Definition.Summen af heltals ikke-negative potenser af et ukendt X, taget med visse numeriske koefficienter, kaldes et polynomium.
Her: 
- reelle tal.
n- grad af polynomiet.
Operationer på polynomier.
1). Når man adderer (fratrækker) to polynomier, adderes (fratrækkes) koefficienterne lige grader ukendt x.
2). To polynomier er ens, hvis de har samme grad og lige koefficienter ved samme potens af X.
3). Graden af et polynomium opnået ved at gange to polynomier er lig med summen af graderne af de polynomier, der ganges.
4). Lineære operationer på polynomier har egenskaberne associativitet, kommutativitet og distributivitet.
5) Delingen af et polynomium med et polynomium kan udføres ved at bruge reglen om "division med et hjørne".
Definition. Tallet x=a kaldes roden af et polynomium, hvis dets substitution til et polynomium gør det til nul, dvs.
Bezouts sætning. Polynomisk rest
ved binomial (x-a) er lig med værdien af polynomiet ved x=a, dvs.
Bevis.
Lad hvor
Sætter vi x=a i ligheden, får vi
1). Når man dividerer et polynomium med et binomium (x-a), vil resten altid være et tal.
2). Hvis a er roden af et polynomium, så er polynomiet deleligt med binomiet (x-a) uden en rest.
3) Når man dividerer et polynomium af grad n med et binomium (x-a), får vi et polynomium af grad (n-1).
Algebras grundlæggende sætning.Ethvert polynomium af gradn (n>1) har mindst én rod(fremstillet uden bevis).
Følge.Ethvert polynomium af grad
n
har præcis
n
rødder og over feltet af komplekse tal dekomponeres i produktet
n
lineære faktorer, dvs.
Blandt polynomiets rødder 
der kan være gentagne tal (flere rødder). For polynomier med reelle koefficienter kan komplekse rødder kun optræde i konjugerede par. Lad os bevise det sidste udsagn.
Lade 
- kompleks rod polynomium, derefter Baseret på almen ejendom komplekse tal kan derfor angives 
- også en rod.
Hvert par komplekse konjugerede rødder af et polynomium svarer til et kvadratisk trinomium med reelle koefficienter.
Her s, q- reelle tal (vis eksempel).
Konklusion.Vi kan repræsentere et hvilket som helst polynomium som et produkt af lineære faktorer og kvadratiske trinomier med reelle koefficienter.
Rationelle brøker.
En rationel brøk er forholdet mellem to polynomier.
Hvis 
, så kaldes den rationelle brøk egentlig. I Ellers brøken er forkert. Enhver uegen brøk kan repræsenteres som summen af et polynomium (kvotient) og en egentlig rationel brøk ved at dividere polynomiet i tælleren med polynomiet i nævneren.
- ukorrekt rationel brøk.
Denne ukorrekte rationelle fraktion kan nu repræsenteres i følgende form.
Under hensyntagen til det, der er blevet vist, vil vi i fremtiden kun overveje rigtige rationelle fraktioner.
Der findes såkaldte simple rationelle brøker - det er brøker, der ikke kan forenkles på nogen måde. Disse enkleste brøker ser ud som:
En egentlig rationel brøk af en mere kompleks form kan altid repræsenteres som en sum af de simpleste rationelle brøker. Brøksættet bestemmes af mængden af rødder af polynomiet, der optræder i nævneren af en egentlig irreducerbar rationel brøk. Reglen for at dekomponere en brøk til dens enkleste er som følger.
Lad den rationelle brøk være repræsenteret i følgende form.
Her indeholder tælleren for de simpleste brøker ukendte koefficienter, som altid kan bestemmes med metoden usikre koefficienter. Essensen af metoden er at sætte lighedstegn mellem koefficienterne ved de samme potenser af X for polynomiet i tælleren for den oprindelige brøk og polynomiet i tælleren for brøken opnået efter at have reduceret de enkleste brøker til en fællesnævner.
Lad os sætte lighedstegn mellem koefficienterne for de samme potenser af X.
Løsning af ligningssystemet for ukendte koefficienter, får vi.
Så, givet brøk kan repræsenteres af et sæt af følgende simple brøker.
Fører til fællesnævner Vi sørger for, at problemet bliver løst korrekt.
Ethvert brøkudtryk (klausul 48) kan skrives på formen , hvor P og Q er rationelle udtryk, og Q nødvendigvis indeholder variable. En sådan brøk kaldes en rationel brøk.
Eksempler på rationelle brøker:
En brøks hovedegenskab er udtrykt ved en identitet, der er retfærdig under betingelserne her - et helt rationelt udtryk. Det betyder, at tælleren og nævneren af en rationel brøk kan multipliceres eller divideres med det samme ikke-nul tal, monomial eller polynomium.
For eksempel kan egenskaben af en brøk bruges til at ændre fortegnene for medlemmer af en brøk. Hvis tæller og nævner for en brøk ganges med -1, får vi. Således vil værdien af brøken ikke ændre sig, hvis fortegnene for tæller og nævner ændres samtidigt. Hvis du kun ændrer tegnet for tælleren eller kun nævneren, vil brøken ændre sit fortegn:
For eksempel,
60. Reduktion af rationelle brøker.
At reducere en brøk betyder at dividere brøkens tæller og nævner med en fælles faktor. Muligheden for en sådan reduktion skyldes fraktionens grundlæggende egenskab.
For at reducere en rationel brøk, skal du faktorisere tælleren og nævneren. Hvis det viser sig, at tæller og nævner har fælles faktorer, så kan brøken reduceres. Hvis der ikke er fælles faktorer, er det umuligt at konvertere en brøk gennem reduktion.
Eksempel. Reducer fraktion
Løsning. Vi har
Reduktionen af en fraktion udføres under betingelsen.
61. Reduktion af rationelle brøker til en fællesnævner.
Fællesnævneren for flere rationelle brøker er et helt rationelt udtryk, der divideres med nævneren for hver brøk (se afsnit 54).
For eksempel er fællesnævneren for brøker et polynomium, da det er deleligt med både og med og polynomium og polynomium og polynomium osv. Normalt tager de sådan en fællesnævner, at enhver anden fællesnævner er delelig med Echosen. Sådan enkleste nævner nogle gange kaldet den laveste fællesnævner.
I eksemplet diskuteret ovenfor er fællesnævneren Vi har
At reducere disse brøker til en fællesnævner opnås ved at gange tælleren og nævneren for den første brøk med 2. og tælleren og nævneren for den anden brøk med polynomier kaldes yderligere faktorer for henholdsvis første og anden brøk. Tillægsfaktoren for en given brøk er lig med kvotienten for at dividere fællesnævneren med nævneren af den givne brøk.
For at reducere flere rationelle brøker til en fællesnævner har du brug for:
1) faktor nævneren af hver brøk;
2) skabe en fællesnævner ved at inkludere alle faktorer opnået i trin 1) af udvidelserne som faktorer; hvis en bestemt faktor er til stede i flere udvidelser, så tages den med en eksponent lig med den største af de tilgængelige;
3) find yderligere faktorer for hver af brøkerne (til dette divideres fællesnævneren med brøkens nævner);
4) ved at gange tælleren og nævneren for hver brøk med en ekstra faktor, bringes brøken til en fællesnævner.
Eksempel. Reducer en brøk til en fællesnævner
Løsning. Lad os faktorisere nævnerne:
Følgende faktorer skal indgå i fællesnævneren: og det mindste fælles multiplum af tallene 12, 18, 24, dvs. Det betyder, at fællesnævneren har formen
Yderligere faktorer: for den første brøk for den anden for den tredje. Så vi får:
62. Addition og subtraktion af rationelle brøker.
Summen af to (og generelt evt begrænset antal) rationelle brøker med samme nævnere er identisk lig med en brøk med samme nævner og tæller, lig med beløbet tællere af tilføjede brøker:
Situationen er den samme i tilfælde af at trække brøker fra med ens nævnere:
Eksempel 1: Simplificere et udtryk
Løsning.
At tilføje eller trække rationelle brøker fra med forskellige nævnere Du skal først reducere brøkerne til en fællesnævner og derefter udføre operationer på de resulterende brøker med de samme nævnere.
Eksempel 2: Simplificere et udtryk
Løsning. Vi har
63. Multiplikation og division af rationelle brøker.
Produktet af to (og generelt ethvert endeligt antal) rationelle brøker er identisk lig med den brøk, hvis tæller lig med produktet tællere, og nævneren - produktet af nævnerne af de multiplicerede brøker:
Kvotienten for at dividere to rationelle brøker er identisk lig med en brøk, hvis tæller er lig med produktet af tælleren i den første brøk og nævneren af den anden brøk, og nævneren er produktet af nævneren i den første brøk og tæller for den anden brøk:
De formulerede regler for multiplikation og division gælder også for tilfælde af multiplikation eller division med et polynomium: det er nok at skrive dette polynomium i form af en brøk med nævneren 1.
Givet muligheden for at reducere en rationel brøk opnået som et resultat af at gange eller dividere rationelle brøker, stræber de normalt efter at faktorisere tællere og nævnere af de oprindelige brøker, før de udfører disse operationer.
Eksempel 1: Udfør multiplikation
Løsning. Vi har
Ved at bruge reglen til at gange brøker får vi:
Eksempel 2: Udfør division
Løsning. Vi har
Ved hjælp af divisionsreglen får vi:
64. Hæve en rationel brøk til en hel magt.
At hæve en rationel brøk - til naturlig grad, skal du hæve tælleren og nævneren af brøken til denne potens separat; det første udtryk er tælleren, og det andet udtryk er nævneren for resultatet:
Eksempel 1: Omregn til en brøkdel af potens 3.
Løsning Løsning.
Når du hæver en brøk til et helt tal negativ grad Der bruges en identitet, der er gyldig for alle værdier af de variable, for hvilke .
Eksempel 2: Konverter et udtryk til en brøk
65. Transformation af rationelle udtryk.
At transformere et hvilket som helst rationelt udtryk kommer ned til at addere, subtrahere, gange og dividere rationelle brøker såvel som at hæve en brøk til en naturlig magt. Ethvert rationelt udtryk kan konverteres til en brøk, hvis tæller og nævner er hele rationelle udtryk; dette er som regel målet for identitetstransformationer rationelle udtryk.
Eksempel. Forenkle et udtryk
66. De enkleste transformationer af aritmetiske rødder (radikaler).
Ved konvertering af aritmetiske koriaer bruges deres egenskaber (se afsnit 35).
Lad os se på et par eksempler på brug af egenskaber aritmetiske rødder til de enkleste transformationer af radikaler. I dette tilfælde vil vi betragte alle variable som kun at tage ikke-negative værdier.
Eksempel 1. Udtræk roden af et produkt
Løsning. Ved at anvende 1° egenskaben får vi:
Eksempel 2. Fjern multiplikatoren under rodtegnet
Løsning.
Denne transformation kaldes at fjerne faktoren fra under rodtegnet. Formålet med transformationen er at forenkle det radikale udtryk.
Eksempel 3: Simplificere.
Løsning. Vi har ved egenskaben 3°. Normalt forsøger de at forenkle det radikale udtryk, for hvilket de tager faktorerne ud af coriumtegnet. Vi har
Eksempel 4: Simplificere
Løsning. Lad os omdanne udtrykket ved at indføre en faktor under rodens tegn: Ved egenskab 4° har vi
Eksempel 5: Simplificere
Løsning. Ved egenskaben 5° har vi ret til at opdele eksponenten af roden og eksponenten for det radikale udtryk i det samme naturligt tal. Hvis vi i det betragtede eksempel deler de angivne indikatorer med 3, får vi .
Eksempel 6. Forenkle udtryk:
Løsning, a) Ved egenskab 1° finder vi, at for at gange rødder af samme grad, er det nok at gange de radikale udtryk og udtrække roden af samme grad fra det opnåede resultat. Midler,
b) Først og fremmest skal vi reducere radikalerne til én indikator. Ifølge egenskaben ved 5° kan vi gange eksponenten af roden og eksponenten for det radikale udtryk med det samme naturlige tal. Derfor, Dernæst har vi nu i det resulterende resultat at dividere eksponenterne for roden og graden af det radikale udtryk med 3, vi opnår.
Lad os starte med nogle definitioner. Polynomium n. grad(eller n. orden) vil vi kalde et udtryk af formen $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n) )+ a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. For eksempel er udtrykket $4x^(14)+87x^2+4x-11$ et polynomium, hvis grad er $14$. Det kan betegnes som følger: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.
Forholdet mellem to polynomier $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ kaldes rationel funktion eller rationel brøk. For at være mere præcis er dette rationel funktionén variabel (dvs. variabel $x$).
Den rationelle brøk kaldes korrekt, hvis $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, mindre grad polynomium i nævneren. Ellers (hvis $n ≥ m$) kaldes brøken forkert.
Eksempel nr. 1
Angiv hvilke af følgende fraktioner der er rationelle. Hvis brøken er rationel, så find ud af, om den er korrekt eller ej.
- $\frac(3x^2+5\sin x-4)(2x+5)$;
- $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$;
- $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4) (3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$;
- $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$.
1) Denne brøk er ikke rationel, fordi den indeholder $\sin x$. En rationel brøk tillader ikke dette.
2) Vi har forholdet mellem to polynomier: $5x^2+3x-8$ og $11x^9+25x^2-4$. Derfor, ifølge definitionen, er udtrykket $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$ en rationel brøk. Da graden af polynomiet i tælleren er lig med $2$, og graden af polynomiet i nævneren er lig med $9$, så er denne brøk egentlig (da $2< 9$).
3) Både tælleren og nævneren af denne brøk indeholder polynomier (faktoreret). Det er overhovedet ikke ligegyldigt for os, i hvilken form tæller- og nævnerpolynomierne præsenteres: om de er faktoriseret eller ej. Da vi har et forhold mellem to polynomier, så ifølge definitionen udtrykket $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x) ^6+9x ^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$ er en rationel brøk.
For at besvare spørgsmålet om en given brøk er rigtig, skal man bestemme potenserne af polynomierne i tæller og nævner. Lad os starte med tælleren, dvs. fra udtrykket $(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)$. For at bestemme graden af dette polynomium kan du selvfølgelig åbne parenteserne. Det er dog meget nemmere at handle rationelt, fordi vi kun er interesserede i største grad variabel $x$. Fra hver parentes vælger vi variablen $x$ i højeste grad. Fra parentesen $(2x^3+8x+4)$ tager vi $x^3$, fra parentesen $(8x^4+5x^3+x+9)^9$ tager vi $(x^4) ^9=x ^(4\cdot9)=x^(36)$, og fra parentesen $(5x^7+x^6+9x^5+3)$ vælger vi $x^7$. Så, efter at have åbnet parenteserne, vil den største potens af variablen $x$ være sådan her:
$$ x^3\cdot x^(36)\cdot x^7=x^(3+36+7)=x^(46). $$
Graden af polynomiet placeret i tælleren er $46$. Lad os nu vende os til nævneren, dvs. til udtrykket $(5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1)$. Graden af dette polynomium bestemmes på samme måde som for tælleren, dvs.
$$ x\cdot (x^2)^(15)\cdot x^(10)=x^(1+30+10)=x^(41). $$
Nævneren indeholder et polynomium af grad 41. Da graden af polynomiet i tælleren (dvs. 46) ikke er mindre end graden af polynomiet i nævneren (dvs. 41), så er den rationelle brøk $\frac((2x^3+8x+4)(8x) ^4+5x^ 3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^( 10)+9x- 1))$ er forkert.
4) Tælleren for brøken $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$ indeholder tallet $3$, dvs. polynomium nul grader. Formelt kan tælleren skrives som følger: $3x^0=3\cdot1=3$. I nævneren har vi et polynomium, hvis grad er lig med $6\cdot 4=24$. Forholdet mellem to polynomier er en rationel brøk. Siden $0< 24$, то данная дробь является правильной.
Svar: 1) fraktionen er ikke rationel; 2) rationel brøk (egentlig); 3) rationel brøk (irregulær); 4) rationel brøk (egen).
Lad os nu gå videre til begrebet elementære brøker (de kaldes også de enkleste rationelle brøker). Der er fire typer af elementære rationelle fraktioner:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4,\ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Bemærk (ønskeligt for en mere fuldstændig forståelse af teksten): vis\skjul
Hvorfor er betingelsen $p^2-4q nødvendig?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим andengradsligning$x^2+px+q=0$. Diskriminanten af denne ligning er $D=p^2-4q$. Grundlæggende er betingelsen $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет rigtige rødder. De der. udtrykket $x^2+px+q$ kan ikke faktoriseres. Det er denne uopløselighed, der interesserer os.
For eksempel får vi for udtrykket $x^2+5x+10$: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Siden $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
For denne kontrol er det i øvrigt slet ikke nødvendigt, at koefficienten før $x^2$ er lig med 1. For eksempel får vi for $5x^2+7x-3=0$: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109. Da $D > 0$, kan udtrykket $5x^2+7x-3$ faktoriseres.
Opgaven er som følger: givet korrekt repræsentere en rationel brøk som summen af elementære rationelle brøker. Materialet præsenteret på denne side er afsat til at løse dette problem. Først skal du sikre dig, at du har gennemført næste tilstand: polynomiet i nævneren af en egentlig rationel brøk er faktoriseret på en sådan måde, at denne udvidelse kun indeholder parenteser af formen $(x-a)^n$ eller $(x^2+px+q)^n$ ($p) ^2-4q< 0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему:
- Hver parentes af formen $(x-a)$ placeret i nævneren svarer til en brøk $\frac(A)(x-a)$.
- Hver parentes af formen $(x-a)^n$ ($n=2,3,4,\ldots$) placeret i nævneren svarer til en sum af $n$ brøker: $\frac(A_1)(x-a)+ \frac( A_2)((x-a)^2)+\frac(A_3)((x-a)^3)+\ldots+\frac(A_n)((x-a)^n)$.
- Hver parentes af formen $(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$), расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$.
- Hver parentes af formen $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2}+\frac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3}+\ldots+\frac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n}$.
Hvis brøken er ukorrekt, skal du, før du anvender ovenstående skema, opdele den i summen af heltalsdelen (polynomiet) og den korrekte rationelle brøk. Vi vil se nærmere på, hvordan dette gøres nærmere (se eksempel nr. 2, punkt 3). Et par ord om bogstavbetegnelser i tællere (dvs. $A$, $A_1$, $C_2$ og lignende). Du kan bruge alle bogstaver, der passer til din smag. Det er kun vigtigt, at disse bogstaver er forskellige i alle elementære fraktioner. For at finde værdierne af disse parametre skal du bruge metoden med ubestemte koefficienter eller metoden til at erstatte delværdier (se eksempler nr. 3, nr. 4 og nr. 5).
Eksempel nr. 2
Dekomponer de givne rationelle brøker til elementære (uden at finde parametrene):
- $\frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5) $;
- $\frac(x^2+10)((x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10))$;
- $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$.
1) Vi har en rationel brøk. Tælleren for denne brøk indeholder et polynomium af grad 4, og nævneren indeholder et polynomium, hvis grad er lig med $17$ (hvordan man bestemmer denne grad er forklaret i detaljer i afsnit nr. 3 i eksempel nr. 1). Da graden af polynomiet i tælleren er mindre end graden af polynomiet i nævneren, er denne brøk korrekt. Lad os vende os til nævneren af denne brøk. Lad os starte med parenteserne $(x-5)$ og $(x+2)^4$, som helt falder ind under formen $(x-a)^n$. Derudover er der også parenteser $(x^2+3x+10)$ og $(x^2+11)^5$. Udtrykket $(x^2+3x+10)$ har formen $(x^2+px+q)^n$, hvor $p=3$; $q=10$, $n=1$. Siden $p^2-4q=9-40=-31< 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем næste output: polynomiet i nævneren er faktoriseret på en sådan måde, at denne faktorisering kun indeholder parenteser af formen $(x-a)^n$ eller $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила , изложенные выше. Согласно правилу скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac{A}{x-5}$. Это можно записать так:
$$ \frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5 )=\frac(A)(x-5)+\ldots $$
Resultatet kan skrives som følger:
$$ 3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22=(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22 . $$
Så kan brøken $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ repræsenteres i en anden form:
$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\frac((x^3-2x^2) +4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\\ =\frac((x^3-2x^2+ 4x-8)(3x^2+x))(x^3-2x^2+4x-8)+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8) =\\ =3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8). $$
Brøken $\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ er en egentlig rationel brøk, fordi graden af polynomiet i tælleren (dvs. 2) er mindre end graden af polynomiet i nævneren (dvs. 3). Lad os nu se på nævneren af denne brøk. Nævneren indeholder et polynomium, der skal faktoriseres. Nogle gange er Horners skema nyttig til faktorisering, men i vores tilfælde er det lettere at klare sig med standardmetoden "skole" til at gruppere termer:
$$ x^3-2x^2+4x-8=x^2\cdot(x-2)+4\cdot(x-2)=(x-2)\cdot(x^2+4);\ \ 3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)((x) -2)\cdot(x^2+4)) $$
Bruger de samme metoder som i tidligere afsnit, vi får:
$$ \frac(4x^2+x+22)((x-2)\cdot(x^2+4))=\frac(A)(x-2)+\frac(Cx+D)(x ^2+4) $$
Så har vi endelig:
$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(A)( x-2)+\frac(Cx+D)(x^2+4) $$
Dette emne fortsættes i anden del.
Fra algebrakurset skolepensum Lad os komme ned til detaljerne. I denne artikel vil vi studere i detaljer særlig slags rationelle udtryk – rationelle brøker, og også overveje, hvilken karakteristik identisk omregning af rationelle brøker finde sted.
Lad os straks bemærke, at rationelle brøker i den betydning, som vi definerer dem nedenfor, kaldes algebraiske brøker i nogle algebra-lærebøger. Det vil sige, at vi i denne artikel vil forstå rationelle og algebraiske brøker som det samme.
Lad os som sædvanlig starte med en definition og eksempler. Dernæst vil vi tale om at bringe en rationel brøk til en ny nævner og ændre fortegnene for brøkens medlemmer. Herefter vil vi se på, hvordan man reducerer fraktioner. Lad os endelig se på at repræsentere en rationel brøk som en sum af flere brøker. Vi vil give alle oplysninger med eksempler detaljerede beskrivelser beslutninger.
Sidenavigation.
Definition og eksempler på rationelle brøker
Rationelle brøker studeres i algebratimerne i 8. klasse. Vi vil bruge definitionen af en rationel brøk, som er givet i algebra-lærebogen for 8. klasse af Yu. N. Makarychev et al.
I denne definition det er ikke specificeret, om polynomierne i tælleren og nævneren af en rationel brøk skal være polynomier standard visning eller ikke. Derfor vil vi antage, at notationerne for rationelle brøker kan indeholde både standard- og ikke-standardpolynomier.
Her er et par stykker eksempler på rationelle brøker. Altså x/8 og 
- rationelle brøker. Og brøker 
og passer ikke til den angivne definition af en rationel brøk, da tælleren i den første af dem ikke indeholder et polynomium, og i den anden indeholder både tælleren og nævneren udtryk, der ikke er polynomier.
Konvertering af tæller og nævner af en rationel brøk
Tælleren og nævneren for enhver brøk er selvforsynende matematiske udtryk, i tilfælde af rationelle brøker, er disse polynomier; i et bestemt tilfælde monomer og tal. Derfor kan identiske transformationer udføres med tælleren og nævneren af en rationel brøk, som med ethvert udtryk. Med andre ord kan udtrykket i tælleren af en rationel brøk erstattes af et identisk lige udtryk, ligesom nævneren.
Du kan udføre identiske transformationer i tælleren og nævneren af en rationel brøk. I tælleren kan du for eksempel gruppere og reducere lignende vilkår, og i nævneren skal du erstatte produktet af flere tal med dets værdi. Og da tælleren og nævneren af en rationel brøk er polynomier, er det muligt at udføre transformationer, der er karakteristiske for polynomier, med dem, for eksempel reduktion til en standardform eller repræsentation i form af et produkt.
For klarhedens skyld, lad os overveje løsninger på flere eksempler.
Eksempel.
Omregn rationel brøk 
således at tælleren indeholder et polynomium af standardform, og nævneren indeholder produktet af polynomier.
Løsning.
Reduktion af rationelle brøker til en ny nævner bruges hovedsageligt til at addere og subtrahere rationelle brøker.
Ændring af tegn foran en brøk, såvel som i dens tæller og nævner
En brøks hovedegenskab kan bruges til at ændre fortegnene for en brøks medlemmer. At gange tælleren og nævneren af en rationel brøk med -1 svarer faktisk til at ændre deres fortegn, og resultatet er en brøk, der er identisk med den givne. Denne transformation skal bruges ret ofte, når man arbejder med rationelle brøker.
Hvis du således samtidig ændrer fortegnene for tælleren og nævneren for en brøk, vil du få en brøk lig med den oprindelige. Denne udtalelse besvares med ligestilling.
Lad os give et eksempel. En rationel brøk kan erstattes af en identisk lige brøk med ændrede fortegn for formens tæller og nævner.
Du kan gøre en ting mere med brøker: identitetstransformation, hvor tegnet for enten tælleren eller nævneren ændres. Lad os angive den tilsvarende regel. Udskifter man brøkens fortegn sammen med tællerens eller nævnerens fortegn, får man en brøk, der er identisk lig med den oprindelige. Den skriftlige redegørelse svarer til lighederne og .
Det er ikke svært at bevise disse ligheder. Beviset er baseret på egenskaberne ved multiplikation af tal. Lad os bevise den første af dem: . Ved at bruge lignende transformationer bevises ligheden.
For eksempel kan en brøk erstattes af udtrykket eller.
For at afslutte dette punkt præsenterer vi yderligere to nyttige ligheder og . Det vil sige, at hvis du kun ændrer fortegnet for tælleren eller kun nævneren, vil brøken ændre fortegn. For eksempel, 
Og 
.
De betragtede transformationer, som gør det muligt at ændre fortegnet for en brøks udtryk, bruges ofte ved transformation af rationelle brøkudtryk.
Reduktion af rationelle fraktioner
Den følgende transformation af rationelle brøker, kaldet reduktion af rationelle brøker, er baseret på den samme grundlæggende egenskab for en brøk. Denne transformation svarer til ligheden , hvor a, b og c er nogle polynomier, og b og c er ikke-nul.
Fra ovenstående lighed bliver det klart, at reduktion af en rationel brøk indebærer at slippe af med fælles multiplikator i sin tæller og nævner.
Eksempel.
Annuller en rationel brøk.
Løsning.
Den fælles faktor 2 er umiddelbart synlig, lad os udføre en reduktion af den (når du skriver, er det praktisk at strege de fælles faktorer ud, som bliver reduceret med). Vi har 
. Da x 2 =x x og y 7 = y 3 y 4 (se om nødvendigt), er det klart, at x er en fælles faktor for tælleren og nævneren af den resulterende brøk, ligesom y 3. Lad os reducere med disse faktorer: 
. Dette fuldender reduktionen.
Ovenfor udførte vi reduktionen af rationelle fraktioner sekventielt. Eller det var muligt at udføre reduktionen i et trin, og straks reducere fraktionen med 2 x y 3. I dette tilfælde vil løsningen se sådan ud: 
.
Svar:
.
Når man reducerer rationelle brøker, er hovedproblemet, at den fælles faktor for tæller og nævner ikke altid er synlig. Desuden eksisterer det ikke altid. For at finde en fælles faktor eller bekræfte dens fravær, skal du faktorisere tælleren og nævneren for en rationel brøk. Hvis der ikke er nogen fælles faktor, behøver den oprindelige rationelle fraktion ikke at blive reduceret, ellers udføres reduktion.
Forskellige nuancer kan opstå i processen med at reducere rationelle fraktioner. De vigtigste finesser diskuteres i artiklen, der reducerer algebraiske brøker ved hjælp af eksempler og i detaljer.
Afslutning af samtalen om reduktionen af rationelle brøker bemærker vi, at denne transformation er identisk, og den største vanskelighed ved dens implementering ligger i at faktorisere polynomierne i tælleren og nævneren.
Repræsentation af en rationel brøk som en sum af brøker
Helt specifik, men i nogle tilfælde meget nyttig, er transformationen af en rationel brøk, som består i sin repræsentation som summen af flere brøker, eller summen af et helt udtryk og en brøk.
En rationel brøk, hvis tæller indeholder et polynomium, der repræsenterer summen af flere monomer, kan altid skrives som en sum af brøker med de samme nævnere, hvis tællere indeholder de tilsvarende monomer. For eksempel, 
. Denne repræsentation forklares af reglen for at addere og subtrahere algebraiske brøker med ens nævnere.
Generelt kan enhver rationel brøk udtrykkes som en sum af brøker på mange forskellige måder. For eksempel kan brøken a/b repræsenteres som summen af to brøker - en vilkårlig brøk c/d og en brøk lig med forskellen mellem brøkerne a/b og c/d. Dette udsagn er sandt, da ligestillingen gælder 
. For eksempel kan en rationel brøk repræsenteres som en sum af brøker forskellige veje: Lad os forestille os den oprindelige brøk som summen af et heltalsudtryk og en brøk. Ved at dividere tælleren med nævneren med en kolonne får vi ligheden 
. Værdien af udtrykket n 3 +4 for ethvert heltal n er et heltal. Og værdien af en brøk er et heltal, hvis og kun hvis dens nævner er 1, −1, 3 eller −3. Disse værdier svarer til henholdsvis værdierne n=3, n=1, n=5 og n=−1.
Svar:
−1 , 1 , 3 , 5 .
Bibliografi.
- Algebra: lærebog for 8. klasse. almen uddannelse institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigeret af S. A. Telyakovsky. - 16. udg. - M.: Uddannelse, 2008. - 271 s. : syg. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasse. Kl. 14. Del 1. Lærebog for elever uddannelsesinstitutioner/ A. G. Mordkovich. - 13. udgave, rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 s.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
- Mordkovich A.G. Algebra. 8. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebog for studerende ved almene uddannelsesinstitutioner / A. G. Mordkovich. - 11. udg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual for dem, der går ind på tekniske skoler): Proc. godtgørelse.- M.; Højere skole, 1984.-351 s., ill.