Как да разделим сегмент с помощта на компас. Учебно-методическо ръководство „Техника за изпълнение на геометрични конструкции” за извършване на графична работа

Контурите на всички изображения са оформени от различни линии. Основните линии са права линия, кръг и поредица от криви. При изчертаване на контурите на изображения се използват геометрични конструкции и конюгации.

При изучаване на дисциплината " дескриптивна геометрияи инженерна графика“ учениците трябва да усвоят правилата и последователността на изпълнение на геометрични построения и връзки.

В това отношение по най-добрия начинпридобиване на умения за конструиране са задачи за изчертаване на контурите на сложни части.

Преди да започнеш контролна задача, трябва да научите техниката геометрични конструкциии връзки съгласно методическото ръководство.

1. Деление на отсечки и ъгли

1.1. Разделяне на сегмент наполовина

Разделете за този сегмент AB наполовина.

От краищата на сегмента AB, както от центровете, начертаваме дъги от окръжности с радиус R, чийто размер трябва да бъде малко по-голям от половината от сегмента AB (фиг. 1). Тези дъги ще се пресичат в точки M и N, нека намерим точка C, в която се пресичат прави AB и MN. Точка C ще раздели отсечката AB на две равни части.

Забележка. Всички необходими конструкции трябва и могат да се извършват само с помощта на пергел и линийка (без деления).

1.2. Разделяне на отсечка на n равни части

Разделям даден сегментот n равни части.

От края на отсечката - точка А, ще начертаем спомагателен лъч под произволен ъгъл α (фиг. 2 а) На този лъч ще положим 4 равни отсечки с произволна дължина (фиг. 2b). Краят на последния, четвърти сегмент (точка 4) е свързан с точка B. След това, от всички предишни точки 1...3, начертаваме сегменти, успоредни на сегмент B4, докато се пресичат с сегмент AB в точки 1", 2 ", 3". Така получените точки разделят отсечката на четири равни отсечки

1.3. Разделяне на ъгъл наполовина

Разделям определен ъгълТИ наполовина.

От върха на ъгъл А произволен радиусначертайте дъга, докато се пресече със страните на ъгъла в точки B и C (фиг. 3 a). След това от точки B и C начертаваме две дъги с радиус повече от половинатаразстояние BC, до пресичането им в точка D (фиг. 3 b). Като съединим точки A и D с права линия, получаваме ъглополовящата на ъгъла, който дели дадения ъгъл наполовина (фиг. 3 в)

а) б) в)

2. Разделяне на кръг на равни части и построяване на правилни многоъгълници

2.1. Разделяне на кръг на три равни части

От края на диаметъра, например точка А (фиг. 4), начертайте дъга с радиус R, равен на радиусададен кръг. Получават се първо и второ деление - точки 1 и 2. Третото деление, точка 3, се намира в срещуположния край на същия диаметър. Като свържете точки 1,2,3 с хорди, получавате правилен вписан триъгълник.

2.2. Разделяне на кръг на шест равни части

От краищата на всеки диаметър, например AB (фиг. 5), се описват дъги с радиус R. Точки A, 1,3,B,4,2 разделят кръга на шест равни части. Чрез свързването им с хорди се получава правилен вписан шестоъгълник.

Забележка. Спомагателните дъги не трябва да се изчертават напълно, достатъчно е да направите прорези върху кръга.

2.3. Разделяне на кръг на пет равни части

Начертани са два взаимно перпендикулярни диаметъра AB и CD (фиг. 6). Радиусът на OS в точка O 1 е разделен наполовина.
От точка O1, както от центъра, начертайте дъга с радиус O1A, докато се пресече с диаметър CD в точка E.
Отсечката AE е равна на страната на правилен вписан петоъгълник, а отсечката OE е равна на страната на правилен вписан десетоъгълник.
Вземайки точка A за център, дъга с радиус R1 = AE маркира точки 1 и 4 на окръжността, както от центрове, дъги със същия радиус R1 маркират точки 3 и 2. Точки A, 1, 2, 3, 4 разделят кръга на пет равни части.

2.4. Разделяне на кръг на седем равни части

От края на диаметъра, например точка А, начертайте дъга с радиус R, равен на радиуса на окръжността (фиг. 7). Хордата CD е равна на страната на правилен вписан триъгълник. Половината от хордата CD е с достатъчно приближение равна на страната на правилен вписан седмоъгълник, т.е. разделя кръга на седем равни части.

Ориз. 7

Литература

Боголюбов С.К. Инженерна графика: Учебник за средни специални учебни заведения. – 3-то изд., рев. И допълнителни - М.: Машиностроене, 2006. - стр. 392: ил.
Куприков М.Ю. Инженерна графика: учебник за средни образователни институции - М.: Bustard, 2010 - 495 с.: ил.
Федоренко В.А., Шошин А.И. Наръчник по машинно инженерство чертеж L.: Машинно инженерство. 1976. 336 стр.

знаейки; че триъгълниците са равни от двете страни и ъгълът между тях, можем да използваме пергел и линийка, за да разделим този сегмент на две равни части.

Ако, например, трябва да разделите сегмент наполовина А Б(фиг. 69), след това поставете върха на компаса в точките A I B иТе описват около себе си, сякаш близо до центровете, две пресичащи се дъги с еднакъв радиус (фиг. 70). Техните пресечни точки СЪСИ дсвързани с права линия, която ABна половина: АД= ОВ.

За да се уверите, че сегментите АДИ ОВтрябва да са равни, свържете точките ° СИ дс краища АИ INсегмент (фиг. 71). Ще получите два триъгълника ACDИ BCD, чиито три страни са съответно равни: AC= слънце; AD = BD; CD –общ, т.е. принадлежи и на двата триъгълника. Това предполага пълно равенство посочените триъгълници, и следователно равенството на всички ъгли. Така че, между другото, ъглите са равни ACDИ BCD. Сега сравняваме триъгълниците ASOИ VSO, виждаме, че имат страна ОПЕРАЦИОННА СИСТЕМА -общ, A.C. = CB, и ъгълът между тях ASO = ug. VSO. Триъгълниците са равни по двете страни и ъгъла между тях; следователно страните са равни АДИ ОВ, т.е. точка ОТНОСНОима средна точка AB.

Как да построим триъгълник с помощта на страна и два ъгъла

И накрая, разгледайте задача, чието решение води до изграждането на триъгълник с помощта на страна и два ъгъла:

От другата страна на реката (фиг. 72) се вижда километричен камък А. Необходимо е, без да пресичате реката, да разберете разстоянието до нея от крайъгълния камък INна този бряг.

Да го направим. Да измерваме от точката INвсяко разстояние по права линия слънцеи в краищата му INИ СЪСНека измерим ъгли 1 и 2 (фиг. 73). Ако сега измерим разстоянието на удобна зона DE,равен слънце, и изградете ъгли в краищата му АИ b(чертеж 74), равни на ъгли 1 и 2, тогава в точката на пресичане на страните им получаваме третия връх Етриъгълник DEF.Лесно е да се провери, че триъгълникът DEFравен на триъгълник ABC; наистина, ако си представим, че триъгълникът DEFнасложен върху ABCтака че тази страна DEсъвпадна с равната му страна слънце, след това ug. Аще съвпадне с ъгъл 1, ъгъл б –с ъгъл 2 и страна DFще отиде настрани Вирджиния, и отстрани EFна страната SA.Тъй като две линии могат да се пресичат само в една точка, тогава върхът Етрябва да съвпада с върха А. Така че разстоянието DFравно на необходимото разстояние Вирджиния

Проблемът, както виждаме, има само едно решение. Като цяло, като се използва страна и два ъгъла, съседни на тази страна, може да се построи само един триъгълник; Не може да има други триъгълници със същата страна и същите два ъгъла, прилежащи към нея на същите места. Всички триъгълници, които имат една и съща страна и две същия ъгъл, съседни на него на същите места, могат да бъдат приведени в пълно съвпадение чрез суперпозиция. Това означава, че това е знак, чрез който може да се установи пълното равенство на триъгълниците.

Заедно с установените по-рано признаци за равенство на триъгълници, сега знаем следните три:

Триъгълници:

от три страни;

от двете страни и в ъгъла между тях;

отстрани и от двете страни.

За краткост ще обозначим тези три случая на равенство на триъгълници, както следва:

от три страни: SSS;

на двете страни и ъгъла между тях: SUS;

отстрани и два ъгъла: USU.

Приложения

14. Да се намери разстоянието до точка Аот другата страна на реката от точката INна този бряг (фиг. 5) измерете някаква права линия слънце,след това в точка INпостройте ъгъл, равен на ABC, от друга страна слънце, и в точката СЪС- по същия начин, ъгъл, равен на DIAТочково разстояние дпресичане на страните на двете страни на ъглите към точката INравно на необходимото разстояние AB. Защо?

Решение: Триъгълници ABCИ BDCравни от едната страна ( слънце) и два ъгъла (англ. DCB= ug. DIA; ug. DBC= ug. ABC.) Следователно, AB= ВD,като лежащите страни равни триъгълницисрещу равни ъгли.

Успоредници

От триъгълници преминаваме към четириъгълници, т.е. към фигури, ограничени от 4 страни. Пример за четириъгълник е квадрат - четириъгълник, в който всички страни са равни и всички ъгли са прави (фиг. 76). Друг вид четириъгълник, който също често се среща, е правоъгълник:

Така се нарича всеки четириъгълник с 4 прави ъгъла (фиг. 77 и 78). Квадратът също е правоъгълник, но с равни страни.

Особеността на правоъгълника (и квадрата) е, че двете двойки противоположни страни са успоредни. В правоъгълник ABCD,например (фиг. 78), ABпаралелен DC,а ADпаралелен слънцеТова следва от факта, че и двете противоположни страниперпендикулярна на една и съща права и знаем, че два перпендикуляра на една права са успоредни един на друг (§ 16).

Друго свойство на всеки правоъгълник е, че противоположните му страни са равни една на друга. Можете да проверите това, като се свържете противоположни върховеправоъгълник с права линия, тоест нарисувайте диагонал в него. Чрез свързване Ас СЪС(Начертано 79) получаваме два триъгълника ABCИ ADC.Лесно е да се покаже, че тези триъгълници са равни един на друг: страна AC –общо, уг. 1 = ъгъл 2, защото това са напречни ъгли с успоредник ABИ CDпо същата причина ъгли 3 и 4 са равни на една и съща страна и два ъгъла, триъгълници ABCИ ACDравен; следователно отстрани AB= страна DC,и страна AD= страна слънце

Такива четириъгълници, които, като правоъгълници, противоположни страниПаралелите се наричат успоредници. Майната му 80 показва пример на успоредник: ABпаралелен DC,А ADпаралелен пр.н.е.По дяволите.80

Правоъгълник е един от успоредниците, а именно такъв, в който всички ъгли са прави. Лесно е да се провери, че всеки успоредник има следните свойства:

ПРОТИВОПОЛОЖНИ ЪГЛИ УСПОРЕДНИ ГРАМАТИЧНИ РАВНИ; ПРОТИВОПОЛОЖНИ СТРАНИ

P a r l l e l o g r a m a v y s

За да проверим това, нека начертаем успоредник ABCD(фиг. 81) прави ВD(диагонал) и сравнете триъгълници ABDИ VDC.Тези триъгълници са еднакви (случай USU): BD – обща страна; ug. 1 = ъгъл 2, ъгъл 3 = ъгъл 4 (защо?). Изброените по-рано свойства следват от това.

Паралелограм с четири равни страни се нарича ромб.

Повторете въпросите

Каква форма се нарича квадрат? Правоъгълник? – Какво се нарича диагонал? – Коя фигура се нарича успоредник? Диамант? – Посочете свойствата на ъглите и страните на произволен успоредник. – Кой правоъгълник се нарича квадрат? – Кой успоредник се нарича правоъгълник? – Какви са приликите и разликите между квадрат и ромб.

Приложения

15. Квадрат се начертава така: като отделите едната страна, начертайте перпендикуляри към него в краищата, поставете еднакви дължини върху тях и свържете краищата с права линия (Чертеж 82). Как можете да сте сигурни, че четвъртата страна на начертан четириъгълник е равна на останалите три и че всичките му ъгли са прави?

Решение Ако образуването е извършено по такъв начин, че настрани ABпо точки АИ INбяха начертани перпендикуляри, върху които бяха положени: AC = ABИ DВ= AB, тогава остава да се докаже, че ъглите СЪСИ днаправо и какво CDравно на AB.За да направите това, начертаваме (фиг. 83) диагонал от н.е.уф CAD = A.D.B.като съответни (за кои паралелни?); AC= Д.Б., и следователно триъгълници CADИ ЛОШОравни (въз основа на SUS).От това заключаваме, че CD = ABи ug. C =прав ъгъл IN. Как да докажа, че четвъртият ъгъл CDBсъщо ли е прав?

16. Как се начертава правоъгълник? Защо една нарисувана фигура може да се нарече правоъгълник? (Покажете, че всички ъгли на нарисуваната фигура са прави).

Решението е подобно на решението на предишния проблем.

17. Докажете, че двата диагонала на правоъгълника са равни.

Решението (фиг. 84) следва от равенството на триъгълниците ABCИ ABD(базиран на SUS).

18. Докажете, че диагоналите на успоредник се разполовяват.

Решение: Сравняване (фиг. 85) на триъгълници ABOИ DCO,ние се уверяваме, че те са равни (на базата на USU).Оттук АД= OS, 0V= OD.

19. Дължината на общия перпендикуляр между две успоредни прави се нарича разстояние между тях. Докажете, че разстоянието между успоредниците е еднакво навсякъде.

Индикация: Каква фигура се образува? паралелни линиис два перпендикуляра между тях?

IV. ИЗМЕРВАНЕ НА ПЛОЩ

Квадратни мерки. Палитра

При фигурите често е необходимо да се измери не само дължината на линиите и ъглите между тях, но и размера на площта, която те покриват - тоест тяхната площ. В какви единици се измерва площта? За мярка за дължина се приема определена дължина (метър, сантиметър), а за ъгли - определен ъгъл (1°); определена площ се приема като мярка за площ, а именно площта на квадрат със страна 1 метър, 1 см и т.н. Такъв квадрат се нарича "квадратен метър", " квадратен сантиметър“ и т.н. Да се измери площ означава да се установи колко квадратни мерни единици има в нея.

Ако измерваната площ не е голяма (побира се на лист хартия), тя може да бъде измерена по следния начин. Прозрачна хартия се нарязва на сантиметрови квадрати и се поставя върху фигурата, която се измерва. Тогава не е трудно директно да се изчисли колко квадратни сантиметрисъдържащи се в границите на фигурата. В този случай непълните квадрати в близост до границата се вземат (на око) за половин квадрат, четвърт квадрат и т.н., или мислено ги свържете няколко наведнъж в цели квадрати. Така украсен прозрачна хартиянаречен палет. Този метод често се използва за измерване на площите на неправилни зони на план.

Но не винаги е възможно или удобно да се наложи мрежа от квадрати върху измерената фигура. Не е възможно например да се измери подовата площ или поземлен имот. В такива случаи вместо директно измерванеплощ, те прибягват до неприятното нещо, което се състои в измерване само на дължината на някои линейни фигури и извършване на изчисления върху получените числа определени действия. По-късно ще покажем как се прави това.

Повторете въпросите

Какви мерки се използват за определяне на площта на фигурите? – Какво е палитра и как се използва?

Площ на правоъгълник

Да предположим, че трябва да определите площта на някакъв правоъгълник, например, ABDC(чертеж 86). Измерено с линейна единица, напр. метър, дължината на този участък. Да приемем, че метърът е разположен 5 пъти по дължина. Нека разделим площта на напречни ленти с ширина един метър, както е показано на фиг. 87. Очевидно ще има 5 такива ивици. След това нека измерим ширината на площта с метър; нека е 3 метра. Ще разделим площта на надлъжни ивици с ширина 1 метър, както е показано на фиг. 88; разбира се, ще има 3 от тях. Всяка от петте напречни ивици ще бъде нарязана на 3 квадратни метра, а целият парцел ще бъде разделен на 5 x 3 = 15 квадрата със страна 1 метър: научихме, че парцелът. съдържа 15 кв.м. метра. Но бихме могли да получим същото число 15, без да чертаем областта, а само като умножим нейната дължина по нейната ширина. И така, за да разберете колко квадратни метрав правоъгълник, трябва да измерите неговата дължина, неговата ширина и да умножите двете числа.

В разглеждания случай единицата за дължина - метърът - беше поставена от двете страни на правоъгълника цял брой пъти. Подробните учебници по математика доказват, че установеното сега правило е вярно и когато страните на правоъгълника не съдържат цяло число единици за дължина. Във всички случаи:

Площ на правоъгълна област

произведението на дължината по ширината,

или, както се казва, в геометрията, – нейното

„база“ върху „височина“.

Ако дължината на основата на правоъгълник е обозначена с буквата А, а дължината на височината е буквата б,тогава нейната площ Сравна на

S = a? б,

или просто С = аб, защото знакът за умножение не се поставя между буквите.

Лесно е да се разбере, че за да определите площта на квадрат, трябва да умножите дължината на страната му сама по себе си, тоест „да я повдигнете с квадрата“. С други думи:

Площта на квадрат е равна на страната на квадрата. Ако дължината на страната на квадрат а,тогава нейната площ Сравна на

S= а? а = а 2.

Знаейки това, е възможно да се установи връзката между различни квадратни единици. Например квадратен метър съдържа квадратни дециметри 10 X 10, т.е. 100, и квадратни сантиметри 100 X 100, т.е. 10 000, тъй като линейният сантиметър е поставен отстрани квадратен дециметър 10 пъти, а квадратен метър е 100 пъти.

За измерване парцелиизползва се специална мярка - хектар, съдържащ 10 000 кв.м. Квадратният парцел със страна 100 метра има площ от 1 хектар; правоъгълен парцел с основа 200 метра и височина 150 метра има площ 200 х 150, т.е. 30 000 квадратни метра. м или 3 хектара. Измерват се големи площи - като окръзи и области

КВАДРАТНИ КИЛОМЕТРИ.

Съкратеното обозначение на квадратните мерки е:

квадрат метър………………………………. кв. m или m2

квадрат дециметър…………………………. кв. dm или dm2

квадрат сантиметър………………………… кв. cm или cm2

квадрат милиметър……………………….. кв. mm или mm2

хектар…………………………………….. ха

Повторете въпросите

Как се изчислява площта на правоъгълник? Квадрат? - Колко кв. см на кв. m? Колко кв. mm в кв. m? – Какво е хектар? – Колко хектара в квадрат? км? За какво е съкращението квадратни мерки?

Приложения

20. Необходимо е да се боядиса вътрешността на стаята, показана на чертежа. 6. Размерите са посочени в метри. Колко материали и работна сила, ако се знае, че за боядисване на един квадрат. метра дървени подове със замазка на пукнатини и клони върху предварително боядисани, за двама, необходими (съгласно Спешните разпоредби):

Маляров………………………………….. 0,044

Изсушаващи масла, килограми…………………….… 0,18

Светла охра, кг…………………………… 0;099

Шпакловки, kg…………………………………0,00225

Пемза, kg………………………………….. 0,0009.

Решение: Площта на пода 8 ли е? 12 = 96 кв. м.

Разходът на материали и труд е както следва

Маляров........ 0,044? 96 = 4,2

Изсушаващи масла......0.18? 96= 17 кг

Охра......... 0,099? 96 – 9,9 кг

Шпакловки......0.00225? 96 = 0,22 кг

Пемза.........0.0009? 96 = 0,09 кг.

21. Направете справка за разхода на труд и материали за тапетиране на предходната стая. задачи. За облепване на стени с обикновени тапети с бордюри се изисква (според местните разпоредби) на кв.м. метър:

Бояджии или тапицери………………………… 0,044

Тапети (широчина 44 см) парчета……………………… 0,264

Бордюр (според изчислението)

Грамове нишесте………………………………. 90.

Решение - по образец посочен в предишна задача. Отбелязваме само това при изчисляване необходимо количествоНа практика отворите на стените не се изваждат от тяхната площ на тапета (тъй като при поставяне на фигури в съседни панели, част от тапета се губи).

Площ на триъгълник

Нека първо разгледаме как се изчислява площта на правоъгълен триъгълник. Да предположим, че трябва да определим площта на триъгълник ABC(фиг. 89), в който ъгълът IN- прав. Нека ви преведем през върховете АИ СЪСправи линии, успоредни на противоположните страни. Получаваме (фиг. 90) правоъгълник ABCD(защо тази фигура е правоъгълник?), който е разделен с диагонал ACна два равни триъгълника (защо?). Площта на този правоъгълник е ах;площта на нашия триъгълник е половината от площта на правоъгълника, т.е. равна на 1/2 ахИ така, площта на всеки правоъгълен триъгълникравно на половината от произведението на страните му, които ограждат прав ъгъл.

Да предположим, че сега трябва да определите площта на наклонен (т.е. не правоъгълен) триъгълник - например. ABC(чертеж 91). Начертаваме перпендикуляр през един от върховете му към противоположната страна; такъв перпендикуляр се нарича височина на този триъгълник, а страната, към която е начертан, е основата на триъгълника. Нека означим височината с ч, а сегментите, на които разделя основата, са стрИ р. Площ на правоъгълен триъгълник ABD,както вече знаем, е равно на 1/2 тел; квадрат VDC = 1/2 qh. Квадрат Стриъгълник ABCравна на сумата от тези площи: S= 1/2 тел + 1/2 qh = 1/2 ч (Р+ р). Но Р+ q = a; следователно С = 1/2 ах.

Това разсъждение не може да се приложи директно към триъгълник с тъп ъгъл(фиг. 92), тъй като перпендикулярът CD не пресича основата AB, и нейното продължение. В този случай трябва да мислим по различен начин. Нека означим сегмента ADпрез p, BD- през, р, така че основата Атриъгълник е равен стр – р. Площта на нашия триъгълник ABCравно на разликата в площите на два триъгълника ADC – BDC = 1/2 тел – 1/2 qh = 1/2 ч (стр – р) = 1/2 ах.

Така че във всички случаи площта на триъгълник е равна на половината от произведението на всяка от неговите основи и съответната височина.

От това следва, че триъгълници с равни основи и височини имат равни площи или, както се казва,

равно на.

Фигурите с еднакъв размер обикновено са тези, които имат равни площи, поне самите фигури не бяха равни (тоест не съвпадаха при наслагването).

Повторете въпросите

Как се нарича височината на триъгълник? Основата на триъгълника? – Колко височини могат да бъдат начертани в един триъгълник? – Начертайте триъгълник с тъп ъгъл и начертайте всички височини в него. – Как се изчислява площта на триъгълник? Как да изразя това правило във формула? – Кои фигури се наричат еднакви по размер?

Приложения

22. Зеленчуковата градина има формата на триъгълник с основа 13,4 м и височина 37,2 м... Колко семена (тегловни) са необходими, за да я засадите със зеле, ако на кв. m е 0,5 грама семена?

Решение: Площта на зеленчуковата градина е 13,4? 37,2 = 498 кв. м.

Ще ви трябват 250 г семена.

23. Успоредникът е разделен с диагонали на 4 триъгълни части. Кой има най-много голяма площ?

Решение. Всичките 4 триъгълника са равни по размер, тъй като имат равни основанияи височини.

Площ на успоредник

Правилото за изчисляване на площта на паралелограма се установява много просто, ако го разделите по диагонал на два триъгълника. Например площта на успоредник ABCD(Диаграма 93) е равна на удвоената площ на всеки от двата равни триъгълника, на които е разделена от диагонала AC.Маркиране на основата на триъгълника ADCпрез А, а височината през ч, получаваме площта Суспоредник

Перпендикулярен чсе нарича "височина на успоредник", а страната а,към която е начертана - „основата на успоредника“. Следователно установеното сега правило може да се формулира по следния начин:

Площта на успоредника е равна на произведението на всяка нова височина.

Повторете въпросите

Каква е основата и височината на успоредник? Как се изчислява площта на успоредник? – Изразете това правило във формула. – Колко пъти площта на успоредник е по-голяма от площта на триъгълник, който има същата основа и височина? - При еднакви височинии основи, коя фигура има най-голяма площ: правоъгълник или успоредник?

Приложение

24. Квадрат със страна 12,4 см е равен по размер на успоредник с височина 8,8 см. Намерете основата на успоредника.

Решението на този квадрат и следователно на успоредника е 12,42 = 154 квадратни метра. Необходимата основа е 154 : 8,8 = 18 см.

Площ на трапец

Освен успоредниците, нека разгледаме още един вид четириъгълници – а именно тези, които имат само една двойка успоредни страни (фиг. 94). Такива фигури се наричат трапецовидни. Успоредни странитрапеца се наричат неговите основи, а неуспоредните се наричат страни.

глупости. 94 По дяволите. 95

Нека установим правило за изчисляване на площта на трапец. Да предположим, че трябва да изчислим площта на трапец ABCD(фиг. 95), дължината на основите на които аИ b. Нека начертаем диагонал климатик,който разрязва трапец на два триъгълника ACDИ ABC. Ние знаем това

■ площ ACD = 1/2 ах

■ площ ABC = 1/2 бх.

■ площ ABCD= 1/2 ах+ 1/2 бх= 1/2 (а+ b) ч.

От разстоянието чмежду основите на трапец се нарича неговата височина, тогава правилото за изчисляване на площта на трапец може да се формулира, както следва:

Площта на трапеца е равна на половината от сумата, умножена по и във вас с около t at.

Повторете въпросите

Каква форма се нарича трапец? Как се наричат основите на трапеца, неговите страни и височина? – Как се изчислява площта на трапец?

Приложения

25. Участък от улицата има форма на трапец с основи 180 m и 170 m и височина 8,5 m. Колко дървени блокчета ще са необходими за полагането му, ако на кв. m има 48 пула?

Решението е 8,5 H = (180 + 170)/ 2 = 1490 кв. м. Брой пулове = 72 000 бр.

26. Наклонът на покрива има формата на трапец, чиито основи са 23,6 м и 19,8 м, а височината е 8,2 м. Колко материали и труд ще са необходими за покриването му, ако на кв. m изисква се:

Железни листове...... 1.23

Покривни гвоздеи кг.... 0,032

Изсушаващи масла кг........0,036

Покривачи......0.45.

Решение: Площта на наклона равна ли е на 8,2? (23,6 + 19,8)/ 2 = 178 кв. м. Остава да умножите всички числа на таблета по 178.

За да се уверите, че сегментите АДИ ОВтрябва да са равни, свържете точките ° СИ дс краища АИ INсегмент (фиг. 71). Ще получите два триъгълника ACDИ BCD, чиито три страни са съответно равни: AC= слънце; AD= BD; CD –общ, т.е. принадлежи и на двата триъгълника. Това предполага пълното равенство на тези триъгълници и следователно равенството на всички ъгли. Така че, между другото, ъглите са равни ACDИ BCD. Сега сравняваме триъгълниците ASOИ VSO, виждаме, че имат страна ОПЕРАЦИОННА СИСТЕМА -общ, A.C.= CB, и ъгълът между тях ASO = ug. VSO. Триъгълниците са равни по двете страни и ъгъла между тях; следователно страните са равни АДИ ОВ, т.е. точка ОТНОСНОима средна точка AB.

§ 22. Как се построява триъгълник с помощта на страна и два ъгъла

Да го направим. Да измерваме от точката INвсяко разстояние по права линия слънцеи в краищата му INИ СЪСНека измерим ъгли 1 и 2 (фиг. 73). Ако сега измерим разстоянието на удобна зона DE,равен слънце, и изградете ъгли в краищата му АИ b(Фиг. 74), равни на ъгли 1 и 2, тогава в точката на пресичане на техните страни получаваме третия връх Етриъгълник DEF.Лесно е да се провери, че триъгълникът DEFравен на триъгълник ABC; наистина, ако си представим, че триъгълникът DEFнасложен върху ABCтака че тази страна DEсъвпадна с равната му страна слънце, след това ug. Аще съвпадне с ъгъл 1, ъгъл б –с ъгъл 2 и страна DFще отиде настрани Вирджиния, и отстрани EFна страната SA.Тъй като две линии могат да се пресичат само в една точка, тогава върхът Етрябва да съвпада с върха А. Така че разстоянието DFравно на необходимото разстояние Вирджиния

Проблемът, както виждаме, има само едно решение. Като цяло, като се използва страна и два ъгъла, съседни на тази страна, може да се построи само един триъгълник; Не може да има други триъгълници със същата страна и същите два ъгъла, прилежащи към нея на същите места. Всички триъгълници, които имат една еднаква страна и два еднакви ъгъла, прилежащи към нея на едни и същи места, могат да бъдат доведени до пълно съвпадение чрез суперпозиция. Това означава, че това е знак, чрез който може да се установи пълното равенство на триъгълниците.

Заедно с установените по-рано признаци за равенство на триъгълници, сега знаем следните три:

Триъгълници:

от три страни;

от двете страни и в ъгъла между тях;

отстрани и от двете страни.

За краткост ще обозначим тези три случая на равенство на триъгълници, както следва:

от три страни: SSS;

на двете страни и ъгъла между тях: SUS;

отстрани и два ъгъла: USU.

Приложения

Решение: Триъгълници ABCИ BDCравни от едната страна ( слънце) и два ъгъла (англ. DCB= ug. DIA; ug. DBC= ug. ABC.) Следователно, AB= ВD,като страни, лежащи в равни триъгълници срещу равни ъгли.

§ 23. Успоредници

Особеността на правоъгълника (и квадрата) е, че двете двойки противоположни страни са успоредни. В правоъгълник ABCD,например (фиг. 78), ABпаралелен DC,а ADпаралелен слънцеТова следва от факта, че двете противоположни страни са перпендикулярни на една и съща права, а знаем, че два перпендикуляра на една права са успоредни един на друг (§ 16).

Друго свойство на всеки правоъгълник е, че противоположните му страни са равни една на друга. Можете да проверите това, ако свържете противоположните върхове на правоъгълника с права линия, тоест начертайте диагонал в него. Чрез свързване Ас СЪС(Начертано 79) получаваме два триъгълника ABCИ ADC.Лесно е да се покаже, че тези триъгълници са равни един на друг: страна AC –общо, уг. 1 = ъгъл 2, защото това са напречни ъгли с успоредник ABИ CDпо същата причина ъгли 3 и 4 са равни на една и съща страна и два ъгъла, триъгълници ABCИ ACDравен; следователно отстрани AB= страна DC,и страна AD= страна слънце

Такива четириъгълници, в които, подобно на правоъгълниците, противоположните страни са успоредни, се наричат успоредници. Майната му 80 показва пример на успоредник: ABпаралелен DC,А ADпаралелен пр.н.е.По дяволите.80

ПРОТИВОПОЛОЖНИ ЪГЛИ УСПОРЕДНИ ГРАМАТИЧНИ РАВНИ; ПРОТИВОПОЛОЖНИ СТРАНИ

P a r l l e l o g r a m a v y s

За да проверим това, нека начертаем успоредник ABCD(фиг. 81) прави ВD(диагонал) и сравнете триъгълници ABDИ VDC.Тези триъгълници са еднакви (случай USU): BD– обща страна; ug. 1 = ъгъл 2, ъгъл 3 = ъгъл 4 (защо?). Изброените по-рано свойства следват от това.

Паралелограм с четири равни страни се нарича ромб.

Повторете въпросите

Познаването на основните геометрични конструкции ви позволява да рисувате правилно и бързо, като избирате най-рационалните техники за всеки случай.

2.1. Разделяне на отсечка на равни части

Можете да разделите сегмента наполовина с помощта на компас, като построите среден перпендикуляр (фиг. 18, а). За да направите това, вземете радиус с размери повече от половината от дължината на сегмента и нарисувайте кръгови дъги от краищата му от двете страни, докато се пресичат. Начертаваме среден перпендикуляр през пресечните точки на дъгите.

За да разделим на произволен брой равни части, използваме Фа-теоремата

скеле: ако равни сегменти са разположени от едната страна на ъгъла и през краищата им са начертани успоредни прави линии, тогава равни сегменти ще бъдат разположени и от другата страна на ъгъла (фиг. 18, b). Под про-

начертайте спомагателен лъч AC под произволен ъгъл спрямо сегмента AB, върху който отлагаме сегмент с произволна дължина толкова пъти, на колкото части трябва да бъде разделен този сегмент. Свързваме края на последния сегмент с точка B и начертаваме прави линии, успоредни на BC през краищата на останалите сегменти.

2.2. Разделяне на кръг на произволно числоравни части

Способността да се разделя кръг на равни части е необходима за конструиране на правилни многоъгълници. Нека първо разгледаме конкретни техники за разделяне на кръг.

Разделяне на три части (фиг. 19)

Поставяме крака на компаса в един от краищата на взаимно перпендикулярните диаметри на кръга. С помощта на разтвор на компас, равен на радиуса на кръга, правим прорези върху него от двете страни на този край на диаметъра. Получаваме два върха правилен триъгълник. Третият връх е противоположният край на диаметъра.

Разделяне на четири части (фиг. 20)

Два взаимно перпендикулярни диаметъра разделят кръга на четири равни части. Ако правите линии се начертаят през центъра на кръга под ъгъл 45ᵒ спрямо осите, тогава те също ще разделят кръга на четири равни части. Страните на вписания квадрат ще бъдат успоредни на осите на окръжността. Заедно тези два квадрата разделят кръга на осем равни части.

Разделен на пет части (фиг. 21)

● 1 ). С помощта на отвор на компас, равен на радиуса, правим прорез върху кръга. Получаваме точка 2.

● От точка 2 спускаме перпендикуляра към диаметъра, от края на който е направен прорезът. Получаваме точка 3.

● Поставяме крака на компаса в точката 3. Да вземем радиуса равно на разстояниеот точка 3 до края на вертикалния диаметър (точка 4) и начертайте дъга, докато се пресече с хоризонталния диаметър. Получаваме точка 5.

● Свържете точки 4 и 5. Акорд 4–5 ще бъде 1/5 от кръга.

● Измерваме дължината на хордата с компас 4–5 и започнете да го отлагате от един от краищата на диаметъра (в зависимост от това как петоъгълникът трябва да бъде ориентиран спрямо осите). Диаметърът, от края на който започваме да полагаме сегмент, ще бъде оста на симетрия на фигурата.

Препоръчва се парчетата да се отделят от двете страни наведнъж. Останалият сегмент трябва да бъде перпендикулярно на остасиметрия. Ако дължината му не е равна на дължината на останалите сегменти, това означава, че конструкцията е извършена неточно или хордата 4–5 е измерена неточно. Трябва да коригирате дължината на сегмента и да повторите разделянето на кръга отново.

Разделяне на шест части (фиг. 22)

С помощта на отвор на компас, равен на радиуса на окръжността, правим прорези от двата края със същия диаметър в двете посоки от тях. Получаваме четири върха правилен шестоъгълник. Другите два върха са краищата на диаметъра, от който се правят серифите.

Разделяне на седем части (фиг. 23)

● Поставяме крака на компаса в един от краищата на диаметъра (точка 1). Използвайки разтвор на компас, равен на радиуса на кръга, правим прорез върху него. Получаваме точка 2.

● От точка 2 спускаме перпендикуляра към диаметъра, от края на който е направен прорезът. Получаваме точка 3. Отсечката 2–3 е 1/7 от кръга.

● Измерваме дължината на сегмента с дебеломер 2–3 и последователно го оставете настрани от двата края на диаметъра от двете страни едновременно. Последният сегмент трябва да бъде перпендикулярен на диаметъра, от края на който са започнали да се полагат сегментите. Този диаметър ще бъде симетрията на вписания седмоъгълник.

Разделяне на десет части (фиг. 24)

● Разделете кръга на 5 части, както е показано на фиг. 21. Получаваме правилен петоъгълник.

● От всеки връх на петоъгълника спускаме перпендикуляри към противоположните страни. Всички те ще преминат през центъра на кръга и ще разделят страната и дъгата, която я стяга, наполовина. Получаваме още 5 върха.

Разделяне на дванадесет части (фиг. 25)

С помощта на отвор на компас, равен на радиуса на кръга, правим прорези от краищата на двата диаметъра от двете им страни.

Съществува и обща техника за разделяне на кръг на произволен брой части. Нека го разгледаме с помощта на примера за конструиране на правилен шестоъгълник (фиг. 27).

● Начертаваме два взаимно перпендикулярни диаметъра (хоризонтален и вертикален).

● Диаметърът, който искаме да направим оста на симетрия на фигурата, разделяме на толкова части, на колкото трябва да разделим кръга. На фиг. 27 диаметър AB е разделена на 9 части. Номерираме получените точки на разделяне.

● Поставяме крака на компаса в точкатаА и радиус, равен на диаметъракръг, начертайте дъга, докато се пресече с продължението на вертикалния диаметър. Получаваме точка С.

● Свързваме точка C през една с точките на разделяне на диаметъра и продължаваме, докато се пресече с противоположната дъга на окръжността в точки I, II, III, IV. Ако един от върховете на нонагона трябва да бъде точка А, тогава изчертаваме лъчите през всички четни деления на диаметъра (фиг. 27, а). Ако точка B трябва да стане един от върховете, тогава лъчите трябва да бъдат начертани през всички нечетни деления на диаметъра (фиг. 27, b).

● Построените точки показваме симетрично спрямо хоризонталния диаметър. Получаваме останалите върхове на фигурата.

2.2.1. Задача No4. Разделяне на кръг

Цел: изучаване на техники за разделяне на кръг на равни части.

На формат А3 на първия ред изчертайте правилни многоъгълници(три-, четири-, пет-, шест-, седем- и деветстранни), вписани в кръгове с диаметър 60 mm. Кръговете като спомагателни линии трябва да са тънки. Очертайте полигоните с дебели линии.