Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Откуда
sin= 0,0035 sin cos= 0,0018 sin 2.
Таким образом, угол изменяется в пределах от нуля (на экваторе, где =0, и на полюсах, где =90°) до 0,0018 рад или 6" (на широте 45°).
Направление силы Р совпадает с направлением нити, натянутой грузом; которое называется направлением отвеса или вертикальным направлением. Сила Fнаправлена к центру Земли. Следовательно, вертикаль направлена к центру Земли только на полюсах и на экваторе, отклоняясь на промежуточных широтах на угол , определяемый выражением (11).
Разность F-Р равна нулю на полюсах и достигает максимума, равного 0,3% силы F, на экваторе. Из-за сплюснутости Земли у полюсов сила Fсама по себе несколько варьирует с широтой, будучи на экваторе примерно на 0,2% меньше, чем у полюсов. В итоге ускорение свободного падения изменяется с широтой в пределах от 9,780 м/с 2 на экваторе до 9,832м/с 2 на полюсах. Значение g =9,80665 м/с 2 принято в качестве нормального (стандартного) значения.
Заметим, что относительно инерциальной, например, гелиоцентрической" системы отсчета свободно падающее тело движется с ускорением(а не g). Из рис. 5 видно, что из равенства для разных тел ускорения g вытекает и равенство ускорений w. Действительно, треугольники, построенные на векторах F g и Р для разных тел, подобны (углы а и > для всех тел в данной точке земной поверхности одинаковы). Следовательно, отношение Fg/P, которое совпадает с отношением ig, для всех тел одно и то же, откуда вытекает, что при одинаковых g получаются одинаковыми
При движении тела относительно вращающейся системы отсчета, кроме центробежной силы инерции, появляется еще одна сила, называемая силой Кориолис а или кориолисовой силой инерции.
 Рис.6(а,б)
|
Появление кориолисовой силы можно обнаружить на следующем примере. Возьмем горизонтально расположенный диск, который может вращаться вокруг вертикальной оси. Прочертим на диске радиальную прямую ОА (рис. 6,а). Запустим в направлении от О к А шарик со скоростью v". Если диск не вращается, шарик будет катиться вдоль прочерченной нами прямой. Если же диск привести во вращение в направлении, указанном стрелкой, то шарик будет катиться по изображенной пунктиром кривой ОВ, причем его скорость относительно диска v" будет изменять свое направление. Следовательно, по отношению к вращающейся системе отсчета шарик ведет себя так, как если бы на него действовала сила F K , перпендикулярная к скорости v"
Чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиальной прямой, нужно сделать направляющую, например, в виде ребра О А (рис. 6 ,б). При качении шарика направляющее ребро действует на него с некоторой силой F r . Относительно вращающейся системы (диска) шарик движется с постоянной по направлению скоростью. Это можно формально объяснить тем, что сила F r уравновешивается приложенной к шарику силой инерции F K , перпендикулярной к скорости v". Сила F K и есть кориолисова сила инерции.
Найдем сначала выражение силы Кориолиса для частного случая, когда частица т движется относительно вращающейся системы отсчета равномерно по окружности,
 Рис.7
|
лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, с центром, находящимся на этой оси (рис. 7). Скорость частицы относительно вращающейся системы обозначим v". Скорость частицы относительно неподвижной (инерциальной) системы отсчета v равна по величине +R в случае (а) и |-Rв случае (б), где - угловая скорость вращающейся системы,R - радиус окружности.
Для того чтобы частица двигалась относительно неподвижной системы по окружности со скоростью на нее должна действовать направленная к центру окружности сила F, например, сила натяжения нити, которой частица привязана к центру окружности (см. рис. 7). Величина этой силы равна
F=m=== +2 m + mR (12)
Относительно вращающейся системы частица в этом случае движется с ускорением т. е. так, как если бы на нее действовала сила
Таким образом, во вращающейся системе частица ведет себя так, как если бы на нее, кроме направленной к центру окружности силы F, действовали еще две направленные от центра силы: и сила Fk, модуль которой равен 2 m (рис. 7) Cилу F K можно представить в виде
Сила (14) и есть кориолисова сила инерции. При v"=0 эта сила отсутствует. Сила F u 6 не зависит от v" - она, как мы уже отмечали, действует как на покоящиеся, так и на движущиеся тела. В случае, изображенном на рис. 7
F=m=== -2 m + mR
Соответственно
Следовательно, во вращающейся системе частица ведет себя так, как если бы на нее действовали две направленные к центру окружности силы: F и Fk, а также направленная от центра сила F u 6 =m 2 R. Сила Fk и в этом случае может быть представлена в виде (14).
Теперь перейдем к нахождению выражения силы Кориолиса для случая, когда частица движется относительно вращающейся системы отсчета произвольным образом. Свяжем с вращающейся системой координатные оси х", y" , z",
причем ось , z"
совместим с осью вращения (рис. 8). Тогда радиус-вектор частицы можно представить в виде 
(15)
 |
Положение частицы относительно неподвижной системы следует определять с помощью радиуса-вектора г. Однако символы г" и г обозначают один и тот же вектор, проведенный из начала координат к частице. Символом г" обозначил этот вектор наблюдатель, «живущий» во вращающейся системе отсчета; по его наблюдениям орты , е" у, е" г неподвижны, поэтому при дифференцировании выражения (15) он обращается с этими ортами как с константами. Символом г пользуется неподвижный наблюдатель; для него орты, е" у, вращаются со скоростью (орт e" z неподвижен). Поэтому при дифференцировании равного г выражения (15) неподвижный наблюдатель должен обращаться с и е" у как с функциями t, производные которых равны:
| Для вторых производных ортов по времени получаются выражения:
Найдем скорость частицы относительно вращающейся системы отсчета. Для этого продифференцируем радиус-вектор (15) по времени, считая орты константами
Повторное дифференцирование этого выражения даст ускорение частицы относительно вращающейся системы отсчета:
Теперь найдем скорость частицы относительно неподвижной системы отсчета. Для этого продифференцируем радиус-вектор (15) «с позиций» неподвижного наблюдателя. Воспользовавшись обозначением г вместо г" (напомним, что г=г"), получим:
Продифференцировав это выражение еще раз по t, найдем ускорение частицы относительно неподвижной системы. Приняв во внимание формулы (15), (16) и (18), полученное соотношение можно преобразовать к виду:
Соотношение (20) можно записать следующим образом:
Из (21) вытекает, что ускорение частицы относительно неподвижной системы отсчета можно представить в виде суммы трех ускорений: ускорения относительно вращающейся системы w",
ускорения, равного - R 1), и ускорения
w K =2[, v"],которое называется кориолисовым ускорением.
Для того чтобы частица двигалась с ускорением (21), на нее должны действовать какие-то тела с результирующей силой F=mw. Согласно (21)
mw r = mw - 2m[, v"] + m 2 R = F + 2m + m 2 R (22)
(перестановка сомножителей изменяет знак векторного произведения}. Полученный результат означает, что при составлении уравнения второго закона Ньютона во вращающейся системе отсчета,
 |
 |
кроме сил взаимодействия, нужно учитывать центробежную силу инерции, а также кориолисову силу. Отметим, что сила Кориолиса всегда лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения.
Из сопоставления формул (19), (17) , (15) , и что с помощью выкладок, аналогичных тем, которые привели нас к соотношению (21), можно убедиться в том, что
V=v"+[, r"]. (23)
Примеры движений, в которых проявляется кориолисова сила инерции. При истолковании явлений, связанных с движением тел относительно земной поверхности, в ряде случаев необходимо учитывать влияние кориолисовых сил. Например, при свободном падении тел на них действует кориолисова сила, обуславливающая отклонение к востоку от линии отвеса (рис.9) . Эта сила максимальна на экваторе и обращается в нуль на полюсах.
| Рис. 11. |
Летящий снаряд также испытывает отклонения, обусловленные кориолисовыми силами инерции (рис.10) . При выстреле из орудия, направленного на север, снаряд будет отклоняться к востоку в северном полушарии и к западу - в южном. При стрельбе вдоль меридиана на юг направления отклонения будут противоположными. При стрельбе вдоль экватора силы Кориолиса будут прижимать снаряд к Земле, если выстрел произведен в направлении на запад, и поднимать его кверху, если выстрел произведен в восточном направлении. Предоставляем читателю самому убедиться в том, что сила Кориолиса, действующая на тело, движущееся вдоль меридиана в любом направлении (на север или на юг), направлена по отношению к направлению движения вправо в северном полушарии и влево в южном полушарии. Это приводит к тому, что у рек подмывается всегда правый берег в северном полушарии и левый берег в южном полушарии. Эти же причины объясняют неодинаковый износ рельсов при двухколейном движении.
Силы Кориолиса проявляются и при качаниях маятника. На рис. 11 показана траектория груза маятника (для простоты предположено, что маятник находится на полюсе). На северном полюсе сила Кориолиса будет все время направлена вправо по ходу маятника, на южном полюсе - влево. В итоге траектория имеет вид розетки.
Как следует из рисунка, плоскость качаний маятника поворачивается относительно Земли в направлении часовой стрелки, причем за сутки она совершает один оборот. Относительно гелиоцентрической системы отсчета дело обстоит так, что плоскость качаний остается неизменной, а Земля поворачивается относительно нее, делая за сутки один оборот. Можно показать, что на широте ф плоскость качаний маятника поворачивается за сутки на угол 2я sin ф.
Таким образом, наблюдения за вращением плоскости качаний маятника (маятники, предназначенные для этой цели, называются маятниками Фуко) дают непосредственное доказательство вращения Земли вокруг своей оси.
Учителя считают, что каждый школьник должен уметь проводить расчёты, знать тригонометрические формулы, но далеко не каждый преподаватель объясняет, что такое синус и косинус. Каков их смысл, где они используются? Почему мы говорим про треугольники, а в учебнике нарисована окружность? Попробуем связать все факты воедино.
Школьный предмет
Изучение тригонометрии начинается обычно в 7-8 классе средней школы. В это время учащимся объясняют, что такое синус и косинус, предлагают решать геометрические задачи с применением этих функций. Позже появляются более сложные формулы и выражения, которые требуется алгебраическим способом преобразовывать (формулы двойного и половинного угла, степенные функции), проводится работа с тригонометрической окружностью.
Однако учителя далеко не всегда могут доходчиво объяснить смысл используемых понятий и применимость формул. Поэтому ученик зачастую не видит смысла в данном предмете, а заученная информация быстро забывается. Однако стоит один раз объяснить старшекласснику, например, связь между функцией и колебательным движением, и логическая связь запомнится на многие годы, а шутки на тему бесполезности предмета уйдут в прошлое.
Использование
Заглянем ради любопытства в различные разделы физики. Хотите определить дальность полёта снаряда? Или высчитываете силу трения между объектом и некой поверхностью? Раскачиваете маятник, следите за лучами, проходящими сквозь стекло, высчитываете индукцию? Практически в любой формуле фигурируют тригонометрические понятия. Так что такое синус и косинус?
Определения
Синус угла представляет собой отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус - прилежащего катета всё к той же гипотенузе. Здесь нет совершенно ничего сложного. Возможно, учеников обычно смущают значения, которые они видят в тригонометрической таблице, ведь там фигурируют квадратные корни. Да, получать из них десятичные дроби не очень удобно, но кто сказал, что все числа в математике должны быть ровными?
На самом деле в задачниках по тригонометрии можно найти забавную подсказку: большинство ответов здесь ровные и в худшем случае содержат корень из двух или из трёх. Вывод прост: если у вас в ответе получилась «многоэтажная» дробь, перепроверьте решение на предмет ошибок в расчётах или в рассуждениях. И вы их, скорее всего, найдете.
Что нужно запомнить
Как и в любой науке, в тригонометрии есть такие данные, которые необходимо выучить.
Во-первых, следует запомнить числовые значения для синусов, косинусов прямоугольного треугольника 0 и 90, а также 30, 45 и 60 градусов. Эти показатели встречаются в девяти из десяти школьных задач. Подглядывая эти значения в учебнике, вы потеряете много времени, а на контрольной или экзамене посмотреть и вовсе будет негде.
Нужно помнить, что значение обеих функций не может превышать единицу. Если где-либо в расчетах вы получите значение, выходящее за пределы диапазона 0-1, остановитесь и решите задачу заново.
Сумма квадратов синуса и косинуса равна единице. Если вы уже нашли одно из значений, воспользуйтесь этой формулой для нахождения оставшегося.
Теоремы
В базовой тригонометрии существует две основные теоремы: синусов и косинусов.
Первая гласит, что отношение каждой стороны треугольника к синусу противолежащего угла одинаково. Вторая - что квадрат любой стороны можно получить, если сложить квадраты двух оставшихся сторон и вычесть удвоенное их произведение, умноженное на косинус лежащего между ними угла.
Таким образом, если в теорему косинусов подставить значение угла в 90 градусов, мы получим… теорему Пифагора. Теперь, если требуется высчитать площадь фигуры, не являющейся прямоугольным треугольником, можно больше не переживать - две рассмотренные теоремы существенно упростят решение задачи.
Цели и задачи
Изучение тригонометрии значительно упростится, когда вы осознаете один простой факт: все выполняемые вами действия направлены на достижения всего одной цели. Любые параметры треугольника могут быть найдены, если вы знаете о нём самый минимум информации - это может быть величина одного угла и длины двух сторон или, например, три стороны.
Для определения синуса, косинуса, тангенса любого угла этих данных достаточно, с их же помощью можно легко высчитать площадь фигуры. Практически всегда в качестве ответа требуется привести одно из упомянутых значений, а найти их можно по одним и тем же формулам.
Нестыковки при изучении тригонометрии
Одним из непонятных вопросов, которых школьники предпочитают избегать, является обнаружение связи между различными понятиями в тригонометрии. Казалось бы, для изучения синусов и косинусов углов используются треугольники, но обозначения почему-то часто встречаются на рисунке с окружностью. Кроме того, существует и вовсе непонятный волнообразный график под названием синусоида, не имеющий никакого внешнего сходства ни с окружностью, ни с треугольниками.
Более того, углы измеряются то в градусах, то в радианах, а число Пи, записывающееся просто как 3,14 (без единиц измерения), почему-то фигурирует в формулах, соответствуя 180 градусам. Как всё это связано между собой?
Единицы измерения
Почему число Пи равняется именно 3,14? Помните ли вы, что это за значение? Это количество радиусов, умещающихся в дуге на половине окружности. Если диаметр круга - 2 сантиметра, длина окружности составит 3,14*2, или 6,28.
Второй момент: возможно, вы замечали сходство слов «радиан» и «радиус». Дело в том, что один радиан численно равен величине угла, отложенного из центра окружности на дугу длиной в один радиус.
Теперь совместим полученные знания и поймем, почему сверху на оси координат в тригонометрии пишется «Пи пополам», а слева - «Пи». Это угловая величина, измеренная в радианах, ведь полукруг - это 180 градусов, или 3,14 радиана. А там, где есть градусы, есть синусы и косинусы. Треугольник же легко провести от нужной точки, отложив отрезки к центру и на ось координат.
Заглянем в будущее
Тригонометрия, изучаемая в школе, имеет дело с прямолинейной системой координат, где, как бы это странно ни звучало, прямая - это прямая.
Но есть и более сложные способы работы с пространством: сумма углов треугольника здесь будет больше 180 градусов, а прямая в нашем представлении будет выглядеть как самая настоящая дуга.
Перейдем от слов к делу! Возьмите яблоко. Сделайте ножом три надреза, чтобы при взгляде сверху получался треугольник. Выньте получившийся кусок яблока и посмотрите на «рёбра», где заканчивается кожура. Они вовсе не прямые. Фрукт в ваших руках условно можно назвать круглым, а теперь представьте, какими сложными должны быть формулы, с помощью которых можно найти площадь вырезанного куска. А ведь некоторые специалисты решают такие задачи ежедневно.
Тригонометрические функции в жизни
Обращали ли вы внимание, что самый короткий маршрут самолёта из точки А в точку Б на поверхности нашей планеты имеет ярко выраженную форму дуги? Причина проста: Земля имеет форму шара, а значит, с помощью треугольников многого не вычислишь - здесь приходится использовать более сложные формулы.
Не обойтись без синуса/косинуса острого угла в любых вопросах, связанных с космосом. Интересно, что здесь сходится целое множество факторов: тригонометрические функции требуются при расчётах движения планет по окружностям, эллипсам и различным траекториям более сложных форм; процесса запуска ракет, спутников, шаттлов, отстыковки исследовательских аппаратов; наблюдении за далёкими звёздами и изучении галактик, до которых человек в обозримом будущем добраться не сможет.
В целом поле для деятельности человека, владеющего тригонометрией, очень широко и, по-видимому, со временем будет только расширяться.
Заключение
Сегодня мы узнали или, во всяком случае, повторили, что такое синус и косинус. Это понятия, которых не нужно бояться - стоит захотеть, и вы поймете их смысл. Помните, что тригонометрия - это не цель, а лишь инструмент, который можно использовать для удовлетворения реальных человеческих потребностей: строить дома, обеспечивать безопасность движения, даже осваивать просторы вселенной.
Действительно, сама по себе наука может казаться скучной, но как только вы найдете в ней способ достижения собственных целей, самореализации, процесс обучения станет интересным, а ваша личная мотивация возрастёт.
В качестве домашнего задания попробуйте найти способы применить тригонометрические функции в той сфере деятельности, которая интересна лично вам. Пофантазируйте, включите воображение, и тогда наверняка окажется, что новые знания пригодятся вам в будущем. Да и кроме того, математика полезна для общего развития мышления.
В этой статье собраны таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов . Сначала мы приведем таблицу основных значений тригонометрических функций, то есть, таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов (0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). После этого мы дадим таблицу синусов и косинусов, а также таблицу тангенсов и котангенсов В. М. Брадиса, и покажем, как использовать эти таблицы при нахождении значений тригонометрических функций.
Навигация по странице.
Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов
Список литературы.
- Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
- Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
- Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
- Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. - 2-е изд. - М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2
В принципе можно было бы мерить все углы в радианах. На практике широко используется и градусное измерение углов, хотя с чисто математической точки зрения оно неестественно. При этом для малых углов используются специальные единицы: угловая минута и угловая секунда. Угловая минута - это 1/60 часть градуса; угловая секунда - это 1/60 часть угловой минуты. Если, например, величина угла равна 129 градусам, 34 минутам и 16 секундам, то пишут: 129◦ 340 1600 .
Задача 4.1. На какой угол поворачивается за одну секунду:
а) часовая стрелка часов;
б) минутная стрелка часов;
в) секундная стрелка часов?
Решение. Разберем только пункт а). Полный оборот часовая стрелка делает за 12 часов; стало быть, за час она поворачивается на 360/12 = 30◦ . Следовательно, за минуту часовая стрелка повернется на угол, в 60 раз меньший, чем за час, то есть на 300 ;
в свою очередь, за секунду стрелка повернется на угол, в 60 раз меньший, чем за минуту, то есть на 30 00 . Теперь вы видите, на-
сколько мала угловая секунда: ведь даже угол, в тридцать раз больший (поворот часовой стрелки за секунду времени) мы не
в состоянии заметить.
Представление об угловой минуте дает такой факт: «разрешающая способность» человеческого глаза (при стопроцентном зрении и хорошем освещении) равна примерно одной угловой минуте. Это означает, что две точки, которые видны под углом 10 или меньше, на глаз воспринимаются как одна.
Посмотрим, что можно сказать о синусе, косинусе и тангенсе малых углов. Если на рис. 4.2 угол α мал, то высота BC, дуга BD и отрезок BE, перпендикулярный AB, очень близки. Их длины - это sin α, радианная мера α и tg α. Стало быть, для малых углов синус, тангенс и радианная мера приближенно равны друг другу:
Рис. 4.1. Разрешающая способность.
Если α - малый угол, измеренный в радианах, то sin α ≈ α; tg α ≈ α.
Задача 4.2. Запишите приближенные формулы для синуса и тангенса малых углов, считая, что угол измеряется в градусах.
Ответ. sin α◦ ≈ πα/180.
Видно, что формулы сложнее, чем для радианной меры - еще один довод в ее пользу!
Задача 4.3. Под каким углом видно дерево высотой 10 метров с расстояния в 800 метров? Дайте ответ: а) в радианах; б) в угловых минутах.
Задача 4.4. Чему равно расстояние, равное одной минуте дуги земного меридиана? Радиус Земли равен примерно 6370 .
Расстояние, о котором идет речь в этой задаче, примерно равно морской миле (именно так и появилась эта мера длины).
Рис. 4.3. Парсек.
Рис. 4.4. Формула тысячных.
Задача 4.5. В астрономии применяется единица измерения расстояний, называемая парсек. По определению, расстояние в 1 парсек - это расстояние с которого радиус земной орбиты1 виден под углом 100 (рис.4.3 ). Сколько километров в одном парсеке? (Радиус земной орбиты равен примерно 150 миллионам километров.)
Задача 4.6. Военные пользуются единицей измерения углов, называемой «тысячная». По определению, тысячная - это 1/3000 развернутого угла. Такое измерение углов военные применяют в следующей формуле для определения расстояния до удаленных предметов: = (/) · 1000. Здесь - расстояние до предмета, - его высота, - угол, под которым он виден, измеренный в тысячных (рис. 4.4 ). Точна ли эта формула? Почему ей можно пользоваться на практике? Чему равно число π, по мнению военных?
Мы видим, что формулы sin α ≈ α, tg α ≈ α верны с хорошей точностью для малых углов. Посмотрим, что произойдет,
1 Астрономы поправили бы нас: не радиус (орбита Земли - не круг, а эллипс), а большая полуось (половина расстояния между наиболее удаленными друг от друга точками орбиты).
если угол не столь мал. Для угла в 30◦ точное значение синуса равно 0,5, а радианная мера равна π/6 ≈ 0,52. Ошибка (или, как еще говорят, погрешность), которую дает формула sin α ≈ α, равна примерно 0,02, что составляет 4% от значения синуса. Можно сказать, что относительная погрешность при таком вычислении (отношение погрешности к значению синуса) составляет 4%. Для углов, меньших 10◦ , относительная погрешность формулы sin α ≈ α меньше одного процента. Чем меньше угол α, тем меньше относительная погрешность формулы sin α ≈ α.
Существуют и другие формулы, позволяющие вычислять синусы и тангенсы - и не только малых углов - с хорошей точностью. Например, формула sin α ≈ α − α3 /6 (напоминаем, что α измеряется в радианах!) дает относительную погрешность менее 1% уже для всех углов, не превосходящих 50◦ . Позднее мы увидим, как оценить погрешность наших формул.
Задача 4.7. Пусть α - острый угол, измеренный в радианах. Докажите неравенство cos α > 1 − α2 .
Задача 4.8. Для косинусов малых углов в качестве приближенного значения можно брать 1. Докажите, что при величине угла менее 5◦ относительная погрешность этого приближения будет менее 1%.