ቬክተሮች. ከቬክተሮች ጋር ያሉ ድርጊቶች. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ስለ ቬክተር ምንነት, ርዝመቱን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል እና ቬክተርን በቁጥር እንዴት ማባዛት እንደሚቻል, እንዲሁም የሁለት ቬክተሮች ድምር, ልዩነት እና scalar ምርት እንዴት እንደሚገኝ እንነጋገራለን.
እንደተለመደው, በጣም አስፈላጊው ንድፈ ሐሳብ ትንሽ.
ቬክተር የሚመራ ክፍል ነው፣ ማለትም፣ መጀመሪያ እና መጨረሻ ያለው ክፍል፡-
እዚህ ነጥብ A የቬክተር መጀመሪያ ነው, እና ነጥብ B መጨረሻው ነው.
ቬክተር ሁለት መለኪያዎች አሉት: ርዝመቱ እና አቅጣጫው.
የቬክተር ርዝመት የቬክተሩን መጀመሪያ እና መጨረሻ የሚያገናኘው ክፍል ርዝመት ነው. የቬክተር ርዝመት ይገለጻል
ሁለት ቬክተሮች እኩል ናቸው ይባላልካላቸው ተመሳሳይ ርዝመትእና በጋራ ተመርተዋል.
ሁለቱ ቬክተሮች ተጠርተዋል በጋራ ተመርቷልበትይዩ መስመሮች ላይ ከተኙ እና በተመሳሳይ አቅጣጫ ከተመሩ: ቬክተር እና ኮዲሬክሽን;
ሁለት ቬክተሮች በትይዩ መስመሮች ላይ ተኝተው በተቃራኒ አቅጣጫ ከተመሩ በተቃራኒ አቅጣጫ ይባላሉ፡ ቬክተር እና , እንዲሁም እና በተቃራኒ አቅጣጫዎች የሚመሩ ናቸው.
በትይዩ መስመሮች ላይ የሚተኛ ቬክተር ኮላይኔር፡ ቬክተር እና ኮላይኔር ይባላሉ።
የቬክተር ምርትቁጥር ርዕስ = "k>0 ከሆነ) ወደ ቬክተር የቬክተር ኮዲሬክሽናል ተብሎ ይጠራል">, и направленный в !} በተቃራኒው በኩል, ከሆነ እና የማን ርዝመቱ ከቬክተር ርዝመት ጋር እኩል የሆነ ተባዝቶ:
ለ ሁለት ቬክተሮችን ይጨምሩእና, የቬክተሩን መጀመሪያ ወደ ቬክተሩ መጨረሻ ማገናኘት ያስፈልግዎታል. ድምር ቬክተር የቬክተሩን መጀመሪያ ከቬክተሩ መጨረሻ ጋር ያገናኛል፡-
ይህ የቬክተር መደመር ደንብ ይባላል የሶስት ማዕዘን ደንብ.
ሁለት ቬክተሮችን ለመጨመር parallelogram ደንብ, ቬክተሮችን ከአንድ ነጥብ ወደ ሌላ ጊዜ ማስተላለፍ እና ወደ ትይዩ መገንባት ያስፈልግዎታል. ድምር ቬክተር የቬክተሮችን መነሻ ከ ጋር ያገናኛል ተቃራኒ አንግልትይዩ:
የሁለት ቬክተሮች ልዩነትበጥቅሉ የሚወሰን ነው፡ የቬክተር ልዩነት እና እንደዚህ አይነት ቬክተር ተብሎ የሚጠራ ሲሆን ይህም ከቬክተሩ ጋር በድምሩ ቬክተሩን ይሰጣል.
ከዚህ ይከተላል የሁለት ቬክተሮች ልዩነት ለማግኘት ደንብ: ቬክተርን ከአንድ ቬክተር ለመቀነስ እነዚህን ቬክተሮች ከአንድ ነጥብ ማቀድ ያስፈልግዎታል. ልዩነቱ ቬክተር የቬክተሩን መጨረሻ ከቬክተሩ መጨረሻ ጋር ያገናኛል (ይህም የንዑስ ትራሄንድ መጨረሻ እስከ ማይኒው መጨረሻ)።
ማግኘት በቬክተር እና በቬክተር መካከል ያለው አንግል, እነዚህን ቬክተሮች ከአንድ ነጥብ ላይ ማቀድ ያስፈልግዎታል. ቬክተሮች በሚተኛበት ጨረሮች የተሰራው አንግል በቬክተር መካከል ያለው አንግል ይባላል።
የሁለት ቬክተሮች ስካላር ምርት ቁጥሩ ነው። ከምርቱ ጋር እኩል ነው።የእነዚህ ቬክተሮች ርዝመት በመካከላቸው ባለው አንግል ኮሳይን በኩል:
ችግሮችን እንድትፈታ እመክራለሁ። ባንክ ይክፈቱተግባራት ለ እና በመቀጠል መፍትሄዎን በቪዲዮ ቱቶሪያልስ ያረጋግጡ፡
111 1 . ተግባር 4 (ቁጥር 27709)
አራት ማዕዘን ሁለት ጎኖች ኤ ቢ ሲ ዲከ 6 እና 8 ጋር እኩል ናቸው. በቬክተሮች መካከል ያለውን ልዩነት ርዝመት ይፈልጉ እና .
2. ተግባር 4 (ቁጥር 27710)
አራት ማዕዘን ሁለት ጎኖች ኤ ቢ ሲ ዲእኩል ናቸው 6 እና 8. የቬክተሮችን ስካላር ምርት ያግኙ እና. (ከቀደመው ተግባር በመሳል).
3. ተግባር 4 (ቁጥር 27711)
አራት ማዕዘን ሁለት ጎኖች ኤ ቢ ሲ ዲ ኦ. የቬክተሮች ድምር ርዝመትን ያግኙ እና .
4 . ተግባር 4 (ቁጥር 27712)
አራት ማዕዘን ሁለት ጎኖች ኤ ቢ ሲ ዲከ6 እና 8 ጋር እኩል ናቸው። ኦ. በቬክተሮች መካከል ያለውን ልዩነት ርዝመት ይፈልጉ እና . (ከቀደመው ተግባር በመሳል).
5 . ተግባር 4 (ቁጥር 27713)
የ rhombus ሰያፍ ኤ ቢ ሲ ዲከ 12 እና 16 ጋር እኩል ናቸው. የቬክተሩን ርዝመት ይፈልጉ.
6. ተግባር 4 (ቁጥር 27714)
የ rhombus ሰያፍ ኤ ቢ ሲ ዲከ 12 እና 16 ጋር እኩል ናቸው. የቬክተር + ርዝመትን ያግኙ.
7.ተግባር 4 (ቁጥር 27715)
የ rhombus ሰያፍ ኤ ቢ ሲ ዲከ 12 እና 16 ጋር እኩል ናቸው. የቬክተሩን ርዝመት ይፈልጉ - (ከቀድሞው ችግር በመሳል).
8.ተግባር 4 (ቁጥር 27716)
የ rhombus ሰያፍ ኤ ቢ ሲ ዲእኩል ናቸው 12 እና 16. የቬክተሩን ርዝመት ይፈልጉ -.
9 . ተግባር 4 (ቁጥር 27717)
የ rhombus ሰያፍ ኤ ቢ ሲ ዲበአንድ ነጥብ ላይ መቆራረጥ ኦእና ከ 12 እና 16 ጋር እኩል ናቸው. የቬክተር + ርዝመትን ያግኙ.
10 . ተግባር 4 (ቁጥር 27718)
የ rhombus ሰያፍ ኤ ቢ ሲ ዲበአንድ ነጥብ ላይ መቆራረጥ ኦእና ከ 12 እና 16 ጋር እኩል ናቸው. የቬክተሩን ርዝመት ይፈልጉ - (ከቀድሞው ችግር በመሳል).
11. ተግባር 4 (ቁጥር 27719)
የ rhombus ሰያፍ ኤ ቢ ሲ ዲበአንድ ነጥብ ላይ መቆራረጥ ኦእና ከ12 እና 16 ጋር እኩል ናቸው።
12 . ተግባር 4 (ቁጥር 27720)
ኢቢሲእኩል ናቸው የቬክተር + ርዝመትን ያግኙ.
13 . ተግባር 4 (ቁጥር 27721)
ፓርቲዎች መደበኛ ትሪያንግል ኢቢሲእኩል ናቸው 3. የቬክተሩን ርዝመት ይፈልጉ -. (ከቀድሞው ችግር በመሳል).
14 . ተግባር 4 (ቁጥር 27722)
የመደበኛ ትሪያንግል ጎኖች ኢቢሲእኩል ናቸው 3. የቬክተሮችን ስካላር ምርት ያግኙ እና . (ከቀደመው ተግባር በመሳል).
አሳሽህ ምናልባት አይደገፍም። አሰልጣኙን ለመጠቀም" የተዋሃደ የስቴት ፈተና ሰዓት"፣ ለማውረድ ይሞክሩ
ፋየርፎክስ
በተዋሃደ የስቴት ፈተና ላይ ከቬክተሮች ጋር ያሉ ችግሮች። ውድ ጓደኞቼ! የሂሳብ ፈተናው እንደዚህ አይነት ስራዎችን እንደሚያካትት ያውቃሉ. እንደዚህ አይነት ተግባር እንደሚያገኙ እውነታ አይደለም, ነገር ግን ለእሱ መዘጋጀት እና በማንኛውም ሁኔታ ርዕሱን መረዳት ያስፈልግዎታል. በብሎግ ላይ በቬክተሮች ድምር (ልዩነት) ላይ በርካታ ችግሮች አሉብን, የቬክተር ርዝመት, በተመሳሳይ ጽሑፍ ውስጥ አስፈላጊው ንድፈ ሃሳብ አለ.ከዚህ በታች ያሉትን ችግሮች ከመመልከትዎ በፊት ይመልከቱት።
እንዲሁም በብሎግ ላይ። የነጥብ አቢሲሳ እና ordinate ምን እንደሆኑ ማስታወስ ከፈለጉ ከዚያ ይመልከቱ።ባጭሩ እንድገመው፡-
የቬክተር መጋጠሚያዎችን ለማግኘት ከመጨረሻው መጋጠሚያዎች ያስፈልግዎታልመቀነስተዛማጅ መነሻ መጋጠሚያዎች፡-
የሚታወቅ ከሆነ የቬክተርን ርዝመት ለመወሰን ቀመርመጀመሪያ እና መጨረሻ ላይ መጋጠሚያዎች;
የቬክተርን ርዝመት ለመወሰን ቀመር,መጋጠሚያዎቹ የሚታወቁ ከሆነ፡-
27725. ቬክተር AB በመነሻ ነጥብሀ(2፡4) መጋጠሚያዎች አሉት (6፡2)። የነጥብ መጋጠሚያ ይፈልጉለ.
ቀደም ሲል እንደተናገረው የቬክተሩ መጋጠሚያዎች ናቸው በሚከተለው መንገድ: እናከተዛማጅ የመጨረሻ መጋጠሚያዎችየቬክተር አመጣጥ መጋጠሚያዎች ተቀንሰዋል. ያውና:
የቬክተር መጋጠሚያዎች ተሰጥተውናል, የመነሻው መጋጠሚያዎችም ተሰጥተዋል, ይህም ማለት:
ስለዚህ የነጥብ B መጋጠሚያዎችን እናገኛለን፡-
x 2 – 2 = 6 y 2 – 4 = 2
x 2 = 8 y 2 = 6
ስለዚህ የነጥብ B ደረጃ 6 ነው።
መልስ፡ 6
27726. ቬክተር AB በመነሻ ነጥብ ሀ(3፡6) መጋጠሚያዎች አሉት (9፡3)። የነጥብ B መጋጠሚያዎች ድምርን ያግኙ።
የመፍትሄው ሂደት ችግር ከቀዳሚው ጋር ተመሳሳይ ነው, ነገር ግን ጥያቄው በተለየ መንገድ ቀርቧል. ስሌቶቹም ውስጥ ናቸው የአዕምሮ ቆጠራ. አሁንም የቬክተሩን መጋጠሚያዎች መጀመሪያ እና መጨረሻው መጋጠሚያዎች በሚታወቅበት ጊዜ እንጽፋለን.
የቬክተር መጋጠሚያዎች እና የመነሻው መጋጠሚያዎች ተሰጥተዋል ይህም ማለት፡-
የነጥብ B መጋጠሚያዎችን እናገኛለን፡-
x 2 – 3 = 9 y 2 – 6 = 3
x 2 = 12 y 2 = 9
ስለዚህ የነጥብ B መጋጠሚያዎች ድምር 21 ነው።
መልስ፡ 21
27727. ቬክተር AB በ ነጥብ B (5፡3) መጋጠሚያዎች አሉት (3፡1)። የነጥቡን abcissa እና ordinate ያግኙ ሀ፣ እንዲሁም የመጋጠሚያዎቹ ድምር።
የቬክተሩን መጋጠሚያዎች እና የፍጻሜውን መጋጠሚያዎች እናውቃለን፣ ይህም ማለት፡-
የነጥብ A መጋጠሚያዎችን እናገኛለን፡-
5 - x 1 = 3 3 - y 1 = 1
x 1 = 2 y 1 = 2
ስለዚህ የነጥብ A abcissa ከሁለት ጋር እኩል ነው ፣ ዳይሬሽኑ እንዲሁ ከሁለት ጋር እኩል ነው ፣ እና የመጋጠሚያዎቹ ድምር ከ 2+2 = 4 ጋር እኩል ነው።
27731 የቬክተሩን ርዝመት ካሬን ያግኙ a + b .
በዚህ ችግር ውስጥ የቬክተሩን መጋጠሚያዎች ማግኘት አለብዎት, ይህም ድምር ነው የተገለጹ ቬክተሮች, ከዚያም ርዝመቱን ይፈልጉ እና ካሬ ያድርጉት. መጋጠሚያዎቹ የሚታወቁ ከሆነ የቬክተር ርዝመት ያለውን ቀመር እንፃፍ፡-
ወይም በሌላ መልክ፡-
የእነዚህ ቬክተሮች ድምር የሆነውን የቬክተር መጋጠሚያዎችን እንፈልግ።ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ የእነዚህን ቬክተሮች መጋጠሚያዎች ያግኙ.
ቬክተሩን አስቡበት፡-
ቬክተሩን አስቡበት፡-
* የመነሻ ነጥቦቻቸው ከመጋጠሚያዎች አመጣጥ ጋር ስለሚጣጣሙ ወዲያውኑ ስዕሉን በማየት መፃፍ ተችሏል ።
አሁን የእነሱ ድምር የሆነውን የቬክተር መጋጠሚያዎችን እንፈልግ.
(2 + 8; 6 + 4) = (10;10)
ስለዚህ የቬክተር ሀ እና ለ ድምር የሆነው የቬክተር ርዝመት ከሚከተሉት ጋር እኩል ነው።
ስለዚህ የርዝመቱ ካሬ ከ 200 ጋር እኩል ይሆናል.
* የመፍታት ልምድ ያለው ተመሳሳይ ስራዎች, ወዲያውኑ መጻፍ ይችላሉ:
እንደሚመለከቱት, ስሌቶች በቃል ሊደረጉ ይችላሉ. ዝርዝር መፍትሄ ሆን ተብሎ እዚህ ለእርስዎ ቀርቧል።
መልስ፡- 200
27733. የቬክተሩን ርዝማኔ ካሬ አግኝ ሀ - ለ.
ተግባሩ ከቀዳሚው ጋር ተመሳሳይ ነው። የቬክተሩን መጋጠሚያዎች መፈለግ አስፈላጊ ነው, ይህም የቀረቡት የቬክተሮች ልዩነት ነው, ከዚያም ርዝመቱን ይፈልጉ እና ውጤቱን ካሬ ያድርጉ.
የእነዚህን ቬክተሮች መጋጠሚያዎች አውቀናል (ከቀደመው ችግር)
አሁን የቬክተሩን መጋጠሚያዎች እንፈልግ, ይህም ልዩነታቸው ነው.
(2 – 8; 6 – 4) = (–6;2)
ስለዚህ, የቬክተር ርዝመት, ይህም የቬክተሮች ልዩነት ነው
ስለዚህ, የርዝመቱ ካሬ ከ 40 ጋር እኩል ይሆናል.
* ወዲያውኑ መጻፍ እና ማስላት ይችላሉ-
አቢሲሳ እና ordinate ዘንግ ይባላሉ መጋጠሚያዎች ቬክተር. የቬክተር መጋጠሚያዎች በአብዛኛው በቅጹ ውስጥ ይገለጣሉ (x፣ y), እና ቬክተር ራሱ እንደ: = (x, y).
ለሁለት ገጽታ ችግሮች የቬክተር መጋጠሚያዎችን ለመወሰን ቀመር.
መቼ ባለ ሁለት ገጽታ ችግርታዋቂ ጋር ቬክተር የነጥቦች መጋጠሚያዎች አ (x 1; y 1)እና ቢ(x 2 ; y 2 ) ሊሰላ ይችላል:
= (x 2 - x 1; y 2 - 1)
ለቦታ ችግሮች የቬክተር መጋጠሚያዎችን ለመወሰን ቀመር.
በቦታ ችግር ውስጥ, የሚታወቅ ቬክተር የነጥቦች መጋጠሚያዎችሀ (x 1; y 1;ዝ 1 ) እና ለ (x 2 ; y 2 ; ዝ 2 ) ቀመርን በመጠቀም ማስላት ይቻላል-
= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; ዝ 2 - ዝ 1 ).
መጋጠሚያዎች ተሰጥተዋል አጠቃላይ መግለጫቬክተር, መጋጠሚያዎችን በመጠቀም የራሱን ቬክተር መገንባት ስለሚቻል. መጋጠሚያዎቹን ማወቅ, ለማስላት ቀላል ነው እና የቬክተር ርዝመት. (ንብረት 3 ከታች)።
የቬክተር መጋጠሚያዎች ባህሪያት.
1. ማንኛውም እኩል ቬክተሮች ቪ የተዋሃደ ስርዓትመጋጠሚያዎች አሏቸው እኩል መጋጠሚያዎች.
2. መጋጠሚያዎች ኮላይኔር ቬክተሮች ተመጣጣኝ. የትኛውም ቬክተር ዜሮ ካልሆነ።
3. የማንኛውም የቬክተር ርዝመት ካሬ ከድምሩ ጋር እኩል ነው።አራት ማዕዘን መጋጠሚያዎች.
4.በቀዶ ጥገና ወቅት የቬክተር ማባዛትላይ እውነተኛ ቁጥርእያንዳንዱ መጋጠሚያዎች በዚህ ቁጥር ተባዝተዋል.
5. ቬክተሮችን ሲጨምሩ, ተዛማጅ ድምርን እናሰላለን የቬክተር መጋጠሚያዎች.
6. Scalar ምርትሁለት ቬክተሮች ከተዛማጅ መጋጠሚያዎቻቸው ምርቶች ድምር ጋር እኩል ነው.