Окружность вписанная в основание пирамиды. Решение геометрических задач

Пирамида. Правильная пирамида
Многогранники

Данный видеоурок поможет пользователям получить представление о теме Пирамида. Правильная пирамида. На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение. Рассмотрим, что такое правильная пирамида и какими свойствами она обладает. Затем докажем теорему о боковой поверхности правильной пирамиды.

На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение.

Рассмотрим многоугольник А 1 А 2 ...А n , который лежит в плоскости α, и точку P , которая не лежит в плоскости α (рис. 1). Соединим точку P с вершинами А 1 , А 2 , А 3 , … А n . Получим n треугольников: А 1 А 2 Р , А 2 А 3 Р и так далее.

Определение . Многогранник РА 1 А 2 …А n , составленный из n -угольника А 1 А 2 ...А n и n треугольников РА 1 А 2 , РА 2 А 3 …РА n А n -1 , называется n -угольной пирамидой. Рис. 1.

Рис. 1

Рассмотрим четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 2).

Р - вершина пирамиды.

ABCD - основание пирамиды.

РА - боковое ребро.

АВ - ребро основания.

Из точки Р опустим перпендикуляр РН на плоскость основания АВСD . Проведенный перпендикуляр является высотой пирамиды.

Рис. 2

Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности боковой, то есть площади всех боковых граней, и площади основания:

S полн = S бок + S осн

Пирамида называется правильной, если:

ее основание - правильный многоугольник;
отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пояснение на примере правильной четырехугольной пирамиды

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 3).

Р - вершина пирамиды. Основание пирамиды АВСD - правильный четырехугольник, то есть квадрат. Точка О , точка пересечения диагоналей, является центром квадрата. Значит, РО - это высота пирамиды.

Рис. 3

Пояснение : в правильном n -угольнике центр вписанной и центр описанной окружности совпадает. Этот центр и называется центром многоугольника. Иногда говорят, что вершина проектируется в центр.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой и обозначается h а .

1. все боковые ребра правильной пирамиды равны;

2. боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Доказательство этих свойств приведем на примере правильной четырехугольной пирамиды.

Дано : РАВСD - правильная четырехугольная пирамида,

АВСD - квадрат,

РО - высота пирамиды.

Доказать :

1. РА = РВ = РС = РD

2. ∆АВР = ∆ВCР =∆СDР =∆DAP См. Рис. 4.

Рис. 4

Доказательство .

РО - высота пирамиды. То есть, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС , а значит, и прямым АО, ВО, СО и DО , лежащим в ней. Значит, треугольники РОА, РОВ, РОС, РОD - прямоугольные.

Рассмотрим квадрат АВСD . Из свойств квадрата следует, что АО = ВО = СО = DО.

Тогда у прямоугольных треугольников РОА, РОВ, РОС, РОD катет РО - общий и катеты АО, ВО, СО и DО равны, значит, эти треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников вытекает равенство отрезков, РА = РВ = РС = РD. Пункт 1 доказан.

Отрезки АВ и ВС равны, так как являются сторонами одного квадрата, РА = РВ = РС . Значит, треугольники АВР и ВCР - равнобедренные и равны по трем сторонам.

Аналогичным образом получаем, что треугольники АВР, ВCР, СDР, DAP равнобедренны и равны, что и требовалось доказать в пункте 2.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

Для доказательства выберем правильную треугольную пирамиду.

Дано : РАВС - правильная треугольная пирамида.

АВ = ВС = АС.

РО - высота.

Доказать : . См. Рис. 5.

Рис. 5

Доказательство.

РАВС - правильная треугольная пирамида. То есть АВ = АС = ВС . Пусть О - центр треугольника АВС , тогда РО - это высота пирамиды. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС . Заметим, что .

Треугольники РАВ, РВC, РСА - равные равнобедренные треугольники (по свойству). У треугольной пирамиды три боковые грани: РАВ, РВC, РСА . Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна:

S бок = 3S РАВ

Теорема доказана.

Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано : правильная четырехугольная пирамида АВСD ,

АВСD - квадрат,

r = 3 м,

РО - высота пирамиды,

РО = 4 м.

Найти : S бок. См. Рис. 6.

Рис. 6

Решение .

По доказанной теореме, .

Найдем сначала сторону основания АВ . Нам известно, что радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м.

Тогда, м.

Найдем периметр квадрата АВСD со стороной 6 м:

Рассмотрим треугольник BCD . Пусть М - середина стороны DC . Так как О - середина BD , то (м).

Треугольник DPC - равнобедренный. М - середина DC . То есть, РМ - медиана, а значит, и высота в треугольнике DPC . Тогда РМ - апофема пирамиды.

РО - высота пирамиды. Тогда, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС , а значит, и прямой ОМ , лежащей в ней. Найдем апофему РМ из прямоугольного треугольника РОМ .

Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:

Ответ : 60 м 2 .

Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен м. Площадь боковой поверхности равна 18 м 2 . Найдите длину апофемы.

Дано : АВСP - правильная треугольная пирамиды,

АВ = ВС = СА,

R = м,

S бок = 18 м 2 .

Найти : . См. Рис. 7.

Рис. 7

Решение .

В правильном треугольнике АВС дан радиус описанной окружности. Найдем сторону АВ этого треугольника с помощью теоремы синусов.

Зная сторону правильного треугольника ( м), найдем его периметр.

По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды , где h а - апофема пирамиды. Тогда:

Ответ : 4 м.

Итак, мы рассмотрели, что такое пирамида, что такое правильная пирамида, доказали теорему о боковой поверхности правильной пирамиды. На следующем уроке мы познакомимся с усечённой пирамидой.

Список литературы

Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е изд., испр. и доп. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с.: ил.

Интернет портал «Якласс» ()
Интернет портал «Фестиваль педагогических идей «Первое сентября» ()
Интернет портал «Slideshare.net» ()

Домашнее задание

Может ли правильный многоугольник быть основанием неправильной пирамиды?
Докажите, что непересекающиеся ребра правильной пирамиды перпендикулярны.
Найдите величину двугранного угла при стороне основания правильной четырехугольной пирамиды, если апофема пирамиды равна стороне ее основания.
РАВС - правильная треугольная пирамида. Постройте линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.

Чудаева Е.В., МОУ «Инсарская СОШ №1», г. Инсар, Республика Мордовия

РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

(по материалам ЕГЭ)

Задача №1

Задача №2

Задача №3

Задача №4 . Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а апофема пирамиды равна

.

Задача №5 . Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус вписанной в основание окружности равен 2, а высота правильной пирамиды равна

.

Задача №6 . Вычислите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если её ребра равны 5, а радиус окружности, описанной вокруг основания равен 3

.

Задача №7

Задача №8

Задача №9 . В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 2

. Найдите объём пирамиды.

Задача № 10 R удовлетворяет уравнению R 2 + R – 6 = 0. Найдите объём призмы.

Задача №11 . Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Расстояние между осью цилиндра и стороной основания призмы равно

. Высота цилиндра равна трем его радиусам. Найдите объём призмы.

Задача №12

Задача №13

Задача №14 . В правильную четырехугольную призму вписан цилиндр. Объем цилиндра равен 16

, а радиус окружности, описанной вокруг основания призмы, равен

. Найдите диагональ призмы.

Задача №15 . В правильную шестиугольную призму вписан цилиндр. Найдите высоту призмы, если её площадь равна 54 , а радиус цилиндра равен 3.

Задача № 16 . Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр. Объём цилиндра равен 16  , высота цилиндра равна 4. Найдите объём призмы.

Задача №17 . Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр. Объём цилиндра равен 10  . Найдите объём цилиндра, вписанного в эту же призму.

РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

(по материалам ЕГЭ)

Задача №1 . Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной вокруг основания окружности равен , а высота пирамиды равна 4.

Решение.

1) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле

,

.

2) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника

,

.

3) вычислим объём пирамиды

Ответ. 9

Задача №2 . Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус вписанной в основание окружности равен , а боковые ребра пирамиды равны 6.

Решение.

1) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса описанной около этого треугольника окружности, т.е.

, тогда

.

4) из прямоугольного треугольника

по теореме Пифагора находим высоту пирамиды:

, .

5) вычислим объём пирамиды

Ответ. 18.

Задача №3 . Вычислите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной около основания окружности равен , а высота пирамиды равны 1.

Решение.

1) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .

2) найдем периметр основания Р = 3· а ,

Р = 9.

3) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса описанной около этого треугольника окружности, т.е. , тогда

.

4) из прямоугольного треугольника МОР МР :

,

МР =

5) вычислим площадь боковой поверхности правильной пирамиды:

,

.

Ответ.

.

Решение. ,

1) найдем радиус описанной около основания и вписанной в основание окружностей: ,

то есть

.

2) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника ,

.

МОР по теореме Пифагора находим высоту:

, МО =

.

Ответ. 18.

Решение.

2) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле ,

.

3) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника ,

.

4) вычислим объём правильной пирамиды: =

.

Ответ. 36.

Решение .

1) найдем сторону основания по формуле

, т.е.

.

2) найдем периметр основания: Р = 4а ,

Р = 24.

3) из прямоугольного треугольника М D Р по теореме Пифагора находим апофему МР :

, DP =

тогда: МР =

.

4) вычислим площадь боковой поверхности пирамиды: =

.

Ответ. 48.

Задача №7 . В правильной четырехугольной пирамиде площадь боковой поверхности равна 16, а площадь основания 4. Найдите высоту пирамиды.

Решение .

1) найдем сторону основания: так как в основании пирамиды квадрат с площадью равной 4, то сторона квадрата равна 2, а его периметр 8.

2) по условию = 16 т.е.

3) из прямоугольного треугольника МОР по теореме Пифагора находим высоту: , учитывая, что ОР = = 1, получаем: МО =

.

Ответ.

.

Задача №8 . Вычислите объём правильной шестиугольной пирамиды, если сторона основания равна 4, а боковые ребра пирамиды равны 5.

Решение.

1) сторона основания правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности т.е.

,

2) площадь правильного шестиугольника найдем по формуле

или

= 24.

3) из прямоугольного треугольника МОВ найдем высоту МО : .

4) вычисляем объём пирамиды: =

.

Ответ. 24.

Решение.

1) найдем площадь правильного шестиугольника по формуле или = 12.

2) из прямоугольного треугольника МОВ найдем высоту МО, учитывая, что в правильном шестиугольнике : .

3) вычисляем объём пирамиды: =

.

Ответ: 24.

Задача № 10 . Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Высота цилиндра равна 5, а радиус его основания R удовлетворяет уравнению R 2 + R – 6 = 0. Найдите объём призмы.

Решение. V = S · H

1) так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра, а основание призмы вписано в основание цилиндра, Н = 5.

2) по условию R удовлетворяет уравнению R 2 + R – 6 = 0, решая которое находим

R 1 = - 3, R 2 = 2, так как радиус величина положительная то -3 не удовлетворяет условию задачи.

3) найдем сторону вписанного правильного треугольника по формуле

,

.

4) найдем площадь основания правильной призмы, как площадь правильного треугольника:

=

5) вычислим объём призмы: V = S · H =

.

Ответ. 15.

Задача №11 . Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Расстояние между осью цилиндра и стороной основания призмы равно . Высота цилиндра равна трем его радиусам. Найдите объём призмы.

Решение. V = S · H

1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра, а основание призмы вписано в основание цилиндра, по условию Н = 3 R ..

2) Расстояние между осью цилиндра и стороной основания призмы равно радиусу вписанной в треугольник АВС окружности, т.е.

, и по условию равно .

4) найдем сторону вписанного правильного треугольника по формуле ,

.

5) найдем площадь основания правильной призмы, как площадь правильного треугольника: =

6) вычислим объём призмы: V = S · H = S · 3 · R =

162.

Ответ. 162.

Задача №12 . Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 16  . Найдите объём призмы, если сторона её основания равна 5.

Решение . V = S · H

2) Найдем площадь основания правильной призмы, как площадь правильного треугольника: =

.

3) Сторона вписанного правильного треугольника находится по формуле , тогда

.

4) По условию площадь боковой поверхности цилиндра равна 16 ·  т.е.

, откуда Н =

=

.

5) Вычислим объём призмы: V = S · H = · = 30.

Ответ. 30.

Задача №13 . Около правильной четырехугольной призмы описан цилиндр, площадь боковой поверхности которого равна 20 . Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.

1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра, а основание призмы вписано в основание цилиндра.

2) По условию площадь боковой поверхности цилиндра равна 20  , т.е.

,

.

3) так как призма правильная, то в её основании лежит квадрат, со стороной

, тогда периметр основания равен

.

4) вычислим площадь боковой поверхности призмы = . , т.е. – 36 а  ·

.

Ответ. 7,5 .

Чудаева Е.В., МОУ «Инсарская СОШ №1», г. Инсар, Республика Мордовия

РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

(по материалам ЕГЭ)

Задача №1

Задача №2

Задача №3

Задача №4

Задача №5

Задача №6

Задача №7

Задача №8

Задача №9

Задача № 10 R удовлетворяет уравнению R 2 + R – 6 = 0. Найдите объём призмы.

Задача №11

Задача №12

Задача №13

Задача №14 . В правильную четырехугольную призму вписан цилиндр. Объем цилиндра равен 16 , а радиус окружности, описанной вокруг основания призмы, равен . Найдите диагональ призмы.

РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

(по материалам ЕГЭ)

Решение.

3) вычислим объём пирамиды

Ответ. 9

Решение.

4) из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим высоту пирамиды: , .

5) вычислим объём пирамиды

Ответ. 18.

Решение.

1) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .

2) найдем периметр основания Р = 3· а ,

Р = 9.

4) из прямоугольного треугольника МОР МР : ,

МР =

5) вычислим площадь боковой поверхности правильной пирамиды:

Ответ. .

Решение. ,

1) найдем радиус описанной около основания и вписанной в основание окружностей: , то есть .

2) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , .

МОР по теореме Пифагора находим высоту: , МО = .

Ответ. 18.

Решение.

2) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .

3) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , .

4) вычислим объём правильной пирамиды: = .

Ответ. 36.

Решение .

1) найдем сторону основания по формуле , т.е. .

2) найдем периметр основания: Р = 4а ,

Р = 24.

3) из прямоугольного треугольника М D Р по теореме Пифагора находим апофему МР : , DP =

тогда: МР = .

4) вычислим площадь боковой поверхности пирамиды: = .

Ответ. 48.

Решение .

2) по условию = 16 т.е.

Ответ. .

Решение.

1) сторона основания правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности т.е. ,

2) площадь правильного шестиугольника найдем по формуле или = 24.

3) из прямоугольного треугольника МОВ найдем высоту МО : .

4) вычисляем объём пирамиды: =.

Ответ. 24.

Решение.

1) найдем площадь правильного шестиугольника по формуле или = 12.

2) из прямоугольного треугольника МОВ найдем высоту МО, учитывая, что в правильном шестиугольнике : .

3) вычисляем объём пирамиды: =.

Ответ: 24.

Решение. V = S · H

2) по условию R удовлетворяет уравнению R 2 + R – 6 = 0, решая которое находим

R 1 = - 3, R 2 = 2, так как радиус величина положительная то -3 не удовлетворяет условию задачи.

3) найдем сторону вписанного правильного треугольника по формуле , .

4) найдем площадь основания правильной призмы, как площадь правильного треугольника: =
5) вычислим объём призмы: V = S · H = .

Ответ. 15.

Задача №11 . Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Расстояние между осью цилиндра и стороной основания призмы равно . Высота цилиндра равна трем его радиусам. Найдите объём призмы.

Решение. V = S · H

4) найдем сторону вписанного правильного треугольника по формуле , .

5) найдем площадь основания правильной призмы, как площадь правильного треугольника: =

6) вычислим объём призмы: V = S · H = S · 3 · R = 162.

Ответ. 162.

Решение . V = S · H

2) Найдем площадь основания правильной призмы, как площадь правильного треугольника: =.

3) Сторона вписанного правильного треугольника находится по формуле , тогда .

4) По условию площадь боковой поверхности цилиндра равна 16 ·  т.е., откуда Н = = .

5) Вычислим объём призмы: V = S · H = · = 30.

Ответ. 30.

Решение.

2) По условию площадь боковой поверхности цилиндра равна 20  , т.е. , .

3) так как призма правильная, то в её основании лежит квадрат, со стороной , тогда периметр основания равен .

4) вычислим площадь боковой поверхности призмы = . , а радиус цилиндра равен 3. , высота цилиндра равна 4. Найдите объём призмы. .

5) запишем формулу вычисления объёма вписанного в призму цилиндра: V = S · H , т.е.:

V = =  ·.

Ответ. 7,5 .