Каждой тригонометрической функции для данного угла соответствует определенное значение этой функции. Из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса ясно, что значением синуса угла является ордината точки, в которую переходит начальная точка единичной окружности после ее поворота на угол , значением косинуса – абсцисса этой точки, значением тангенса – отношение ординаты к абсциссе, а значением котангенса – отношение абсциссы к ординате.
Достаточно часто при решении задач возникает необходимость в нахождении значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов указанных углов. Для некоторых углов, например в 0, 30, 45, 60, 90, … градусов, есть возможность найти точные значения тригонометрических функций, для других углов нахождение точных значений оказывается проблематичным и приходится довольствоваться приближенными значениями.
В этой статье мы разберемся, какими принципами следует руководствоваться при вычислении значения синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Перечислим их по порядку.
Теперь рассмотрим каждый из перечисленных принципов вычисления значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов подробно.
Навигация по странице.
- Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса по определению. Линии синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 30, 45 и 60 градусов. Сведение к углу из интервала от 0 до 90 градусов. Достаточно знать значение одной из тригонометрических функций. Нахождение значений с помощью тригонометрических формул. Что делать в остальных случаях?
Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса по определению
Отталкиваясь от определения синуса и косинуса, можно найти значения синуса и косинуса данного угла . Для этого нужно взять единичную окружность, повернуть начальную точку А(1, 0) на угол , после чего она перейдет в точку А1. Тогда координаты точки А1 дадут соответственно косинус и синус данного угла . После этого можно вычислить тангенс и котангенс угла , вычислив отношения ординаты к абсциссе и абсциссы к ординате соответственно.
По определению мы можем вычислить точные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … градусов (0, ±р/2, ±р, ±3р/2, ±2р, …радиан). Разобьем эти углы на четыре группы: 360·z градусов (2р·z радиан),90+360·z градусов (р/2+2р·z радиан), 180+360·z градусов (р+2р·z радиан) и270+360·z градусов (3р/2+2р·z радиан), где z – любое целое число. Изобразим на рисунках, где будет располагаться точка А1, получающаяся при повороте начальной точки А на эти углы (при необходимости изучите материал статьи угол поворота).
Для каждой из этих групп углов найдем значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, используя определения.
Что касается остальных углов, отличных от 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … градусов, то по определению мы можем найти лишь приближенные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Для примера найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла−52 градуса.
Выполним построения.
По чертежу находим, что абсцисса точки А1 приближенно равна 0,62, а ордината приближенно равна −0,78. Таким образом, 
и 
. Остается вычислить значения тангенса и котангенса, имеем 
и 
.
Понятно, что чем точнее будут выполнены построения, тем точнее будут найдены приближенные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла. Также понятно, что нахождение значений тригонометрических функций по определению не удобно на практике, так как неудобно выполнять описанные построения.
К началу страницы
Линии синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов
Вкратце стоит остановиться на так называемых линиях синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Линиями синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов называют линии, изображаемые совместно с единичной окружностью, имеющие начало отсчета и , равную единицы во введенной прямоугольной системе координат, на них наглядно представляются все возможные значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Изобразим их на чертеже ниже.
К началу страницы
Значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 30, 45 и 60 градусов
Для углов 30, 45 и 60 градусов известны точные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Они могут быть получены по определениям синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике с использованием теоремы Пифагора.
Чтобы получить значения тригонометрических функций для углов 30 и 60 градусов рассмотрим прямоугольный треугольник с этими углами, причем его возьмем таким, чтобы длина гипотенузы равнялась единице. Известно, что катет, лежащий напротив угла 30 градусов вдвое меньше гипотенузы, следовательно, его длина равна 1/2. Длину другого катета находим по теореме Пифагора: 
.
Так как синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то 
и 
. В свою очередь косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, тогда 
и 
. Тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему, а котангенс – это отношение прилежащего катета к противолежащему, следовательно, 
и 
, а также 
и 
.
Осталось получить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла 45градусов. Обратимся к прямоугольному треугольнику с углами 45 градусов (он будет равнобедренным) и гипотенузой, равной единице. Тогда по теореме Пифагора несложно проверить, что длины катетов равны . Теперь мы можем вычислить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса как отношение длин соответствующих сторон рассматриваемого прямоугольного треугольника. Имеем и 
.
Полученные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30, 45 и 60градусов будут очень часто использоваться при решении различных геометрических и тригонометрических задач, так что рекомендуем их запомнить. Для удобства занесем их в таблицу основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
В заключение этого пункта приведем иллюстрацию значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30, 45 и 60 с использованием единичной окружности и линий синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
К началу страницы
Сведение к углу из интервала от 0 до 90 градусов
Сразу заметим, что удобно находить значения тригонометрических функций, когда угол находится в интервале от 0 до 90 градусов (от нуля до пи пополам радиан). Если же аргумент тригонометрической функции, значение которой нам нужно найти, выходит за пределы от 0 до 90 градусов, то мы всегда при помощи формул приведения можем перейти к нахождению значения тригонометрической функции, аргумента которой будет в указанных пределах.
Для примера найдем значение синуса 210 градусов. Представив 210 как 180+30 или как 270−60, соответствующие формулы приведения сводят нашу задачу от нахождения синуса 210 градусов к нахождению значения синуса 30 градусов , или косинуса 60 градусов .
Давайте на будущее условимся при нахождении значений тригонометрических функций всегда с помощью формул приведения переходить к углам из интервала от0 до 90 градусов, если конечно угол уже не находится в этих пределах.
К началу страницы
Достаточно знать значение одной из тригонометрических функций
Основные тригонометрические тождества устанавливают связи между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла. Таким образом, с их помощью мы можем по известному значению одной из тригонометрических функций найти значение любой другой функции этого же угла.
Рассмотрим решение примера.
Определите, чему равен синус угла пи на восемь, если 
.
Сначала найдем чему равен котангенс этого угла:
Теперь, используя формулу 
, мы можем вычислить, чему равен квадрат синуса угла пи на восемь, а следовательно, и искомое значение синуса. Имеем 
Осталось лишь найти значение синуса. Так как угол пи на восемь является углом первой координатной четверти, то синус этого угла положителен (при необходимости смотрите раздел теории знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям). Таким образом, 
.
.
К началу страницы
Нахождение значений с помощью тригонометрических формул
В двух предыдущих пунктах мы уже начали освещение вопроса по нахождению значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса с использованием формул тригонометрии. Здесь мы лишь хотим сказать, что иногда возможно вычислить требуемое значение тригонометрической функции, используя тригонометрические формулы и известные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса (например, для углов 30, 45 и 60 градусов).
Для примера, используя тригонометрические формулы, вычислим значение тангенса угла пи на восемь, которое мы использовали в предыдущем пункте для нахождения значения синуса.
Найдите значение .
Воспользовавшись формулой тангенса половинного угла, мы можем записать следующее равенство 
. Значения косинуса угла пи на четыре нам известны, поэтому мы можем сразу вычислить значение квадрата искомого тангенса: 
.
Угол пи на восемь является углом первой координатной четверти, поэтому тангенс этого угла положителен. Следовательно, 
.
.
Таблица значений тригонометрических функций
Примечание
. В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби - символ "/".
См. также полезные материалы:
Для определения значения тригонометрической функции , найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов - ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой "30 градусов", на их пересечении считываем результат - одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2) и т.д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других "популярных" углов.
Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах
Приведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах . Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан.
Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам.
Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180 .
Примеры
:
1. Синус пи
.
sin π = sin 180 = 0
таким образом, синус пи - это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю.
2. Косинус пи
.
cos π = cos 180 = -1
таким образом, косинус пи - это тоже самое, что косинус 180 градусов и он равен минус единице.
3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
таким образом, тангенс пи - это тоже самое, что тангенс 180 градусов и он равен нулю.
Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 - 360 градусов (часто встречающиеся значения)
|
значение угла α (градусов) |
значение угла α (через число пи) |
sin
(синус) |
cos
(косинус) |
tg
(тангенс) |
ctg
(котангенс) |
sec
(секанс) |
cosec
(косеканс) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Если в таблице значений тригонометрических функций вместо значения функции указан прочерк (тангенс (tg) 90 градусов, котангенс (ctg) 180 градусов) значит при данном значении градусной меры угла функция не имеет определенного значения. Если же прочерка нет - клетка пуста, значит мы еще не внесли нужное значение. Мы интересуемся, по каким запросам к нам приходят пользователи и дополняем таблицу новыми значениями, несмотря на то, что текущих данных о значениях косинусов, синусов и тангенсов самых часто встречающихся значений углов вполне достаточно для решения большинства задач.
Таблица значений тригонометрических функций sin, cos, tg для наиболее популярных углов
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градусов
(цифровые значения "как по таблицам Брадиса")
| значение угла α (градусов) | значение угла α в радианах | sin (синус) | cos (косинус) | tg (тангенс) | ctg (котангенс) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Вводный урок по тригонометрии был представлен в предыдущей презентации. Школьники ознакомились с понятиями синус, косинус и тангенс, как они обозначаются, как их находить. Рассматривался острый угол некоторого прямоугольного треугольника. Также, они ознакомились с основным тригонометрическим тождеством, что составляет основу для многочисленных формул, с которыми ученики ознакомятся несколько позже.
Данный урок предлагает рассмотреть определенные углы: 45, 30 и 60 градусов. Необходимо найти их синус, косинус и тангенс. Все эти три угла являются острыми. Подразумевается, что мы работаем с прямоугольными треугольниками, как и в предыдущем уроке.
слайды 1-2 (Тема презентации "Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов", пример)
Первый слайд презентации «Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов» продемонстрирует учащимся некоторый прямоугольный треугольник, острый угол которого равен 30 градусов. Зная о том, что один из углов является прямым, можем легко вычислить значение третьего угла. Сумма всех углов любого треугольника составляет 180 градусов. Об этом свойстве ученики восьмого класса уже должны знать. Итак, для того, чтобы найти третий неизвестный угол, необходимо отнять от 180и градусов 120 градусов, что составляет сумму остальных двух сторон. Третий неизвестный угол равен 60 градусов. Это отмечено на чертеже.
Автор отмечает, что отношение катетов прямоугольного треугольника ABС равно одной второй. Откуда автор получил такое число? Дело в том, что катет, который лежит напротив угла 30 градусов, что можно увидеть на рисунке, равняется половине гипотенузы данного треугольника. Это является одним из важных свойств прямоугольных треугольников. Данное отношение является синусом угла 30 градусов. Таким образом, синус угла 30 градусов найден.
слайды 3-4 (пример, таблица синусов, косинусов, тангенсов)
Данное отношение является также и косинусом для угла прилежащего к катету, то есть для угла 60 градусов. Далее, исходя из информации, которая была получена на предыдущем уроке, можно посчитать оставшийся тангенс, поделив найденный синус определенного угла на найденный косинус того же угла.
Следующий слайд аналогичным образом исследует синус, косинус и тангенс угла 45 градусов. Для начала находится третий неизвестный угол. Выясняется, что углы при гипотенузе равны, то есть треугольник, помимо того, что является прямоугольным, еще и равнобедренный. По теореме Пифагора выразим гипотенузу через катеты. Так как они равны, как выяснилось, то можно заменить один катет другим и получить простое произведение числа 2 на квадрат одного из катетов. Далее, автор избавляется от иррациональности и выражает катет. Таким образом, находятся два катета. Далее, пользуясь изученными формулами можно найти и синус, и косинус, и тангенс угла 45 градусов.
На последнем слайде приводятся данные значения в виде таблицы. Желательно, чтобы школьники записали таблицу себе с тетради. Можно сказать, она является аналогом таблицы умножения, только тригонометрическая. Желательно, чтобы школьники знали о том, откуда появились данные значения и запомнили таблицы.
В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса
. Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90,...,360 градусов. И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса
от угла в 0, 30, 45, 60, 90,.. градусов. Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:
sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 00 = 0, котангенс от 00 будет неопределенным
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0,тангенс от 90 0 будет неопределенным
Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:
sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3 , ctg 60 0 = √3/3
Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы :
Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!
Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:
Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z, в котором z является целым числом. В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.
Разберем наглядно как использовать таблицу в решении.
Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:
В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Найдем по таблице.
Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса - которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).
Синус и косинус
tg угла начиная с 00 заканчивая 760, ctg угла начиная с 140 заканчивая 900.
tg до 900 и ctg малых углов.
Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.
Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040.
Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.
При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т.е 0,3057 - 0,0003 = 0,3054
При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 20 0 = 0.9397
Значения tg угла до 90 0 и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 78 0 37мин = 4,967
а ctg 20 0 13мин = 25,83
Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в комментариях!
Заметка: Стеновые отбойники - отбойная доска для защиты стен. Перейдите по ссылке настенные отбойники бескаркасные (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) и узнайте подробнее.