ГЛАВА 3
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Ответы и решения
В задаче 467 и в большинстве следующих задач этой главы применение искусственных приемов совершенно необходшло для их успешного решении. Основная трудность этих задач в том, чтобы подметить особенности данной системы и подыскать соответствующий искусственный прием.
Можно решить по способу подстановки (из второго уравнения найти у = 6 - х или х = 6- у и подставить в первое). Несколько быстрее ведет к цели следующий искусственный прием. Первое уравнение преобразуется к виду (х-у ) 2 =4, откуда х-у =2 или х-у = -2. Получаем две системы:
Ответ 1) x 1 = 4, у 1 = 2 2) x 2 = 2, у 2 = 4
468.
Представим данную систему в виде
Положим для краткости xy = z 1 ; x + y = z 2 . Тогда имеем систему
По теореме Виета z 1 и z 2 - корни квадратного уравнения z 2 - 11z + 30=0. Находим: z 1 = 6, z 2 =5 или z 1 = 5, z 2 =6 . Получаем две системы:
К каждой можно снова применить теорему Виета (или решить по способу подстановки).
Ответ 1) x = 5, y = 1 2) x = 1, y = 5 3) x = 2, y = 3 4) x = 3, y = 2
__________________________________________________
469.
Положим y 2 = z ; тогда имеем систему
Ответ 1) х = 4, y = √3
2) х = 4, y = - √3
3) х = 3, у = 2.
4) х = 3, у = - 2.
__________________________________________________
470.
Положим х 2 = z 1 и - y = z 2 . Получим систему
Ответ 1) х = 5, y =2;
2) х = - 5, y = 2;
3) х = i √2 , y =-25;
4) х = - i √2 , y = -25.
__________________________________________________
471.
Полагаем - ху = z 1 ; х 2 - у 2 = z 2 . Получим систему
Находим z 1 = 9; z 2 = -20 или z 1 = -20; z 2 = 9. Теперь имеем две системы:
Решим первую систему. Из первого ее уравнения находим у = - 9 / x .
Подставляем во второе. Находим биквадратное уравнение х 4 + 20х 2 - 81=0. Его корни
Теперь находим
Тем же способом решаем вторую систему.
Ответ 1) х ≈1,86, у ≈ - 4,84;
2) х ≈ -1,86, у ≈ 4,84;
3) х ≈ 4,84i , у ≈ 1,86i ;
4) х ≈ - 4,84i , у ≈ -1,86i ;
5) х = 5, у = 4;
6) х = - 5, у = -4;
7) х = 4i , у = -5i ;
8) х = -4i , у = 5i .
__________________________________________________
472.
Исключим свободные члены, для чего помножим второе уравнение на 7 и вычтем из первого. Получим
32х 2 - 2ху + 75y 2 = 0.
Это - однородное уравнение второй степени (т. е. уравнение, содержащее только члены второй степени; членов первой степени и свободного члена в нем нет). Разделив обе части уравнения на х
2
(это можно сделать, так как х
= 0 не есть корень), мы преобразуем его к виду
и, решив квадратное уравнение, найдем 
. Этим способом из всякого однородного уравнения второй степени можно найти отношение у
/
x
.
Теперь решаем две системы:
(по способу подстановки).
__________________________________________________
473.
1-е уравнение запишем так: х 2 - 2ху + у 2 = 1 / 2 ху . Тогда имеем (х-у ) 2 = 1 / 2 ху
2-е уравнение запишем в виде 2(х-у ) = 1 / 2 ху
Значит, (х-у ) 2 -2(х-у ) = 0.
Отсюда находим х-у = 0 и х-у = 2. Получаем две системы:
Ответ 1) х = у = 0; 2) х = 4, у = 2 3) х =- 2, у =-4.
__________________________________________________
474.
Первое уравнение перепишем так:
(х 2 + 2ху + у 2 ) =13 + ху или (х + у ) 2 - 13 = xy .
Из второго уравнения х + у = 4; подставив, получим 16 -13 = xy . Решаем теперь систему
Ответ 1) х = 3, у =1; 2) х = 1, у = 3.
__________________________________________________
475.
Решается, как предыдущая задача. Получим новую систему
Ответ 1) х = 3, у = 2 2) х = - 3, у = -2
__________________________________________________
476.
Полагаем х / у = z ; тогда у / x = 1 / z , и первое уравнение примет вид z + 1 / z = 25 / 12 или 12z 2 -25z +12 = 0. Его корни z 1 = 4 / 3 и z 2 = 3 / 4
Теперь имеем две системы:
Системы решаются подстановкой значения х из первого уравнения во второе.
Ответ 1) х = 4, y =3;
2) х = - 4, y = -3;
3) х = 3i , y = 4i ;
4) х = -3i , y = -4i .
__________________________________________________
477.
Систему можно записать в виде
Перемножаем эти уравнения и делим одно на другое.
Получаем отсюда
Перемножая эти уравнения, находим
Выраженне для y
2
можно найти ачалогично, взяв уравнение 
Оно отличается от соответствующего уравнения для х
только перестановкой букв c
и d
.
__________________________________________________
478.
Во втором уравнении разлагаем х 3 +у 3 на множители (х + у )(х 2 - ху + у 2 ) и делим второе уравнение на первое. Получим х + у = 5. В первом уравнении прибавляем к правой и левой частям уравнения по 3ху ; получим (х + у ) 2 =7+3ху . Подставив 5 вместо (х + у ) согласно полученному уравнению, найдем ху = 6. Теперь решаем систему
Ответ 1) х = 3, у = 2; 2) х = 2, у = 3.
__________________________________________________
479.
Помножим второе уравнение на 3 и сложим с первым. Получим (х + у ) 3 =1, Если ограничиться действительными решениями, то отсюда х + у =1. Заменяя во втором уравнении х + у через 1, имеем ху = -2. Решаем систему
Ответ 1) х = 2, у = -1; 2) х =-1, у = 2.
__________________________________________________
480.
Решается, как предыдущая задача.
Ответ 1) х = 3, у = 2; 2) х = 2, у = 3.
__________________________________________________
481.
Полагаем Первое уравнение принимает вид 
Отсюда z = 5 и z = 1 / 5 , т. е
Из уравнения находим у
= 2 / 3 х
. Решаем это уравнение совместно с заданным уравнением ху
= 6. Таким же образом используем уравнение
.
Ответ 1) х = 3, у = 2;
2) х =- 3, у = -2;
3) х = 3i , у =-2i ;
4) х = -3i , у =2i .
__________________________________________________
482.
Исключаем из системы неизвестное z : второе уравнение вычитаем из первого, умноженного на с , третье уравнение вычитаем из второго, умноженного на с . Получим систему
Отсюда находим х и у . Аналогично находим z .
__________________________________________________
483.
Исключаем сначала и ; для этого: 1) второе уравнение умножим на 2 и прибавим к первому; 2) третье уравнение умножим на (-2) и прибавим ко второму; 3) третье уравнение умножим на (-3) и прибавим к четвертому. Получим систему
Из этой системы исключим х , предварительно вычитая из второго уравнения третье. Получим
Складываем уравнения а) и в), а уравнение б) умножаем на 5 и складываем с в). Получим
Отсюда находим z =3 и у =2. Из уравнения б) находим х и из третьего заданного уравнения находим и .
Ответ х =1; у =2; z =3; и = 4.
__________________________________________________
484.
Вычитаем из второго уравнения первое. Получим у + 2z =1. Отсюда у =1-2z . Подставляем это значение у в первое уравнение, находим х = z + 3. Подставляем найденные значения х и у в третье уравнение, получим 3z 2 + z - 2 = 0. Корни его z 1 = 2 / 3 и z 2 = - 1. Подставляя значения z в уравнения x = z + 3 и у =1-2z , найдем по два значения х и у .
Oтвет 1) x = 11 / 3 , у = - 1 / 3 , z = 2 / 3 ;
2) x = 2, у = 3, z = -1.
__________________________________________________
485.
Первое уравнение возводим в квадрат, второе - в куб и третье - в квадрат после переноса второго члена в правую часть уравнения. Получим систему
Ответ 
__________________________________________________
486.
Возводим первое уравнение в квадрат и вычитаем второе. Получаем ху + хz + уz = 54. В силу третьего уравнения можно заменить первые два слагаемых через 2уz . Получаем 3yz = 54, т. е.
yz =18. (а)
Теперь третье уравнение можно записать в виде xy + xz = 2 18, т. е.
x (у + z ) = 36. (б)
A так как первое уравнение имеет вид
х + (у + z ) = 13. (в)
то из уравнений (б) и (в) можно найти х и y + z . Получаем:
Чтобы найти у и z по отдельности, присоединим уравнение (а). Получим две системы:
Замечание. При возведении в квадрат первого уравнения возникает опасность появления лишних решений. Но если бы они появились, то удовлетворяли бы уравнению х + у + z = -13, что противоречило бы уравнению (в)
Ответ. 1) х = 9, у = 2 + i √14 , z = 2 - i √14 ;
2) = 9, у = 2 - i √14 , z = 2 + i √14
3) х = 4, у =6, z =6.
4) х =4, у = 3, z =3;
__________________________________________________
487.
Третье уравнение представим в виде
z 2 - xz - yz + xy = 2.
Сложив его со вторым, получим
z 2 + 2xy =49. (a)
Отсюда z 2 = 49-2xy . Подставляем это выражение в первое уравнение. Получим (х + у ) 2 =4 9, т. е. х + у = ±7. Положим сначала х + у = 7.
Представим второе уравнение в виде
xy + z (x + y )=47 .
и сюда подставим выражениеху 
получаемое из (а), и
значение х + у = 7. Получаем z 2 -14z + 45=0. Отсюда z 1 = 5 и z 2 = 9.
Если z
= 5, то 
; если же z
= 9, то 
Имеем две системы:
каждая из которых имеет по два решения. Всего получаем четыре решения:
Теперь положим х + у = -7 и тем же способом найдем еще четыре решения.
__________________________________________________
488.
Вычитаем сначала второе, а затем третье уравнение из первого. Получаем:
Сокращаем уравнение (а) на (а-b ) и уравнение (б) на (а-с ).
Вычитаем (г) из (в). Получаем
Неизвестное у находим из (в) или из (г). Теперь по любому из данных уравнений найдем z .
__________________________________________________
489.
Положим 
. Получаем систему
Отсюда находим х =17; у = 6.
Ответ х =17; у = 6.
__________________________________________________
490.
В силу второго уравнения первое можно записать так: 10 - 2√xy = 4. Отсюда ху = 9. Получаем систему
Oтвет 1) х = 9, y = 1; 2) х =1, y = 9.
__________________________________________________
491.
Полагаем 
Первое уравнение примет вид z
- 2 + 1
/
z
= 0 Отсюда z
= 1, т. е. 
. Из последующего уравнения находим у
= 2х
и подставляем во второе уравнение.
Ответ 1) х = 6, y =12; 2) х = -4,5, y = -9.
__________________________________________________
492.
Первое уравнение приводится к виду 
, откуда
х 2 + у 2 =136. (а)
Второе уравнение возводим в квадрат; получим 
, откуда
у 2 = 36х -324. (б)
Это выражение подставляем в (а). Получаем х 2 + 36х -460 = 0. Отсюда находим х =10 и х = -46. Подставляя в (б), находим у . Получаем четыре пары решений:
1) х =10, у = 6; 3) х =- 46, у = 6√55 ;
2) х =10, у = -6; 4) х =- 46, у = -6√55 .
Третья и четвертая пары решений не годятся, так как выражения √х + у и √х - у , где радикалы должны означать арифметические значения корня (в противном случае они неопределенны ввиду двузначности корня), не имеют смысла при комплексных значениях х + у и х-у . Первую и вторую пару решений следует проверить.
Ответ 1) х =10, у = 6; 2) х =10, у = - 6.
__________________________________________________
493.
Система имеет смысл только при а > 0 (см. предыдущее объяснение). Первое уравнение возводим в квадрат:
(a)
Это выражение подставляем во второе уравнение; получаем
Возводим в квадрат уравнения (а) и (б):
у 2 = 64а 2 +16ах , (а")
у 2 = (√41 + 5) 2 а 2 - 2(√41 + 5)ax . (б")
Исключая у из (а") и (б"), получаем
(130+ 10√41 ) а 2 = (26+ 2√41 )ax
откуда х =5а . Из (а") находим y = ±4а и затем производим проверку.
Ответ 1) х =5а , у =4а; 2) х =5а , у =-4а .
__________________________________________________
494.
Возводим первое уравнение в квадрат; 2х 2 -2√х 2 - у 2 = у 2 . Подставляем сюда значение х 4 -у 4 = 144а 4 из второго уравнения. Получаем
у 2 =2х 2 -24а 2 . (а)
Отсюда находим у 4 и подставляем во второе заданное уравнение. Получаем
х 4 -32а 2 х 2 +240а 4 = 0.
Отсюда х = ±√20 а и х = ±√12 а . Из уравнения (а) находим у . Для каждого из значений х = ±√20 а имеем у = ±4а , а для каждого из значений х = ±√12 а имеем, у =0. Проверка показывает, что из полученных шести пар решений одни являются лишними при а > 0, другие же являются лишними при а < 0. Возьмем, например, пару решений х = √20 а , у = 4а . Подставляя в первое уравнение, мы находим √36а 2 -√4а 2 = 4а , т. е. 6|а |-2|а |=4а . Это равенство является тождеством при а > 0, но оно не верно при а < 0.
Ответ. При а > 0 решения будут:
1) х = √20 а , у = 4а ; 2) х = - √20 а , у = 4а
3) х = √12 а , у = 0; 4) х = - √12 а , у = 0.
При а < 0 решения будут:
5) х = √20 а , у = - 4а 6) х = -√20 а , у = - 4а .
__________________________________________________
495.
Первый способ. Из второго уравнения находим х + у = 14 -√ху . Возводим в квадрат; получаем
x 2 + y 2 + 2xy = 196 + xy -28 √ху ,
x 2 + y 2 + xy = 196 -28 √ху .
В силу первого уравнения имеем 84 = 196 -28 √ху . Отсюда находим √ху = 4, т. е. xy =16. Подставляя во второе уравнение значение √ху = 4, находим x + y =10. Решаем систему
Второй способ. Левую часть первого уравнения разлагаем на множители:
x 2 + y 2 + xy = (x + y ) 2 - (√ху ) 2 = (x + y + √ху ) (x + y - √ху ) = 84.
Отсюда в силу второго уравнения получаем
14(x + y - √ху ) = 84,
__________________________________________________
В основе этой теории лежит отношение человека к труду. Теория «Х» первоначально была разработана Ф. Тейлором а затем развита и дополнена Д. Мак Грегором, который добавил к ней теорию «У». Значительно позже, уже в 80-х годах ХХ века В. Оучи разработал теорию «Z».
Теория «Х» основана на предположении о том, что в движущих мотивах человека преобладают его биологические потребности. Поэтому большинство людей не любят работать, стараются избегать ее. Они имеют низкие амбиции и предпочитают, чтобы ими управляли. Отсюда делается вывод о том, что людей необходимо принуждать работать, их труд должен быть нормирован и жестко контролироваться со стороны начальства, а материальное поощрение в управлении людьми играет вспомогательную роль.
Таким образом, теория «Х» ориентирована на плохого работника с рабской психологией. Поэтому вполне естественно, что в качестве главного стимула применяется принуждение, а материальное поощрение отходит на второй план. Положения теории «Х» распространяются на отсталых людей, которые имеются в любом обществе, однако важна их доля в общей массе трудоспособного населения. Чем она выше, тем шире сфера применения данной теории, и наоборот.
Теория «У» является антиподом теории «Х» и исходит из того, что преобладающими мотивами людей являются их социальные потребности и желание хорошо работать. Наиболее важный для них стимул – это удовлетворение потребности в самовыражении и только затем – моральное и материальное поощрение. Принуждение в ряду стимулов стоит на последнем месте. В этой теории считается, что обычный воспитанный человек готов брать на себя ответственность за результаты своего труда и стремится к этому. Однако общество слабо использует потенциал человека и не позволяет ему полностью раскрыться.
Очевидно, что данная модель отражает не всех людей, а только наиболее активную, передовую, творчески мыслящую часть общества, на долю которой обычно приходится не более 15-20% всей численности работников.
Теория «Z» основана на том, что в мотивах людей сочетаются как биологические, так и социальные потребности. Они предпочитают работать в группе и считают приоритетным групповой метод принятия решения. При этом должна существовать персональная ответственность за результаты труда, четкие методы и критерии оценки этих результатов. Именно человек является основой любого коллектива и именно он обеспечивает успех всего предприятия. Поэтому администрация должна проявлять постоянную заботу о работниках, обеспечивать им долгосрочный или даже пожизненный наем. Предпочтение отдается медленному служебному росту по мере достижения работником определенного возраста, постоянной ротации и самообразованию кадров. Стимулы побуждения к труду в теории «Z» располагаются в следующей последовательности: материальное поощрение, моральное поощрение, самоутверждение, принуждение. Этой теории во многом соответствуют работники японские компаний. Однако и в других странах нетрудно найти примеры, подтверждающие те или иные положения данной теории.
Обычно в трудовом коллективе встречаются все типы людей, описываемых первоначальными теориями мотивации. Поэтому применение того или иного способа мотивации зависит от удельного веса работников, относящихся к конкретному типу людей, в их общей численности.
Привлекают простотой использования мотивов и стимулов теории «Х», «У» и «Z», в основе которых отношение человека к труду. Теория «Х» была первоначально разработана Ф. Тейлором, а затем развита и дополнена Д. Мак Грегором, который добавил к ней теорию «У». Теория «Z» была предложена значительно позднее, в 80-х гг. ХХ века, В. Оучи (модель поведения и мотивации человека). «Х», «У» и «Z» - это совершенно разные модели мотивации, ориентированные на разный уровень потребностей, и, соответственно, руководитель должен применять весьма различные стимулы к труду. Рассмотрим эти теории более подробно.
Теория «Х» базируется на следующих предпосылках:
· в мотивах человека преобладают биологические потребности;
· обычный человек имеет унаследованную нелюбовь к работе и старается избегать работы. Поэтому труд необходимо нормировать, а лучшим методом организации является конвейерный;
· по причине нежелания работать большинство людей только путем принуждения могут осуществлять необходимые действия и затрачивать усилия, необходимые для достижения целей производства;
· средний человек предпочитает, чтобы им управляли, старается не брать на себя ответственность, имеет относительно низкие амбиции и желает находиться в безопасной ситуации;
· качество работы низкое, поэтому необходим постоянный строгий контроль со стороны руководства.
В теории «Х» легко сочетаются черты плохого российского и азиатского работника с задатками рабской психологии. Поэтому естественным является применение в качестве главного стимула принуждения, а вспомогательного - материального поощрения. Отсталые люди имеются в любом обществе, разница заключается лишь в их доле от трудоспособного населения страны.
Теория «У» является антиподом теории «Х» и ориентирована совсем на другую группу людей. В основе теории «У» следующие предпосылки:
ü в мотивах людей преобладают социальные потребности и желание хорошо работать;
ü физические и эмоциональные усилия на работе для человека также естественны, как во время игры или на отдыхе;
ü нежелание работать не является наследственной чертой, присущей человеку. Человек может воспринимать работу как источник удовлетворения или как наказание в зависимости от условий труда;
ü внешний контроль и угроза наказания не являются главными стимулами побуждения человека к деятельности для достижения организации своих целей;
ü ответственность и обязательства по отношению к целям организации зависят от вознаграждения, получаемого за результаты труда. Наиболее важным вознаграждением является то, которое связано с удовлетворением потребностей в самовыражении;
ü обычный воспитанный человек готов брать на себя ответственность и стремится к этому;
ü многим людям присуща готовность использовать свои знания и опыт, однако индустриальное общество слабо использует интеллектуальный потенциал человека.
Модель по теории «У» отражает передовую, творчески активную часть общества. Стимулы побуждения к труду в теории «У» располагаются в следующем порядке: самоутверждение, моральное и материальное поощрение, принуждение. Очевидно, что удельный вес работников, описываемых этой теорией, невелик - по данным наших исследований, от 15 до 20% от численности коллектива. Чаще всего они являются индивидуалистами и не могут полностью раскрыть свои таланты в социальной группе.
Основные предпосылки теории «Z»:
§ в мотивах людей сочетаются социальные и биологические потребности;
§ люди предпочитают работать в группе и выбирают групповой метод принятия решения;
§ должна существовать индивидуальная ответственность за результаты труда;
§ предпочтительнее неформальный контроль за результатами труда на основе четких методов и критериев оценки;
§ на предприятии должна существовать ротация кадров с постоянным самообразованием;
§ предпочтительнее медленная служебная карьера с продвижением людей по достижении определенного возраста:
§ администрация проявляет постоянную заботу о работнике и обеспечивает ему долгосрочный или пожизненный наем;
§ человек - основа любого коллектива, и именно он обеспечивает успех любого предприятия.
Теория «Z» описывает хорошего работника, предпочитающего работать в группе и иметь стабильные цели деятельности на длительную перспективу. Во многом ей соответствуют японские работники крупных промышленных компаний. Однако работники, описываемые теорией «Z», имеются практически во всех странах на крупных стабильных предприятиях. Эффективность применения данной теории определяется удельным весом таких людей в коллективе. Стимулы побуждения к труду для работников, описываемых теорией «Z», эффективны в такой последовательности: материальное поощрение, моральное поощрение, самоутверждение, принуждение. Таким образом, работники, описываемые теориями «Х», «У» и «Z», образуют различные группы людей и предпочитают различные мотивы поведения и стимулы побуждения к труду. На предприятии представлены все типы людей, и применение той или иной концепции мотивации определяется удельным весом работников конкретного типа в группе.
Разберем два вида решения систем уравнения:
1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.
Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки
нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.
Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания)
нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.
Решением системы являются точки пересечения графиков функции.
Рассмотрим подробно на примерах решение систем.
Пример №1:
Решим методом подстановки
Решение системы уравнений методом подстановки2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)
1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y
2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1
3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)
Пример №2:
Решим методом почленного сложения (вычитания).
Решение системы уравнений методом сложения3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)
1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)
Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.