3.1. Hyperbole berører linje 5 x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y– – 48 = 0. Nedskriv hyperbelens ligning, forudsat at dens akser falder sammen med koordinatakserne.
3.2. Skriv ligninger for tangenter til en hyperbel
1) passerer gennem et punkt EN(4, 1), B(5, 2) og C(5, 6);
2) parallelt med lige linje 10 x – 3y + 9 = 0;
3) vinkelret på lige linje 10 x – 3y + 9 = 0.
Parabel hedder sted punkter i planen, hvis koordinater opfylder ligningen
Parabolparametre:
Prik F(s/2, 0) kaldes fokus parabler, størrelse s – parameter , prik OM(0, 0) – top . I dette tilfælde den lige linje AF, om hvilken parablen er symmetrisk, definerer denne kurves akse.
 |
Størrelse 
Hvor M(x, y) – et vilkårligt punkt i en parabel, kaldet brændvidde
, lige D: x = –s/2 – rektor
(det skærer ikke det indre område af parablen). Størrelse 
kaldes parablens excentricitet.
Grundlæggende karakteristisk egenskab parabler: alle punkter på parablen er lige langt fra retningen og fokus (fig. 24).
Der er andre former for den kanoniske parabelligning, der bestemmer andre retninger af dens grene i koordinatsystemet (fig. 25):
 |
Til parametrisk definition af en parabel som en parameter t ordinatværdien af parabelpunktet kan tages:
Hvor t er et vilkårligt reelt tal.
Eksempel 1. Bestem parametrene og formen af en parabel ved hjælp af dens kanoniske ligning:
Løsning. 1. Ligning y 2 = –8x definerer en parabel med toppunkt i punktet OM Åh. Dens grene er rettet mod venstre. Sammenligner givet ligning med ligning y 2 = –2px, finder vi: 2 s = 8, s = 4, s/2 = 2. Derfor er fokus på punktet F(–2; 0), retningsligning D: x= 2 (fig. 26).
 |
2. Ligning x 2 = –4y definerer en parabel med toppunkt i punktet O(0; 0), symmetrisk om aksen Åh. Dens grene er rettet nedad. Sammenligning af denne ligning med ligningen x 2 = –2py, finder vi: 2 s = 4, s = 2, s/2 = 1. Derfor er fokus på punktet F(0; –1), retningsligning D: y= 1 (fig. 27).
Eksempel 2. Bestem parametre og kurvetype x 2 + 8x – 16y– 32 = 0. Lav en tegning.
Løsning. Lad os transformere venstre side ligninger ved hjælp af ekstraktionsmetoden fuld firkant:
x 2 + 8x– 16y – 32 =0;
(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;
(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;
(x + 4) 2 – 16(y + 3).
Som et resultat får vi
(x + 4) 2 = 16(y + 3).
Dette er den kanoniske ligning for en parabel med toppunktet i punktet (–4, –3), parameteren s= 8, grene peger opad (), akse x= –4. Fokus er på punktet F(–4; –3 + s/2), dvs. F(–4; 1) Forstanderinde D givet af ligningen y = –3 – s/2 eller y= –7 (fig. 28).
Eksempel 4. Skriv en ligning for en parabel med dens toppunkt i punktet V(3; –2) og fokuser på punktet F(1; –2).
Løsning. Denne parabels toppunkt og fokus ligger på linjen, parallel akse Okse(samme ordinater), grenene af parablen er rettet mod venstre (fokusets abscisse er mindre end toppunktets abscisse), afstanden fra fokus til toppunktet er s/2 = 3 – 1 = 2, s= 4. Derfor den nødvendige ligning
(y+ 2) 2 = –2 4( x– 3) eller ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).
Opgaver til selvstændig beslutning
jeg niveau
1.1. Bestem parametrene for parablen og konstruer den:
1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;
3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.
1.2. Skriv ligningen for en parabel med dens toppunkt i origo, hvis du ved, at:
1) parablen er placeret i venstre halvplan symmetrisk i forhold til aksen Okse Og s = 4;
2) parablen er placeret symmetrisk i forhold til aksen Åh og passerer gennem punktet M(4; –2).
3) retningen er givet ved ligning 3 y + 4 = 0.
1.3. Skriv en ligning for en kurve, hvor alle punkter er lige langt fra punktet (2; 0) og den rette linje x = –2.
Niveau II
2.1. Bestem kurvens type og parametre.
Anden ordens kurver. En andenordens algebraisk kurve er en kurve Г, hvis ligning i det kartesiske koordinatsystem har formen:
Hvis kurven Г er ikke-degenereret, så er der en sådan kartesisk for den rektangulært system koordinater, hvor ligningen for denne kurve vil antage en af følgende tre former (kanonisk ligning):
Hyperbel,
px - parabel.
Ellipse- et geometrisk sæt punkter på en plan, summen af afstandene til to punkter og, kaldet foci, er en konstant værdi 2a, større end afstanden mellem brændpunkter 2c:
En ellipse defineret af en kanonisk ligning: symmetrisk om koordinatakserne. Parametrene a og b kaldes ellipsens halvakser (henholdsvis major og mol), punkterne kaldes dens toppunkter. Hvis a>b, så er brændpunkterne på OX-aksen i en afstand fra midten af ellipsen O.
kaldes ellipsens excentricitet og er et mål for dens "oblateness" (hvor ellipsen er en cirkel, og for den degenererer den til et længdesegment). Hvis en Hyperbel- et geometrisk sæt af punkter i planet, modulet af forskellen i afstande, hvorfra til to punkter og, kaldet foci, er en konstant værdi 2a, mindre end afstanden mellem foci 2c: symmetrisk om koordinatakserne. Den skærer OX-aksen ved punkter og - hyperbelens toppunkter og skærer ikke OY-aksen. Parameter EN kaldes den reelle halvakse, b - den imaginære halvakse. Nummer kaldes hyperbelens excentricitet. Direkte kaldes asymptoter af hyperbelen. Hyperbel givet af den kanoniske ligning: kaldes konjugat (har samme asymptoter). Dens foci er placeret på OY-aksen. Den skærer OY-aksen i punkter og - hyperbelens toppunkter, og skærer ikke OX-aksen I dette tilfælde kaldes parameteren b for den reelle halvakse, a - den imaginære halvakse. Excentricitet beregnes ved hjælp af formlen: Parabel- et sæt punkter i planet med lige stor afstand fra et givet punkt F, kaldet fokus, og en given linje, kaldet direkte: . Parablen defineret af den angivne kanoniske ligning er symmetrisk om OX-aksen. Ligningen definerer en parabel symmetrisk om OY-aksen. Parabel har fokus og retning Parabel har fokus og retning Hvis p>0, så vender grenene af parablen i begge tilfælde positive side den tilsvarende akse, og hvis p<0 - в отрицательную сторону. Eksempler på problemløsning. 1
.Skriv den kanoniske ligning for hyperbelen, vel vidende at: EN) afstanden mellem foci er 2c=30, og mellem toppunkter 2a=20; b) reel halvakse er 5, excentricitet. Løsning: EN) efter betingelse; ; ; ; fra forhold. Svar: . b) efter betingelse; , . 2
. Skriv ligningen for parablen, vel vidende at: EN) parablen går gennem punkterne (0,0); (3.6) og er symmetrisk om OX-aksen, b) parablen går gennem punkterne (0,0); (4.2) og er symmetrisk om OY-aksen. Løsning: EN) Punkt (3.6) ligger på parablen, derfor er direkterix-ligningen. - parabelligning b) Punkt (4.2) ligger på parablen, derfor - diretrix-ligningen, Parabelligning. Fører til kanonisk form generel ligning anden ordens kurve Betragt i det kartesiske rektangulære koordinatsystem Oxy en andenordens ligning af generel form: Аx 2 + 2Вxy + Сy 2 + 2Dx + 2Еy + F = 0, hvor ikke alle koefficienter A, B og C er lig med nul på samme tid. Den definerer en andenordenskurve. Vores mål: at ændre koordinatsystemet for at forenkle denne ligning så meget som muligt. For at gøre dette roterer vi først (hvis B0) den oprindelige basis (koordinatakserne Ox og Oy) med en vinkel b mod uret, så de nye akser Ox" og Oy" bliver parallelle med kurvens akser, og udtrykket 2Bxy forsvinder : Lineær transformationsmatrix: rotation med vinkel b mod uret. Eller omvendt, A(x"cosb - y"sinb) 2 + 2B(x"cosb - y"sinb)(x"sinb + y"cosb)+C(x"sinb + y"cosb) 2 + 2D(x"cosb - y"sinb) + 2E(x"sinb + y"cosb) + F = 0 Lad os vælge vinkel b, så koefficienten for produktet x"y" bliver nul, dvs. så ligheden holder: 2Acosbsinб + 2B(cos 2 b - sin 2 b) + 2Csinбcosб = 0 I det nye koordinatsystem Ox"y" (efter drejning med vinkel b), under hensyntagen til det ligningen vil se ud A"x" 2 + C"y" 2 + 2D"x" + 2E"y" + F" = 0, hvor koefficienterne A" og C" ikke er lig med nul på samme tid. Det næste forenklingstrin består i parallel translation af Ox" og Oy" akserne, indtil de falder sammen med kurvens akser, og koordinaternes oprindelse falder sammen med midten (eller toppunktet, i tilfælde af en parabel) af kurven . Transformationsteknikken på dette stadium er at vælge en komplet firkant. Så vi får kanoniske ligninger anden ordens kurver. I alt 9 kvalitativt forskellige tilfælde er mulige (inklusive tilfælde af degeneration og henfald): 1. (ellipse), 2. ordens kurver med forskudte centre (spidser). Hvis i den generelle ligning af en 2. ordens kurve især B = 0, det vil sige, at der ikke er et led med produktet af variable, det betyder, at kurvens akser er parallelle med koordinaterne. Overvej ligningen: I hvert af tilfældene 1), 2), 3) kan der være degenererede kurver, som vi ikke vil beskæftige os med. For at forstå præcis hvordan kurven er placeret i forhold til koordinatsystemet og hvad dets parametre er, kan ligningen transformeres ved at vælge komplette kvadrater. Herefter vil ligningen tage form af en af de ikke-degenererede ligninger af en 2. ordenskurve med et forskudt centrum: disse ligninger definerer hyperbler med et centrum og akser parallelt med koordinaterne; Det er parabler med et toppunkt og en akse parallelt med en af koordinaterne. Ellipse, hyperbel og parabel som keglesnit. Sætning. Sektionen af enhver rund kegle ved et plan (der ikke passerer gennem dets toppunkt) bestemmer en kurve, som kun kan være en ellipse, hyperbel eller parabel. Desuden, hvis flyet kun skærer et hulrum i keglen og langs en lukket kurve, så er denne kurve en ellipse; hvis skæreplanet kun skærer et hulrum i keglen og langs en åben kurve, så er denne kurve en parabel; hvis flyet skærer begge hulrum i keglen, dannes der en hyperbel i sektionen. Gyldigheden af denne sætning kan fastslås ud fra den generelle holdning, at skæringspunktet mellem en andenordens overflade og et plan er en andenordens linje. Det kan ses af figuren, at vi ved at dreje skæreplanet rundt om den lige linje PQ ændrer snitkurven. Da den for eksempel oprindeligt er en ellipse, bliver den et øjeblik til en parabel, og bliver derefter til en hyperbel. Denne kurve vil være en parabel, når sekantplanet er parallelt med keglens tangentplan. Således kaldes ellipser, hyperbler og parabler keglesnit. En hyperbel er et sæt punkter på et plan, forskellen i afstande fra to givne punkter, foci, er en konstant værdi og lig med . På samme måde som ellipsen placerer vi brændpunkterne ved punkter , (se fig. 1). Ris. 1 Det kan ses af figuren, at der kan være tilfælde og title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> title="Gengivet af QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> , тогда согласно определению !} Det er kendt, at i en trekant er forskellen mellem to sider mindre end den tredje side, så for eksempel får vi: Lad os bringe begge sider til pladsen, og efter yderligere transformationer finder vi: Hvor . Hyperbelligningen (1) er kanonisk hyperbelligning. Hyperbelen er symmetrisk med hensyn til koordinatakserne, derfor er det, hvad angår ellipsen, nok at plotte dens graf i første kvartal, hvor: Værdiinterval for første kvartal. Når vi har en af hyperbelens toppunkter. Anden top. Hvis , så er der ingen rigtige rødder fra (1). De siger det og er de imaginære hjørner af en hyperbel. Fra forholdet viser det sig, at for tilstrækkeligt store værdier er der plads til den nærmeste ligestillingstitel="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> title="Gengivet af QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> . Поэтому прямая есть линией, расстояние между которой и соответствующей точкой гиперболы направляется к нулю при .!} Lad os undersøge ligning (1) formen og placeringen af hyperbelen. Der er to asymptoter af en hyperbel. Lad os finde asymptoten til grenen af hyperbelen i første kvartal, og derefter bruge symmetrien. Overvej punktet i første kvartal, dvs. I dette tilfælde, , Så har asymptoten formen: , hvor Det betyder, at den rette linje er funktionens asymptote. Derfor, på grund af symmetri, er asymptoterne af en hyperbel lige linjer. Ved hjælp af de etablerede karakteristika vil vi konstruere en gren af hyperbelen, som er placeret i første kvartal, og bruge symmetrien: Ris. 2 I det tilfælde, hvor , er hyperbelen beskrevet af ligningen. Denne hyperbel indeholder asymptoter, som er halveringslinjerne for koordinatvinklerne. Eksempel 1 Opgave Find akserne, hjørnerne, brændpunkterne, excentriciteten og ligningerne for hyperbelens asymptoter. Konstruer en hyperbel og dens asymptoter. Løsning Lad os reducere hyperbelligningen til kanonisk form: Ved at sammenligne denne ligning med den kanoniske (1) finder vi , , . Peaks, fokus og . Excentricitet; asptotes; Vi bygger en parabel. (se fig. 3) Skriv ligningen for hyperbelen: Løsning Ved at skrive asymptoteligningen på formen finder vi forholdet mellem hyperbelens halvakser. Ifølge betingelserne for problemet følger det, at . Derfor blev problemet reduceret til at løse et ligningssystem: Substituerer vi systemets anden ligning, får vi: hvor . Nu finder vi det. Derfor har hyperbelen følgende ligning: Svar Hyperbel og dens kanoniske ligning opdateret: 17. juni 2017 af: Videnskabelige artikler.Ru Definer hyperbel og parabel. Skriv de kanoniske ligninger for en hyperbel og en parabel, forklar betydningen af de størrelser, der indgår i disse ligninger. Skriv ligningerne for hyperbelens retningslinjer og asymptoter, og vis på tegningen deres placering i forhold til hyperbelen. Hvad er parablens excentricitet? Vis på tegningen placeringen af dirrix i forhold til parablen. Skriv en ligning for en hyperbel, hvis foci er placeret på abscisseaksen og er symmetriske om oprindelsen, idet du desuden ved, at: a) afstand mellem foci 2 c = 6 og excentricitet; b) akse 2a = 16
og excentricitet c) ligning af asymptoter d) afstanden mellem retningerne er tricks 2 s = 26. 5.
Bestem punkterne for en hyperbel 6.
Bestem, at hver af de følgende ligninger definerer en hyperbel, og find koordinaterne for dens centrum MED, halvakser, excentricitet, ligninger asymptote og retningslinje: 7.
Skriv en ligning for en parabel, hvis toppunkt er i begyndelsen koordinater, vel vidende at: a) parablen er placeret i højre halvplan symmetrisk i forhold til aksen Åh, og dens parameter p = 3; b) parablen er placeret i venstre halvplan symmetrisk i forhold til aksen Åh, og dens parameter p = 0,5; c) parablen er placeret i det øverste halvplan symmetrisk i forhold til aksen OU, og dens parameter p =; d) parablen er placeret i det nederste halvplan symmetrisk i forhold til aksen OU, og dens parameter p = 3. 8.
Find fokus F og ligningen for en parabels retningslinje 9.
På en parabel 10.
Skriv en ligning for en parabel givet dens fokus F
(7; 2)
og forstanderinde 11.
Bestem skæringspunkterne for en linje 12.
I følgende tilfælde skal du bestemme, hvordan denne linje er placeret i forhold til en given parabel - uanset om den skærer, rører eller passerer udenfor den: EN) b)
V) 1.
EN) 2.
rektor: 7.
EN) Hvad er parallel translation af et koordinatsystem? Giv formler for sammenhængen mellem "gamle" og "nye" koordinater. Giv formler for sammenhængen mellem "gamle" og "nye" koordinater, når du roterer koordinatsystemet uden at ændre dets oprindelse. Forklar metoden til at reducere den generelle ligning af en andenordenskurve til kanonisk form ved successivt at bruge en rotation af koordinatsystemet og en parallel translation af koordinatsystemet. Hvilket resultat opnås på hvert af disse stadier af koordinatsystemtransformation? Opgaver 1.
Find ud af den geometriske betydning af ligningerne: EN) d) , e) 2.
Ved at rotere koordinatakserne, transformer ligningerne til kanonisk form og konstruer kurver: EN) b) 3.
Konverter ligningerne til kanonisk form og lav en tegning: Svar 1.
a) to rette linjer d) punkt (3; 4), e) to rette linjer x= 0, 2.
EN) b) LEKTION 3.8. POLAR KOORDINATSYSTEM Kontrolspørgsmål Hvad er polære koordinater for punkter? Angiv deres forhold til de kartesiske koordinater for dette punkt. Hvordan går man fra kartesiske koordinater for et punkt til polære koordinater og omvendt? Hvordan skriver man en linjes ligning i polære koordinater, hvis man kender dens ligning i kartesiske koordinater og omvendt? Opgaver 1.
I polære system koordinater 2.
Byg en linje 3.
Byg linjer: EN) b) 4.
Tegn linjer: a) 5.
Skriv i polære koordinater ligningen for linjen, der skærer af polær akse segment " EN"og vinkelret på det. Skriv ligningen for en cirkel med centrum i et punkt i polære koordinater MED(0; a) og radius lig med " en ". b) e) Konvertere til Cartesiske koordinater linjeligninger og konstruer disse linjer: a) 9.
Skriv de kanoniske ligninger af andenordenskurver: EN) Svar 5.
G) Her A - reelle halvakse af hyperbelen, b-hyperbelens imaginære halvakse. Hvis 2c er afstanden mellem hyperbelens foci, så mellem a, b Og Med der er et forhold a 2 + b 2 = c 2 På b= og en hyperbel kaldes ligesidet. Ligningen ligesidet hyperbel ligner x 2 - y 2 = a 2 en hyperbels brændpunkter ligger på dens reelle akse. En hyperbels excentricitet er forholdet mellem afstanden mellem denne hyperbels brændpunkter og længden af dens reelle akse Asymptoter af en hyperbel - to linjer defineret af ligningerne Husk på, at asymptoten af en kurve, der har en uendelig gren, er en ret linje, der har den egenskab, at når et punkt langs kurven bevæger sig til det uendelige, har dets afstand til denne lige linje en tendens til nul. 4.
Parabel.
En parabel er stedet for punkter, som hver især er lige langt fra et givet fast punkt og fra en given fast linje. Punktet om hvilket vi taler om i definitionen kaldes parablens fokus, og den rette linje er dens retning. Den enkleste ligning af en parabel y 2 = 2px Mængden inkluderet i denne ligning R hedder parameter parabler. Parabol parameter lig med afstanden fra parablens retning til dens fokus. Fokus koordinater F parabler F( , 0). Directrix-ligning for en parabel .
Parabolexcentricitet e= 1. Eksempel .
Opstil den enkleste ligning for en hyperbel, hvis afstanden mellem dens toppunkter er 20 og afstanden mellem dens brændpunkter er 30. Løsning :
En hyperbels toppunkter ligger på dens reelle akse. Ifølge betingelse 2a = 20; 2s == 30. Så, EN= 10; c = 15a2 = 100; med 2 = 225. Størrelserne a, og og c af en hyperbel er relateret af relationen a2 + b2 = c2; herfra b2 = c2-a2= 225 - 100 Þ b 2 = 125. Så ligningen for hyperbelen bliver Eksempel. Hyperbelens reelle halvakse er 5, excentricitet e = 1,4. Find ligningen for hyperbelen. Efter betingelse a = 5, hvilket betyder a 2 = 25. Ifølge formlen e =
=1,4, herfra Med= 1,4 a = 1,4 5 = 7; Med 2 = 49; b 2 = Med 2 - a 2 = 49 - 25 = 24, b 2 =24 Den nødvendige ligning vil være Eksempel. Find ligningen for asymptoter for hyperbel 2 x 2 - 3y 2 = 6. En hyperbel har to asymptoter defineret af ligningerne
Bør findes -en Og b. Lad os reducere hyperbelligningen til dens enkleste form ved at dividere begge sider med 6. Vi får Heraf konkluderer vi, at 2 =
.3, en =
; b 2 = 2, b == .
Udskiftning af disse værdier EN Og b ind i asymptoternes ligninger får vi: ; IV. MATEMATISK ANALYSE Enkelt variabel funktion Hvis hver værdi af en variabel x (argument) fra et bestemt sæt X er forbundet med en værdi y fra mængden Y, så siger vi, at der på mængden X er en funktion f (x) med et sæt værdier Y , hvor X er funktionens definitionsdomæne, Y er domæneværdierne for en funktion, eller y er en funktion af x og skriv y = f(x). Hvis en funktion er givet analytisk, så er funktionens eksistensdomæne (med andre ord funktionens værdidomæne) sættet af disse reelle værdier argumenter, hvori analytisk udtryk definere en funktion, accepterer kun reelle værdier. Grafen for funktionen y = f(x) er sættet af punkter (x, f(x)). Skemaet bruges til geometrisk billede funktioner. Grafer over mange funktioner er konstrueret vha parallel overførsel, strække eller komprimere grundlæggende elementære funktioner: potens, eksponentiel, logaritmisk, trigonometrisk og invers trigonometrisk. Funktionen y = f(x) kaldes, selvom ligheden holder. Tidsplan selv funktion symmetrisk om ordinataksen. Funktionen y = f(x) kaldes ulige, hvis ligheden Eksempel: Find rækkevidden af en funktion: Funktionsgrænse. Et tal A kaldes grænsen for en funktion ved x, hvis der for et hvilket som helst vilkårligt lille er et tal, således at ved . Det er skrevet sådan her:. Grænsen ved x bestemmes på samme måde. En funktion siges at være uendeligt stor for x if og uendelig stor for x if . Uendeligt stor og uendelig lille ved x er defineret på samme måde. Når du beregner grænser, skal du kende følgende teoremer: Hvis de findes, så Til alle grundlæggende elementære funktioner i vilkårligt punkt deres definitionsdomæner er lig med Infinitesimal og siges at være ækvivalent ved x hvis . Det er skrevet sådan: Hvis for, gælder følgende ækvivalenser: 1. 2. 5. 3. Grænsen for forholdet mellem to infinitesimaler ændres ikke, hvis vi erstatter dem med ækvivalente mængder. Ved beregning af grænser bruger de ofte: Først vidunderlig grænse
Anden vidunderlige grænse Beregning af grænsen reduceres til substitution i dette udtryk argumentets grænseværdi. Hvis vi får usikkerheder som Eksempel. Find grænsen: 1. 2. , her afsløres typens usikkerhed ved at dividere tæller og nævner med (x-2). = 4. = I dette eksempel blev usikkerheden løst ved hjælp af de første bemærkelsesværdige grænse- og ækvivalensformler. Hvis , så kaldes mellemrummet ved punktet aftageligt. Her troende Hvis mindst en af de ensidige grænser ikke eksisterer eller er lig med uendelighed, så kaldes diskontinuiteten en diskontinuitet af den anden slags. Hvis en funktion er kontinuert på hvert punkt i et bestemt interval, så kaldes den kontinuert på dette interval. Algebraisk sum, produkt og superposition begrænset antal kontinuerlige funktioner der er en kontinuerlig funktion. Forholdet mellem to kontinuerte funktioner er en kontinuert funktion, hvis nævneren ikke er det lig med nul. Det følger heraf, at evt elementær funktion er kontinuerlig på de punkter, hvor den er defineret. Eksempel. Undersøg for kontinuitet: 1. 2. Funktionen f(x) = er ikke defineret i punktet x = -1, derfor har den en diskontinuitet på dette punkt. Fordi 
Form og karakteristika for en hyperbel
Asymptoter af en hyperbel
Eksempler på problemer med at konstruere en hyperbel
;
og afstand mellem brændpunkter 2 s = 20;
og afstanden imellem
, hvis afstand til højre fokus er 4,5.
.
find punkter, hvis brændvidde er 13.
.
og parabler 
.
,
;
,
;
,
.
, b) 
, V) 
, G) 
;
,X - 10 =
0;3.
;4.
10;
Og 
, ligninger af asymptoter: 
;
b) MED(- 5; 1),EN= 8,
b= 6,
, Directrice-ligninger: 
Og 
, ligninger af asymptoter: 
, b) 
, V) 
, G) 
;8.
F
(6; 0),
;9.
(9; 12), (9; - 12);10.
;11.
(- 4; 6) – den lige linje rører parablen; 12.
a) rører ved parablen, b) skærer parablen i to punkter, c) passerer uden for parablen.Lektion 3.7. Reduktion af ligninger af andenordenskurver til kanonisk form Testspørgsmål
, b) 
, V) 
,
, e) 
.
,
.
, b) punkt (0; 0), c) imaginær cirkel,
, e) to rette linjer 
;
, b) 
;3.
EN) 
,
, V) 
, d) to rette linjer 
.
plot punkter 
,
,
,
,
,
,
,
,
.
(konstruktion udføres ved hjælp af en tabel med værdier r Til 
).
(Archimedes spiral),
(kardioide).
, b) 
, V) 
.
, V) y = 3, d) y = x, d) 
,
.
, b) 
, V) 
.
, b) 
, V) 
.
;6.
;7.
EN) 
, b) 
, V) 
,
, d) 
, e) 
;8.
EN) x = a, b) 
, V) 
;9.
EN) 
, b) 
, V) 
.
. Tidsplan ulige funktion symmetrisk om oprindelsen.
.
- Konst.
;
Konst.
4. 
6. 
eller 
, så kaldes beregningen af denne grænse i dette tilfælde usikkerhedsoplysning.
, her afslører vi typens usikkerhed ved at dividere tælleren og nævneren med , hvor n = 5 ( højeste grad X).
,her, afslørende usikkerhed, slap vi af med irrationalitet ved at gange tælleren og nævneren med den konjugerede faktor.
.
få en funktion, der er kontinuert i punktet x0.
har en diskontinuitet af den første slags i punktet x=2, da . Funktionens spring i punktet x=2 er lig med
Og 
, så har funktionen i punktet x = -1 en diskontinuitet af den anden slags.
