Однополостный гиперболоид. Поверхность, определяемая уравнением

называется однополостным гиперболоидом. Эта поверхность имеет три плоскости симметрии - координатные плоскости, так как текущие координаты у и z входят в уравнение (55) в четных степенях.

Пересекая однополостный гиперболоид плоскостью получим лежащую в плоскости гиперболу ABCD (рис. 97)

Аналогично, в сечении однополостного гиперболоида плоскостью получится гипербола EFGH

лежащая в плоскости

При пересечении однополостного гиперболоида плоскостью получится эллипс BFCG, уравнения которого имеют вид:

Полуоси этого эллипса возрастают с возрастанием абсолютной величины h.

При получится эллипс, лежащий в плоскости и имеющий наименьшие полуоси а и b. При получим однополостный гиперболоид вращения

При пересечении его плоскостями будут получаться окружности

В пп. 2 и 3 рассматривались цилиндрические и конические поверхности, каждая из которых составлена из прямых. Оказывается, однополостный гиперболоид можно также рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий. Рассмотрим прямую, определяемую уравнениями

в которых а, b и с - полуоси однополостного гиперболоида, a k - произвольно выбранное число

Перемножая почленно эти уравнения, получим уравнение

т. е. уравнение однополостного гиперболоида.

Таким образом, уравнение однополостного гиперболоида является следствием системы уравнений (59). Поэтому координаты любой точки , удовлетворяющие системе уравнений (59), удовлетворяют также и уравнению (55) однополостного гиперболоида. Иными словами, все точки прямой (59) принадлежат гиперболоиду (55). Меняя значения k, мы получим целое семейство прямых, лежащих на поверхности (55). Аналогично можно показать, что однополостному гиперболоиду принадлежат все прямые семейства

где - произвольный параметр.

Можно также показать, что через каждую точку однополостного гиперболоида проходит по одной прямой из каждого из указанных семейств. Таким образом, однополостный гиперболоид можно рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий (рис. 98). Эти прямые называются прямолинейными образующими однополостного гиперболоида.

Возможность составления поверхности однополостного гиперболоида из прямых линий используется в строительной технике.

Так, например, по конструкции, предложенной инженером Шуховым В. Г. в Москве была сооружена радиомачта с помощью балок, расположенных по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида.

Двуполостный гиперболоид. Поверхность, определяемая уравнением

называется двуполостным гиперболоидом.

Координатные плоскости являются плоскостями симметрии для двуполостного гиперболоида.

Пересекая эту поверхность координатными плоскостями получим соответственно гиперболы

Определение. Однополостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Уравнение (3.32) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Из (3.32) следует, что координатные плоскости являются осями симметрии, а начало координат  центром симметрии однополостного гиперболоида.

Установим вид поверхности, задаваемой уравнением (3.32). Рассмотрим линии пересечения однополостного гиперболоида плоскостями
. Уравнение проекции такой линии на плоскость
получается из уравнения (3.32), если положить в нем
. Имеем:

. (3.33)

Так как всегда
, то можно ввести обозначения

,
, (3.34)

с учетом которых соотношение (3.33) принимает вид

, (3.35)

т. е. проекция линии пересечения представляет собой эллипс с полуосями и. Наименьший из рассматриваемых эллипсов с полуосями
и
получается при сечении однополостного гиперболоида плоскостью
, т. е. координатной плоскостью
. Этот эллипс называетсягорловым .

С увеличением размеры эллипса неограниченно увеличиваются. Таким образом, однополостный гиперболоид представляет собой поверхность, состоящую из одной полости и подобную трубке, неограниченно расширяющейся в положительном и отрицательном направлениях по оси аппликат.

Рассмотрим сечения однополостного гиперболоида плоскостями
и
, параллельными координатным плоскостям
и
. Проекции этих сечений на соответствующие координатные плоскости являются линиями, задаваемыми уравнениями:

и
. (3.36)

Более подробно остановимся на сечении однополостного гиперболоида плоскостью, параллельной координатной плоскости
.

Если
, то в проекции на плоскость
получается пара вещественных пересекающихся прямых, определяемых уравнениями
и проходящих через начало координат.

Если
, то в проекции имеем гиперболу с фокусами на оси
(
) или
(
), причем полуоси этих гипербол увеличивается с удалением от начала координат.

Аналогичная картина получается и при сечении плоскостями, параллельными плоскости
. В сечении однополостного гиперболоида координатными плоскостями
и
получаем гиперболы

и
. (3.37)

Величины ,,называются полуосями однополостного гиперболоида.

3.12. Двуполостный гиперболоид

Определение. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка, которая в некоторой прямоугольной системе координат задается уравнением

. (3.38)

Уравнение (3.38) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Из этого уравнения следует, что координатные плоскости являются его осями симметрии, а начало координат  его центром симметрии.

Рассмотрим сечение двуполостного гиперболоида, определяемого уравнением (3.38), плоскостями
. Уравнение проекции линии пересечения на плоскость
получается из (3.38), если в нем положить
. Уравнение этой проекции имеет вид

. (3.39)

Если
, то (3.39) является уравнением мнимого эллипса и точек пересечения двуполостного гиперболоида с плоскостью
нет, т. е. в слое между плоскостями
и
не содержится точек рассматриваемой поверхности. Если
, то линия (3.39) вырождается в точки, т. е. плоскости
касаются двуполостного гиперболоида в точках
и
. Если
, то
и можно ввести обозначения

,
. (3.40)

Тогда уравнение (3.39) принимает вид

, (3.41)

т. е. проекция на плоскость
линии пересечения двуполостного гиперболоида и плоскости
представляет собой эллипс с полуосями, которые определяются равенствами (3.40), поэтому и сама линия пересечения является эллипсом. При удалении от начала координат вдоль оси
происходит увеличение полуосей эллипса.

В силу симметрии относительно плоскости
рассматриваемая поверхность содержит две полости.

При сечении плоскостями
, параллельными
, получаются кривые, которые при проектировании на эту плоскость определяются уравнениями

. (3.42)

Кривые, задаваемые уравнениями (3.42), являются гиперболами, фокусы которых расположены на оси
, причем с увеличением абсолютной величиныувеличивается вещественная полуось гиперболы.

Аналогичные результаты получаются при сечении двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными координатной плоскости
.

Рассмотренные сечения позволяют изобразить двуполостный гиперболоид как поверхность, состоящую из двух отдельных «полостей», каждая из которых имеет вид выпуклой чаши.

Величины ,,называются полуосями двуполостного гиперболоида.

Однополостным гиперболоидом

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат Oxyz каноническим уравнением

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1.

В уравнениях (4.48), (4.49) a,b,c - положительные параметры, характеризующие гиперболоиды, причем a\geqslant b .

Начало координат называют центром гиперболоида. Точки пересечения гиперболоида с координатными осями называются его вершинами. Это четыре точки (\pm a,0,0), (0,\pm b,0) однополостного гиперболоида (4.48) и две точки (0,0,\pm c) двуполостного гиперболоида (4.49). Три отрезка координатных осей, соединяющих вершины гиперболоидов, называются осями гиперболоидов. Оси гиперболоидов, принадлежащие координатным осям Ox,\,Oy , называются поперечными осями гиперболоидов, а ось, принадлежащая оси аппликат Oz , - продольной осью гиперболоидов. Числа a,\,b,\,c , равные половинам длин осей, называются полуосями гиперболоидов.

Плоские сечения однополостного гиперболоида

Подставляя z=0 в уравнение (4.48), получаем уравнение \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 линии пересечения однополостного гиперболоида с координатной плоскостью Oxy . Это уравнение в плоскости Oxy определяет эллипс, который называется горловым. Линии пересечения однополостного гиперболоида с другими координатными плоскостями являются гиперболами. Они называются главными гиперболами. Например, при x=0 получаем главную гиперболу \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{z^2}=1 , а при y=0 - главную гиперболу \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1

Рассмотрим теперь сечение однополостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy . Подставляя z=h , где h - произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.48), получаем

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{h^2}{c^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1+\frac{h^2}{c^2}.

При любом значении параметра h уравнение определяет эллипс с полуосями a"=a\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}, b"=b\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}, . Следовательно, сечение однополостного гиперболоида плоскостью z=h представляет собой эллипс, центр которого лежит на оси аппликат, а вершины - на главных гиперболах. Среди всех эллипсов, получающихся в сечениях плоскостями z=h при различных значениях параметра h , горловой эллипс (при h=0 ) является эллипсом с наименьшими полуосями.

Таким образом, однополостный гиперболоид можно представить как поверхность, образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.4.42,а)

Плоские сечения двуполостного гиперболоида

Сечения двуполостного гиперболоида координатными плоскостями Oyz и Oxz представляют собой гиперболы (главные гиперболы).

Рассмотрим теперь сечения двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy . Подставляя z=h , где h - произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.49), получаем

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{h^2}{c^2}=-1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{h^2}{c^2}-1.

При |h|c получаем уравнение эллипса \frac{x^2}{(a")^2}+\frac{y^2}{(b")^2}=1 с полуосями a"=a\sqrt{\frac{h^2}{c^2}-1}, b"=b\sqrt{\frac{h^2}{c^2}-1} . Следовательно, сечение двуполостного гиперболоида плоскостью z=h при |h|>c представляет собой эллипс с центром на оси аппликат, вершины которого лежат на главных гиперболах.

Таким образом, двуполостный гиперболоид можно представить как поверхность образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.4.43,а).

Гиперболоиды вращения

Гиперболоид, у которого поперечные полуоси равны (a=b) , называется гиперболоидом вращения . Такой гиперболоид является поверхностью вращения, а его сечения плоскостями z=h (для двуполостного гиперболоида при |h|>c ) представляют собой окружности с центрами на оси аппликат. Однополостный или двуполостный гиперболоиды можно получить, вращая вокруг оси Oz гиперболу \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 (рис.4.42,б) или сопряженную гиперболу \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1 (рис.4.43,б) соответственно. Заметим, что уравнение последней можно записать в форме -\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 .

Гиперболоид, у которого поперечные оси различны (a\ne b) , называется трехосным (или общим).

Замечания 4.9

1. Плоскости х x=\pm a,\,y=\pm b,\,z=\pm c определяют в пространстве основной прямоугольный параллелепипед , вне которого находится двуполостный гиперболоид (рис.4.43,в). Две грани (z=\pm c) параллелепипеда касаются гиперболоида в его вершинах.

2. Сечение однополостного гиперболоида плоскостью, параллельной оси аппликат и имеющей одну общую точку с горловым эллипсом (т.е. касающейся его), представляет собой две прямые, пересекающиеся в точке касания. Например, подставляя x=\pm a в уравнение (4.48), получаем уравнение \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0 двух пересекающихся прямых (см. рис.4.42,а).

3. Однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью, т.е. поверхностью, образованной движением прямой (см. рис.4.42,в). Например, однополостный гиперболоид вращения можно получить, вращая прямую вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней (но не перпендикулярной).

4. Начало канонической системы координат является центром симметрии гиперболоида, координатные оси - осями симметрии гиперболоида, координатные плоскости - плоскостями симметрии гиперболоида.

В самом деле, если точка M(x,y,z) принадлежит гиперболоиду, то точки с координатами (\pm x,\pm y,\pm z) при любом выборе знаков также принадлежат гиперболоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.48) или (4.49) соответственно.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

И некоторая линия, которая проходит через начало координат. Если гиперболу начать вращать вокруг этой оси, возникнет полое тело вращения, которое гиперболоидом. Существует два вида гиперболоидов: однополостный и двуполостный. Однополостный гиперболоид задается уравнением вида:x^2/a^2 +y^2/b^2-z^2/c^2=1Если рассматривать данную пространственную фигуру относительно плоскостей Oxz и Oyz, можно заметить, что ее сечениями гиперболы. Однако, сечением однополостного гиперболоида плоскостью Oxy является эллипс. Самый маленький эллипс гиперболоида называется горловым эллипсом. В этом случае, z=0, а эллипс проходит через начало координат. Уравнение горлового при z=0 записывается следующим образом:x^2/a^2 +y^2/b^2=1Остальные эллипсы имеют следующего вида:x^2/a^2 +y^2/b^2=1+h^2/c^2, где h - высота однополостного гиперболоида.

Построение гиперболоида начните с изображения гиперболы в плоскости Xoz. Начартите действительную полуось, которая совпадает с осью y и мнимую полуось, совпадающую с z. Постройте гиперболу, а затем задайте некоторую высоту h гиперболоида. После этого, на уровне заданной высоты проведите прямые, параллельные Ox и пересекающие график гиперболы в нижних и верхних точках.Затем аналогичным образом в плоскости Oyz постройте гиперболу, где b - действительная полуось, проходящая через ось y, а с - мнимая полуось, также совпадающая с c.Постройте в плоскости Oxy параллелограмм, который получается путем соединения точек графиков гипербол. Начертите горловой эллипс таким образом, чтобы он был вписан в этот параллелограмм. Аналогичным образом постройте остальные эллипсы. В результате получится тела вращения - однополостного гиперболоида, изображенного на рис.1

Двуполостный гиперболоид получил свое из-за двух разных поверхностей, которые образованы осью Oz. Уравнение такого гиперболоида имеет следующий вид:x^2/a^2 +y^2/b^2 -z^2/c^2=-1Две полости получаются при построении гиперболы в плоскости Oxz и Oyz. У двуполостного гиперболоида сечения - эллипсы:x^2/a^2-y^2/b^2=h^2/c^2-1Также, как и в случае с однополостным гиперболоидом, постройте в плоскостях Oxz и Oyz гиперболы, которые будут располагаться таким образом, как показано на 2. Постройте внизу и наверху параллелограммы для построения эллипсов. Построив эллипсы, уберите все построения, а затем начертите двуполостный гиперболоид.

Однополосный гиперболоид представляет собой фигуру вращения. Чтобы построить его, нужно следовать определенной методики. Сначала вычерчиваются полуоси, затем, гиперболы и эллипсы. Соединение всех этих элементов поможет составить уже саму пространственную фигуру.

Вам понадобится

• - карандаш,
• - бумага,
• - математический справочник.

Инструкция

Изобразите гиперболу в Xoz. Для этого начертите две полуоси, совпадающие с осью y (действительная полуось) и с осью z (мнимая полуось). Постройте на базе них гиперболу. После этого задайте определенную высоту h а. В завершении на уровне этой заданной проведите прямые, будут параллельны Ox и пересекают при этом график гиперболы в двух : нижней и верхней.

Повторите вышеописанные действия при построении остальных эллипсов. В конечном итоге сформируется чертеж однополостного гиперболоид а.

Однополостный гиперболоид описывается изображенным

Почти 94 года назад началось широкое радиовещание с одного из инженерных шедевров того времени - радиобашни, построенной в Москве по проекту Владимира Григорьевича Шухова. Талантливейший инженер, к тому времени уже ставший академиком, возведший множество сложных сооружений по всей стране, Владимир Григорьевич воплотил в своей башне замечательную идею - выполнил несущую конструкцию в виде гиперболоида вращения. Высокая прочность, ветровая устойчивость, дешевизна производства и простота возведения, помноженные на визуальную легкость и изящество башни, по праву сделали ее одним из символов инженерно-архитектурного мастерства. И хотя Шухов спроектировал и построил немало более сложных и совершенных объектов, именно башня стала самым известным его творением.

Инженер по призванию

Башня на Шаболовке - далеко не первая гиперболоидная конструкция, возведенная Владимиром Григорьевичем. Еще в январе 1896 года он подал заявку на получение патента на устройство подобных сооружений. Эта гениальная в своей простоте и эффективности идея родилась у него благодаря анализу… плетеных крестьянских корзин. И впервые она была воплощена в металле на Нижегородской промышленно-художественной выставке 1896 года, где Шухов возвел водонапорную башню высотой 25 м. Резервуар вмещал 10 тыс. ведер воды, а сверху располагалась смотровая площадка, куда вела винтовая лестница.

Эта водонапорная башня сохранилась до наших дней. Она представляет собой однополостной гиперболоид вращения, созданный из 80 прямых стальных профилированных балок. Для повышения прочности были добавлены восемь стальных колец, стягивающих конструкцию.

Стоит отметить, что на этой выставке гиперболоидная башня была не единственным уникальным сооружением Шухова. По его проектам в Нижнем Новгороде впервые в мире возвели стальные сетчатые висячие своды, образующие выставочные павильоны, включая так называемую ротонду Шухова .

После выставки Шухов создал множество ажурных металлических сводов для самых разных объектов. Одними из самых ярких примеров являются своды Киевского вокзала и ГУМа в Москве.

Гиперболоидные и висячие сетчатые конструкции воплощались на сотнях объектов: на заводах, на водонапорных башнях, в общественных зданиях. А под Херсоном был возведен 80-метровый маяк.

Шухов проектировал и более «традиционные» объекты - мосты, цеха, подъемные краны, баржи, нефтеперегонные установки, промышленные котлы, резервуары, трубопроводы и многое другое. Огромное внимание он уделял технологичности своих конструкций, удобству серийного производства и унификации.

Вклад Владимира Григорьевича в индустриализацию Российской империи и Советского Союза неоценим. С его участием возводились такие гиганты промышленности, как Магнитка, Челябинский тракторный завод, Белорецкий, Выксунский, Ижевский и Нижнетагильский заводы, Азовсталь, кавказские нефтепроводы, снабжавшие страну стратегически важным ресурсом. Спустя годы все эти предприятия позволят нашей стране выстоять в жесточайшей войне.

Рождение башни

В 1919 г. Владимир Григорьевич Шухов создал проект 350-метровой гиперболоидной радиобашни - именно она должна была возвышаться сегодня на Шаболовке.

Когда-то Эйфель прославился на весь мир, возведя в центре Парижа 324-метровую башню. Но проект В. Шухова затмил бы конструкцию француза по целому ряду параметров. На создание Эйфелевой башни потребовалось 7,3 тыс. тонн металла, а масса гиперболоидной башни должна была составить всего 2,2 тыс. тонн, при этом она оказалась бы выше на 26 м.

Увы, этот уникальный проект не был реализован. Шел 1919 год, в стране царила гражданская война и разруха.

Металл был в большом дефиците, и Шухову отказали в возведении башни. Тогда неутомимый инженер создал новый проект - высотой около 150 м и весом 240 т. Он был одобрен Лениным, начались работы по возведению.

Постановление Совета рабоче-крестьянской Обороны.

1. Для обеспечения надежной и постоянной связи центра Республики с западными государствами и окраинами Республики поручается Народному Комиссариату Почт и Телеграфов установить в чрезвычайно срочном порядке в г. Москве радиостанцию, оборудованную приборами и машинами наиболее совершенными и обладающими мощностью, достаточной для выполнения указанной задачи.
2. Всем государственным учреждениям и организациям предлагается оказывать Народному Комиссариату Почт и Телеграфов в выполнении этой задачи самое деятельное и энергичное содействие по части снабжения всеми необходимыми материалами, транспорта ж. дорожного, водного и гужевого и по привлечению к этой работе квалифицированных и не квалифицированных рабочих, обеспечив их продовольствием и жилищем.
3. Работающих по установке радиостанции считать мобилизованными на месте и потому не подлежащими к призыву /независимо от возраста/ до тех пор, пока радиостанция не будет закончена.
4. Всем рабочим квалифицированным и не квалифицированным, работающим по установке радиостанции, выдавать красноармейский паек до тех пор, пока радиостанция не будет закончена.
5. Для наблюдения за выполнением этой задачи в кратчайший срок и правильностью производимых работ учредить распоряжением Компочтеля особую комиссию из работников Компочтеля и представителей от В.С.Н.Х. Государственного контроля и от Радио-секции Пролетарского Производственного Союза Народной связи; членам комиссии установить особое вознаграждение в пределах норм, предусмотренных постановлениями С.Н.К. о совместительстве.

Председатель Совета Обороны В. Ульянов /Ленин/
Москва, Кремль,
30-го июля 1919 г.

Радиобашня Шухова состоит из шести ярусов (высота каждого - 25 м). Каждый ярус представляет собой гиперболоид вращения - объемную конструкцию из прямых стальных балок, концы которых скреплены стальными кольцами.

Первый ярус опирается на бетонный фундамент диаметром 40 м и глубиной 3 м. Башня возводилась без использования лесов или подъемных кранов - каждый следующий ярус собирался внутри башни, и с помощью блоков и лебедок поднимался наверх. То есть башня вырастала телескопически.

Снабжение стройки металлом осуществлялось по личному распоряжению Ленина, но перебои все равно возникали. Да и качество металла тоже не всегда было удовлетворительным. При подъеме четвертого яруса оборвался стальной трос, и упавшая конструкция повредила уже возведенные ярусы. Это происшествие едва не стоило жизни самому Шухову, поскольку комиссия ЧК изначально расценила это как саботаж.

К счастью, подтвердилась настоящая причина обрыва - усталость металла, поэтому строительство было возобновлено.

Вот цитата из рабочей тетради Шухова, датированная 28 февраля 1919 г., в которой описывается методика расчета радиуса опорных колец каждого гиперболоидного яруса:

«Внешний обвод контура башни. Основной размер. Конус с переменным r набегающим постоянное приращение; в нашем случае r, 2r, 3r, 4r… или вообще r, r + f, r + 2f, r + 3f и т.д. и переменное приращение с непрерывным увеличением уклона от вертикали α. Т.е. приращение уклона выражается формулой α * n * (n – 1)/2, где n - номер этажа башни, считая от верха. Таким образом, получается следующий ряд: 1) f, 2) 2f + α, 3) 3f + 3α, 4) 4f + 6α, 5) 5f + 10α, 6) 6f + 15α, 7) 7f + 21α, 8) 8f + 28α и т.д., причем задаются размеры r, f и α. В данном случае r = 2,75 м, f = 2,75 м = r, α = 0,25 м, и потому радиусы получаются 2.75, 5.75, 9, 12.5, 16.25, 20.25 (уклоны 3→3,25→3,5→3,75→4)».

Исходя из этих данных, радиус опорного кольца яруса n выражается формулой:

R = 2,75 * n + 0,25 * n * (n – 1)/2.

А поскольку высота каждой секции составляет 25 м, то расстояние от вершины башни до опорного кольца секции n равно H = 25 * n. Тогда вышеприведенную формулу можно выразить так:

R = H * H/5000 + H * 21/200

Хотя надо отметить, что фактические размеры опорных колец совпадают с расчетными лишь у четырех нижних ярусов. То есть Шухов внес изменения в проект уже на стадии строительства. Также результаты современных обмеров показывают, что узлы соединения балок разных ярусов совершенно не совпадают с чертежами 1919 года. То есть можно предположить, что после начала возведения Владимир Григорьевич продолжал совершенствовать конструкцию башни, внеся немало изменений по сравнению с исходным проектом.

В 1922 году строительство башни завершилось, и 19 марта началось регулярное радиовещание. В марте 1939 года Шуховская башня стала главным источником и символом телевещания в СССР, сохранив эту роль до ввода в строй Останкинской телебашни.

Детище Шухова вскоре прославилось на всю страну, а затем сетчатые стальные оболочки начали массово применяться и по всему миру. За прошедшие почти 100 лет в мире построено несколько высотных гиперболоидных башен , включая 600-метровую телебашню в Китае . К слову, именно Шуховская башня вдохновила Алексея Толстого на написание фантастического романа «Гиперболоид инженера Гарина ».

Гиперболоидная конструкция оказалась очень экономичной с точки зрения металлоемкости, но при этом достаточно прочной. А ее ажурность позволяет эффективно противостоять ветровой нагрузке, главному врагу высотных сооружений. Элементы конструкции просты в производстве, следовательно, стоимость их невысокая. При строительстве не требуется применения сложных или трудоемких технологий, так как соединения выполнялись методом клепки. Устойчивость башни обеспечивается не только за счет взаиморасположения балок, составляющих гиперболоиды, но и благодаря некоторой доле подвижности клепаных соединений, в отличие от сварных или болтовых.

Хотя Шуховская башня в 2 раза ниже Эйфелевой, все же интересно провести поверхностное сравнение данных проектов. О металлоемкости уже упоминалось выше: при сравнимой высоте на конструкцию Шухова требуется в 3 раза меньше металла. Кроме того, башня на Шаболовке более технологична с точки зрения разнообразия номенклатуры деталей и соединительных узлов.

Вот копия чертежа 1919 года:

Башня состоит из прямых балок и кольцевых опор, простых и недорогих в изготовлении. Узловые соединения также имеют простую конфигурацию. Несмотря на то, что фактические конфигурации узлов не совпадают с проектом, они остаются столь же простыми и технологичными.

А вот чертежи Эйфелевой башни, ее соединений и некоторых элементов:

Как говорится, почувствуйте разницу. В отличие от парижского «конкурента», даже первоначальный 350-метровый вариант Шуховской башни требовал бы в разы меньшей номенклатуры деталей и был бы гораздо дешевле в постройке.

Кто-то может возразить, что Эйфелева башня обладает более высокой ветровой устойчивостью. Действительно, за всю историю наблюдений максимальное отклонение верхушки символа Парижа от действия ветра достигло 12 см . Любопытно, что на массивную металлическую конструкцию куда большее воздействие оказывает… солнечный свет. В яркий летний день, когда светило нагревает одну из сторон Эйфелевой башни, ее верхушка может отклоняться на 18 см из-за неравномерности теплового расширения элементов.

Надо сказать, что на момент начала строительства Шуховской радиобашни методика расчета прочности гиперболоидных конструкций была далека от совершенства. В последующие десятилетия ее продолжали развивать и углублять, однако башня на Шаболовке построена на основании расчетов, характерных для своего времени. В частности, использовались упрощенные модели распределения нагрузок, не учитывался ряд характерных особенностей вроде скручивания опорных колец, закрутки балок и продольные деформации. Использовались различные эмпирические и полуэмпирические формулы и коэффициенты, а недостаточная точность расчетов компенсировалась закладкой избыточной прочности. Тем не менее проведенные в последующие десятилетия исследования прочности Шуховской башни, в которых применялись более совершенные и точные методики расчета, показали результаты, близкие к расчетам самого Шухова.

Об устойчивости конструкции Шуховской башни говорят два случая. После ее возведения не демонтировали стальной трос, соединявший башню с одной из лебедок на земле. В 1930-е годы почтовый самолет задел этот трос крылом и упал неподалеку. Лебедку сорвало с фундамента, а башня получила сильный удар. Однако осмотр конструкции показал, что гиперболоид вышел из этой передряги без каких-либо повреждений или деформаций.

Второй случай связан с другой башней Шухова - гиперболоидной опорой ЛЭП высотой 128 м, установленной на берегу Оки. На самом деле, опор было две, но одну из них в 2005 году уничтожили вандалы - ради металла.

А несколько лет спустя из нижнего яруса второй башни была вырезана треть балок. В таком виде башня простояла еще несколько лет, неся несколько тонн тросов и подвергаясь давлению воды и льдов во время половодий. Впоследствии утраченные элементы конструкции восстановили, и башня стоит до сих пор. Что уж говорить о ветровой устойчивости московской радиобашни.

К сожалению, за 94 года Шуховскую башню на Шаболовке лишь трижды покрывали антикоррозионной краской. То есть бóльшую часть времени она провела без какой-либо защиты. Стальная конструкция ржавела и разрушалась, накапливалась усталость металла. Недавно внутри башни установили поддерживающие конструкции, снимающие часть нагрузки. У той же Эйфелевой башни ежегодно заменяют порядка 3% элементов на аналогичные, изготовленные по тем же технологиям, что и при возведении. А Шуховская башня уже век стоит практически без какого-либо ухода. К счастью, ее разрушение можно остановить, сохранив этот уникальный памятник отечественной инженерной мысли.