Прямоугольные координаты точки в пространстве. Урок «Метод координат в пространстве. Прямоугольная система координат

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из которых выбрано направление и единичный отрезок, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.

Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат и обозначаются так: Ох, Оy, Оz, имеют свои названия: ось абсцисс, ось ординат и ось аппликат соответственно, а их общая точка - началом координат. Обычно она обозначается буквой О.

Вся система координат обозначается Охуz.

Если через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох провести плоскости, то такие плоскости будут называться координатными плоскостями и обозначаться: Оху, Оуz, Оzх соответственно.

Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч — отрицательной полуосью.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. Они определяются аналогично координатам точек на плоскости.

Посмотрим, как это делается.

Проведем через точку М три плоскости, перпендикулярные осям координат, и обозначим через М₁, М₂ и М₃ точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат.

Первая координата точки М (она называется абсциссой и обозначается обычно буквой х) определяется так: х = ОМ₁, если М₁ - точка положительной полуоси;

х= - ОМ₁, если М₁ - точка отрицательной полуоси; х =0, если М₁ совпадает с точкой О.

Аналогично с помощью точки М₂ определяется вторая координата (ордината) у точки М,

а с помощью точки М₃ — третья координата (аппликата) z точки М.

Координаты точки М записываются в скобках после обозначения точки М (х; у; z).

Запомните, что первой указывают абсциссу, второй - ординату, третьей — аппликату.

Найдем координаты точек А, В, С, D, E, F, представленные на рисунке.

Проведем через точку А три плоскости, перпендикулярные к осям координат, тогда точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат будут координатами точки А. Точка А имеет координаты: абсцисса = 9, ордината = 5, аппликата = 10 и записывается это так: А (9; 5;10).

Аналогично записываются координаты следующих точек:

Точка В имеет координаты: абсцисса = 4, ордината = -3, аппликата = 6

Точка С имеет координаты: абсцисса = 9, ордината = 0, аппликата = 0

Точка имеет D координаты: абсцисса = 4, ордината = 0, аппликата = 5

Точка Е имеет координаты: абсцисса = 0, ордината = 8, аппликата = 0

Точка F имеет координаты: абсцисса = 0, ордината = 0, аппликата = -3

Если точка М (х; у; z) лежит на координатной плоскости на оси координат, то некоторые ее координаты равны нулю.

Если МЄОху (точка М принадлежит плоскости Оху), то аппликата точки М равна нулю: z=0.

Аналогично, если МЄОхz (точка М принадлежит плоскости Оxz), то у = 0, а если МЄОуz (точка М принадлежит плоскости Oyz), то х = 0.

Если МЄОх (точка М лежит на оси абсцисс) ордината и аппликата точки М равны нулю: у=о и z=0. В нашем примере это точка С.

Если МЄОу (точка М лежит на оси ординат), то х=0 и z=0. В нашем примере это точка Е.

Если МЄОz (точка М лежит на оси аппликат), то х = 0 и у = 0. В нашем примере это точка F.

Если все три координаты точки М равны нулю, то это значит, что М=О (0; 0; 0) - начало координат.

Даны координаты четырех вершин куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1: A(0; 0; 0); B(0; 0; 1); D(0; 1; 0); A 1 (1; 0; 0). Найдите координаты остальных вершин куба.

Так как фигура — куб, то все стороны равны единице, все грани являются квадратами.

Точка С принадлежит плоскости Оху, то есть ее координата z равна нулю, координата х равна стороне СД и равна АВ, значит равна единице, координата игрек равна стороне куба СВ, значит равна АД и равна единице.

Аналогично, Точка В 1 принадлежи плоскости Охz, то еcть ее координата y равна нулю, координата х равна стороне координата х равна стороне А1B1 и равна АВ значит равна единице, координата зет равна стороне куба В В1значит равна АА1 и равна единице.

Точка Д 1 принадлежи плоскости Оуz, то еcть ее координата х равна нулю, координата у равна стороне А 1 Д 1 и равна АД, значит равна единице, координата зет равна стороне куба А 1 В 1 , значит равна АВ и равна единице.

Точка С 1 не принадлежит никакой плоскости, то еcть все координаты отличны от нуля, координата х равна стороне C 1 D 1 и равна АB, значит равна единице, координата игрек равна стороне куба В 1 С 1 , значит равна АД и равна единице, и координата зет равна стороне CC 1 , то есть AA 1 и также равна единице.

Найдите координаты проекций точки C(; ;) на координатные плоскости Oxy, Oxz, Oyz и координатные оси Ox, Oy, Oz.

1) опустим перпендикуляры на плоскость Oxy— это CN, на плоскость Oxz - CL, и на плоскость Oyz прямая CR.

Таким образом, проекция точки С на плоскость Oxy это точка N и она имеет координаты икс равный минус корень из трех, игрек равен минус корень из двух на два, зет равнен нулю.

Проекция точки С на плоскость Oxz - это точка L и она имеет координаты икс равен минус корень из трех, игрек равен нулю, зет равен корень из пяти минус корень из трех.

Проекция точки С на плоскость Oyz- это точка R и она имеет координаты икс равен нулю, игрек равен минус корень из двух на два, зет равен корень из пяти минус корень из трех.

2)Из точки N проводим перпендикуляры на ось Ох - прямая NK, а на Оу - прямая NG, и на ось Оz проводим перпендикуляр из точки R- это прямая RP.

Проекция точки С на ось Ох - точка К имеет координаты икс равный минус корень из трех, а игрек и зет равны нулю.

Проекция точки С на ось Оy- точка G имеет координаты икс и зет равны нулю, игрек равен минус корень из двух на два.

Проекция точки С на ось Оz- точка P имеет координаты икс и игрек равны нулю, зет равный корень из пяти минус корень из трех.

Министерство Образования Российской Федерации

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школы №18»

РЕФЕРАТ

ПО ГЕОМЕТРИИ

ТЕМА: МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

Выполнил ученик 11 класса «C»

Мельник Роман

Руководитель

учитель математики Бакшеева И.К.

Бийск - 2008г

Содержание

Введение ……………………………………………………………..… 3.

Глава 1.

Глава 2.

вектора………………………………………………………………..……..10

4. Глава 3.

4.1. Применение координатного метода к решению стереометрических

задач………………………………………………………..…………….. 19

Заключение. ……………………………………………………………. .26

Список литературы……………………………………………………... 27

Введение

Тема моей работы «Метод координат в пространстве». Данная тема актуальна на сегодняшний момент для любого выпускника средней школы так как:

позволяет многие экзаменационные геометрические задачи решать аналитически, что требует меньшего объема знаний по геометрии и значительно сокращает время выполнения;

данный метод лежит в основе аналитической геометрии, которая изучается в курсе высшей математики.

Цель работы: систематизировать знания по данной теме и рассмотреть применение данного метода при решении различных стереометрических задач.
Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

Применяемые методы :

метод анализа и синтеза,

метод сравнения.

Глава 1

1. Метод координат: история развития.

Метод координат – это способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Числа, с помощью которых определяется положение точки, называют координатами точки.

Хорошо известные нам географические координаты определяют положение точки на поверхности Земли – каждая точка на земной поверхности имеет две координаты: широту и долготу.

Чтобы определить положение точки в пространстве, нужны три числа. Например, чтобы определить положение спутника, можно указать высоту его над поверхностью Земли, а также широту и долготу точки, над которой он находится.

С помощью метода координат можно изложить почти весь курс школьной геометрии без единого чертежа, используя только числа и алгебраические операции. Например, окружность можно определить как совокупность точек, удовлетворяющих уравнению, а прямую линию как совокупность точек удовлетворяющих уравнению

. Таким образом, с помощью данного метода удалось связать между собой, казалось бы, совершенно разные науки алгебру и геометрию. Данное установление связи было, по существу, революцией в математике. Оно восстановило математику как единую науку.

Создателем метода координат считают французского философа и математика Рене Декарта (1596-1650), который в последней части большого философского трактата Декарта, вышедшего в 1637 году, дал описание метода координат и его применение к решению геометрических задач.

Развитие идей Декарта привело к возникновению особой ветви математики, которую теперь называют аналитической геометрией.

Само это название выражает основную идею теории. Аналитическая геометрия – это та часть математики, которая решает геометрические задачи аналитически (т.е. алгебраическими) средствами.

Наряду с Декартом основоположником аналитической геометрии является замечательный французский математик П.Ферма. С помощью метода координат Ферма изучил прямые линии и кривые второго порядка. Изучение аналитической геометрии в пространстве трех измерений существенно продвинул в XVIII веке А.Клеро. Явно и последовательно аналитическую геометрию на плоскости и в трехмерном пространстве изложил Л.Эйлер в 1748 г. в учебнике «Введение в анализ бесконечных».

В XIX веке был сделан еще один шаг в развитии геометрии – изучены многомерные пространства. Основной идеей для творцов теории была аналогия с «Геометрией» Декарта. У него точка на плоскости - это пара чисел

, точка в трехмерном пространстве – тройка чисел

; в новой теории точка четырехмерного пространства – это четверка чисел

. У Декарта

- уравнение окружности на плоскости,

- уравнение поверхности шара в трехмерном пространстве; в новой теории

поверхность сферы в четырехмерном пространстве. Аналогичным образом в n - мерной геометрии рассматриваются плоскости, прямые, расстояния между точками, углы между прямыми и т.д.

Идеи многомерной геометрии прочно вошли в математику в конце XIX века, а в самом начале XX века, они нашли применение в специальной теории относительности, где к трем пространственным координатам добавляется четвертая – время. Таким образом, идеи геометрии Декарта, развитые учеными последующих поколений, лежат в основе современной науки.

2. Координаты точки в пространстве .

Говорят, что задана прямоугольная (декартовая) система координат, если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление и выбрана единица измерения отрезков. Плоскости, проходящие соответственно через оси координат

и

,

и

,

и

, называются координатными плоскостями и обозначаются

,

,

.

Координатами точки в пространстве называются координаты проекций этой точки на координатные оси.

Координаты точек:

,

,

,

,

,

,

.

В пространстве, кроме координатных осей, удобно рассматривать еще координатные плоскости, т.е. плоскости, проходящие через две какие-либо оси. Таких плоскостей три:

Плоскость

(проходящая через оси и )- множество точек вида

, где и - любые числа;

Плоскость

(проходящая через оси и )- множество точек вида

, где и - любые числа.

Для любой точки М пространства можно найти три числа

, которые будут служить ее координатами.

Чтобы найти первое число , проведем через точку М плоскость, параллельную координатной плоскость

(перпендикулярную к оси x ).Точка пересечения этой плоскости с осью (точка М 1 ) имеет на этой оси координату .Это число - координата точки М 1 на оси - называется абсциссой точки М.

Чтобы найти вторую координату, через точку М проводят плоскость параллельную плоскости

(перпендикулярную к оси y ), находят на оси y точку М 2 . Число y – координата точки М 2 на оси y – называется ординатой точки М.

Третью координату точки М найдем, проведя аналогичные построения, но перпендикулярно оси z . Полученное число z назовем аппликатой точки М.

3. Задание фигур в пространстве.

Также как на плоскости, координаты в пространстве дают возможность задавать с помощью чисел и числовых соотношений не только точки, но и линии, поверхности и другие множества точек. Посмотрим, например, какое множество точек получится, если задать только две координаты, а третью считать произвольной.

(например,

), задают в пространстве прямую, параллельную оси .

Все точки такой прямой имеют одну и ту же абсциссу и одну ординату. Координата может принимать любые значения.

Рассмотрим еще несколько примеров, показывающих как можно задать в

пространстве различные множества с помощью уравнений и других соотношений между координатами.

1). Рассмотрим уравнение .

Поскольку расстояние точки

от начала координат задается выражением

, то ясно, что в переводе на геометрический язык соотношение

означает, что точка с координатами

, находится на расстоянии R от начала координат. Значит, множеством всех точек, для которых выполняется соотношение

, является поверхность шара - сфера с центром в начале координат и радиусом R .

2). Рассмотрим, где расположены точки, координаты которых удовлетворяют соотношению

.

Так как это соотношение означает, что расстояние точки

от начала координат меньше единицы, то искомое множество - это множество точек, лежащих внутри шара с центром в начале координат и радиусом, равным единице.

Глава 2

1.Разложение вектора по координатным векторам. Координаты вектора.

Базисом пространства называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , , обозначаемая символом

.

Частным случаем является прямоугольный ортонормированный базис

, где - единичный вектор оси абсцисс, через - единичный вектор оси ординат и через -единичный вектор оси аппликат, т.е.

,

,

,

.

Этот базис

и начало отсчета О определяют прямоугольную декартову систему координат

в пространстве.

Теорема 1

Любой вектор пространства можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде -

причем коэффициенты разложения

определяются единственным образом.

Числа

называются координатами вектора , т.е.

. Так как нулевой вектор можно представить в виде

, то все координаты нулевого вектора равны нулю,

.

2. Линейные операции над векторами в координатах.

Правило 1.

Координаты равных векторов соответственно равны, т.е. если векторы

и

равны, то

,

и

.

Правило 2.

Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Другими словами, если

и

-данные векторы, то вектор

имеет координаты .

Правило 3.

Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов .

Другими словами, если

и

-данные векторы, то вектор

имеет координаты

Правило 4.

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующих координат вектора на это число.

Другими словами, если

-данный вектор, -данное число, то вектор

имеет координаты.

.

Пример .

Найти координаты вектора

, если

,

,

.

Решение.

Вектор имеет координаты

, а вектор

- координаты

.

Так как

, то его координаты

можно вычислить как:

,

,

Значит вектор имеет координаты

.

3.Связь между координатами векторов и координатами точек.

Определение.

Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало - с началом координат, называется радиус-вектором данной точки.

- радиус вектор

;

Правило 5.

Координаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиус - вектора. ,.

Правило 6.

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

4.Условие коллинеарности двух векторов в координатах.

Пусть в системе координат

заданы два вектора своими координатами

и

.

Правило 7.

Векторы

и

коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны,

.

Пример.

а) Рассмотрим векторы

и

.

Координаты вектора

пропорциональны соответствующим координатам вектора

:

Поэтому

, и, следовательно векторы коллинеарны.

б) Рассмотрим векторы

и

.

Координаты вектора

не пропорциональны соответствующим координатам вектора

, например

Значит векторы не являются коллинеарными.

5.Простейшие задачи в координатах .

Задача 1.

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

, где

,

и

.

,

,

,

б) Вычисление длины вектора по его координатам.

Рассмотрим вектор

,

длина вектора вычисляется по формуле

.

Так как

==,

==,

==, и

, то из равенства

получаем формулу: .

в) Расстояние между двумя точками.

Рассмотрим две произвольные точки: точку

и точку

. Выразим расстояние d между точками

и

через их координаты.

Рассмотрим вектор , где .

Но

. Таким образом, расстояние между точками

и

вычисляется по формуле .

6.Скалярное произведение векторов и вычисление угла между векторами через их координаты.

1) Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

т.е.

- острый.

Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами - тупой,

т.е.

- тупой.

Для любых векторов , , , и любого числа k справедливы равенства:

1. 0, причем >0 при 0.

2.

(переместительный закон).

3.

(распределительный закон).

4.

(сочетательный закон).

2) Вычисление угла между векторами через их координаты.

Косинус угла между ненулевыми векторами

и

вычисляется по формуле

,

где

7. Вычисление углов между прямыми и плоскостями.

1) Угол между прямыми .

Для решения данной задачи введем понятие направляющего вектора прямой.

Определение.

Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой a , если он лежит, либо на прямой a , либо на прямой, параллельной a .

Пример

Векторы и направляющие прямых a и b , соответственно.

Определение.

Углом между прямыми называется угол между направляющими векторами данных прямых.

Угол между прямыми a и b равен углу между направляющими векторами данных прямых, и .

2).Угол между прямой и плоскостью .

Определение.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между направляющим вектором данной прямой и ненулевым вектором перпендикулярным плоскости (нормаль).

Пусть

, (

, а

- искомый угол (

).

Тогда

Значит

.

Глава 3.

Применение координатного метода к решению стереометрических задач.

Задача.1

В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный треугольник АВС.

, AC =3, BC =5. Ребро АМ перпендикулярно АС, АМ=4,

. Найти объем пирамиды.

Решение.

1) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке . Ось

направим вдоль ребра АС , а плоскость Ох y вдоль основания пирамиды АВС.

В этой системе координат:

,

,

. Так как по условию

, то точка М лежит в плоскости xz и имеет координаты

.

2)

,

.

Найдем высоту пирамиды. Опустим из точки М перпендикуляр М D на плоскость (АВС), тогда

, т.к.

. Следовательно,

и расстояние между точками М и D равно , т.к.

.

Найдем значение координаты z используя расстояния между точками, содержащими данную координату:

,

. , т.е.

.

Имеем:

Так как

, то Значит высота пирамиды равна

. Следовательно

.

Ответ:

.

Задача.2.

В прямоугольном параллелепипеде

,

,

. Найти: угол между прямыми

и

.

Решение.

1).Введем систему координат с началом в точке

. Оси

,

и

направим вдоль ребер

,

и

соответственно. Так как угол между прямыми изменяется от

до

, а угол между векторами от

до

, то угол между прямыми

и

равен углу между векторами

и

, если он острый, или смежному с ним, если угол между векторами тупой.

Таким образом,

2).Вычислим угол между векторами

и

.

Найдем координаты векторов, используя координаты точек

и :

,

,

,

.

Тогда координаты векторов

и

.

=

=

=

=

.

Следовательно,

Ответ:

.

Задача 3.

Дан прямоугольный параллелепипед

. Найти угол между прямой

и плоскостью основания

.

Решение.

1) Угол между прямой

и плоскостью АВ 1 С – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Угол между нормалью к плоскости и прямой

дополняет его до 90 0 , поэтому .

Значит для того, чтобы найти угол между прямой

и плоскостью (

), следует найти угол между прямой

и нормалью к плоскости (

) .

2) Введем систему координат с началом в точке

. Оси

,

и

направим вдоль ребер

,

и

соответственно.

Координаты точек:

,

,

,

а

.

3) Найдем координаты нормали плоскости (

). Напишем уравнение плоскости (

), подставив координаты точек A , B 1 и С в уравнение плоскости .

Получим систему линейных уравнений:

Следовательно, уравнение плоскости (

) имеет вид , или

, а вектор нормали имеет координаты

.

Значит

И

.

Ответ:

.

Рассмотрим решение задачи двумя способами.

Задача 4. 1 способ: геометрический.

На ребрах

,

и. . Проведем прямую - средняя линия треугольника и, т.е. и,

Изученный теоретический материал был систематизирован.

При использовании метода к решению задач были выявлены особенности применения метода:

При выполнении работы столкнулся с трудностями:

Список литературы.

Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Л.С.Киселева, Э.Г.Позняк . Геометрия, 10-11.М.,Просвещение, 2003.

В.Н.Литвиненко . Практикум по элементарной математике. Стереометрия: Учебное пособие.-М.:Вербум-М, 2000.

И.М .Гельфанд, Е.Г.Глаголева, А.А.Кириллов. Метод координат.-М.:Наука, 1968.

С.Г.Григорьев. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие по высшей математике.-М.:Информационно-внедренческий центр «Маркетинг», 2000.

И.Иванова, З.Ильченкова. Применение координатного вектора к решению стереометрических задач.//Математика, 2007, №2.

А.В.Дорофеев. Декарт и его геометрия.//Математика, 1992, №4.