Обладают многими свойствами:
1. Функция называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает
2. Функция называется возрастающей на некотором промежутке А, если для любых чисел их множества А выполняется условие:.
График возрастающей функции обладает особенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежутку А ординаты точек графика увеличиваются (рис. 4).
3. Функция называется убывающей на некотором промежутке А , если для любых чисел их множества А выполняется условие:.
График убывающей функции обладает особенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежутку А ординаты точек графика уменьшаются (рис. 4).
4. Функция называется четной на некотором множестве Х, если выполняется условие:.
График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 2).
5. Функция называется нечетной на некотором множестве Х, если выполняется условие:.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 2).
6. Если функция у = f(x)
f(x)
f(x)
,то говорят, что функция у = f(x)
принимает наименьшее значение
у
= f(x)
при х
= x
(рис. 2, функция принимает наименьшее значение в точке с координатами (0;0)).
7. Если функция у = f(x) определена на множестве Х и существует такое , что для любого справедливо неравенство f(x) f(x) ,то говорят, что функция у = f(x) принимает наибольшее значение у = f(x) при х = x (рис. 4, функция не имеет наибольшего и наименьшего значений).
Если для данной функции у = f(x) изучены все перечисленные свойства, то говорят, что проведено исследование функции.
Уроки 1-2. Определение числовой функции и способы ее задания
09.07.2015 11704 0Цель: обсудить определение функции, способы ее задания.
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Повторение материала 9 класса
Различные аспекты этой темы уже рассматривались в 7-9 классах. Теперь необходимо расширить и обобщить сведения о функциях. Напомним, что тема является одной из важнейших для всего курса математики. Различные функции будут изучаться вплоть до окончания школы и далее в высших учебных заведениях. Данная тема вплотную связана с решением уравнений, неравенств, текстовыми задачами, прогрессиями и т. д.
Определение 1. Пусть даны два множества действительных чисел D и Е и указан закон f по которому каждому числу х ∈ D ставится в соответствие единственное числом y ∈ Е (см. рисунок). Тогда говорят, что задана функция у = f (x ) или у(х) с областью определения (О.О.) D и областью изменения (О.И.) Е. При этом величину х называют независимой переменной (или аргументом функции), величину у - зависимой переменной (или значением функции).
Область определения функции f обозначают D (f ). Множество, состоящее из всех чисел f (x ) (область значений функции f ), обозначают E (f ).
Пример 1
Рассмотрим функцию Для нахождения у для каждого значения х необходимо выполнить следующие операции: из величины х вычесть число 2 (х - 2), извлечь квадратный корень из этого выражения и, наконец, прибавить число 3 Совокупность этих операций (или закон, по которому для каждого значения х ищется величина у) и называется функцией у(х). Например, для х = 6 находим Таким образом, для вычисления функции у в данной точке х необходимо подставить эту величину х в данную функцию у(х).
Очевидно, что для данной функции для любого допустимого числа х можно найти только одно значение у (т. е. каждому значению х соответствует одно значение у).
Рассмотрим теперь область определения и область изменения этой функции. Извлечь квадратный корень из выражения (х - 2) можно, только если эта величина неотрицательная, т. е. х - 2 ≥ 0 или х ≥ 2. Находим Так как по определению арифметического корня то прибавим ко всем частям этого неравенства число 3, получим: или 3 ≤ у < +∞. Находим
В математике часто используются рациональные функции. При этом функции вида f (x ) = р(х) (где р(х) - многочлен) называют целыми рациональными функциями. Функции вида (где р(х) и q (x ) - многочлены) называют дробно-рациональными функциями. Очевидно, дробь определена, если знаменатель q (x ) не обращается в нуль. Поэтому область определения дробно-рациональной функции - множество всех действительных чисел, из которого исключены корни многочлена q (x ).
Пример 2
Рациональная функция определена при х - 2 ≠ 0, т. е. x ≠ 2. Поэтому область определения данной функции - множество всех не равных 2 действительных чисел, т. е. объединение интервалов (-∞; 2) и (2; ∞).
Напомним, что объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств А или В. Объединение множеств А к В обозначается символом А U В. Так, объединением отрезков и (3; 9) является промежуток (непересекающиеся промежутки) обозначают .
Возвращаясь к примеру, можно записать: Так как при всех допустимых значениях х дробь не обращается в нуль, то функция f (x ) принимает все значения, кроме 3. Поэтому
Пример 3
Найдем область определения дробно-рациональной функции
Знаменатели дробей обращаются в нуль при х = 2, х = 1 и х = -3. Поэтому область определения данной функции
Пример 4
Зависимость уже не является функцией. Действительно, если мы хотим вычислить значение у, например, для х = 1, то, пользуясь верхней формулой, найдем: у = 2 · 1 - 3 = -1, а пользуясь нижней формулой, получим: у = 12 + 1 = 2. Таким образом, одному значению x (x = 1) соответствуют два значения у (у = -1 и у = 2). Поэтому эта зависимость (по определению) не является функцией.
Пример 5
Приведены графики двух зависимостей y (x ). Определим, какая из них является функцией.
На рис. а приведен график функции, так как любой точке x 0 соответствует только одно значение у0. На рис. б приведен график какой- то зависимости (но не функции), так как существуют такие точки (например, x 0 ), которым отвечает более одного значения у (например, у1 и у2).
Рассмотрим теперь основные способы задания функций.
1) Аналитический (с помощью формулы или формул).
Пример 6
Рассмотрим функции:
Несмотря на непривычную форму, это соотношение также задает функцию. Для любого значения х легко найти величину у. Например, для х = -0,37 (так как х < 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х > 0, то пользуемся нижним выражением) имеем: Из способа нахождения у понятно, что любой величине х отвечает только одно значение у.
в) 3х + у = 2у - х2. Выразим из этого соотношения величину у: 3х + х2 = 2у - у или х2 + 3х = у. Таким образом, это соотношение также задает функцию у = х2 + 3х.
2) Табличный
Пример 7
Выпишем таблицу квадратов у для чисел х.
2,25 | 6,25 |
Данные таблицы также задают функцию - для каждого (приведенного в таблице) значения х можно найти единственное значение у. Например, у(1,5) = 2,25, y (5) = 25 и т. д.
3) Графический
В прямоугольной системе координат для изображения функциональной зависимости у(х) удобно пользоваться специальным рисунком - графиком функции.
Определение 2. Графиком функции y (x ) называют множество всех точек системы координат, абсциссы которых равны значениям независимой переменной х, а ординаты - соответствующим значениям зависимой переменной у.
В силу такого определения все пары точек (х0, у0), которые удовлетворяют функциональной зависимости у(х), расположены на графике функции. Любые другие пары точек, не удовлетворяющие зависимости y (x ), на графике функции не лежат.
Пример 8
Дана функция Принадлежит ли графику этой функции точка с координатами: а) (-2; -6); б) (-3; -10)?
1. Найдем значение функции у при Так как у(-2) = -6, то точка А (-2; -6) принадлежит графику данной функции.
2. Определим значение функции у при Так как y (-3) = -11, то точка В (-3; -10) не принадлежит графику этой функции.
По данному графику функции у = f (x ) легко найти область определения D (f ) и область значений E (f ) функции. Для этого точки графика проецируют на оси координат. Тогда абсциссы этих точек образуют область определения D (f ), ординаты - область значений E (f ).
Сравним различные способы задания функции. Наиболее полным следует считать аналитический способ. Он позволяет составить таблицу значений функции для некоторых значений аргументов, построить график функции, провести необходимое исследование функции. Вместе с тем табличный способ позволяет быстро и легко найти значение функции для некоторых значений аргумента. График функции наглядно показывает ее поведение. Поэтому противопоставлять различные способы задания функции не следует каждый из них имеет свои преимущества и свои недостатки. На практике используются все три способа задания функции.
Пример 9
Дана функция у = 2х2 - 3х +1.
Найдем: а) y (2); б) y (-3х); в) у(х + 1).
Для того чтобы найти значение функции при каком-то значении аргумента, необходимо подставить это значение аргумента в аналитический вид функции. Поэтому получим:
Пример 10
Известно, что у(3 - х) = 2х2 - 4. Найдем: а) y (x ); б) у(-2).
а) Обозначим буквой z = 3-х, тогда х = 3 - z . Подставим это значение х в аналитический вид данной функции у(3 - х) = 2х2 - 4 и получим: y (3 - (3 - z )) = 2 · (3 - z )2 - 4, или y (z ) = 2 · (3 - z )2 - 4, или y (z ) = 2 · (9 - 6 z + z 2 ) - 4, или y (z ) = 2х2 - 12 z + 14. Так как безразлично, какой буквой обозначен аргумент функции - z , х, t или любой другой, то сразу получим: у(х) = 2х2 - 12х + 14;
б) Теперь легко найти у(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46.
Пример 11
Известно, что Найдем х(у).
Обозначим буквой z = x - 2, тогда х = z + 2, и запишем условие задачи: или To же условие запишем для аргумента (- z ): Для удобства введем новые переменные a = y (z ) и b = y (- z ). Для таких переменных получим систему линейных уравнений
Нас интересует неизвестная a .
Для ее нахождения используем способ алгебраического сложения. Поэтому умножим первое уравнение на число (-2), второе уравнение - на число 3. Получим:
Сложим эти уравнения: откуда Так как аргумент функции можно обозначать любой буквой, то имеем:
В заключение заметим, что к концу 9 класса были изучены свойства и графики:
а) линейной функции у = кх + m (график - прямая линия);
б) квадратичной функции у = ах2 + b х + с (график - парабола);
в) дробно-линейной функции (график - гипербола), в частности функции
г) степенной функции у = ха (в частности, функции
д) функции у = |х|.
Для дальнейшего изучения материала рекомендуем повторить свойства и графики указанных функций. На следующих занятиях будут рассмотрены основные способы преобразования графиков.
1. Дайте определение числовой функции.
2. Расскажите о способах задания функции.
3. Что называется объединением множеств А и B ?
4. Какие функции называются целыми рациональными?
5. Какие функции называются дробно-рациональными? Как находится область определения таких функций?
6. Что называют графиком функции f (х)?
7. Приведите свойства и графики основных функций.
IV. Задание на уроках
§ 1, № 1 (а, г); 2 (в, г); 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 6 (в); 7 (а, б); 8 (в, г); 10 (a ); 13 (в, г); 16 (а, б); 18.
V. Задание на дом
§ 1, № 1 (б, в); 2 (а, б); 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 6 (г); 7 (в, г); 8 (а, б); 10 (б); 13 (а, б); 16 (в, г); 19.
VI. Творческие задания
1. Найдите функцию у = f (х), если:
Ответы:
2. Найдите функцию у = f (x ) если:
Ответы:
VII. Подведение итогов уроков
ОБОБЩАЮЩИЙ УРОК ПО ТЕМЕ «ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА».
Цели урока :
Методическая: повышение активно-познавательной деятельности учащихся путем проведения индивидуально-самостоятельной работы и применения тестовых заданий развивающего типа.
Обучающая: повторить элементарные функции, их основные свойства и графики. Ввести понятие взаимно-обратных функций. Систематизировать знания учащихся по теме; способствовать закреплению умений и навыков в вычислении логарифмов, в применении их свойств при решении заданий нестандартного типа; повторить построение графиков функций с помощью преобразований и проверить навыки и умения при самостоятельном решении упражнений.
Воспитательная: воспитание аккуратности, собранности, ответственности, умения принимать самостоятельные решения.
Развивающая: развивать интеллектуальные способности, мыслительные операции, речь, память. Развивать любовь и интерес к математике; в ходе урока обеспечить развитие у учащихся самостоятельности мышления в учебной деятельности.
Тип урока: обобщение и систематизация.
Оборудование: доска, компьютер, проектор, экран, учебная литература.
Эпиграф урока: “Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит”.
(М.В. Ломоносов).
ХОД УРОКА
Проверка домашнего задания.
Повторение показательной и логарифмической функций с основанием а = 2, построение их графиков в одной координатной плоскости, анализ их взаимного расположения. Рассмотреть взаимозависимость между основными свойствами этих функций (ООФ и ОЗФ). Дать понятие взаимно-обратных функций.
Рассмотреть показательную и логарифмическую функции с основанием а = ½ с
целью убедиться в соблюдении взаимозависимости перечисленных свойств и для
убывающих взаимно-обратных функций.
Организация самостоятельной работы тестового типа на развитие мыслительной
операции систематизации по теме «Функции и их свойства».
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ:
1). у = │х│ ;
2). Возрастает на всей области определения;
3). ООФ: (- ∞; + ∞) ;
4). у = sin x ;
5). Убывает при 0 < а < 1 ;
6). у = х ³ ;
7). ОЗФ: (0; + ∞) ;
8). Функция общего вида;
9). у = √ х;
10). ООФ: (0; + ∞) ;
11). Убывает на всей области определения;
12). у = кх + в;
13). ОЗФ: (- ∞; + ∞) ;
14). Возрастает при к > 0 ;
15). ООФ: (- ∞; 0) ; (0; + ∞) ;
16). у = cos x ;
17). Не имеет точек экстремума;
18). ОЗФ: (- ∞; 0) ; (0; + ∞) ;
19). Убывает при к < 0 ;
20). у = х ² ;
21). ООФ: х ≠ πn ;
22). у = к/х;
23). Четная;
25). Убывает при к > 0 ;
26). ООФ: [ 0; + ∞) ;
27). у = tg x ;
28). Возрастает при к < 0;
29). ОЗФ: [ 0; + ∞) ;
30). Нечетная;
31). у = log x ;
32). ООФ: х ≠ πn/2 ;
33). у = ctg x ;
34). Возрастает при а > 1.
Во время этой работы осуществлять опрос учащихся по индивидуальным заданиям:
№1. а) Построить график функции
б) Построить график функции
№2. а) Вычислить:
б) Вычислить:
№3. а) Упростить выражение
и найти его значение при
б) Упростить выражение
и найти его значение при
.
Домашнее задание: №1. Вычислить: а)
;
в)
;
г)
.
№2. Найти область определения функции: а)
;
в)
; г)
.
Разделы: Математика
Класс: 9
Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.
Оборудование:
- Интерактивное оборудование (ПК, мультимедийный проектор).
- Тест, материал в Microsoft Word (Приложение 1 ).
- Интерактивная программа “АвтоГраф”.
- Индивидуальный тест – раздаточный материал (Приложение 2 ).
Ход урока
1. Организационный момент
Озвучивается цель урока.
I этап урока
Проверка домашнего задания
- Собрать листочки с домашней самостоятельной работой из дидактического материала С-19 вариант 1.
- Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся при выполнении домашней самостоятельной работы.
II этап урока
1. Фронтальный опрос.
2. Блиц-опрос: выделите на доске верный ответ в тесте (Приложение 1, стр. 2-3).
III этап урока
Выполнение упражнений.
1. Решить № 358 (а). Решите графически уравнение: .
2. Карточки (четыре слабых учащихся решают в тетради или на доске):
1) Найдите значение выражения: а) ; б) .
2) Найдите область определения функций: а) ; б) y = .
3. Решить № 358 (а). Решите графически уравнение: .
Один ученик решает на доске, остальные в тетради. При необходимости учитель помогает ученику.
На интерактивной доске с помощью программы “АвтоГраф” построена прямоугольная система координат. Учащийся чертит соответствующие графики маркером, находит решение, записывает ответ. Затем задание проверяется: вводится формула с помощью клавиатуры, и график должен совпасть с уже нарисованным в этой же системе координат. Абсцисса пересечения графиков и есть корень уравнения.
Решение :
Ответ : 8
Решить № 360 (а). Постройте и прочитайте график функции:
Учащиеся выполняют задание самостоятельно.
Проверяется построение графика с помощью программы “АвтоГраф”, свойства записываются на доске одним учащимся (область определения, область значения, чётность, монотонность, непрерывность, нули и знакопостоянство, наибольшее и наименьшее значения функции).
Решение :
Свойства:
1) D(f ) = (-); E(f ) = , возрастает на }