Самостоятельная работа 4.2 пирамида вариант 2 решение


Вариант 1.


Самостоятельная работа по теме «Пирамида.»
Вариант 1.
1.Высота правильной треугольной пирамиды равна a V3 , радиус окружности, описанной возле её основания, 2a. Найдите апофему пирамиды, угол между боковой гранью и основанием, площадь боковой поверхности.
2.Основание пирамиды- прямоугольник со сторонами 6 и 8 см.Высота пирамиды равна 12 см и проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найдите боковые рёбра пирамиды.
_____________________________________________________________

Самостоятельная работа по теме «Пирамида.»
Вариант 1.
1.Высота правильной треугольной пирамиды равна a V3 , радиус окружности, описанной возле её основания, 2a. Найдите апофему пирамиды, угол между боковой гранью и основанием, площадь боковой поверхности.
2.Основание пирамиды- прямоугольник со сторонами 6 и 8 см.Высота пирамиды равна 12 см и проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найдите боковые рёбра пирамиды.
___________________________________________________________________

Самостоятельная работа по теме «Пирамида.»
Вариант 3.
1.Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 2х. Высота пирамиды х V 3 . Найдите сторону основания пирамиды, угол между боковой гранью и основанием, площадь боковой поверхности пирамиды.
2.Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник АВС, У которого гипотенуза АВ равна 29 см, катет АС равен 21 см.Ребро DA перпендикулярно плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Самостоятельная работа по теме «Пирамида.»
Вариант 2.
1.Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 2a . Высота пирамиды aV3 . Найдите сторону основания пирамиды, угол между боковой гранью и основанием, площадь боковой поверхности пирамиды.
.
___________________________________________________________

Самостоятельная работа по теме «Пирамида.»
Вариант 2.

2. Основание пирамиды- ромб с диагоналями 10 и 18 см.Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Меньшее боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите большее боковое ребро пирамиды
_____________________________________________________________

Самостоятельная работа по теме «Пирамида.»
Вариант 2.
1.Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 2a . Высота пирамиды a V3 . Найдите сторону основания пирамиды, угол между боковой гранью и основанием, площадь боковой поверхности пирамиды.
2. Основание пирамиды- ромб с диагоналями 10 и 18 см.Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Меньшее боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите большее боковое ребро пирамиды
______________________________________________________________

Самостоятельная работа по теме «Пирамида.»
Вариант 3.
1.Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 2х. Высота пирамиды хV3 . Найдите сторону основания пирамиды, угол между боковой гранью и основанием, площадь боковой поверхности пирамиды.
2.Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник АВС, У которого гипотенуза АВ равна 29 см, катет АС равен 21 см. Ребро DA перпендикулярно плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Вариант I

1.

2.

3.

Вариант II

1.

2.

3.

Самостоятельная работа 10 класс по теме: «Пирамида»

Вариант I

1. Высота правильной треугольной пирамиды равна а√3; радиус окружности, описанной около ее основания, 2а. Найдите: а) апофему пирамиды; б) угол между боковой гранью и основанием; в) площадь боковой поверхности; г) плоский угол при вершине пирамиды.

2. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 6 и 8 см. Высота пирамиды равна 12 см и проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найдите боковые ребра пирамиды.

3. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60°. Найдите боковое ребро пирамиды.

Вариант II

1. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 2а. Высота пирамиды равна а√3. Найдите: а)° сторону основания пирамиды; б)° угол между боковой гранью и основанием; в)° площадь поверхности пирамиды; г) расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани

2. Основание пирамиды - ромб с диагоналями 10 и 18 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Меньшее боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите большее боковое ребро пирамиды.

3. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник ABC, у которого гипотенуза АВ равна 29 см, катет АС равен 21 см. Ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 24 р.п. Юрты

Тайшетского района Иркутской области

Методическая разработка

индивидуальной самостоятельной работы

по теме «Правильная пирамида»

(по материалам ЕГЭ)

для учащихся 10-11 классов.

учитель математики МКОУ СОШ № 24 р.п. Юрты

Тюлюкина Оксана Александровна

Юрты, 2014г

Самостоятельная работа индивидуального характера составлена в 16 вариантах трёх видов, в каждом варианте по 3 задачи на нахождение элементов правильной пирамиды (треугольной, четырёхугольной, шестиугольной) и площади её боковой поверхности.

Работа может иметь как обучающий характер, так и контролирующий. Составлена в соответствии с программой по геометрии к учебнику для 10-11 классов общеобразовательных школ Л.С. Атанасяна и др. к п.33. Правильная пирамида, §2, главы III Многогранники.

Цель самостоятельной работы:

    формирование понятия правильной пирамиды и её элементов, площади боковой поверхности пирамиды;

    формирование умений решать задачи на нахождение элементов правильной треугольной, четырёхугольной, шестиугольной пирамиды;

    формирование умений и навыков в решении задач на применение теоремы о площади боковой поверхности правильной пирамиды;

    организация текущего контроля;

    восполнение пробелов в подготовке к экзамену.

Литература:

    Геометрия, 10-11: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни/ [Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др.] – М.: Просвещение, 2010.

    ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В/ под ред. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко.- М.: Издательство «Экзамен», 2012.

ВАРИАНТ 1 - 1.

    SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SO = 10, BD = 48. Найдите боковое ребро SA .

    SABC точка R - середина ребра BC , S – вершина. Известно, что АВ = 7, а SR = 16. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4 см, а угол между боковой гранью и основанием равен 45˚. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. В ответе укажите S / .


С/р по теме: « Правильная пирамида»

ВАРИАНТ 1 - 2.

    В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SO = 24, BD = 20. Найдите боковое ребро S С.

    В правильной треугольной пирамиде SABC точка М - середина ребра А B , S – вершина. Известно, что ВС = 4, а S М = 3. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 6 см, а угол между боковой гранью и основанием равен 60˚. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. В ответе укажите S / .

С/р по теме: « Правильная пирамида»

ВАРИАНТ 1 - 3.

    В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SO = 12, АС = 32. Найдите боковое ребро SD .

    В правильной треугольной пирамиде SABC точка Q - середина ребра AB , S – вершина. Известно, что В C = 7, а SQ = 28. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8 см, а угол между боковой гранью и основанием равен 45˚. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. В ответе укажите S / .


С/р по теме: « Правильная пирамида»

ВАРИАНТ 1 - 4.

    В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SO = 15, AC = 40. Найдите боковое ребро SB .

    В правильной треугольной пирамиде SABC точка N - середина ребра BC , S – вершина. Известно, что AB = 6, а SN = 6. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 12 см, а угол между боковой гранью и основанием равен 30˚. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Тюлюкина О.А.

С/р по теме: « Правильная пирамида»

ВАРИАНТ 1 - 5.

    В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SO = 8, BD = 30. Найдите боковое ребро S А.

    В правильной треугольной пирамиде SABC точка М - середина ребра А B , S – вершина. Известно, что ВС = 6, а S М = 12. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 6 см, а угол между боковой гранью и основанием равен 45˚. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. В ответе укажите S/ .

С/р по теме: « Правильная пирамида»

ВАРИАНТ 1 - 6.

    В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SO = 16, АС = 24. Найдите боковое ребро S В.

    В правильной треугольной пирамиде SABC точка P - середина ребра AB , S – вершина. Известно, что В C = 4, а SP = 4. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 9 см, а угол между боковой гранью и основанием равен 30˚. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

С/р по теме: « Правильная пирамида»

ВАРИАНТ 2 - 1.

  1. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SD = 13, BD = 10. Найдите длину отрезка SO .

    В правильной треугольной пирамиде SABC точка М - середина ребра А B , S – вершина. Известно, что ВС = 4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 174. Найдите длину отрезка S М.

Высота правильной шестиугольной пирамиды равна 6 см, а угол между боковой гранью и основанием равен 45˚. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. В ответе укажите S/ .

С/р по теме: « Правильная пирамида»

ВАРИАНТ 2 - 2.

    В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, S С = 13, BD = 24. Найдите длину отрезка SO .

    В правильной треугольной пирамиде SABC точка R - середина ребра BC , S – вершина. Известно, что A В = 8, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 252. Найдите длину отрезка SR .

Высота правильной шестиугольной пирамиды равна 4 см, а угол между боковой гранью и основанием равен 60˚. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. В ответе укажите S .

Тюлюкина О.А.

С/р по теме: « Правильная пирамида»

ВАРИАНТ 2 - 3.

    В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SA = 15, BD = 18. Найдите длину отрезка SO .

    В правильной треугольной пирамиде SABC точка Q - середина ребра А B , S – вершина. Известно, что ВС = 7, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 294. Найдите длину отрезка SQ .

Высота правильной шестиугольной пирамиды равна 6 см, а угол между боковой гранью и основанием равен 30˚. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

С/р по теме: « Правильная пирамида»

ВАРИАНТ 2 - 4 .

    В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SB = 25, AC = 48. Найдите длину отрезка SO .

    В правильной треугольной пирамиде SABC точка K - середина ребра BC , S – вершина. Известно, что A В = 6, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 63. Найдите длину отрезка SK .

Высота правильной шестиугольной пирамиды равна 18 см, а угол между боковой гранью и основанием равен 60˚. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. В ответе укажите S/ .

С/р по теме: « Правильная пирамида»

ВАРИАНТ 2 - 5.

  1. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SB = 17, BD = 30. Найдите длину отрезка SO .

    В правильной треугольной пирамиде SABC точка N - середина ребра А B , S – вершина. Известно, что ВС = 6, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 108. Найдите длину отрезка SN .

Высота правильной шестиугольной пирамиды равна 8 см, а угол между боковой гранью и основанием равен 45˚. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. В ответе укажите S .

С/р по теме: « Правильная пирамида»

ВАРИАНТ 2 - 6 .

    В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SD = 17, AC = 16. Найдите длину отрезка SO .

    В правильной треугольной пирамиде SABC точка M - середина ребра BC , S – вершина. Известно, что A В = 6, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 171. Найдите длину отрезка SM .

Высота правильной шестиугольной пирамиды равна 9 см, а угол между боковой гранью и основанием равен 30˚. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Тюлюкина О.А.

С/р

Решение стереометрических задач

по теме «Пирамида»

Обобщение опыта работы учителя математики

Чупровой Ольги Степановны

МБОУ лицей №1 г. Комсомольска на Амуре

Задачи по стереометрии составляют основной раздел в изучении учащимися 10-11-х классов геометрии. Они способствуют развитию математического мышления школьников, пространственного представления, развитию логики и умению находить правильные решения в различных ситуациях. Научить правильно решать геометрические задачи - главная цель изучения стереометрии. А для успешного решения таких задач, необходимо иметь правильное представление о них, уметь их систематизировать, выделять главное, составлять план решения и правильно применять полученные знания на уроках геометрии при решении таких задач. Поэтому основной целью моей работы является попытка классифицировать стереометрические задачи по теме «Пирамида» в несколько блоков:

    Пирамида с равнонаклоненными ребрами.

    Пирамида с равнонаклоненными гранями.

    Правильная пирамида.

    Произвольная пирамида.

    Пирамида, у которой боковое ребро или грань перпендикулярны основанию.

    Задачи с применением сечений пирамиды.

    Задачи по теме «Комбинации геометрических фигур».

    Задачи, предлагаемые на Едином Государственном экзамене.

Кроме того, рассмотрен дополнительный теоретический материал: основные формулы, теоремы, свойства и определения, применяемые при решении стереометрических задач. В работе предлагаются решения некоторых задач, взятых из вступительных экзаменов в Вузы, из заданий Единого государственного экзамена. Предложена подборка задач по данным темам, что естественно явится большим подспорьем учителям, работающим в старших классах для проведения самостоятельных работ, дачи индивидуальных заданий, для подготовки к экзаменам.

Решение задач по теме «Пирамида».

Следует помнить, что в учебнике и других пособиях встречаются задачи на следующие типы пирамид: правильная и неправильная пирамида. Среди неправильных пирамид может выделить следующие виды;

а) пирамида с равнонаклоненными ребрами;

б) пирамида с равнонаклоненными гранями;

в) одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания;

г) одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания.

Рассматривая свойства правильной пирамиды, следует прежде всего остановиться на алгоритме построения чертежа правильной пирамиды: построив изображение основания, находим проекцию вершины пирамиды – точку пересечения медиан, затем строим изображение высоты и только на последнем этапе строим изображение боковых ребер.

Рассмотрим свойства правильной пирамиды на примере треугольной пирамиды ДАВС.

∆ АОД = ∆ ВОД = ∆ СОД по катету (ОД) и гипотенузе (АД = ВД = СД).

Из равенства этих треугольников следует, что АО = ВО = СО, т.е. точка О равноудалена от вершин треугольника, т.е. является центром описанной окружности, с другой стороны центр описанной окружности в правильном многоугольнике является центром вписанной окружности. Поэтому при решении задач на правильную пирамиду следует использовать следующие формулы









где е – длина бокового ребра, h бок. – длина апофемы, α – угол наклона бокового ребра к плоскости основания, φ – угол наклона боковой грани к плоскости основания.

Для правильной пирамиды справедлива формула

;

Докажем эту формулу для треугольной пирамиды.


Кроме того, при решении задач с правильной пирамидой следует помнить о следующих свойствах:

    Проекция высоты пирамиды на боковую грань лежит на высоте грани (апофеме пирамиды);

    Проекция высоты на ребро основания – его середина;

    Каждая точка высоты равноудалена от боковых ребер, вершин основания, боковых граней;

    Угол между боковым ребром и плоскостью основания один и тот же для всех боковых ребер;

    Угол между боковой гранью и основанием для всех боковых граней один и тот же;

    Все углы между соседними боковыми гранями равны;

    Все плоские углы при вершине пирамиды равны;

    Боковые грани-равные равнобедренные треугольники;

    Все углы, образованные боковыми ребрами и высотой пирамиды, равны.

Задача1 . В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно а, а плоский угол при вершине α. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Решение .

S пир = S осн + S бок , S бок =½Р осн h, S осн =1/4а 2 √3

Рассмотрим треугольник ДСН - прямоугольный , <НСД=α/2 ; ДН=ДСCOS α/2=аCOS α/2; СН=а sin α/2; СВ=2 а sin α/2.

S осн =1/4*4а 2 sin 2 α/2* √3=а 2 sin 2 α/2* √3;

S бок =½*6 а sin α/2* аCOS α/2 =3/2а 2 sin α;

S пир= а 2 sin α/2(3/2COS α/2 + siп α/2* √3).

Ответ: S пир= а 2 sin α/2(3/2COS α/2 + siп α/2* √3).

Задача 2 . В правильной 3-угольной пирамиде известна сторона основания и плоский угол при вершине. Найдите: а) апофему пирамиды; б)угол между боковым ребром и плоскостью основания; в)двугранный угол при основании; г)высоту пирамиды.

Решение

Пусть а - сторона основания, α- плоский угол при вершине.

а) ∆СДН- прямоугольный ; <СДН= α/2; СН=а/2; ДН=а/ tg α/2 (апофема).

б)угол между боковым ребром и плоскостью основания<ДСО=ψ.

ОС= ДС=а/2 sin α/2; cos ψ=ОС/ДС=(а√3/3):(а/2 sin α/2)=⅔√3sinα/2;

<ДСО =arcos(⅔√3sinα/2)

в) ОН= двугранный угол при основании<ДСВА=<ДНО=φ

∆ОДН- прямоугольный ; cosφ=ОН/ДН=1/6а√3:(а/ tg α/2)=1/6 √3 tg α/2; <ДСВА= arcos (1/6 √3 tg α/2).

г)высота пирамиды ДО=(а√12- tg α/2):(2 tg α/2).

Неправильная пирамида с равнонаклоненными ребрами обладает следующими свойствами:

    Проекцией вершины является центр описанной окружности вокруг основания.

    Все боковые ребра равны.

    Углы, образованные высотой пирамиды с боковыми ребрами, равны.

Эти свойства следует из равенства треугольников АОД, ВОД, СОД.

Пирамида с равнонаклоненными ребрами.

Свойства пирамиды с равнонаклоненными ребрами можно рассмотреть на примере треугольной пирамиды DABC. (рис.1)

Треугольники ADO, BDO, CDO равны по катету DO и острому углу . (). Из равенства этих треугольников вытекают следующие свойства пирамид этого класса:

    боковые ребра пирамиды равны,

    вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности,

    углы, образованные высотой пирамиды с боковыми ребрами, равны.

В случае треугольной пирамиды желательно с учащимися выделить следующие моменты:

рис. 1 рис. 2 рис. 3

с) если в основании пирамиды лежит остроугольный треугольник, то высота находится во внутренней области пирамиды.

Для решения задач на пирамиду с равнонаклоненными ребрами, в основании которой лежит треугольник, полезно вспомнить формулы, содержащие радиус описанной окружности:

,


(теорема синусов),


(в случае прямоугольного треугольника).

В случае, если в основании пирамиды лежит четырехугольник и боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания, следует помнить, что из всех видов параллелограмма в основании может лежать либо прямоугольник, либо квадрат, т.к. только вокруг них можно описать окружность; из всех видов трапеций в основании может лежать только равнобедренная трапеция, т.к. только вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность. Если же в основании такой пирамиды лежит произвольный четырехугольник, он должен обладать свойством вписанного четырехугольника: сумма противоположных углов равна 180 0 .

Задача3 .(ЕГЭ)Основанием треугольной пирамиды МАВС является прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ=10 и катетом АС=8. Боковые ребра пирамиды образуют с высотой пирамиды равные углы в 45 0 . Найти объем пирамиды.

Решение .

Так как углы, образованные боковыми ребрами с высотой пирамиды, равны, то можно утверждать, что треугольники МАН, МНВ, МНС равны между собой (по катету и острому углу). Следовательно, пирамида МАВС с равнонаклоненными ребрами, то есть можно применять все её свойства, а именно, учитывая, что в основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, следует, что основание высоты пирамиды находится на середине гипотенузы. Т.е. АН=НС=НВ=R=5. Кроме того, полученные треугольники являются не только прямоугольными, но и равнобедренными, т.е. высота пирамиды МН=5.

Рассмотрим прямоугольный ∆АВС, лежащий в основании пирамиды. По теореме Пифагора АВ 2 =АС 2 + ВС 2 , отсюда СВ=6.

S осн =1/2АС*СВ= ½*8*6=24.

V= 1/3 S осн *МН=1/3*24*5=40.

Ответ: 40.

Пирамида с равнонаклоненными гранями.

Определенная доля задач на пирамиду в учебнике связана с пирамидой, в которой боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания. Такую пирамиду будем коротко называть пирамидой с равнонаклонеными гранями.

Если из основания высоты, точки О, провести перпендикуляры к сторонам основания и соединить точки их пересечения с вершиной, получим линейные углы двугранных углов при основании: .

Треугольники DMO, DON, DOP равны по общему катету DO и острому углу . Из равенства треугольников следуют свойства пирамиды с равнонаклоненными гранями:

    все высоты боковых граней равны,

    вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности,

    углы, образованные высотой пирамиды с высотами боковых граней, равны.

При решении задач на этот тип пирамиды следует помнить формулу площади многоугольника

, в случае прямоугольного треугольника полезна формула r=(a + b - c )/2 . Для пирамиды с равнонаклоненными гранями справедлива формула

. Её легко доказать для треугольной пирамиды.



:



В основании пирамиды с равнонаклоненными гранями может лежать любой треугольник (прямоугольный, тупоугольный, остроугольный), из параллелограммов может быть только ромб (квадрат, как частный случай ромба), из всех видов трапеции в основании пирамиды второго типа может лежать произвольная трапеция, в которой суммы противоположных сторон равны.

Задача 4. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым углом β. Двугранные углы при основании равны α. Найти объём и полную поверхность пирамиды.

Решение.

.

По условию задачи АВСД- ромб, АВ=а, <А=β, <РДСА=<РАДС=<РБСА=<РАВС= α.

S п =S осн +S бок, V=⅓ S осн* h.

S осн= а 2 sinβ , S бок = S осн /cos α = а 2 sinβ / cos α ,

S п = а 2 sinβ + а 2 sinβ / cos α=а 2 sinβ (1+ cos α).

Иначе S осн =½Р осн* r, r=ОН=2 S осн / Р осн =а cos β(cos α+1)/ 2cos α.

Рассмотрим ∆РОН- прямоугольный, РО= а cos β sin α(1+ cos α).

V=⅓ а 2 sinβ а cos β sin α(1+ cos α)= 1/6 а 3 sin 2 β sin α(1+ cos α).

ОТВЕТ: V=1/6 а 3 sin 2 β sin α(1+ cos α); S п =а 2 sinβ (1+ cos α).

При рассмотрении пирамид, у которых одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, особый интерес представляет четырехугольная пирамида, в основании которой лежит параллелограмм. С учащимися необходимо выяснить следующие моменты:

Значительно реже встречаются задачи на пирамиду, у которой одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания. Особыми свойствами пирамиды этого типа не обладают, поэтому никаких алгоритмов решения для такого типа задач нет.

Задача 5. Основанием пирамиды служит прямоугольник с меньшей стороной а. Найти объем пирамиды, если две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а две другие наклонены к ней соответственно под углами 30 0 и 60 0 .

Решение. V=⅓ S осн h. Так как две боковые грани перпендикулярны к основанию, то высота пирамиды h=РВ (боковому ребру), т.е. РВ перпендикулярно к основанию, следовательно, линейные углы двугранных углов РСДА и РАДВ равны углам РСВ и РАВ соответственно, т.е. <РСВ=30 0 , а <РАВ=60 0 , т.к. сторона ДС=а (меньшая).

    Рассмотрим ∆РАВ- прямоугольный, тогда РВ= АВ*tg60 0 =а√3.

    ∆РВС- прямоугольный, ctg30 0 =ВС/РВ, т.е. ВС=РВ* ctg30 0 =3а .

    S осн =ВС*СД=а*3а=3а 2 . Тогда

    V=⅓3а 2 * а√3=а 3 √3.

Ответ: V=а 3 √3.

Задача 6. Основание пирамиды- квадрат. Одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания, а большее боковое ребро равно 12. Зная, что две боковые грани образуют с плоскостью основания углы по 45 0 , определить объем пирамиды.

Решение. V=⅓ S осн h. Т.к. одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания (пусть это будет ребро РВ), то высота пирамиды h=РВ.

Пусть сторона основания равна а , тогда диагональ основания равна а√2, т.к. АВСД- квадрат.

    ∆ВРД- прямоугольный: РВ 2 =144-2а 2 (по теореме Пифагора).

    ∆ВРА- прямоугольный и равнобедренный, т.к. <РАВ=45 0 . Тогда АВ=ВР=а ; ВР 2 = а 2

    Приравнивая Выражения, получим 144-2а 2 = а 2 , отсюда а= 4√3, т.е. h=4√3.

    S осн = а 2 =48. V=⅓*48*4√3=192√3/3=64√3.

Ответ: V=64√3.

Комбинация пирамиды с шаром.

Рассмотрим ситуацию, когда шар описан вокруг пирамиды. Центр описанного шара равноудален от всех вершин пирамиды. В плоскости основания пирамиды имеется одна точка, равноудаленное от вершины многоугольника, это центр описанной окружности. Тогда все точки пространства равноудаленные от вершины многоугольника, лежат на прямой, перпендикулярной плоскости многоугольника и проходящей через центр описанной окружности. Если пирамида правильная, то центр описанного шара лежит на ее высоте. В пирамиде с равнонаклоненными ребрами центр описанного шара лежит также на высоте. Пользуясь свойством точек, равноудаленных от вершины пирамиды можно сделать вывод, что вокруг любой треугольной пирамиды можно описать шар; если же шар описан вокруг четырехугольной неправильной пирамиды, то в основании может лежать прямоугольник, квадрат, равнобедренная трапеция, либо произвольный четырехугольник, у которого сумма противоположных углов составляет 180 0 .

Теорема. Около любой треугольной пирамиды можно описать сферу .

Сфера называется описанной около многогранника (а многогранник вписанный в сферу), если все его вершины лежат на сфере.

Центр описанной сферы - точка, равноудаленная от всех вершин многогранника.

Пусть S-вершина треугольной пирамиды SABC, М-центр окружности, описанной около треугольника АВС, ℓ-прямая, перпендикулярная плоскости основания АВС и проходящая через точку М. Тогда каждая точка прямой ℓ равноудалена от точек А, В и С.

Если К- середина какого-нибудь ребра пирамиды (например SВ), то плоскость ά, проходящая через точку К и перпендикулярная ВS, пересекает прямую ℓ в точке О, равноудаленной от всех вершин пирамиды. Эта точка и есть центр описанной сферы.

Рассмотрим методы решения задач на шар, описанный вокруг пирамиды.

Задача7 . Найти радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром а .

Центр шара, описанного вокруг правильной пирамиды лежит на высоте, т.е.

причем М - центр описанной окружности вокруг правильного треугольника АВС , следовательно

, где m – медиана треугольника АВС .

I. способ решения.




. (1)

    Из треугольника AMD найдем высоту h :

    Подставив в равенство (1), получим:

Ответ:

II . способ решения .

Радиус описанного шара можно найти из треугольника АОD, воспользовавшись теоремой косинусов.


(из

).

.

По теореме косинусов имеем:


III. способ решения.

Радиус описанной сферы можно найти по теореме синусов, с этой целью необходимо найти такой треугольник, в котором искомый радиус является радиусом описанной окружности. В нашей задаче придется построить для точки А точку, симметричную относительно точки М . Эту точку обозначим


- равнобедренный, т.к. - радиус описанной окружности. Тогда по теореме синусов имеем:

.

.

Работая с треугольником

, радиус описанной окружности можно найти из формул площади треугольника:

или .

IV. способ решения.

Для нахождения радиуса описанной окружности можно воспользоваться теоремой о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике. Продолжим высоту DM до пересечения со средой, . Треугольник AND является прямоугольным, т.к. вписанный угол DAN опирается на диаметр, AM – перпендикуляр, проведенный из вершины прямого угла на гипотенузу, следовательно

(2). Обозначим MN = x , тогда DM + MN = 2 R ;

H + x = 2 R . Воспользуемся равенством (2) и выразим MN :




;

; .

Ответ: .

Задача 8 .Расстояние от центра О шара радиуса 12, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, до бокового ребра равно 4√2. Найти:

    высоту пирамиды;

    расстояние от точки О до боковой грани пирамиды;

    радиус вписанного в пирамиду шара.

Решение.

Пусть АВСD- основание пирамиды, S- её вершина, К и Е- середины соответственно DC и АС, О 1 - центр вписанного в пирамиду шара, r - его радиус, М и N- основания перпендикуляров, опущенных из точки О на SK и SC, P принадлежит SK и О 1 Р┴ SK, SЕ=h. Тогда ОМ= ОЕ= r , ОS= ОС= 12, ОN= =4√2, SN= NC, SN= √OS 2 - ON 2 = √144- 32= 4√7, SC=8√7.

Обозначим

cos β=SN:SO=√7:3, sin β=√2:3.

H= SE=SC*cos β=56/3, ЕС=SC sinβ= 8√14/3.

ЕК= ЕС/√2=8√7/3, tg α=EK/SE=1/√7.

сos α=√7/8, sin α=√2/4.

Расстояние от точки О до боковой грани пирамиды равно ОМ, где ОМ= SО sin α= 3√2.

Из ∆ SОМ находим r /(h - r )= sin α, откуда r = h sin α:(1+ sin α)=8/3(2√2-1).

Ответ: 1) 56/3; 2) 3√2; 3) 8/3(2√2-1).

Теорема. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу, радиус которой r =3 V / S п (*), где V -объём пирамиды, S п - площадь полной поверхности пирамиды.

Доказательство.

Сфера называется вписанной в многогранник, если она касается всех его граней. Это означает, что расстояние от центра сферы до каждой грани многогранника равно радиусу сферы.

Пусть S- вершина треугольной пирамиды SАВС. Докажем, что найдется луч ℓ, все точки которого равноудалены от граней трехгранного угла с вершиной S.

Назовем биссектором двугранного угла полуплоскость, разделяющую его на два двугранного угла равной величины. Биссектор есть множество точек двугранного угла, равноудаленных от плоскостей его граней.

Построим биссекторы двугранных углов с ребрами SА и SВ. Они пересекаются по лучу ℓ с вершиной S, каждая точка которого равноудалена от все трех граней трехгранного угла с вершиной S.

Проведем далее биссектор α двугранного угла при каком-нибудь ребре основания (например при ребре АВ). Этот биссектор пересечет луч ℓ в точке О, равноудаленной от всех граней пирамиды. Это и есть центр вписанной в пирамиду сферы.

Заметим, что в n-угольную пирамиду можно вписать сферу тогда и только тогда, когда можно вписать сферу в многогранный угол при вершине пирамиды, то есть в том и только в том случае, когда биссекторы двугранных углов при всех ребрах, сходящихся в вершине пирамиды, пересекаются по одному лучу.

Докажем формулу (*). Пусть О- центр сферы, вписанной в пирамиду. Соединим точку О со всеми вершинами пирамиды, пирамида разобьется на четыре пирамиды. Высота каждой из этих пирамид, проведенная из их общей вершины О, равна r - радиус вписанной сферы. Если S 1, S 2 , S 3 и S 4 - площади граней пирамиды, V- объем пирамиды SАВС, то

V=1/3 S 1 r+1/3 S 2 r+1/3 S 3 r+1/3 S 4 r= 1/3 S n r,

где S n - площадь полной поверхности пирамиды, отсюда следует формула r =3 V / S п .

Эта формула справедлива для любого многогранника, в который можно вписать сферу.

Задача 9. (ЕГЭ) В правильный тетраэдр МАВС с ребром 24 вписан шар. В трехгранный угол с вершиной М вписан второй шар, который касается первого шара. Найдите объем второго шара.

Решение. Так как тетраэдр правильный , то S т =4S осн, где S осн = =а 2 √3/4=24 2 √3/4=144√3.

S т =4*144√3=576√3.

Рассмотрим ∆АВС, АН=R 3 =а/√3=24/√3.

Из ∆АМН находим по теореме Пифагора МН=8√6.

Для нахождения радиуса вписанного шара используем формулу

r ш =3 V т / S т ; для этого найдем объем пирамиды V т =1/3 S осн* МН=1/3*144√3*8√6=1152√2,

отсюда r ш =2√6. ОН= r ш ; МО=6√6; ОО 1 = r 1+ r , где r 1 -радиус шара, вписанного в трехгранный угол, т.е. ОО 1 = r 1 + 2√6; О 1 К= r 1 ; МО 1 = МО- ОО 1 =4√6- r 1.

∆МО 1 К подобен ∆МОД (по двум углам), тогда можно составить пропорцию О 1 К:ОД=МО 1:МО, отсюда r 1 =√6.

Тогда объем шара, вписанного в трехгранный угол, находится по формуле:

V= 4/3π r 1 3 =4/3 π6√6=8 π√6.

Ответ: V=8 π√6.

Задача10. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Расстояние от центра шара до вершины пирамиды равно в, угол наклона боковой грани к плоскости основания равен α. Найти объем пирамиды .

Решение. V п =⅓ S осн *h, где S осн =АВ 2 , т.к. пирамида правильная, h=РН (высота пирамиды). Проведем апофему пирамиды РК, тогда угол РКН будет равен двугранному углу при основании пирамиды РСДА и равен α. (рис.2)

Проведем отрезок ОЕ перпендикулярный РК, треугольники РОЕ и РНК будут подобными по двум углам, следовательно, <РОЕ= α.

    ∆РОЕ- прямоугольный, тогда ОЕ= в cos α; РЕ= в sin α, но ОЕ=R=ОН -радиус вписанного шара, следовательно, РН= в+ в cos α= в(1+ cos α)=2в cos 2 α/2.

    ∆РНК- прямоугольный: НК=РН*ctg α= 2в cos 2 α/2* ctg α. Отсюда сторона квадрата АВСД равна 4в cos 2 α/2* ctg α= 2в cos α* ctg α/2.

    S осн =4 в 2 cos 2 α* ctg 2 α/2

    V п =⅓*4 в 2 cos 2 α* ctg 2 α/2*2в cos 2 α/2= 4 / 3 в 3 sin α cos 2 α ctg 3 α/2.

Ответ: V п = 4 / 3 в 3 sin α cos 2 α ctg 3 α/2.

Задачи с использованием сечений пирамиды

Для того, чтобы использовать сечения пирамиды при решении задач, необходимо вначале учащихся научить строить такие сечения. При этом необходимо помнить следующие утверждения:

    Плоскость называется секущей плоскостью многогранника, если по обе стороны от этой плоскости имеются точки данного многогранника.

    Многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника, называется сечением данного многогранника.

    Если стороны многоугольника, являющегося сечением, расположены в параллельных гранях многогранника, то они параллельны между собой.

    Вершины сечения лежат либо на ребрах многогранника, либо в его вершинах.

    Сечением тетраэдра могут быть четырехугольники и треугольники, так как тетраэдр имеет четыре грани.

Докажем следующее утверждение:

Если на боковых ребрах ДА, ДВ и ДС треугольной пирамиды ДАВС расположены точки А 1 , В 1 и С 1 так, что

ДА 1:ДА=а, ДВ 1:ДВ=в, ДС 1:ДС=с,

И если V и V 1 - объемы пирамид ДАВС и ДА 1 В 1 С 1 соответственно, то

V 1: V=авс.

Доказательство.

Выберем в качестве оснований рассматриваемых пирамид грани, лежащие в плоскости АВД. Если S и S 1 - площади треугольников АВД и А 1 В 1 Д, h и h 1 - высоты пирамид СДАВ и С 1 ДА 1 В 1 , опущенные из вершин С и С 1 , <АДВ=β, то

S=1/2 ДА*ДВsin β, S 1= 1/2 ДА 1* ДВ 1 sin β; h 1: h=ДС 1:ДС=с , V=1/3Sh, V 1 =1/3 S 1 h 1 ,

Отсюда следует, что

V 1: V=ДА 1 *ДВ 1 *h 1 / ДА*ДВ*h=авс .

Задача11 . В правильной треугольной пирамиде РАВС сторона основания равна 6, а каждая боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60 0 . На боковых ребрах пирамиды взяты точки А 1 , В 1 , С 1 так, что РА 1 =2, РВ 1 =3, РС 1 =1.Найти объем получившейся пирамиды РА 1 В 1 С 1 .

.

Решение. Пусть объем данной пирамиды V=1/3 S осн *h, где h- высота пирамиды, V 1 - объем искомой пирамиды.

1).S осн =а 2 √3/4, если пирамида правильная, тогда S осн =9√3.

2).АО=R=а /√3=2√3, АС=3√3, ОС=√3 в правильном ∆АВС.

3). ∆ОРС- прямоугольный, <РСО=60 0 , как линейный угол двугранного угла РСВА, тогда РО= ОС tg60 0 =3, т.е h=3.

4). ∆АРО- прямоугольный, тогда по теореме Пифагора находим АР=√21.

5). Находим отношения РА 1: РА=2: √21, РС 1:РС=1: √21, РВ 1:РВ=3: √21.

6) Находим объем данной пирамиды V=1/3*9√3*3= 9√3, тогда используя формулу V 1 : V =р g r , находим, что

V 1 : V =2/ √21*1: √21*3: √21, отсюда V 1 =18/7.

Ответ: V 1 =18/7.

Задача12. По стороне основания а найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, у которой диагональное сечение равновелико основанию.

Решение. Т.к. пирамида правильная, то S бок = ½ Р осн *h, где Р осн =4а , h-апофема, h=ОН. (рис.1)

По условию известно, что S сеч =S осн =а 2 , где S сеч - площадь диагонального сечения пирамиды. S сеч =S АРС =1/2 РО*АС, где АС=а √2 (диагональ квадрата ДАВС).

Из условия известно, что 1 / 2 РО*АС=а 2 , отсюда РО=а√2.

Рассмотрим ∆РОС- прямоугольный, h= ОН= а /2, РН= √2а 2 +а 2 /4 = 3 / 2 а.

Тогда S бок = ½*4а* 3 / 2 а=3а 2 .

Ответ: S бок =3а 2

Задача13. В правильной треугольной пирамиде дана сторона основания а и угол наклона β

 бокового ребра к плоскости основания. Через центр основания проведено сечение пирамиды плоскостью, параллельной двум пересекающимся ребрам. Определить площадь сечения.

Решение. Проведем сечение через ОО 2 // АS и ДЕ// ВС. Значит, РД//АS и EF//AS, т.е. DEFP- параллелограмм. Проведем О 1 О 2 перпендикулярно плоскости АВС. Т.К. ОО 1 ┴ДЕ, то ДЕ┴ОО 2 по теореме о трех перпендикулярах. Тогда DEFP- прямоугольник, т.е. S DEFP = ДЕ* ОО 2 .

  1. ∆АМС: АМ=а√3/2 (по теореме Пифагора), тогда АО= ⅔АМ= а/√3, ДС= ⅓ а.

    ∆АОS: cosβ=АО/АS, то АS= а/(√3 cosβ).

    ∆АОД: tgβ=ДО/АО, тогда ДО= а /3, т.е. ДЕ=⅔ а.

    ∆АСS подобен ∆ДРС, тогда АS:АС=ДР:ДС, отсюда ДР= а/(3√3 cosβ). Следовательно,

    S DEFP =⅔ а* а/(3√3 cosβ )= 2√3а 2 / (27 cosβ ).

    Ответ : S DEFP =2√3а 2 / (27 cosβ ).

Задача 14. Основанием пирамиды служит ромб с острым углом α. Найти объем пирамиды, если её боковые грани образуют с основанием один и тот же двугранный угол β и радиус вписанного в неё шара равен r .

Решение. Т.к. все грани пирамиды образуют с основанием одинаковый угол, то вершина пирамиды Р проектируется в центр О вписанной в основание окружности. Сделаем выносные чертежи основания АВСД и ∆РОМ.

    Соединим точки О 2 и М, получим:

∆О 2 ОМ: tgβ/2 = r /ОМ, то ОМ= r сtgβ/2.

    Отсюда, МЕ= 2 r сtgβ/2, т.е. FД=2 r сtgβ/2.

    ∆А FД: sin α= FД/АД, то АД=2 r сtgβ/2: sin α.

    Значит, S осн = 4 r 2 сtgβ 2 /2: sin α, т.к S ромба = а 2 sin α.

    ∆РОМ: tgβ=РО/ОМ, то РО= r сtgβ/2 tgβ.

    Отсюда V п = ⅓ * 4 r 2 сtgβ 2 /2: sin α* r сtgβ/2 tgβ= 4 / 3 (r 3 tgβ ctgβ/2)/sinα.

    Ответ: V п = 4 / 3 (r 3 tgβ ctgβ/2)/sinα.

Задачи, предлагаемые на Едином Государственном экзамене, на тему «Пирамида».

Задача 15. (ЕГЭ С 4)Дана сфера радиуса 9. В этой сфере проведено сечение, плоскость которого удалена от центра сферы на расстоянии, равном 7. Точка F выбрана на сфере, а точки А,В,С,Д- последовательно на окружности сечения так, что объем пирамиды FАВСД- наибольший. Точка М- середина ребра СF. Найти тангенс угла между прямыми ВМ и АF.

    Прямые ВМ и А F - скрещивающиеся, следовательно, углом между ними является угол между прямой ВМ и прямой, параллельной прямой АF и проходящей через точку М. Для этого необходимо провести прямую МК// АF.

(Т.к. М- середина FС, то по теореме Фалеса, К- середина АС). Угол ВМК, равный φ, есть искомый угол.

    Чтобы объем пирамиды V=⅓S осн *h был наибольшим, необходимо, чтобы площадь основания и высота пирамиды были наибольшими. Из всех четырехугольников, вписанных в окружность, наибольшую площадь имеет квадрат, значить АВСД- квадрат. Чтобы высота пирамиды была наибольшей, необходимо, чтобы точка F находилась на диаметре сферы, перпендикулярном плоскости сечения. Т.е. h=КF, где К- точка пересечения диагоналей квадрата АВСД.


    Из точки М проведем отрезок МН┴АС, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах, МК┴ВД, значит, ∆ВМК – прямоугольный и tgφ=ВК/КМ.

    ВК=r , где r - радиус сечения, тогда r = √R 2 - d 2 =√81-49= 4√2. (R- радиус сферы, d- расстояние от центра сферы до сечения). ВК=4√2, FК= FО+ОК=9+7=16.

    ∆FАС: КМ- средняя линия, т.е. КМ= FА/2.

    ∆FАК- прямоугольный: по теореме Пифагора FА=√ FК 2 +АК 2 = √ 256+32 = = 12√2. КМ=6√2.

    tgφ=4√2/6√2=2/3.

Ответ: 2/3.

Задача 16 . (ЕГЭ. С 4) Отрезок РN- диаметр сферы. Точки М и L лежат на сфере так, что объем пирамиды РMNL- наибольший. Найти синус угла между прямой NT и плоскостью PMN, если Т- середина ребра МL.

    Пусть угол между прямой NT и плоскостью PMN равен φ, требуется найти sin φ . Угол между прямой и плоскостью- это угол между данной прямой и её проекцией на эту плоскость. Т.к. РN- диаметр сферы, тогда ∆ PMN- прямоугольный. Опустим из точки Т перпендикуляр к плоскости PMN, тогда ТК перпендикулярно ОМ и ОL┴ ОМ, то ОL //ТК. Если V=⅓S осн *h- наибольший, то наибольшее значение должны принимать S осн и h, где h- высота пирамиды.


    Из всех прямоугольных треугольников с одной и той же гипотенузой наибольшую площадь будет иметь равнобедренный треугольник. Значит, ∆ PMN- равнобедренный, т.е. МN=MP=R√2.

    Чтобы высота пирамиды была наибольшей, необходимо, чтобы h=R=ОL=OM=OP=ON, тогда треугольники LON и LMN равны, значит, LN=NM=R√2, отсюда NТ=МN*√3/2= R√6/2.

    Рассмотрим ∆LOM: т.к. ТК- средняя линия, то ТК= R/2.

    ∆ТКN- прямоугольный, т.к. ТК перпендикулярно плоскости РМN, то sinφ=TK/NT=2 R/2 R√6=√6/6.

Ответ: √6/6.

Задача 17. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 10, 8 и 6. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45 0 . Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Найти объем получившейся усеченной пирамиды.

V =⅓H(S 1 +S 2 +√S 1 S 2)

1. S 1 =S ABC =√р(р-а)(р-в)(р-с), где р=(а+в+с):2=(10+8+6):2=12.

Тогда S 1 =√12(12-10)(12-8)(12-6)=24.

задач 1 Практикум Применение изученного материала в решении задач П.30-32 Учебник 55 Контрольная работа №4 по теме ...

  • Пояснительная записка

    Призмы Решение задач Пирамида (S ч) Пирамида . Правильная пирамида . Решение задач по теме «Пирамида» . Решение задач по теме «Правильная пирамида» . Самостоятельная работа Усеченная пирамида ...

  • Пояснительная записка по математике 5-11 классы

    Пояснительная записка

    Призмы Решение задач на вычисление площади поверхности призмы §2. Пирамида (S ч) Пирамида . Правильная пирамида . Решение задач по теме «Пирамида» . Решение задач по теме «Правильная пирамида» . Самостоятельная работа Усеченная пирамида ...

  • ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА СРЕДНЕГО (ПОЛНОГО) ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО РУССКОМУ ЯЗЫКУ БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

    Примерная программа

    ... по условиям задач ; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды ; решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи ... опытов , демонстрируемых учителем в классе, лабораторных и практических работ ... . Решение экспериментальных задач по теме « ...

  • Городская Ассоциация учителей математики

    Документ

    ... решения абитуриентами геометрических задач на вступительных испытаниях по математике в УрГПУ, видим печальную статистику: с задачами по ... тем , что если списанное решение не отражает «дополнительный» объем работы , исходящий из требований учителя ...