ما هي أنواع المضلعات الموجودة؟ الدرس "المضلعات"

الموضوع: المضلعات - الصف الثامن:

يسمى خط القطع المتجاورة التي لا تقع على نفس الخط المستقيم خط متقطع.

نهايات الأجزاء هي قمم.

كل شريحة هي وصلة.

وكل مجموع أطوال القطع يشكل المجموع طولخط متقطع على سبيل المثال، AM + ME + EK + KO = طول الخط المتقطع

إذا كانت الأجزاء مغلقة، فهذا مضلع(أنظر فوق) .

يتم استدعاء الروابط الموجودة في المضلع حفلات.

مجموع أطوال الأضلاع - محيطمضلع.

القمم ملقاة على جانب واحد هي المجاورة.

شريحة متصلة القمم المجاورة، مُسَمًّى انحرافي.

المضلعات مُسَمًّى حسب عدد الجوانب: البنتاغون، السداسي، الخ.

كل شيء داخل المضلع الجزء الداخليطائرةوكل ما هو خارج - الجزء الخارجي من الطائرة.

ملحوظة! في الصورة أدناه- هذا ليس مضلعًا، نظرًا لوجود مضلعات إضافية النقاط المشتركةعلى نفس الخط المستقيم للأجزاء غير المتجاورة.

مضلع محدبتقع على جانب واحد من كل خط مستقيم. لتحديد ذلك عقليا (أو بالرسم)، نواصل كل جانب.

في مضلع العديد من الزوايا مثل الجوانب.

في مضلع محدب مجموع جميع الزوايا الداخليةيساوي (ن-2)*180°. n هو عدد الزوايا.

يسمى المضلع صحيحإذا كانت جميع أضلاعه وزواياه متساوية. لذلك يتم حساب زواياها الداخلية وفقًا للصيغة (حيث n هو عدد الزوايا): 180° * (ن-2) / ن

فيما يلي المضلعات ومجموع زواياها وما تساويه الزاوية الواحدة.

يتم حساب الزوايا الخارجية للمضلعات المحدبة على النحو التالي:

​​​​​​​

في هذا الدرس سنبدأ موضوع جديدويقدم لنا مفهومًا جديدًا: "المضلع". سنلقي نظرة على المفاهيم الأساسية المرتبطة بالمضلعات: الجوانب، وزوايا الرأس، والتحدب، وعدم التحدب. ثم سوف نثبت أهم الحقائق، مثل نظرية مجموع الزوايا الداخلية للمضلع، ونظرية مجموع الزوايا الخارجية للمضلع. ونتيجة لذلك، سنقترب من دراسة حالات خاصة للمضلعات، والتي سيتم تناولها في دروس لاحقة.

الموضوع: الأشكال الرباعية

الدرس: المضلعات

في مقرر الهندسة، ندرس خصائص الأشكال الهندسية وقد قمنا بالفعل بدراسة أبسطها: المثلثات والدوائر. وفي الوقت نفسه، ناقشنا أيضًا حالات خاصة محددة لهذه الأشكال، مثل المستطيلة والمتساوية الساقين و مثلثات منتظمة. الآن حان الوقت للحديث عن أكثر عمومية و شخصيات معقدة - المضلعات.

مع حالة خاصة المضلعاتنحن مألوفون بالفعل - هذا مثلث (انظر الشكل 1).

أرز. 1. المثلث

يؤكد الاسم نفسه بالفعل على أن هذا الشكل ذو ثلاث زوايا. لذلك، في مضلعيمكن أن يكون هناك الكثير منهم، أي. أكثر من ثلاثة. على سبيل المثال، لنرسم شكلاً خماسيًا (انظر الشكل 2)، أي. الشكل مع خمس زوايا.

أرز. 2. البنتاغون. مضلع محدب

تعريف.مضلع- شكل يتكون من عدة نقاط (أكثر من نقطتين) وعدد مماثل من المقاطع التي تربطها بالتتابع. تسمى هذه النقاط قممالمضلع، والقطاعات هي حفلات. في هذه الحالة، لا يوجد ضلعان متجاوران يقعان على نفس الخط المستقيم، ولا يتقاطع ضلعان غير متجاورين.

تعريف.مضلع منتظمهو مضلع محدب تكون جميع أضلاعه وزواياه متساوية.

أي مضلعيقسم الطائرة إلى منطقتين: داخلية وخارجية. ويشار إلى المنطقة الداخلية أيضا باسم مضلع.

بمعنى آخر، على سبيل المثال، عندما يتحدثون عن البنتاغون، فإنهم يقصدون منطقته الداخلية بأكملها وحدوده. والمنطقة الداخلية تشمل جميع النقاط التي تقع داخل المضلع أي: تشير النقطة أيضًا إلى البنتاغون (انظر الشكل 2).

يُطلق على المضلعات أحيانًا اسم n-gons للتأكيد على أنه يتم أخذ الحالة العامة لوجود عدد غير معروف من الزوايا (n قطع) في الاعتبار.

تعريف. محيط المضلع- مجموع أطوال أضلاع المضلع .

الآن نحن بحاجة للتعرف على أنواع المضلعات. وهي مقسمة إلى محدبو غير محدب. على سبيل المثال، المضلع الموضح في الشكل. 2 محدبة، وفي الشكل. 3 غير محدبة.

أرز. 3. مضلع غير محدب

التعريف 1. مضلعمُسَمًّى محدب، إذا كان عند رسم خط مستقيم على أي من جوانبه، كله مضلعتقع فقط على جانب واحد من هذا الخط المستقيم. غير محدبهم الجميع المضلعات.

من السهل أن نتخيل أنه عند تمديد أي جانب من جوانب البنتاغون في الشكل. 2 ـ أن يكون كله على جانب واحد من هذا الخط المستقيم، أي على جهة واحدة. إنه محدب. ولكن عند رسم خط مستقيم من خلال الشكل الرباعي في الشكل. 3 سبق أن رأينا أنه يقسمها إلى قسمين، أي: انها ليست محدبة.

ولكن هناك تعريف آخر لتحدب المضلع.

التعريف 2. مضلعمُسَمًّى محدب، إذا كان عند اختيار أي نقطتين من نقاطه الداخلية وربطهما بقطعة، فإن جميع نقاط القطعة هي أيضًا نقاط داخلية للمضلع.

يمكن رؤية توضيح لاستخدام هذا التعريف في مثال إنشاء المقاطع في الشكل. 2 و 3.

تعريف. قطريالمضلع هو أي قطعة تصل بين رأسين غير متجاورين.

لوصف خصائص المضلعات، هناك نوعان أهم النظرياتوعن زواياهم: نظرية مجموع الزوايا الداخلية مضلع محدب و نظرية مجموع الزوايا الخارجية للمضلع المحدب. دعونا ننظر إليهم.

نظرية. على مجموع الزوايا الداخلية لمضلع محدب (ن-غون).

أين عدد زواياه (أضلاعه).

الدليل 1. دعونا نصور في الشكل. 4 محدب n-gon.

أرز. 4. محدب n-gon

من قمة الرأس نرسم جميع الأقطار الممكنة. يقسمون n-gon إلى مثلثات، لأن يشكل كل جانب من أضلاع المضلع مثلثًا، باستثناء الأضلاع المجاورة للرأس. من السهل أن نرى من الشكل أن مجموع زوايا كل هذه المثلثات سيكون مساويًا تمامًا لمجموع الزوايا الداخلية للـ n-gon. بما أن مجموع زوايا أي مثلث هو , فإن مجموع الزوايا الداخلية للمضلع n هو:

Q.E.D.

الدليل 2. هناك دليل آخر على هذه النظرية. دعونا نرسم n-gon مشابهًا في الشكل. 5 وتوصيل أي نقطة من نقاطه الداخلية بجميع رؤوسه.

أرز. 5.

لقد حصلنا على تقسيم n-gon إلى مثلثات n (عدد الأضلاع يساوي عدد المثلثات). مجموع زواياها يساوي مجموع الزوايا الداخلية للمضلع ومجموع الزوايا عنده نقطة داخلية، وهذه هي الزاوية. لدينا:

Q.E.D.

ثبت.

وفقا للنظرية المثبتة، من الواضح أن مجموع زوايا n-gon يعتمد على عدد أضلاعه (على n). على سبيل المثال، في مثلث، ومجموع زواياه هو . في شكل رباعي، ومجموع زواياه هو، الخ.

نظرية. على مجموع الزوايا الخارجية لمضلع محدب (ن-غون).

أين عدد زواياه (أضلاعه) و... هي الزوايا الخارجية.

دليل. دعونا نصور n-gon محدبًا في الشكل. 6- تعيين زواياه الداخلية والخارجية.

أرز. 6. محدب n-gon بزوايا خارجية محددة

لأن الزاوية الخارجيةمتصلة مع الداخلية كما المجاورة، ثم وهكذا بالنسبة للزوايا الخارجية المتبقية. ثم:

أثناء التحويلات، استخدمنا النظرية المثبتة بالفعل حول مجموع الزوايا الداخلية للـ n-gon.

ثبت.

من النظرية المثبتة يتبع حقيقة مثيرة للاهتمام، أن مجموع الزوايا الخارجية محدب ن غونيساوي على عدد زواياه (جوانبه). بالمناسبة، على النقيض من مجموع الزوايا الداخلية.

فهرس

1. ألكساندروف أ.د. وغيرها، الهندسة، الصف الثامن. - م: التربية، 2006.
2. بوتوزوف ف.ف.، كادومتسيف إس.بي.، براسولوف ف.ف. الهندسة، الصف الثامن. - م: التربية، 2011.
3. Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir S.M. الهندسة، الصف الثامن. - م: فينتانا-غراف، 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. نارود.رو ().
3. كسفاتيت.كوم ().

العمل في المنزل

خصائص المضلعات

المضلع هو الشكل الهندسي، يتم تعريفه عادةً على أنه خط مغلق متقطع بدون تقاطعات ذاتية (مضلع بسيط (الشكل 1 أ)) ، ولكن في بعض الأحيان يُسمح بالتقاطعات الذاتية (حيث يكون المضلع ليس بسيطًا).

تسمى رؤوس المضلع رؤوس المضلع، وتسمى الأجزاء جوانب المضلع. تسمى رؤوس المضلع متجاورة إذا كانت نهايات أحد أضلاعه. تسمى الأجزاء التي تربط القمم غير المتجاورة للمضلع بالأقطار.

زاوية (أو الزاوية الداخلية) لمضلع محدب عند قمة معينة هي الزاوية التي تتكون من تقارب أضلاعه عند هذه القمة، ويتم حساب الزاوية من جانب المضلع. على وجه الخصوص، يمكن أن تتجاوز الزاوية 180 درجة إذا كان المضلع غير محدب.

الزاوية الخارجية لمضلع محدب عند قمة معينة هي الزاوية المجاورة للزاوية الداخلية للمضلع عند هذه القمة. في الحالة العامةالزاوية الخارجية هي الفرق بين 180 درجة والزاوية الداخلية. من كل رأس للمثلث > 3 هناك 3 أقطار، لذلك الرقم الإجماليأقطار المثلث متساوية.

يسمى المضلع ذو الثلاثة رؤوس مثلثًا، بأربعة - رباعي، بخمسة - خماسي، إلخ.

مضلع مع نتسمى القمم ن-مربع.

المضلع المسطح هو شكل يتكون من مضلع وجزء محدود من المساحة المحددة به.

يسمى المضلع محدبًا إذا تم استيفاء أحد الشروط (المكافئة) التالية:

• 1- يقع على أحد جانبي أي خط مستقيم يصل بين القمم المجاورة له. (أي أن امتدادات أضلاع المضلع لا تتقاطع مع أضلاعه الأخرى)؛
• 2. أنه تقاطع (أي. جزء مشترك) عدة أنصاف طائرات؛
• 3. أي قطعة تنتهي عند نقاط تابعة للمضلع تنتمي إليه بالكامل.

يسمى المضلع المحدب منتظما إذا كانت جميع أضلاعه متساوية وجميع الزوايا متساوية، على سبيل المثال مثلث متساوي الاضلاعوالمربع والخماسي.

يقال إن المضلع المحدب يكون محاطًا بدائرة إذا لامست جميع أضلاعه دائرة ما

المضلع المنتظم هو مضلع تكون فيه جميع الزوايا والأضلاع متساوية.

خصائص المضلعات:

1. كل قطري من المضلع المحدب، حيث >3، يقسمه إلى مضلعين محدبين.

2- مجموع زوايا المثلث المحدب متساوي.

D-vo: نثبت النظرية باستخدام الطريقة الاستنتاج الرياضي. في = 3 فمن الواضح. لنفترض أن النظرية صحيحة بالنسبة لـ -gon، أين <, وأثبت ذلك لـ -gon.

اسمحوا أن يكون مضلع معين. دعونا نرسم قطري هذا المضلع. وفقا للنظرية 3، يتحلل المضلع إلى مثلث ومثلث محدب (الشكل 5). بواسطة فرضية الاستقراء. على الجانب الآخر، . إضافة هذه المساواة ومراعاة ذلك (- شعاع الزاوية الداخلية ) و (- شعاع الزاوية الداخلية ), عندما نحصل على : .

3. حول أي مضلع منتظم يمكنك وصف دائرة، وواحدة فقط.

د-فو: ليكن مضلعًا منتظمًا، ويكون منصفات الزوايا، و(الشكل 150). منذ ذلك الحين، * 180 درجة< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке عن.دعونا نثبت ذلك يا = الزراعة العضوية 2 = عن =… = الزراعة العضوية ص . مثلث عنمتساوي الساقين، لذلك عن= عن. ووفقاً للمعيار الثاني لتساوي المثلثات، فإن: عن = عن. وكذا ثبت ذلك عن = عنإلخ. هذه هي النقطة عنعلى مسافة متساوية من جميع رؤوس المضلع، أي دائرة ذات مركز عننصف القطر عنمحصور حول المضلع.

دعونا الآن نثبت أن هناك دائرة مقيدة واحدة فقط. النظر في بعض القمم الثلاثة للمضلع، على سبيل المثال، أ 2 , . وبما أن دائرة واحدة فقط تمر عبر هذه النقاط، فهي حول المضلع … لا يمكنك وصف أكثر من دائرة واحدة.

• 4 يمكنك إدراج دائرة في أي مضلع منتظم، وواحد فقط.
• 5- دائرة منقوشة في مضلع منتظم تلامس جوانب المضلع عند منتصفها.
• 6- يتطابق مركز الدائرة المحصورة حول مضلع منتظم مع مركز الدائرة المحصورة في نفس المضلع.
• 7 التماثل:

يقولون أن الشكل له تناظر (متماثل) إذا كانت هناك مثل هذه الحركة (غير المتطابقة) التي تترجم هذا الشكل إلى نفسه.

• 7.1. المثلث العام ليس له محاور أو مراكز تماثل؛ المثلث المتساوي الساقين (لكن ليس متساوي الأضلاع) له محور تناظر واحد: المنصف العمودي على القاعدة.
• 7.2. يحتوي المثلث متساوي الأضلاع على ثلاثة محاور تماثل (منصفات متعامدة على الجوانب) وتماثل دوراني حول المركز بزاوية دوران قدرها 120 درجة.

7.3 أي مضلع n منتظم له عدد n من محاور التماثل، وجميعها تمر عبر مركزه. كما أن لديها تماثل دوراني حول المركز بزاوية دوران.

حتى عندما نتمر بعض محاور التماثل عبر القمم المتقابلة، والبعض الآخر عبر نقاط المنتصف للأطراف المتقابلة.

للغريب نيمر كل محور من خلال الجزء العلوي والوسطى من الجانب الآخر.

مركز المضلع المنتظم الذي له عدد زوجي من الأضلاع هو مركز تماثله. المضلع المنتظم الذي له عدد فردي من الأضلاع ليس له مركز تماثل.

8 التشابه:

مع التشابه، يذهب -gon إلى -gon، ونصف المستوى إلى نصف المستوى، وبالتالي محدب ن- تصبح الزاوية محدبة ن-غون.

نظرية: إذا كانت أضلاع وزوايا المضلعات المحدبة تحقق التساويات:

أين هو معامل المنصة

فإن هذه المضلعات متشابهة.

• 8.1 النسبة بين محيطي مضلعين متشابهين تساوي معامل التشابه.
• 8.2. النسبة بين مساحتي مضلعين محدبين متشابهين تساوي مربع معامل التشابه.

نظرية محيط المثلث المضلع

يسمى الجزء من المستوى الذي يحده خط مغلق ومكسور بالمضلع.

تسمى أجزاء هذا الخط المكسور حفلاتمضلع. AB، BC، CD، DE، EA (الشكل 1) هي جوانب المضلع ABCDE. مجموع جميع أضلاع المضلع يسمى محيط.

يسمى المضلع محدبإذا كان يقع على جانب واحد من أي جانب من جوانبه، ممتدًا إلى ما بعد القمم إلى ما لا نهاية.

لن يكون مضلع MNPKO (الشكل 1) محدبًا، لأنه يقع على أكثر من جانب من الخط المستقيم KR.

سننظر فقط في المضلعات المحدبة.

تسمى الزوايا التي تشكلها ضلعان متجاوران في المضلع بها داخليالزوايا وقممها - رؤوس المضلع.

يسمى الجزء المستقيم الذي يصل بين رأسين غير متجاورين لمضلع بقطر المضلع.

AC، AD - أقطار المضلع (الشكل 2).

تسمى الزوايا المجاورة للزوايا الداخلية للمضلع بالزوايا الخارجية للمضلع (الشكل 3).

اعتمادًا على عدد الزوايا (الأضلاع)، يُسمى المضلع مثلثًا، أو رباعيًا، أو خماسي الأضلاع، وما إلى ذلك.

يقال إن مضلعين متطابقان إذا كان من الممكن جمعهما عن طريق التداخل.

المضلعات المنقوشة والمحدودة

إذا كانت جميع رؤوس المضلع تقع على دائرة، فإن المضلع يسمى منقوشةفي دائرة، والدائرة - الموصوفةبالقرب من المضلع (الشكل).

إذا كانت جميع أضلاع المضلع مماسة لدائرة، فإن المضلع يسمى الموصوفةحول دائرة، وتسمى الدائرة منقوشةإلى مضلع (الشكل).

تشابه المضلعات

يسمى مضلعان لهما نفس الاسم بالتشابه إذا كانت زوايا أحدهما متساوية على التوالي مع زوايا الآخر، وكانت الجوانب المتشابهة للمضلعات متناسبة.

تسمى المضلعات التي لها نفس عدد الأضلاع (الزوايا) مضلعات تحمل نفس الاسم.

تسمى جوانب المضلعات المتشابهة التي تربط رؤوس الزوايا المتساوية المتشابهة (الشكل).

لذا، على سبيل المثال، لكي يكون المضلع ABCDE مشابهًا للمضلع A'B'C'D'E'، فمن الضروري أن: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E'، وبالإضافة إلى ذلك، AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

نسبة محيط المضلعات المتشابهة

أولا، النظر في خاصية سلسلة من النسب المتساوية. فلنأخذ على سبيل المثال النسب التالية: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 = 2.

لنجد مجموع الحدود السابقة لهذه العلاقات، ثم مجموع حدودها اللاحقة ونوجد نسبة المجاميع الناتجة، نحصل على:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

نحصل على نفس الشيء إذا أخذنا سلسلة من بعض العلاقات الأخرى، على سبيل المثال: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 فلنوجد مجموع الحدود السابقة من هذه العلاقات ومجموع العلاقات اللاحقة، ومن ثم إيجاد نسبة هذه المجاميع، نحصل على:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

وفي كلتا الحالتين، فإن مجموع الأعضاء السابقين في سلسلة من العلاقات المتساوية يرتبط بمجموع الأعضاء اللاحقين في نفس السلسلة، تمامًا كما يرتبط العضو السابق في أي من هذه العلاقات بالعضو اللاحق لها.

لقد اشتقنا هذه الخاصية من خلال النظر في عدد من الأمثلة العددية. يمكن استخلاصها بشكل صارم وفي شكل عام.

الآن فكر في نسبة محيط المضلعات المتشابهة.

دع المضلع ABCDE يكون مشابهًا للمضلع A'B'C'D'E' (الشكل).

ويترتب على تشابه هذه المضلعات ذلك

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

بناءً على الخاصية التي استنتجناها لسلسلة من النسب المتساوية، يمكننا أن نكتب:

مجموع الحدود السابقة للعلاقات التي أخذناها يمثل محيط المضلع الأول (P)، ومجموع الحدود اللاحقة لهذه العلاقات يمثل محيط المضلع الثاني (P')، ويعني P/P '= أ ب / أ'ب'.

لذلك، ترتبط محيطات المضلعات المتشابهة بأضلاعها المتشابهة.

نسبة مساحات المضلعات المتشابهة

اجعل ABCDE وA’B’C’D’E’ مضلعين متشابهين (الشكل).

ومن المعروف أن ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' و ΔADE ~ ΔA'D'E'.

بجانب،

;

وبما أن النسب الثانية لهذه النسب متساوية، وهو ما يترتب على تشابه المضلعات، إذن

باستخدام خاصية سلسلة النسب المتساوية نحصل على:

أو

حيث S وS هي مناطق هذه المضلعات المتشابهة.

لذلك، ترتبط مساحات المضلعات المتشابهة كمربعات ذات جوانب متشابهة.

يمكن تحويل الصيغة الناتجة إلى هذا النموذج: S / S' = (AB / A'B') 2

مساحة المضلع التعسفي

فليكن من الضروري حساب مساحة الشكل الرباعي التعسفي ABC (الشكل).

لنرسم فيه قطريًا، على سبيل المثال م. نحصل على مثلثين ABD وACD، يمكننا حساب مساحتهما. ثم نجد مجموع مساحات هذه المثلثات. المبلغ الناتج سيعبر عن مساحة هذا الشكل الرباعي.

إذا كنت بحاجة إلى حساب مساحة البنتاغون، فإننا نفعل الشيء نفسه: نرسم الأقطار من إحدى القمم. نحصل على ثلاثة مثلثات يمكننا حساب مساحتها. وهذا يعني أنه يمكننا إيجاد مساحة هذا الخماسي. نحن نفعل الشيء نفسه عند حساب مساحة أي مضلع.

المساحة المتوقعة للمضلع

دعونا نتذكر أن الزاوية بين الخط والمستوى هي الزاوية بين خط معين ومسقطه على المستوى (الشكل).

نظرية. مساحة الإسقاط المتعامد للمضلع على المستوى تساوي مساحة المضلع المسقط مضروبًا في جيب تمام الزاوية التي يشكلها مستوى المضلع ومستوى الإسقاط.

يمكن تقسيم كل مضلع إلى مثلثات مجموع مساحاتها يساوي مساحة المضلع. لذلك، يكفي إثبات نظرية المثلث.

دع ΔАВС يتم عرضه على الطائرة ر. دعونا نفكر في حالتين:

أ) أحد الجوانب ΔABC موازي للمستوى ر;

ب) لا يوجد أي ضلع من أضلاع ΔABC متوازي ر.

دعونا نفكر الحالة الأولى: دع [AB] || ر.

دعونا نرسم مستوى من خلال (AB) ر 1 || روالمشروع بشكل متعامد ΔАВС ر 1 وما فوق ر(أرز.)؛ نحصل على ΔАВС 1 و ΔА'В'С'.

بواسطة خاصية الإسقاط لدينا ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С'، وبالتالي

S Δ ABC1 = S Δ A'B'C'

لنرسم ⊥ والقطعة D 1 C 1 . ثم ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ هي قيمة الزاوية بين المستوى ΔABC والمستوى ر 1 . لهذا

S Δ ABC1 = 1 / 2 | أ ب | | ج1 د1 | = 1 / 2 | أ ب | | القرص المضغوط 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

وبالتالي، S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

دعنا ننتقل إلى النظر الحالة الثانية. لنرسم طائرة ر 1 || رمن خلال تلك القمة ΔАВС، وهي المسافة التي تصل منها إلى المستوى رالأصغر (فليكن الرأس A).

لنعرض ΔАВС على المستوى ر 1 و ر(أرز.)؛ دع توقعاتها تكون ΔАВ 1 С 1 و ΔА'В'С'، على التوالي.

دع (قبل الميلاد) ∩ ص 1 = د. ثم

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

مواد اخرى

مثلث، مربع، مسدس - هذه الأرقام معروفة للجميع تقريبًا. لكن لا يعلم الجميع ما هو المضلع المنتظم. لكن هذه كلها متماثلة. المضلع المنتظم هو الذي له زوايا وأضلاع متساوية. هناك الكثير من هذه الأرقام، لكنها جميعها لها نفس الخصائص، وتنطبق عليها نفس الصيغ.

خصائص المضلعات المنتظمة

يمكن إدراج أي مضلع منتظم، سواء كان مربعًا أو مثمنًا، في دائرة. غالبًا ما تستخدم هذه الخاصية الأساسية عند بناء الشكل. بالإضافة إلى ذلك، يمكن إدراج دائرة في مضلع. وفي هذه الحالة يكون عدد نقاط التلامس مساوياً لعدد أضلاعه. من المهم أن يكون للدائرة المرسومة في مضلع منتظم مركز مشترك معها. تخضع هذه الأشكال الهندسية لنفس النظريات. أي جانب من أضلاع n العادية يرتبط بنصف قطر الدائرة R المحيطة به، لذلك يمكن حسابه باستخدام الصيغة التالية: a = 2R ∙ sin180°. من خلالك، لا يمكنك العثور على الجوانب فحسب، بل يمكنك أيضًا العثور على محيط المضلع.

كيفية العثور على عدد جوانب المضلع المنتظم

يتكون أي جزء من عدد معين من الأجزاء المتساوية مع بعضها البعض، والتي عند اتصالها تشكل خطًا مغلقًا. في هذه الحالة، جميع زوايا الشكل الناتج لها نفس القيمة. وتنقسم المضلعات إلى بسيطة ومعقدة. المجموعة الأولى تتضمن مثلثًا ومربعًا. المضلعات المعقدة لها جوانب أكثر. وتشمل هذه أيضًا شخصيات على شكل نجمة. بالنسبة للمضلعات المنتظمة المعقدة، يتم العثور على الجوانب من خلال نقشها في دائرة. دعونا نعطي الدليل. ارسم مضلعًا منتظمًا بعدد تعسفي من الجوانب n. ارسم دائرة حوله. اضبط نصف القطر R. الآن تخيل أنك حصلت على بعض n-gon. إذا كانت نقاط زواياها تقع على الدائرة ومتساوية مع بعضها البعض، فيمكن إيجاد الجوانب باستخدام الصيغة: a = 2R ∙ sinα: 2.

إيجاد عدد أضلاع المثلث المنتظم المدرج

المثلث متساوي الأضلاع هو مضلع منتظم. تنطبق عليه نفس الصيغ كما هو الحال مع المربع و n-gon. يعتبر المثلث منتظمًا إذا كانت أضلاعه متساوية في الطول. في هذه الحالة، الزوايا هي 60 درجة. دعونا نبني مثلثًا بطول ضلع معين أ. بمعرفة متوسطه وارتفاعه، يمكنك إيجاد قيمة أضلاعه. للقيام بذلك، سوف نستخدم طريقة البحث من خلال الصيغة a = x: cosα، حيث x هو الوسيط أو الارتفاع. بما أن جميع أضلاع المثلث متساوية، نحصل على a = b = c. إذن العبارة التالية ستكون صحيحة: a = b = c = x: cosα. وبالمثل، يمكنك إيجاد قيمة الأضلاع في مثلث متساوي الساقين، لكن x سيكون الارتفاع المعطى. في هذه الحالة، ينبغي أن يتم إسقاطه بدقة على قاعدة الشكل. لذلك، بمعرفة الارتفاع x، نجد الضلع a من المثلث المتساوي الساقين باستخدام الصيغة a = b = x: cosα. بعد إيجاد قيمة a، يمكنك حساب طول القاعدة c. دعونا نطبق نظرية فيثاغورس. سنبحث عن قيمة نصف الأساس c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. ثم ج = 2xtanα. بهذه الطريقة البسيطة يمكنك العثور على عدد أضلاع أي مضلع منقوش.

حساب أضلاع المربع المدرج في دائرة

مثل أي مضلع منتظم آخر، للمربع جوانب وزوايا متساوية. تنطبق عليه نفس الصيغ كما هو الحال مع المثلث. يمكنك حساب جوانب المربع باستخدام القيمة القطرية. دعونا نفكر في هذه الطريقة بمزيد من التفصيل. ومن المعروف أن القطر يقسم الزاوية إلى نصفين. في البداية كانت قيمته 90 درجة. وبالتالي، بعد القسمة، يتكون اثنان من زواياها عند القاعدة تساوي 45 درجة. وعليه، فإن كل ضلع من أضلاع المربع سيكون متساوياً، أي: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2، حيث e هو قطر المربع، أو قاعدة المثلث القائم المتكون بعد قسم. ليست هذه هي الطريقة الوحيدة للعثور على جوانب المربع. دعونا نسجل هذا الرقم في دائرة. بمعرفة نصف قطر هذه الدائرة R نجد ضلع المربع. سنحسبها على النحو التالي: a4 = R√2. يتم حساب نصف قطر المضلعات المنتظمة باستخدام الصيغة R = a: 2tg (360 o: 2n)، حيث a هو طول الجانب.

كيفية حساب محيط n-gon

محيط n-gon هو مجموع جميع أضلاعه. من السهل الحساب. للقيام بذلك، عليك أن تعرف معاني جميع الجوانب. توجد صيغ خاصة لبعض أنواع المضلعات. أنها تسمح لك بالعثور على المحيط بشكل أسرع بكثير. من المعروف أن أي مضلع منتظم له أضلاع متساوية. لذلك، من أجل حساب محيطها، يكفي معرفة واحد منهم على الأقل. تعتمد الصيغة على عدد جوانب الشكل. بشكل عام، يبدو الأمر كما يلي: P = an، حيث a هي قيمة الجانب وn هو عدد الزوايا. على سبيل المثال، للعثور على محيط مثمن منتظم طول ضلعه 3 سم، عليك ضربه في 8، أي P = 3 ∙ 8 = 24 سم. أما بالنسبة للمضلع السداسي الذي طول ضلعه 5 سم، فإننا نحسبه كالتالي: P = 5 ∙ 6 = 30 سم وهكذا لكل مضلع.

إيجاد محيط متوازي الأضلاع والمربع والمعين

اعتمادًا على عدد أضلاع المضلع المنتظم، يتم حساب محيطه. وهذا يجعل المهمة أسهل بكثير. في الواقع، على عكس الأشكال الأخرى، في هذه الحالة لا تحتاج إلى البحث عن جميع جوانبها، واحدة كافية. باستخدام نفس المبدأ، نجد محيط الأشكال الرباعية، أي المربع والمعين. على الرغم من أن هذه الأشكال مختلفة، إلا أن الصيغة الخاصة بها هي نفسها: P = 4a، حيث a هو الضلع. دعونا نعطي مثالا. إذا كان طول ضلع المعين أو المربع 6 سم، فإننا نجد المحيط كما يلي: P = 4 ∙ 6 = 24 سم. في متوازي الأضلاع، تكون الأضلاع المتقابلة فقط متساوية. لذلك، تم العثور على محيطه بطريقة مختلفة. لذلك، علينا أن نعرف طول الشكل (أ) وعرضه (ب). ثم نطبق الصيغة P = (a + b) ∙ 2. متوازي الأضلاع الذي تكون فيه جميع الأضلاع والزوايا بينهما متساوية يسمى المعين.

إيجاد محيط المثلث متساوي الأضلاع والقائم

يمكن إيجاد محيط الضلع الصحيح باستخدام الصيغة P = 3a، حيث a هو طول الضلع. إذا كان غير معروف، فيمكن العثور عليه من خلال الوسيط. في المثلث القائم، هناك ضلعان فقط لهما قيمة متساوية. ويمكن العثور على الأساس من خلال نظرية فيثاغورس. بمجرد معرفة قيم الجوانب الثلاثة، نحسب المحيط. يمكن إيجاده باستخدام الصيغة P = a + b + c، حيث a وb متساويان في الضلعين وc هي القاعدة. تذكر أنه في المثلث المتساوي الساقين a = b = a، وهو ما يعني a + b = 2a، ثم P = 2a + c. على سبيل المثال، طول ضلع مثلث متساوي الساقين 4 سم، فلنوجد قاعدته ومحيطه. نحسب قيمة الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس حيث = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5.65 سم. والآن احسب المحيط P = 2 ∙ 4 + 5.65 = 13.65 سم.

كيفية العثور على زوايا المضلع المنتظم

المضلع المنتظم يحدث في حياتنا كل يوم، على سبيل المثال، مربع منتظم، مثلث، مثمن. يبدو أنه لا يوجد شيء أسهل من بناء هذا الشكل بنفسك. ولكن هذا بسيط فقط للوهلة الأولى. من أجل بناء أي n-gon، عليك أن تعرف قيمة زواياه. ولكن كيف يمكن العثور عليهم؟ حتى العلماء القدماء حاولوا بناء مضلعات منتظمة. لقد اكتشفوا كيفية وضعها في دوائر. ثم تم تحديد النقاط الضرورية عليها وربطها بخطوط مستقيمة. بالنسبة للأرقام البسيطة تم حل مشكلة البناء. تم الحصول على الصيغ والنظريات. على سبيل المثال، تناول إقليدس في عمله الشهير "البداية" حل المسائل للأعداد 3 و4 و5 و6 و15 غونًا. لقد وجد طرقًا لبنائها وإيجاد الزوايا. دعونا نلقي نظرة على كيفية القيام بذلك لمدة 15 غون. تحتاج أولاً إلى حساب مجموع زواياه الداخلية. من الضروري استخدام الصيغة S = 180⁰(n-2). لذلك، حصلنا على 15 غون، وهو ما يعني أن الرقم ن هو 15. نعوض بالبيانات التي نعرفها في الصيغة ونحصل على S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ × 13 = 2340⁰. لقد أوجدنا مجموع جميع الزوايا الداخلية لشكل طوله 15 قدمًا. الآن أنت بحاجة للحصول على قيمة كل واحد منهم. هناك 15 زاوية في المجموع نقوم بالحساب 2340⁰: 15 = 156⁰. هذا يعني أن كل زاوية داخلية تساوي 156⁰، والآن باستخدام المسطرة والبوصلة يمكنك إنشاء 15 غونًا عاديًا. ولكن ماذا عن n-gons الأكثر تعقيدًا؟ لعدة قرون، ناضل العلماء لحل هذه المشكلة. تم العثور عليه فقط في القرن الثامن عشر من قبل كارل فريدريش غاوس. لقد كان قادرًا على بناء 65537 غون. ومنذ ذلك الحين، تم اعتبار المشكلة حلاً كاملاً رسميًا.

حساب زوايا n-gons بالراديان

بالطبع، هناك عدة طرق للعثور على زوايا المضلعات. في أغلب الأحيان يتم حسابها بالدرجات. ولكن يمكن أيضًا التعبير عنها بالراديان. كيف افعلها؟ تحتاج إلى المضي قدما على النحو التالي. أولاً، نوجد عدد أضلاع المضلع المنتظم، ثم نطرح منه 2. وهذا يعني أننا حصلنا على القيمة: n - 2. اضرب الفرق الموجود في الرقم n ("pi" = 3.14). الآن كل ما تبقى هو تقسيم المنتج الناتج على عدد الزوايا في n-gon. دعونا نفكر في هذه الحسابات باستخدام نفس الشكل العشري كمثال. لذا، الرقم n هو 15. دعونا نطبق الصيغة S = n(n - 2) : n = 3.14(15 - 2) : 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72. هذه، بالطبع، ليست الطريقة الوحيدة لحساب الزاوية بالراديان. يمكنك ببساطة تقسيم الزاوية بالدرجات على 57.3. ففي النهاية، هذا هو عدد الدرجات التي تعادل راديان واحدًا.

حساب الزوايا بالدرجات

بالإضافة إلى الدرجات والراديان، يمكنك محاولة إيجاد زوايا المضلع المنتظم بالدرجات. هذا يفعل كما يلي. اطرح 2 من إجمالي عدد الزوايا، ثم اقسم الفرق الناتج على عدد أضلاع المضلع المنتظم. نضرب النتيجة التي تم الحصول عليها بـ 200. بالمناسبة، لا يتم استخدام وحدة قياس الزوايا مثل الدرجات عمليا.

حساب الزوايا الخارجية للn-gons

بالنسبة لأي مضلع منتظم، بالإضافة إلى المضلع الداخلي، يمكنك أيضًا حساب الزاوية الخارجية. تم العثور على قيمتها بنفس الطريقة كما هو الحال مع الأرقام الأخرى. لذا، للعثور على الزاوية الخارجية لمضلع منتظم، عليك معرفة قيمة الزاوية الداخلية. علاوة على ذلك، نعلم أن مجموع قياس هاتين الزاويتين يساوي دائمًا 180 درجة. لذلك، نقوم بالحسابات على النحو التالي: 180⁰ ناقص قيمة الزاوية الداخلية. نجد الفرق. وستكون مساوية لقيمة الزاوية المجاورة لها. على سبيل المثال، الزاوية الداخلية للمربع هي 90 درجة، مما يعني أن الزاوية الخارجية ستكون 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. كما نرى، ليس من الصعب العثور عليه. يمكن أن تأخذ الزاوية الخارجية قيمة من +180⁰ إلى -180⁰، على التوالي.