كيفية عمل كسر غير حقيقي من رقم. الأعداد المختلطة التعريف والأمثلة

الكلمة نفسها - الكسر تعني أن الرقم كسري، فهو أقل من الكل (واحد على الأقل).

لذلك، من الضروري استخراج العدد الصحيح من البسط. على سبيل المثال، الرقم 30/4 هو كسر غير منتظم، حيث أن 30 أكبر من 4. هذا يعني أنك تحتاج فقط إلى قسمة 30 على 4 وسنحصل على الرقم قبل العلامة العشرية - 7، ثم نضعه في المقدمة من الكسر. اضرب 7 في 4 واطرح هذا الرقم من 30 - تحصل على 2 - سيكون في بسط الكسر. الإجمالي - 7 2/4، تقليل - 7 1/2. في مثالك، الجواب هو 2 3/4.

ولهذا تحتاج إلى قارئ: القاسم.

اكتب الكل الذي يخرج في البسط. القاسم هو ما كان عليه. عند القسمة، اكتبها كجزء كامل.

11:4=2 (3 باقي).

نحصل على الكسر الصحيح: 2 - الكل 34

للقيام بذلك جزء غير لائقصحيح، أنت بحاجة إلى تحديد الأجزاء الكاملة وطرحها من الكسر غير الحقيقي. في حالتنا لا الكسر المناسب 11/4. سيكون هناك جزأين (2) كاملين. نطرحها ونحصل على الكسر المناسب: نقطتان وثلاثة (2 نقطة 3/4).

الكسر غير الحقيقي، في حالتنا 11/4، يحتاج إلى تحويله إلى كسر حقيقي، أي. في هذه الحالة جزء مختلط. بكل بساطة، الكسر غير صحيح لأنه بالإضافة إلى الكسر، فإنه يحتوي أيضًا على عدد صحيح. إنها مثل كعكة موضوعة في الثلاجة، غير مكتملة، على الرغم من قطعها، وعلى الطاولة هناك بضع قطع متبقية من الثانية. عندما نتحدث عن 4/11، لم نعد نعرف عن كعكتين كاملتين، فنحن نرى فقط إحدى عشرة قطعة كبيرة. 11 قسمة على 4 نحصل على 2 والباقي هو 11-8 = 3. إذن، 2 كامل 3/4، الآن الكسر صحيح، وله بسط وفقًا لـ أقل من القاسمسيكون هناك، ولكن مختلط، حيث لا يمكن إجراء الحساب بدون وحدات كاملة.

لتحويل كسر غير فعلي إلى كسر حقيقي، عليك قسمة البسط على المقام. ضع العدد الصحيح الناتج أمام الكسر، وأدخل الباقي في البسط. القاسم لا يتغير.

على سبيل المثال: الكسر 11/4 هو كسر غير حقيقي، حيث البسط هو 11 والمقام هو 4.

أولا نقسم 11 على 4، نحصل على عددين صحيحين و3 باقي. نضع 2 أمام الكسر، ونكتب الباقي 3 في البسط 3/4. وهكذا يصبح الكسر صحيحا - 2 كامل و 3/4.

الكسر غير الحقيقي له مقام أصغر من البسط، مما يشير إلى أن هذا الكسر يحتوي على أجزاء صحيحة يمكن فصلها لتكوين كسر حقيقي بعدد صحيح.

أسهل طريقة لقسمة البسط على المقام. نضع العدد الصحيح الناتج على يسار الكسر، ونكتب الباقي في البسط، ويبقى المقام كما هو.

على سبيل المثال 11/4. اقسم 11 على 4 واحصل على 2 والباقي 3. اثنان هو الرقم الذي نضعه بجوار الكسر، ونكتب ثلاثة في بسط الكسر. اتضح 2 و 3/4.

للإجابة على هذا السؤال البسيط، يمكنك حل نفس المشكلة البسيطة:

جاءت بيتيا وفاليا بصحبة أقرانهما. كان هناك 11 منهم معًا، كان لدى فاليا تفاحًا معه (ولكن ليس كثيرًا) ومن أجل علاج الجميع، قطعت بيتيا كل واحدة إلى أربعة أجزاء ووزعتها. كان هناك ما يكفي للجميع، وكان هناك حتى خمس قطع متبقية.

كم عدد التفاح الذي أعطته بيتيا وكم عدد التفاح المتبقي؟ كم كان هناك في المجموع؟

هل يمكننا كتابة هذا رياضيا؟

11 قطعة من التفاح تساوي 11/4 في حالتنا - لقد حصلنا على كسر غير حقيقي، لأن البسط أكبر من المقام.

لاختيار جزء كامل (يتحولكسر غير لائق إلى كسر مناسب)، تحتاج البسط مقسوما على المقام، اكتب الناتج غير المكتمل (في حالتنا 2) على اليسار، واترك الباقي (3) في البسط ولا تلمس المقام.

ونتيجة لذلك نحصل 11/4 = 11:4 = 2 3/4 أعطت بيتيا التفاح.

وبالمثل، 5/4 = 1 1/4 تفاحة متبقية.

(11+5)/4 = 16/4 = أحضرت فاليا 4 تفاحات

كلمة "كسور" تصيب الكثير من الناس بالقشعريرة. لأنني أتذكر المدرسة والمهام التي تم حلها في الرياضيات. وكان هذا واجبا كان لا بد من الوفاء به. ماذا لو تعاملت مع المسائل التي تتضمن الكسور الصحيحة وغير الصحيحة مثل اللغز؟ بعد كل شيء، العديد من البالغين يحلون الكلمات المتقاطعة الرقمية واليابانية. لقد اكتشفنا القواعد، وهذا كل شيء. إنه نفس الشيء هنا. على المرء فقط أن يتعمق في النظرية - وكل شيء سوف يقع في مكانه. وستتحول الأمثلة إلى وسيلة لتدريب دماغك.

ما هي أنواع الكسور الموجودة؟

لنبدأ بما هو عليه. الكسر هو عدد يحتوي على جزء من الواحد. ويمكن كتابتها في شكلين. الأول يسمى عادي. أي الذي يحتوي على خط أفقي أو مائل. وهو ما يعادل علامة القسمة.

في مثل هذا التدوين، يسمى الرقم الموجود فوق السطر البسط، والرقم الموجود أسفله يسمى المقام.

من بين الكسور العادية، يتم التمييز بين الكسور الصحيحة وغير الصحيحة. بالنسبة للأول، القيمة المطلقة للبسط تكون دائمًا أقل من المقام. يُطلق على الأشخاص الخطأ ذلك لأنهم يمتلكون كل شيء على العكس من ذلك. قيمة الكسر الصحيح تكون دائمًا أقل من واحد. بينما الرقم الخاطئ دائما أكبر من هذا الرقم.

هناك أيضًا أعداد كسرية، أي تلك التي تحتوي على عدد صحيح وجزء كسري.

النوع الثاني من التدوين هو الكسر العشري. هناك محادثة منفصلة عنها.

كيف تختلف الكسور غير الصحيحة عن الأعداد الكسرية؟

في جوهر الأمر، لا شيء. انها بسيطة دخول مختلفنفس الرقم. تصبح الكسور غير الحقيقية أرقامًا مختلطة بسهولة بعد خطوات بسيطة. والعكس صحيح.

كل هذا يتوقف على الوضع المحدد. في بعض الأحيان يكون من الملائم أكثر استخدام جزء غير صحيح في المهام. وأحيانا يكون من الضروري تحويله إلى عدد كسري ومن ثم سيتم حل المثال بسهولة بالغة. لذلك، ما يجب استخدامه: الكسور غير الحقيقية، الأعداد الكسرية، يعتمد على مهارات الملاحظة لدى الشخص الذي يحل المشكلة.

تتم أيضًا مقارنة العدد الكسري بمجموع الجزء الكامل والجزء الكسري. علاوة على ذلك، فإن العدد الثاني يكون دائمًا أقل من واحد.

كيفية تمثيل رقم مختلط ككسر غير صحيح؟

إذا كنت بحاجة إلى تنفيذ أي إجراء باستخدام عدة أرقام مكتوبة أنواع مختلفة، فأنت بحاجة إلى جعلها متماثلة. إحدى الطرق هي تمثيل الأرقام على أنها كسور غير حقيقية.

لهذا الغرض، سوف تحتاج إلى تنفيذ الخوارزمية التالية:

اضرب المقام بالجزء كله؛
إضافة قيمة البسط إلى النتيجة؛
اكتب الإجابة فوق السطر؛
اترك القاسم كما هو.

فيما يلي أمثلة لكيفية كتابة الكسور غير الحقيقية من الأعداد الكسرية:

17 ¼ = (17 × 4 + 1) : 4 = 69/4؛
39 ½ = (39 × 2 + 1) : 2 = 79/2.

كيف تكتب كسرًا غير حقيقي كرقم مختلط؟

التقنية التالية هي عكس التقنية التي تمت مناقشتها أعلاه. أي عندما يتم استبدال جميع الأعداد الكسرية بكسور غير حقيقية. ستكون خوارزمية الإجراءات كما يلي:

اقسم البسط على المقام للحصول على الباقي؛
اكتب الناتج بدلاً من الجزء المختلط بأكمله؛
وينبغي وضع الباقي فوق الخط؛
المقسوم عليه سيكون المقام.

أمثلة على هذا التحول:

76/14؛ 76:14 = 5 والباقي 6؛ الجواب سيكون 5 كامل و 6/14؛ يجب تقليل الجزء الكسري في هذا المثال بمقدار 2، مما يؤدي إلى 3/7؛ الجواب النهائي هو 5 نقاط 3/7.

108/54؛ بعد القسمة، يتم الحصول على حاصل القسمة 2 بدون باقي؛ وهذا يعني أنه لا يمكن تمثيل جميع الكسور غير الحقيقية كعدد مختلط؛ الجواب سيكون عددا صحيحا - 2.

كيفية تحويل العدد الصحيح إلى كسر غير حقيقي؟

هناك حالات عندما يكون مثل هذا الإجراء ضروريًا. للحصول على كسور غير حقيقية ذات مقام معروف، ستحتاج إلى تنفيذ الخوارزمية التالية:

ضرب عدد صحيح بالمقام المطلوب؛
اكتب هذه القيمة فوق السطر؛
ضع المقام تحته.

الخيار الأبسط هو عندما يكون القاسم يساوي واحد. ثم لا تحتاج إلى مضاعفة أي شيء. يكفي أن تكتب ببساطة العدد الصحيح الموضح في المثال، وتضع واحدًا تحت السطر.

مثال: اجعل 5 كسرًا غير حقيقي مقامه 3. ضرب 5 في 3 يعطي 15. سيكون هذا الرقم هو المقام. إجابة المهمة هي كسر: 15/3.

طريقتان لحل المسائل ذات الأعداد المختلفة

يتطلب المثال حساب المجموع والفرق، بالإضافة إلى حاصل ضرب وحاصل رقمين: عددان صحيحان 3/5 و14/11.

في النهج الأولسيتم تمثيل العدد المختلط ككسر غير حقيقي.

بعد تنفيذ الخطوات الموضحة أعلاه، ستحصل على القيمة التالية: 13/5.

من أجل معرفة المبلغ، تحتاج إلى تقليل الكسور إلى نفس القاسم. 13/5 بعد الضرب في 11 يصبح 143/55. و14/11 بعد الضرب في 5 سيبدو كما يلي: 70/55. لحساب المجموع، ما عليك سوى إضافة البسطين: 143 و70، ثم كتابة الإجابة بمقام واحد. 213/55 - هذا الكسر غير الحقيقي هو جواب المسألة.

عند إيجاد الفرق يتم طرح نفس الأرقام: 143 - 70 = 73. ستكون الإجابة كسرًا: 73/55.

عند ضرب 13/5 و14/11 ليست هناك حاجة إلى أن تؤدي إلى القاسم المشترك. يكفي ضرب البسط والمقامات في أزواج. الجواب: 182/55.

الشيء نفسه ينطبق على القسمة. ل القرار الصحيحتحتاج إلى استبدال القسمة بالضرب وعكس المقسوم عليه: 13/5: 14/11 = 13/5 × 11/14 = 143/70.

في النهج الثانييصبح الكسر غير الصحيح عددًا مختلطًا.

بعد تنفيذ إجراءات الخوارزمية، سيتحول 14/11 إلى رقم مختلط بجزء صحيح من 1 وجزء كسري من 3/11.

عند حساب المبلغ، تحتاج إلى إضافة الأجزاء الكاملة والكسرية بشكل منفصل. 2 + 1 = 3، 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. الجواب النهائي هو 3 نقاط 48/55. في النهج الأول كان الكسر 213/55. يمكنك التحقق من صحته عن طريق تحويله إلى رقم مختلط. بعد قسمة 213 على 55، يكون الناتج 3 والباقي 48. ومن السهل أن نرى أن الإجابة صحيحة.

عند الطرح، يتم استبدال علامة "+" بعلامة "-". 2 - 1 = 1، 33/55 - 15/55 = 18/55. للتحقق من ذلك، يجب تحويل الإجابة من الطريقة السابقة إلى رقم كسري: 73 مقسومًا على 55 والحاصل هو 1 والباقي هو 18.

للعثور على المنتج والحاصل، فمن غير المناسب استخدام أرقام مختلطة. يوصى دائمًا بالانتقال إلى الكسور غير الصحيحة هنا.

يتم تخصيص كتلة ضخمة من الرياضيات للعمل مع الكسور أو غير الأعداد الصحيحة. تصادفها كثيرًا في الحياة، لذا فإن معرفة كيفية التعامل مع هذه الأرقام أمر مهم لأي شخص. الرياضيات علم يبدأ فيه الطالب بمعرفة الأشياء والأفعال البسيطة، ثم ينتقل إلى الأشياء الأكثر تعقيدًا.

المعرفة والقدرة على العمل مع مثل هذه الأرقام ستسهل عليه ذلك مزيد من العملمع اللوغاريتمات، مؤشرات عقلانيةوالتكاملات. باستخدام هذه الأرقام، يمكنك فعل كل شيء كما هو الحال مع الأرقام العادية: جمع الكسور والقسمة والطرح والضرب. بالإضافة إلى ذلك، يمكن تقصيرها. العمل مع الكسور أمر بسيط، والشيء الرئيسي هو معرفة القواعد والأساليب الأساسية لحسابها.

المفاهيم الأساسية

من أجل فهم أي نوع من المعنى، من الضروري تخيل كائن كامل معين. لنفترض أن هناك كعكة تم تقطيعها إلى عدة قطع متطابقة أو متساوية. سيتم استدعاء كل قطعة حصة.

على سبيل المثال، 10 يتكون من 5 ثنائيات، كل اثنين جزء من عشرة.

الكسور لها أسماءها الخاصة، اعتمادًا على عددها الإجمالي في العدد الصحيح: 10 يمكن أن تتكون من خمستين أو خمسة اثنين، في الحالة الأولى ستسمى (ثانية واحدة)، وفي الثانية - (الخمس). وينبغي أن نتذكر أنه يساوي نصف العدد، و(الثلث) ثلث، و(الربع) ربع. ويمكن أيضًا تصويرها من خلال شرطة: ½ أو 1/3 أو 1/5.

الرقم مكتوب في الأعلى خط أفقيأو عن يسار المائل، دعا البسط- يوضح عدد الأجزاء المأخوذة من عدد صحيح، والرقم الموجود تحت السطر أو على يمينه - القاسم,ويبين عدد الأسهم التي تم تقسيمها. على سبيل المثال، تم تقسيم الكعكة إلى 10 قطع ووضع قطعتين منها على الفور للضيوف المتأخرين. فيكون 2/10 (العشرين) أي. أخذ قطعتين (البسط) من إجمالي 10 (المقام).

ما هي الكسور، ما هو الكسر غير الحقيقي، ما هو الكسر العادي؟ من السهل الإجابة على هذه الأسئلة:

يمكن دائمًا تحويل الرقم المختلط إلى كسر غير لائقوالعكس صحيح.

تقول الخاصية الرئيسية: عند الضرب وكذلك قسمة المقسوم والمقسوم على نفس العامل بشكل عام لن يتغير حجم الكسر.هذه الخاصية تجعل جميع العمليات مع الكسور ممكنة.

كيفية تقصير؟

القاعدة الأساسية هي أنه يمكن تبسيط الرقم الكسري عن طريق قسمة البسط والمقام بنفس المقسوم عليه(يختلف عن 0) بحيث يتم الحصول على رقم جديد بمعلمات أصغر، ولكنه يساوي القيمة الأصلية. وبناء على هذه القاعدة يمكن فهم ذلك الكسور قابلة للاختزال وغير قابلة للاختزال.

مثال على تبسيط الكسور: لنختصر 8/24 عن طريق قسمة معاملاتها على 2. نحصل على: 8:2=4 و24:2=12. ونتيجة لذلك، سيتحول الرقم الأصلي إلى 4/12. يمكنك تكرار العملية بتقسيم الأرقام مرة أخرى: 4:2=2 و12:2=6. نحصل على 2/6. لنكرر العملية مرة أخرى: 2:2=1 و6:2=3. والنتيجة هي رقم غير قابل للاختزال قدره 1/3، حيث لم يعد من الممكن تقسيم معلماته على نفس المقسوم عليه. يمكن أن يكون أي عدد قابل للتخفيض يؤدي إلى ما لا يمكن اختزاله.

يمكن اختصارها عند الضرب التعبيرات الكسريةفوق بعضها البعض: *. هذه الأرقام نفسها غير قابلة للاختزال، ولكن من خلال إجراء عملية الضرب، يمكنك تقليلها قطريًا: * = =. يمكنك الاختصار فقط عند الضرب متقاطع:بسط الأول مع مقام الثاني، والعكس.

يمكنك أيضًا تقصير رقم مختلط، على سبيل المثال. تمثيل الجزء الكامل والكسر الصحيح ككسر غير حقيقي. لهذا ينبغي القيام بهبعض الإجراءات:

عادل و العمل العكسي: اصنع كسرًا مختلطًا من كسر غير حقيقي. للقيام بذلك، فكر في الإجراء العكسي باستخدام:

من الممكن تقليل الكسور في أي عملية باستخدام هذه الطريقة. يمكنك تقليل قيم مقسومه ومقسومه عن طريق ضربهما بنفس العامل، والتحول من عدد كسري إلى كسر، والعكس.

الإجراءات الممكنة

تتوفر جميع أنواع العمليات الحسابية الأساسية عند عد الكسور، كما هو الحال مع الأعداد الصحيحة: الجمع والطرح وغيرها. دعونا نلقي نظرة على كل إجراء على حدة مع الأمثلة:

الجمع والطرح

يمكنك إضافة المشاركات بطريقتين، اعتمادًا على المقسوم عليها. هم نفس ومختلفة. لنفكر في مثال لإضافة أسهم ذات مقسومات متطابقة.

لحل +، عليك إضافة المقسوم بشكل منفصل وترك المقسوم عليه: 1+1. ستكون النتيجة هي الرقم، ولكن نظرًا لأنه غير صحيح، فيمكن تحويله إلى رقم مختلط عن طريق قسمة المقسوم على المقسوم عليه: 2:2= 1. يجب دائمًا (!) إعطاء الكسر غير الصحيح إلى الصحيح وغير القابل للاختزالأي إذا كان من الممكن تقسيم أرباحها ومقسومها على نفس العامل، فيجب أن يتم ذلك دون فشل.

وفي حالة إضافة أسهم ذات قواسم مختلفة يجب أن تكون كذلك في البداية يؤدي إلى نفسه. على سبيل المثال، لحل: تحتاج إلى:

يتم إجراء الطرح بنفس الطريقة تمامًا: في حالة المقسومات المتماثلة، لا نلمسها، بل نطرح البسطين بالتسلسل: - = = . إذا كانت المقامات مختلفة، فيجب عليك المتابعة كما هو الحال مع عملية الجمع: ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر، والعوامل، واضرب الأسهم، ثم اطرح الأسهم التي لها نفس المقسومات.

ما هي أنواع الكسور الموجودة؟

في مثل هذا التدوين، يسمى الرقم الموجود فوق السطر البسط، والرقم الموجود أسفله يسمى المقام.

هناك أيضًا أعداد كسرية، أي تلك التي تحتوي على عدد صحيح وجزء كسري.

النوع الثاني من التدوين هو الكسر العشري. هناك محادثة منفصلة عنها.

كيف تختلف الكسور غير الصحيحة عن الأعداد الكسرية؟

في جوهر الأمر، لا شيء. هذه مجرد تسجيلات مختلفة لنفس الرقم. تصبح الكسور غير الحقيقية أرقامًا مختلطة بسهولة بعد خطوات بسيطة. والعكس صحيح.

كيفية تمثيل رقم مختلط ككسر غير صحيح؟

إذا كنت بحاجة إلى تنفيذ أي إجراء مع العديد من الأرقام المكتوبة بأشكال مختلفة، فأنت بحاجة إلى جعلها هي نفسها. إحدى الطرق هي تمثيل الأرقام على أنها كسور غير حقيقية.

لهذا الغرض، سوف تحتاج إلى تنفيذ الخوارزمية التالية:

اضرب المقام بالجزء كله؛
إضافة قيمة البسط إلى النتيجة؛
اكتب الإجابة فوق السطر؛
اترك القاسم كما هو.

فيما يلي أمثلة لكيفية كتابة الكسور غير الحقيقية من الأعداد الكسرية:

17 ¼ = (17 × 4 + 1) : 4 = 69/4؛
39 ½ = (39 × 2 + 1) : 2 = 79/2.

كيف تكتب كسرًا غير حقيقي كرقم مختلط؟

اقسم البسط على المقام للحصول على الباقي؛
اكتب الناتج بدلاً من الجزء المختلط بأكمله؛
وينبغي وضع الباقي فوق الخط؛
المقسوم عليه سيكون المقام.

أمثلة على هذا التحول:

كيفية تحويل العدد الصحيح إلى كسر غير حقيقي؟

ضرب عدد صحيح بالمقام المطلوب؛
اكتب هذه القيمة فوق السطر؛
ضع المقام تحته.

أبسط خيار هو عندما يكون المقام يساوي واحدًا. ثم لا تحتاج إلى مضاعفة أي شيء. يكفي أن تكتب ببساطة العدد الصحيح الموضح في المثال، وتضع واحدًا تحت السطر.

مثال: اجعل 5 كسرًا غير حقيقي مقامه 3. ضرب 5 في 3 يعطي 15. سيكون هذا الرقم هو المقام. إجابة المهمة هي كسر: 15/3.

طريقتان لحل المسائل ذات الأعداد المختلفة

يتطلب المثال حساب المجموع والفرق، بالإضافة إلى حاصل ضرب وحاصل رقمين: عددان صحيحان 3/5 و14/11.

في النهج الأولسيتم تمثيل العدد المختلط ككسر غير حقيقي.

بعد تنفيذ الخطوات الموضحة أعلاه، ستحصل على القيمة التالية: 13/5.

من أجل معرفة المبلغ، تحتاج إلى تقليل الكسور إلى نفس المقام. 13/5 بعد الضرب في 11 يصبح 143/55. و14/11 بعد الضرب في 5 سيبدو كما يلي: 70/55. لحساب المجموع، ما عليك سوى إضافة البسطين: 143 و70، ثم كتابة الإجابة بمقام واحد. 213/55 - هذا الكسر غير الحقيقي هو جواب المسألة.

عند إيجاد الفرق يتم طرح نفس الأرقام: 143 - 70 = 73. ستكون الإجابة كسرًا: 73/55.

عند ضرب 13/5 و14/11، لا تحتاج إلى إحضارهما إلى قاسم مشترك. يكفي ضرب البسط والمقامات في أزواج. الجواب: 182/55.

الشيء نفسه ينطبق على القسمة. لحل المشكلة بشكل صحيح، عليك استبدال القسمة بالضرب وعكس المقسوم عليه: 13/5: 14/11 = 13/5 × 11/14 = 143/70.

في النهج الثانييصبح الكسر غير الصحيح عددًا مختلطًا.

بعد تنفيذ إجراءات الخوارزمية، سيتحول 14/11 إلى رقم مختلط بجزء صحيح من 1 وجزء كسري من 3/11.

كيفية تكوين كسر مناسب من كسر غير حقيقي؟

الكلمة نفسها - الكسر تعني أن الرقم كسري، فهو أقل من الكل (واحد على الأقل).

لذلك، من الضروري استخراج العدد الصحيح من البسط. على سبيل المثال، الرقم 30/4 هو كسر غير منتظم، حيث أن 30 أكبر من 4. هذا يعني أنك تحتاج فقط إلى قسمة 30 على 4 ونحصل على الرقم حتى العلامة العشرية - 7، ثم نضعه في المقدمة من الكسر. اضرب 7 في 4 واطرح هذا الرقم من 30 - تحصل على 2 - سيكون في بسط الكسر. الإجمالي - 7 2/4، تقليل - 7 1/2. في مثالك، الجواب هو 2 3/4.

ولهذا تحتاج إلى قارئ: القاسم.

اكتب الكل الذي يخرج في البسط. القاسم هو ما كان عليه. عند القسمة، اكتبها كجزء كامل.

11:4=2 (3 باقي).

نحصل على الكسر الصحيح: 2 - الكل 34

لتحويل كسر غير حقيقي إلى كسر حقيقي، عليك تحديد الأجزاء الكاملة وطرحها من الكسر غير الحقيقي. في حالتنا، الكسر غير الحقيقي هو 11/4. سيكون هناك جزأين (2) كاملين. نطرحها ونحصل على الكسر المناسب: نقطتان وثلاثة (2 نقطة 3/4).

الكسر غير الحقيقي، في حالتنا 11/4، يحتاج إلى تحويله إلى كسر حقيقي، أي. في هذه الحالة جزء مختلط. بكل بساطة، الكسر غير صحيح لأنه بالإضافة إلى الكسر، فإنه يحتوي أيضًا على عدد صحيح. إنها مثل كعكة موضوعة في الثلاجة، غير مكتملة، على الرغم من قطعها، وعلى الطاولة هناك بضع قطع متبقية من الثانية. عندما نتحدث عن 4/11، لم نعد نعرف عن كعكتين كاملتين، فنحن نرى فقط إحدى عشرة قطعة كبيرة. 11 قسمة على 4 نحصل على 2 والباقي هو 11-8 = 3. إذن، 2 كامل 3/4، الآن الكسر منتظم، حيث سيكون البسط أصغر من المقام، ولكنه مختلط، حيث لا يمكن إجراء الحساب بدون وحدات كاملة.

على سبيل المثال: الكسر 11/4 هو كسر غير حقيقي، حيث البسط هو 11 والمقام هو 4.

للإجابة على هذا السؤال البسيط، يمكنك حل نفس المشكلة البسيطة:

كم عدد التفاح الذي أعطته بيتيا وكم عدد التفاح المتبقي؟ كم كان هناك في المجموع؟

هل يمكننا كتابة هذا رياضيا؟

11 قطعة من التفاح في حالتنا هي 11/4 - لقد حصلنا على كسر غير حقيقي، لأن البسط أكبر من المقام.

ونتيجة لذلك نحصل 11/4 = 11:4 = 2 3/4 أعطت بيتيا التفاح.

وبالمثل، 5/4 = 1 1/4 تفاحة متبقية.

(11+5)/4 = 16/4 = أحضرت فاليا 4 تفاحات

الكسر هو عدد يتكون من وحدة واحدة أو أكثر. هناك ثلاثة أنواع من الكسور في الرياضيات: المشتركة، والمختلطة، والعشرية.

الكسور المشتركة

تتم كتابة الكسر العادي كنسبة يعكس فيها البسط عدد الأجزاء المأخوذة من العدد، ويوضح المقام عدد الأجزاء التي تنقسم إليها الوحدة. إذا كان البسط أقل من المقام، فلدينا كسر مناسب، على سبيل المثال: ½، 3/5، 8/9.

إذا كان البسط يساوي المقامأو أكثر، فنحن نتعامل مع كسر غير فعلي. على سبيل المثال: 5/5، 9/4، 5/2 عند قسمة البسط قد تكون النتيجة الرقم النهائي. على سبيل المثال، 40/8 = 5. لذلك، يمكن كتابة أي عدد صحيح ككسر عادي غير حقيقي أو سلسلة من هذه الكسور. دعونا نفكر في إدخالات نفس الرقم في شكل عدد من الإدخالات المختلفة.

كسور مختلطة

في منظر عاميمكن تمثيل الكسر المختلط بالصيغة:

وبالتالي، يتم كتابة الكسر المختلط كعدد صحيح وكسر عادي عادي، ويُفهم هذا الترميز على أنه مجموع الكل وجزءه الكسري.

الكسور العشرية

العدد العشري هو نوع خاص من الكسور التي يمكن تمثيل المقام فيها كقوة للعدد 10. هناك أعداد عشرية لا نهائية ومحدودة. عند كتابة هذا النوع من الكسور، قم بالإشارة أولاً الجزء كله، ثم يتم تثبيت الجزء الكسري من خلال فاصل (نقطة أو فاصلة).

يتم تحديد تدوين الجزء الكسري دائمًا من خلال أبعاده. التدوين العشرييبدو مثل هذا:

قواعد التحويل بين أنواع الكسور المختلفة

ترجمة جزء مختلطإلى العادي

لا يمكن تحويل الكسر المختلط إلا إلى كسر غير حقيقي. للترجمة، من الضروري إحضار الجزء بأكمله إلى نفس المقام مثل الجزء الكسري. بشكل عام سيبدو مثل هذا:
دعونا نلقي نظرة على استخدام هذه القاعدة باستخدام أمثلة محددة:

تحويل الكسر العادي إلى كسر مختلط

يمكن تحويل الكسر غير الفعلي إلى كسر مختلط بواسطة تقسيم بسيط، مما ينتج عنه الجزء الصحيح والباقي (الجزء الكسري).

على سبيل المثال، دعونا نحول الكسر 439/31 إلى مختلط:

تحويل الكسور المشتركة

في بعض الحالات، يكون تحويل الكسر إلى عدد عشري أمرًا بسيطًا للغاية. في هذه الحالة، يتم تطبيق الخاصية الأساسية للكسر: يتم ضرب البسط والمقام بنفس الرقم من أجل رفع المقسوم عليه إلى قوة 10.

على سبيل المثال:

في بعض الحالات، قد تحتاج إلى إيجاد الناتج عن طريق القسمة على الزوايا أو باستخدام الآلة الحاسبة. وبعض الكسور لا يمكن اختزالها إلى كسر نهائي. عشري. على سبيل المثال، الكسر 1/3 عند تقسيمه لن يعطي النتيجة النهائية أبدًا.

في هذه المادة سوف ندرس مفهوم الأعداد الكسرية. لنبدأ، كما هو الحال دائمًا، بالتعريف و أمثلة صغيرةثم سنشرح العلاقة بين الأعداد الكسرية والكسور غير الصحيحة. بعد ذلك، سوف نتعلم كيفية فصل الجزء الصحيح عن الكسر بشكل صحيح والحصول على عدد صحيح نتيجة لذلك.

مفهوم الأعداد المختلطة

إذا أخذنا المجموع n + a b، حيث يمكن أن تكون قيمة n أي عدد طبيعي، وتكون a b كسرًا عاديًا مناسبًا، فيمكننا كتابة نفس الشيء دون استخدام علامة الجمع: n a b. دعونا نأخذ أرقام محددةللتوضيح، 28 + 5 7 هو نفسه 28 5 7. كتابة كسر بجانب عدد صحيح يسمى عدد مختلط.

التعريف 1

رقم مختلطيمثل رقمًا يساوي مجموع العدد الطبيعي n مع الكسر العادي المناسب a b. في هذه الحالة، n هو الجزء الصحيح من الرقم، وa b هو الجزء الكسري منه.

ويترتب على التعريف أن أي عدد مختلط يساوي ما يتم الحصول عليه عن طريق جمع أجزائه الصحيحة والكسرية. وبذلك تتحقق المساواة n a b = n + a b.

ويمكن أيضًا كتابتها بالشكل n + a b = n a b.

ما هي بعض الأمثلة على الأعداد المختلطة؟ إذن، فهي تتضمن 5 1 8، في حين أن خمسة هو الجزء الصحيح، والثمن هو كسر. مزيد من الأمثلة: 1 1 2، 234 34 53، 34000 6 25.

لقد كتبنا أعلاه أن الجزء الكسري للرقم الكسري يجب أن يحتوي فقط على كسر مناسب. في بعض الأحيان يمكنك العثور على إدخالات مثل 5 22 3، 75 7 2. فهي ليست أرقام مختلطة لأن الجزء الكسري الخاص بهم غير صحيح. يجب أن تُفهم على أنها مجموع الأجزاء الصحيحة والكسرية. يمكن تخفيض هذه الأرقام إلى عرض قياسيكتابة الأعداد الكسرية عن طريق إخراج الجزء الكامل من الكسر غير الحقيقي وإضافته إلى 5 و75 في هذه الأمثلة، على التوالي.

أرقام النموذج 0 3 14 ليست مختلطة أيضًا. الجزء الأول من الشرط غير متحقق هنا: يجب تمثيل الجزء كله فقط عدد طبيعيولكن الصفر ليس كذلك.

كيف ترتبط الكسور غير الحقيقية والأعداد الكسرية ببعضها البعض

من الأسهل رؤية هذا الاتصال باستخدام مثال محدد.

مثال 1

لنأخذ كعكة كاملة وثلاثة أرباع أخرى من نفس الشيء. وفقًا لقواعد الجمع، لدينا 1 + 3 4 كعكات على الطاولة. يمكن التعبير عن هذا المبلغ كرقم مختلط مثل 1 3 4 كعكات. إذا أخذنا كعكة كاملة وقطعناها أيضًا إلى أربعة أجزاء متساوية، فسيكون لدينا 7 4 كعكات على الطاولة. ومن الواضح أن الكمية لم تزد من القطع، و1 3 4 = 7 4.

يثبت مثالنا أن أي كسر غير حقيقي يمكن تمثيله كرقم كسري.

دعنا نعود إلى 7 4 كعكات متبقية على الطاولة. دعونا نعيد تجميع كعكة واحدة من قطعها (1 + 3 4). سيكون لدينا 1 3 4 مرة أخرى.

إجابة: 7 4 = 1 3 4 .

نحن نفهم كيفية تحويل الكسر غير الفعلي إلى رقم مختلط. إذا كان بسط الكسر غير الحقيقي يحتوي على رقم يمكن قسمته على المقام دون باقي، فيمكننا القيام بذلك، ومن ثم يصبح الكسر غير الحقيقي عددًا طبيعيًا.

مثال 2

على سبيل المثال،

8 4 = 2، حيث أن 8: 4 = 2.

كيفية تحويل عدد مختلط إلى كسر غير حقيقي

لحل المشكلات بنجاح، من المفيد أن تكون قادرًا على تنفيذ الإجراء العكسي، أي إنشاء كسور غير حقيقية من أرقام مختلطة. في هذه الفقرة سننظر في كيفية القيام بذلك بشكل صحيح.

للقيام بذلك عليك أن تلعب التسلسل التاليالإجراءات:

1. في البداية، تخيل الرقم المختلط المتوفر n a b كمجموع للأجزاء الصحيحة والكسرية. اتضح ن + أ ب

3. بعد ذلك، نقوم بتنفيذ الإجراء المألوف بالفعل - أضف كسرين عاديين n 1 وa b. سيكون الكسر غير الحقيقي الناتج مساويًا للرقم المختلط الوارد في الشرط.

دعونا نلقي نظرة على هذا الإجراء باستخدام مثال محدد.

مثال 3

عبِّر عن ٥ ٣ ٧ في صورة كسر غير حقيقي.

حل

نقوم بتنفيذ خطوات الخوارزمية المذكورة أعلاه بالتسلسل. العدد 5 3 7 هو مجموع الأعداد الصحيحة والكسرية، أي 5 + 3 7. والآن لنكتب الخمسة على الصورة 5 1. لقد حصلنا على المجموع 5 1 + 3 7.

الخطوة الأخيرة هي إضافة الكسور ذات المقامات المختلفة:

5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7

كل الحل ل شكل قصيريمكن كتابتها بالشكل 5 3 7 = 5 + 3 7 = 5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7.

إجابة: 5 3 7 = 38 7 .

وبالتالي، باستخدام سلسلة الإجراءات المذكورة أعلاه، يمكننا تحويل أي عدد مختلط n a b إلى كسر غير حقيقي. لدينا الصيغة n a b = n b + a b، والتي سنستخدمها لحل المزيد من المسائل.

مثال 4

عبِّر عن ١٥ ٢ ٥ في صورة كسر غير حقيقي.

حل

لنأخذ الصيغة المشار إليها ونستبدلها بها القيم المطلوبة. لدينا n = 15، a = 2، b = 5، وبالتالي، 15 2 5 = 15 5 + 2 5 = 77 5.

إجابة: 15 2 5 = 77 5 .

نحن عمومًا لا ندرج كسرًا غير حقيقي كإجابة نهائية. من المعتاد إكمال العملية الحسابية واستبدالها إما برقم طبيعي (قسمة البسط على المقام) أو برقم مختلط. كقاعدة عامة، يتم استخدام الطريقة الأولى عندما تكون قسمة البسط على المقام ممكنة بدون باقي، وتستخدم الطريقة الثانية عندما يكون هذا الإجراء مستحيلا.

عندما نعزل الجزء الكامل من الكسر غير الفعلي، فإننا ببساطة نستبدله بعدد كسري متساوٍ.

دعونا معرفة بالضبط كيف يتم ذلك.

التعريف 2

دعونا نعطي دليلا على هذا البيان.

علينا أن نشرح لماذا q r b = a b . وللقيام بذلك، يجب تمثيل العدد المختلط q r b ككسر غير حقيقي، وذلك باتباع جميع خطوات الخوارزمية من الفقرة السابقة. بما أن حاصل القسمة غير مكتمل، وr هو باقي قسمة a على b، فيجب أن تكون المساواة a = b · q + r.

وهكذا، ف ب + ص ب = أ ب لذلك ف ف ب = أ ب. وهذا هو الدليل على كلامنا. دعونا نلخص:

التعريف 3

يتم عزل الجزء الصحيح من الكسر غير الحقيقي a b بهذه الطريقة:

1) اقسم a على b مع الباقي واكتب الحاصل غير المكتمل q والباقي r بشكل منفصل.

2) نكتب النتائج على الشكل q r b. هذا هو العدد الكسري، الذي يساوي الكسر غير الحقيقي الأصلي.

مثال 5

فكر في 107 4 كرقم مختلط.

حل

اقسم 104 على 7 باستخدام عمود:

قسمة البسط a = 118 على المقام b = 7 يعطينا حاصل القسمة النهائي q = 16 والباقي r = 6.

ونتيجة لذلك، نحصل على أن الكسر غير الفعلي 118 7 يساوي العدد الكسري q r b = 16 6 7.

إجابة: 118 7 = 16 6 7 .

علينا فقط أن نرى كيفية استبدال الكسر غير الفعلي بعدد طبيعي (بشرط أن يكون بسطه قابلاً للقسمة على المقام دون باقي).

للقيام بذلك، دعونا نتذكر ما هو الاتصال الموجود بينهما الكسور العاديةوالانقسام. ومن هذا يمكننا استخلاص المساواة التالية: أ ب = أ: ب = ج. اتضح أنه يمكن استبدال الكسر غير الحقيقي a b بعدد طبيعي c.

مثال 6

على سبيل المثال، إذا تبين أن الإجابة عبارة عن كسر غير حقيقي 27 3، فيمكننا كتابة 9 بدلاً من ذلك، حيث أن 27 3 = 27: 3 = 9.

إجابة: 27 3 = 9 .

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter