger som forberedelse til Unified State Exam på vores hjemmeside vil hjælpe dig med hurtigt at klare problemer af enhver kompleksitet og bestå testen med glans.

    Vælg Shkolkovo-uddannelsesportalen for at forberede dig til Unified Mathematics-eksamenen!

    For at kende reglerne for beregning af ukendte og nemt opnå korrekte resultater, brug vores online service. Shkolkovo-portalen er en unik platform, der indeholder alt, hvad der er nødvendigt at forberede sig på Unified State Exam materialer. Vores lærere systematiserede og præsenterede alt i en forståelig form. matematiske regler. Derudover inviterer vi skolebørn til at prøve kræfter med at løse rationelle standardligninger, hvis grundlag konstant opdateres og udvides.

    For mere effektiv forberedelse til test anbefaler vi at følge vores specielle metode og starte med at gentage reglerne og løsningerne simple opgaver, gradvist gå videre til mere komplekse. Dermed vil dimittenden være i stand til at fremhæve for sig selv mest svære emner og fokusere på at studere dem.

    Begynd at forberede dig på afsluttende test med Shkolkovo i dag, og resultatet lader ikke vente på sig! Vælg det meste let eksempel fra de foreslåede. Hvis du mestrer udtrykket hurtigt, så gå videre til mere vanskelig opgave. På denne måde kan du forbedre din viden frem til at løse USE-opgaver i matematik på et specialiseret niveau.

    Uddannelse er tilgængelig ikke kun for kandidater fra Moskva, men også for skolebørn fra andre byer. Brug for eksempel et par timer om dagen på at studere på vores portal, og meget snart vil du være i stand til at klare ligninger af enhver kompleksitet!