Углы, связанные с окружностью. Окружность

Угол, образованный двумя хордами, проведенными из одной точки, называется вписанным.

ТЕОРЕМА Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Следствия:

все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны;

вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

ТЕОРЕМА Угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг, заключенных между его сторонами

ТЕОРЕМА Угол, вершина которого лежит вне круга, а стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью двух дуг, заключенных между его сторонами.

ТЕОРЕМА Угол, составленный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключенной внутри угла.

Задания с решением

1. Найдите величину угла АВС . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Построим квадрат со стороной АС.

Тогда видно, что угол АВС опирается на окружности, то есть на дугу 90º. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит

2. Хорда АВ делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 6:12. Под каким углом видна эта хорда из точки С, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение.

Из точки C хорда АВ видна под углом АCВ . Пусть большая часть окружности равна 12х, тогда меньшая равна 6х. Вся окружность составляет 360º.

Получаем уравнение 12х+6х=360º.Откуда х=20º.

Угол АСВ опирается на большую дугу окружности, которая равна 12·20º=240º.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит, опирающийся на большую дугу угол АCВ равен

Ответ 120º

3. Хорда АВ стягивает дугу окружности в 84º. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку В. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол АВС – это угол между касательной и хордой. Он измеряется половиной дуги, заключенной внутри угла. Дуга внутри угла равна 84º.Значит

4. К окружности радиуса 36 проведена касательная из точки, удаленной от центра на расстояние, равное 85. Найдите длину касательной.

Пусть ОА=36, ОС=85.Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Из прямоугольного треугольника АОС по теореме Пифагора получаем

5. К окружности из точки С вне ее проведены касательная АС и секущая СD, пересекающая окружность в точке В . Сумма длин касательной и секущей равна 30см, а внутренний отрезок секущей на 2см короче касательной. Найти длины касательной и секущей.

Пусть АС=х, а СD=у . Тогда х+у =30, а DB=AC -2=x -2 , BC=AC-DB=y-DB=y-(x -2)=y-x +2. По теореме, если из точки вне круга проведены к нему касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то есть . Тогда

Получаем систему

. х =80 не подходит так как у >0 Поэтому получаем

Касательная АС =12, секущая CD =18.

Ответ 12 и 18

6. Найти площадь S закрашенного сектора. В ответе укажите S/π.

Построим на данном чертеже квадрат

Тогда становится очевидно, что сектор составляет одну четверть круга.

Радиус равен половине диагонали квадрата, сторона которого равна 4.

Тогда площадь сектора вычислим по формуле

Тогда искомая величина равна

Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.	Найдите хорду, на которую опирается угол 90º, вписанный в окружность радиуса 1.
Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.	Найдите хорду, на которую опирается угол 30º, вписанный в окружность радиуса 3.
Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.	Радиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.
Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.	Найдите хорду, на которую опирается угол 120º, вписанный в окружность радиуса .
Центральный угол на 34º больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.	Найдите градусную величину дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Найдите градусную величину дуги BC окружности, на которую опирается угол BAC. Ответ дайте в градусах.	Угол ACO равен 25º, где O - центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O- центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 110º. Ответ дайте в градусах.	Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 116º и 36º . Ответ дайте в градусах.
Угол ACB равен 50º. Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 130º. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.	Хорда AB стягивает дугу окружности в 86º. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.
Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 28º. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.	Через концы A, B дуги окружности в 72º проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 112º. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.	Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O - центр окружности, а дуга меньшая дуга окружности AB, заключенная внутри этого угла, равна 62º. Ответ дайте в градусах.

Цели урока: формирования знаний по теме, организация работы по усвоению понятий, научных фактов.

Образовательные задачи:

ввести понятие вписанного угла;
научить распознавать вписанные углы на чертежах;
предвидеть дополнительное построение, содержащее вписанный угол, ведущее к решению задачи;
рассмотреть теорему о вписанном угле и следствия из нее;
показать применение теоремы при решении задач;
познакомить с оптическими иллюзиями

Воспитательные задачи: активизация самостоятельности познавательной деятельности учащихся. формирование навыков коллективной работы, развитие чувства ответственности за свои знания, культуры общения, приобщение к познанию оптической иллюзии и ее применение на практике, воспитание эстетической культуры.

Развивающие задачи: продолжить развитие умения анализировать, сопоставлять, сравнивать, выделять главное, устанавливать причинно-следственные связи; совершенствовать графическую культуру.

Технология: проблемное изучение с применением информационных технологий.

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Форма урока: урок – проблемное изложение.

Оборудование урока: презентация: презентация, листы самоанализа.

Этапы урока

Мотивирование к учебной деятельности -1 минута.
Постановка проблемы и создание плана ее решения – 2 минуты.
Актуализация знаний - 4 минуты.
Открытие нового понятия - 10 минут.
Исследовательская работа по выявлению свойств нового понятия - 4 минуты.
Применение новых знаний - 11 минут.
Игра “Веришь - не веришь” с целью закрепления нового теоретического материала - 2 минуты.
Индивидуальная работа с тестом - 5 минут.
Применение новых знаний в незнакомых ситуациях - 4 минуты.
Рефлексия - 3 минуты.

Ход урока

1. Мотивирование к учебной деятельности

Здравствуйте, ребята. Садитесь. Я, надеюсь, что те знания, которые Вы получите на уроке пригодятся Вам в жизни.

2. Постановка проблемы и создание плана ее решения

Дана клумба круглой формы, на одной из хорд которой посажены розы. В каких разных местах клумбы должны быть посажены три куста роз таким образом, чтобы с этих точек все розы были видны под одним и тем же углом? (Cлайд 2). Презентация

Какие у Вас есть версии решения этой задачи?

Возникает проблемная ситуация. Знаний у учеников не хватает.

Чтобы ответить на этот вопрос, надо использовать свойства вписанного угла. Тогда давайте вместе составим план действий на уроке. Какие цели урока и как мы их будем достигать?”. В ходе обсуждения на экране появляется план урока. (Cлайд 3 )

3. Актуализация знаний

Учитель: “ Дайте определение угла. Что называется центральным углом?”. (Cлайд 4 )

Задачи (Cлайд 5

4. Открытие нового понятия

Сейчас вы видите шесть рисунков. На какие группы вы бы их разделили и почему? (Cлайд 6)

Острые, прямые, тупые.

Углы 1, 3, 5 и 2, 4, 6 по расположению вершины угла? Как называют углы 1, 3, 5 ?

А углы 2, 4, 6 –называются вписанными. Вот о них мы сегодня и поведём речь.

Чем похожи и чем отличаются углы АВС и КРО? (Cлайд 7 )

После ответа на этот вопрос учащиеся пытаются дать определение вписанного угла, после чего учитель выводит на экран формулировку, подчеркивая важные моменты: (Cлайд 8 )

вершина лежит на окружности,
стороны пересекают окружность.

Найти рисунки, на которых изображены вписанные углы.

Задание. Выразите величину вписанного угла, зная, как выражается величина центрального угла через дугу, на которую он опирается. Работа со слайдом 10

Какое дополнительное построение нужно сделать, чтобы выполнить указанное задание? Если учащиеся сразу не догадаются, уточнить: какой центральный угол нужно связать с данным вписанным углом?

Далее учащиеся видят, что полученный центральный угол является внешним углом равнобедренного треугольника и приходят к выводу, что один из углов (в частности вписанный), равный их полусумме, равен половине центрального, т.е. половине дуги, на которую он опирается.

Дается точная формулировка теоремы и проецируется на экран. (Cлайд 11 ).

Ученики в тетрадь переносят чертеж (слайд 12) , далее записывают в тетради условие. Один из учащихся комментирует записи. Следующий ученик записывает и комментирует доказательство теоремы. Логичность и полноту оформления проверяют с помощью слайда 12) . Таким образом, оформлено доказательство теоремы для случая, когда сторона вписанного угла проходит через центр окружности.

Случай, когда центр окружности лежит внутри угла, рассматривается устно с применением слайда 13.

Следующий случай, когда центр окружности лежит вне угла, учитель предлагает обосновать самостоятельно при домашней подготовке. (Cлайд 14 ). В классе же по чертежу слайда 15 выясняют, что данный вписанный угол можно рассматривать как разность двух углов, у каждого из которых одна сторона является какой либо стороной данного угла, а вторая сторона общая и проходит через центр окружности.

5. Исследовательская работа по выявлению свойств нового понятия

Работа со слайдом 15.

Задание. Как быстро с помощью циркуля и линейки построить сразу несколько углов, равных данному углу? Они замечают, что их способы способ нерациональны. Возникает проблемная ситуация: старые знания не дают рационального решения поставленной задачи.

Подумайте, как, используя новый материал, можно решить эту задачу. Можно провести окружность, проходящую через вершину угла, без указания центра и построить различные вписанные углы, опирающихся на одну дугу. Проблемная ситуация разрешена. После чего формулируется следствие 1: “Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны”.

Аналогично проводится работа, ведущая к формулировке следствия 2. (Cлайд 16 )

Как быстро с помощью циркуля и линейки построить прямой угол? Разъясняется, что “быстро” надо понимать за “минимальное число шагов”. Приходим к нерациональности данного построения. Если ученики не догадались, как выполнить построение, учитель задает вопрос: на какую дугу должен опираться прямой вписанный угол? После этого ученики излагают пошагово ход построения:

Начертить окружность произвольного радиуса.
Провести диаметр.
Выбрать любую точку окружности, кроме концов диаметра.
Провести лучи из выбранной точки через концы диаметра.

После этого учитель говорит, что в данном построении использовалось следствие 2 из теоремы о вписанном угле. Попробуйте его сформулировать.

Уточненная формулировка проецируется на экран. (Cлайды 17-19 )

6. Применение новых знаний

Решение задач на закрепление нового материала. Работа со слайдами 20-26 .

7. Игра на повторение с целью закрепления теоретического материала.(Cлайд 27 )

Игра “ Веришь - не веришь”

Верите ли вы, что если величина центрального угла равна 90˚, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу равен 45˚?
Верите ли вы, что отрезки касательных к окружности равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через центр окружности?Верите ли вы, что угол проходящий через центр окружности называется ее центральным углом?
Верите ли вы, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается?
Верите ли вы, что величина центрального угла в два раза больше величины дуги, на которую он опирается?
Верите ли вы, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 180˚?
Верите ли вы, что угол, стороны которого пересекают окружность называется вписанным углом?
Верите ли вы, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны?
Верите ли вы, что при дальнейшем изучении материала с окружностью будут связаны не только углы, но и треугольники и четырехугольники?

8. Индивидуальная работа с тестом. (Cлайды 28-30 )

Листочки с ответами сдаются учителю. Затем учитель комментирует решения.

Вариант 1.

1. Угол АСВ на 38° меньше угла АОВ. Найдите сумму углов АОВ и АСВ

а) 96°; б) 114°; в) 104°; г) 76°;

2. МР – диаметр, О – центр окружности. ОМ=ОК=МК. Найдите угол РКО.

а) 60°; б)40°; в) 30°; г) 45°;

3. Угол АВС вписанный, угол АОС – центральный. Найдите угол АВС, если угол АОС=126°

а) 112 °; б) 123 °; в) 117°; г) 113 °;

Вариант 2.

1. Угол МСК на 34 °меньше угла МОК. Найдите сумму углов МСК и МОК.

а) 112°; б) 102°; в) 96°; г) 68°;

2. АС – диаметр окружности, О – ее центр. АВ=ОВ=ОА. Найдите угол ОВС.

а) 50°; б) 60°; в) 30°; г) 45°;

3. О – центр окружности, угол L =136 °. Найдите угол В.

а) 292 °; б) 224 °; в) 112 °; г) 146 °;

Ответы к заданиям проверяются после заполнения теста.

Задания	1	2	3
1 Вариант	Б	В	В
2 Вариант	Б	В	В

9. Применение новых знаний в незнакомых ситуациях

а) Работа со слайдами 31-33 .

Учитель: “Дома Вы решали задачу на вычисление углов пятиконечной звезды, вписанной в окружность. Как Вы ее решили?”.

Как решить эту задачу с помощью теоремы о величине вписанного угла.

II способ: Когда вершины пятиугольной звезды делят окружность на равные дуги, задача решается очень просто: 360°: 5:2 *5=180°.

б)Разбор математического софизма на применение теоремы о величине вписанного угла .

Хорда, не проходящая через центр, равна диаметру.(Cлайд 34-36 ) Найти ошибку в рассуждениях.

Решение. Пусть в окружности проведен диаметр АВ. Через точку В проведем какую-либо хорду ВС, не проходящую через центр, затем через середину этой хорды D и точку А проведем новую хорду АЕ. Наконец, точки Е и С соединим отрезком прямой. Рассмотрим ▲АВD и ▲ЕDС. В этих треугольниках: ВD=DC (по построению), Ð А = Ð С (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Кроме того, Ð ВDА= Ð ЕDC (как вертикальные). Если же сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Значит,

▲ ВDА= ▲ ЕDC, а в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

Поэтому, АВ=ЕС.

Найдите ошибку в рассуждениях.

в) Тест на оптическую иллюзию по рисункам с альтернативным ответом. (Cлайды 37-39 )

Показать, какую иллюзорную деформацию вызывают острые центральные углы и вписанные углы.

Тест1. Здесь иллюзорную деформацию вызывают острые центральные углы. Хотя углы АОВ, ВОС, COD равны, но за счет множества острых углов, на которых разбиты два угла, они выдают себя за наибольшие, чем средний угол.

Тест 2-3. Здесь доминирующими являются окружности. Углы, вписанные в окружность, образуют в первом случае квадрат, во втором правильный треугольник. Эти фигуры за счет множества окружностей выдают себя, как фигуры приближенные к квадрату и треугольнику. Стороны кажутся вогнутыми во внутрь.

Итак, иллюзию мы можем применять на практике, в повседневной жизни. Например, с ее помощью можно скрывать недостатки формы лица, фигуры.

10. Рефлексия

Давайте вернемся к плану урока и посмотрим, на все ли вопросы мы ответили?

Мы с Вами не ответили на один вопрос. Так как же надо посадить три розы? (Cлайд 40-41)

Усвоив теорему о величине вписанного угла в окружность, делаем вывод, т.к. из всех точек окружности, кроме концов хорды, эта хорда видна под одним и тем же углом, мы можем посадить кусты роз в любой точке на окружности клумбы, кроме точек М и N. Это одно из практических применений теоремы о величине вписанного угла в окружность.

В конце урока учащимся для заполнения может быть выдана анкета, которая позволяет осуществить самоанализ, дать качественную и количественную оценку уроку, при этом, дополнительно, может быть сформулировано задание на аргументацию своего ответа:

1. На уроке я работал…;

2. Своей работой на уроке я…;

3. Урок для меня показался…;

4. За урок я…;

5. Материал урока мне был…;

6. Домашнее задание мне кажется…

Домашнее задание. (Cлайд 42 )

П. 71, выучить определение вписанного угла;
выучить теорему о вписанном угле, (записав доказательство 3 случая) и два следствия из нее;
№ 654 № 656 № 657.

Список литературы:

Геометрия: Учеб. Для 7–9 кл. общеобразов. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 12-е изд., – М.: Просвещение, 2002 г.
Зив Б.Г., Мейлер В.М., Дидактические материалы по геометрии для 8 класса. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2002 г.
Смирнова И.М., Смирнов В.А. Устные упражнения по геометрии для 7–11 классов. Книга для учителя. М.; Просвещение, 2003 г.
Рабинович Е.М. Задачи и упражнения на готовых чертежах. Геометрия 7–9 классы. “Илекса”, “Гимназия”, Москва-Харьков, 2003 г.

ЦОРы и Интернет-сайты:

Мастерская. Мультимедийные презентации для уроков математики. http://www.intergu.ru/infoteka/
Интернет-государство учителей в разделе Инфотека-Математика. http://www.intergu.ru/infoteka/
ЦОРы с портала “Сеть творческих учителей”.

В этой статье я расскажу как решать задачи, в которых используются .

Сначала, как обычно, вспомним определения и теоремы, которые нужно знать, чтобы успешно решать задачи на .

1. Вписанный угол - это угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают окружность:

2. Центральный угол - это угол, вершина которого совпадает с центром окружности:

Градусная величина дуги окружности измеряется величиной центрального угла, который на нее опирается.

В данном случае градусная величина дуги АС равна величине угла АОС.

3. Если вписанный и центральный угол опираются на одну дугу, то величина вписанного угла в два раза меньше центрального :

4. Все вписанные углы, которые опираются на одну дугу, равны между собой:

5. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°:

Решим несколько задач.

1 . Задание B7 (№ 27887)

Найдем величину центрального угла, который опирается на ту же дугу:

Очевидно, что величина угла АОС равна 90°, следовательно, угол АВС равен 45°

Ответ: 45°

2 .Задание B7 (№ 27888)

Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Очевидно, что угол АОС равен 270°, тогда угол АВС равен 135°.

Ответ: 135°

3 . Задание B7 (№ 27890)

Найдите градусную величину дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Найдем величину центрального угла, который опирается на дугу АС:

Величина угла АОС равна 45°, следовательно, градусная мера дуги АС равна 45°.

Ответ: 45°.

4 . Задание B7 (№ 27885)

Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно и . Ответ дайте в градусах.

Угол ADB опирается на дугу АВ, следовательно, величина центрального угла АОВ равна 118°, следовательно, угол BDA равен 59°, и смежный ему угол ADC равен 180°-59°=121°

Аналогично, угол DOE равен 38° и соответствующий вписанный угол DAE равен 19°.

Рассмотрим треугольник ADC:

Сумма углов треугольника равна 180°.

Величина угла АСВ равна 180°- (121°+19°)=40°

Ответ: 40°

5 . Задание B7 (№ 27872)

Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно , , и . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Угол В опирается на дугу АDC, величина которой равна сумме величин дуг AD и CD, то есть 71°+145°=216°

Вписанный угол В равен половине величины дуги ADC, то есть 108°

Ответ: 108°

6 . Задание B7 (№ 27873)

Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6 . Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

(см. чертеж предыдущей задачи)

Так как у нас дано отношение величин дуг, введем единичный элемент х. Тогда величины каждой дуги будут выражаться таким соотношением:

АВ=4х, ВС=2х, СD=3х, AD=6x. Все дуги образуют окружность, то есть их сумма равна 360°.

4х+2х+3х+6х=360°, отсюда х=24°.

Угол А опирается на дуги ВС и CD, которые в сумме имеют величину 5х=120°.

Следовательно, угол А равен 60°

Ответ: 60°

7 . Задание B7 (№ 27874)

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен , угол CAD

Вписанные углы Теорема о вписанном угле 1 случай Луч ВО совпадает со стороной угла АВС Теорема о вписанном угле 1 случай Луч ВО совпадает со стороной угла АВС Дано: Окр (О; R) АВС – вписанный угол Доказать: АВС = ½ АС Доказательство: 1. АОВ – равнобедренный, так как ОВ = ОА = R, значит, В = А. 2. СОА – внешний угол, следовательно, СОА = ОВА + ОАВ СОА = 2 ОВА, значит, ОВА = ½ СОА СВА = ½ АС.

Игра на повторение «Веришь не веришь» Верите ли вы, что если величина центрального угла равна 90˚, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу равен 45˚? Верите ли вы, что отрезки касательных к окружности равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через центр окружности? Верите ли вы, что угол проходящий через центр окружности называется ее центральным углом? Верите ли вы, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается? Верите ли вы, что величина центрального угла в два раза больше величины дуги, на которую он опирается? Верите ли вы, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 180˚ ? Верите ли вы, что угол, стороны которого пересекают окружность называется вписанным углом? Верите ли вы, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны? Верите ли вы, что при дальнейшем изучении материала с окружностью будут связаны не только углы, но и треугольники и четырехугольники? Нет, отрезки касательных к окружности (проведенные из одной точки) равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через (эту точку и) центр окружности. ДА, если величина центрального угла равна 90˚, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу равен 45˚. Нет, угол проходящий (выходящий из) через центр окружности называется ее центральным углом. Да, вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Нет, величина центрального угла в два раза больше (равна) величины дуги, на которую он опирается. Нет, вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен 180˚ (прямой). Нет, угол, стороны которого пересекают окружность (а вершина лежит на окружности) называется вписанным углом. Да, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. Да, при дальнейшем изучении материала с окружностью будут связаны не только углы, но и треугольники и четырехугольники.

Вписанные углы Работа по тесту с программированным контролем решения. Вариант Угол АСВ на 38° меньше угла АОВ. Найдите сумму углов АОВ и АСВ а) 96 ° ; б) 114 ° ; в) 104 ° ; г) 76 ° ; 2. МР – диаметр, О – центр окружности. ОМ=ОК=МК. Найдите угол РКО. а) 60°; б)40°; в) 30°; г) 45°; 3. Угол АВС вписанный, угол АОС – центральный. Найдите угол АВС, если угол АОС=126 ° а) 112 °; б) 123 °; в) 117°; г) 113 °; Вариант Угол МСК на 34 ° меньше угла МОК. Найдите сумму углов МСК и МОК. а) 112°; б) 102°; в) 96°; г) 68°; 2. АС – диаметр окружности, О – ее центр. АВ=ОВ=ОА. Найдите угол ОВС. а) 50°; б) 60°; в) 30°; г) 45°; 3. О – центр окружности, угол L =136 °. Найдите угол В. а) 292 °; б) 224 °; в) 112 °; г) 146 °;

Хорда, не проходящая через центр, равна диаметру. Пусть в окружности проведен диаметр АВ. Через точку В проведем какую- либо хорду ВС, не проходящую через центр, затем через середину этой хорды D и точку А проведем новую хорду АЕ. Наконец, точки Е и С соединим отрезком прямой. Рассмотрим АВD и ЕDС. В этих треугольниках: ВD=DC (по построению), А = С (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Кроме того, ВDА= ЕDC (как вертикальные). Если же сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Значит, ВDА= ЕDC, а в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Поэтому, АВ=ЕС.

Найдем ошибку По теореме о признаке равенства треугольника: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. А в нашем случае, угол А не прилежит к стороне ВD.

Вписанные углы Тест на оптическую иллюзию по рисункам с альтернативным ответом. Оптическую иллюзию мы довольно часто наблюдаем и даже применяем в нашей практике, но очень мало знаем ее сущность. Иллюзию зрения используют архитекторы при постройке зданий, модельеры при создании моделей, художники при создании декораций. Нам известно, что тело, окрашенное в светлые тона, кажется больше, чем тело того же размера, окрашенное в темный тон. Бывают причины, вызывающие оптические иллюзии. Вписанные углы Тест 2 Тест 3 Тест 2 Тест 3 В окружность вписан: 1. квадрат 2. близкая к квадрату фигура Тест 2, 3: Здесь доминирующими являются окружности. Углы вписанные в окружность, образуют в первом случае квадрат, во втором правильный треугольник. Эти фигуры за счет множества окружностей выдают себя, как фигуры приближенные к квадрату и треугольнику. Стороны кажутся вогнутыми во внутрь. Итак, иллюзию мы можем применять на практике, в повседневной жизни. Например, с ее помощью можно скрывать недостатки формы лица, фигуры. В окружность вписан: 1. треугольник 2. близкая к треугольнику фигура

Вписанные углы Усвоив теорему о величине вписанного угла в окружность, делаем Вывод, т.к. из всех точек окружности, кроме концов хорды, эта хорда видна под одним и тем же углом, мы можем посадить кусты роз в любой точке на окружности клумбы, кроме точек М и N. Это одно из практических применений теоремы о величине вписанного угла в окружность.

Вписанные углы Домашнее задание. п. 71, выучить определение вписанного угла; выучить теорему о вписанном угле, (записав доказательство 3 случая) и два следствия из нее;

Вписанный угол, теория задачи. Друзья! В этой статье речь пойдёт о заданиях, для решения которых необходимо знать свойства вписанного угла. Это целая группа задач, они включены в ЕГЭ. Большинство из них решаются очень просто, в одно действие.

Есть задачи посложнее, но и они большой трудности для вас не представят, необходимо знать свойства вписанного угла. Постепенно мы разберём все прототипы задач, приглашаю вас на блог!

Теперь необходимая теория. Вспомним, что такое центральный и вписанный угол, хорда, дуга, на которые опираются эти углы:

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре .
Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности.
Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.
Угол, называется вписанным в окружность, если вершина угла лежит на окружности, а стороны угла пересекают эту окружность.

Отрезок соединяющий две точки окружности называется хордой . Самая большая хорда проходит через центр окружности и называется диаметр.

Для решения задач на вписанные в окружность углы, вам необходимо знать следующие свойства:

1. Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.

2. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

3. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны.

4. Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°.

Следствие: противолежащие углы четырёхугольника вписанного в окружность в сумме составляют 180 градусов.

5. Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.

Вообще, это свойство является следствием из свойства (1), это его частный случай. Посмотрите – центральный угол равен 180 градусам (и этот развёрнутый угол есть не что иное, как диаметр), значит по первому свойству вписанный угол С равен его половине, то есть 90 градусам.

Знание данного свойства помогает в решении многих задач и часто позволяет избежать лишних расчётов. Хорошо усвоив его — вы более половины задач такого типа сможете решать устно. Два следствие, которые можно сделать:

Следствие 1: если в окружность вписан треугольник и одна его сторона совпадает с диаметром этой окружности, то треугольник является прямоугольным (вершина прямого угла лежит на окружности).

Следствие 2: центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой его гипотенузы.

Многие прототипы стереометрических задач также решаются благодаря использованию этого свойства и данных следствий. Запомните сам факт: если диаметр окружности является стороной вписанного треугольника, то этот треугольник прямоугольный (угол лежащий против диаметра равен 90 градусов). Все остальные выводы и следствия вы сможете сделать сами, учить их не надо.

Как правило, половина задач на вписанный угол даётся с эскизом, но без обозначений. Для понимания процесса рассуждения при решении задач (ниже в статье) введены обозначения вершин (углов). На ЕГЭ вы можете этого не делать. Рассмотрим задачи:

Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Построим центральный угол для заданного вписанного угла, обозначим вершины:

По свойству вписанного в окружность угла:

Угол АОВ равен 60 0 , так как треугольник АОВ равносторонний, а в равностороннем треугольнике все углы равны по 60 0 . Стороны треугольника равны, так как в условии сказано, что хорда равна радиусу.

Таким образом, вписанный угол АСВ равен 30 0 .

Ответ: 30

Найдите хорду, на которую опирается угол 30 0 , вписанный в окружность радиуса 3.

Это по сути обратная задача (предыдущей). Построим центральный угол.

Он в два раза больше вписанного, то есть угол АОВ равен 60 0 . От сюда можно сделать вывод, что треугольник АОВ равносторонний. Таким образом, хорда равна радиусу, то есть трём.

Ответ: 3

Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную корню из двух. Ответ дайте в градусах.

Построим центральный угол:

Зная радиус и хорду мы можем найти центральный угол АСВ. Это можно сделать по теореме косинусов. Зная центральный угол мы без труда найдём вписанный угол АСВ.

Теорема косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Следовательно, второй центральный угол равен 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Угол АСВ по свойству вписанного угла равен его половине, то есть 135 градусам.

Ответ: 135

Найдите хорду, на которую опирается угол 120 градусов, вписанный в окружность радиуса корень из трёх.

Соединим точки А и В с центром окружности. Обозначим её как О:

Нам известен радиус и вписанный угол АСВ. Мы можем найти центральный угол АОВ (больший 180 градусов), затем найти угол АОВ в треугольнике АОВ. А далее по теореме косинусов вычислить АВ.

По свойству вписанного угла центральный угол АОВ (который больше 180 градусов) будет равен вдвое больше вписанного, то есть 240 градусам. Значит, угол АОВ в треугольнике АОВ равен 360 0 – 240 0 = 120 0 .

По теореме косинусов:

Ответ:3

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 20% окружности. Ответ дайте в градусах.

По свойству вписанного угла он вдвое меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу, в данном случае речь идёт о дуге АВ.

Сказано, дуга АВ составляет 20 процентов от окружности. Это означает, что центральный угол АОВ составляет так же 20 процентов от 360 0 . *Окружность это угол в 360 градусов. Значит,

Таким образом, вписанный угол АСВ равен 36 градусам.

Ответ: 36

Дуга окружности AC , не содержащая точки B , составляет 200 градусов. А дуга окружности BC, не содержащая точки A , составляет 80 градусов. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Обозначим для наглядности дуги, угловые меры которых даны. Дуга соответствующая 200 градусам – синий цвет, дуга соответствующая 80 градусам – красный цвет, оставшаяся часть окружности – жёлтый цвет.

Таким образом, градусная мера дуги АВ (жёлтый цвет), а значит и центральный угол АОВ составляет: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Вписанный угол АСВ вдвое меньше центрального угла АОВ,то есть равен 40 градусам.

Ответ: 40

Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.