Векторы. Действия с векторами. В этой статье мы поговорим о том, что такое вектор, как находить его длину, и как умножать вектор на число, а также как находить сумму, разность и скалярное произведение двух векторов.
Как обычно, немного самой необходимой теории.
Вектор - это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:
Здесь точка А - начало вектора, а точка В - его конец.
У вектора есть два параметра: его длина и направление.
Длина вектора - это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора обозначается
Два вектора называются равными , если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.
Два вектора называются сонаправленными , если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону: вектора и сонаправлены:
Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны: вектора и , а также и направлены в противоположные стороны:
Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными : вектора , и - коллинеарны.
Произведением вектора на число называется вектор, сонаправленный вектору , если title="k>0">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :
Чтобы сложить два вектора и , нужно начало вектора соединить с концом вектора . Вектор суммы соединяет начало вектора с концом вектора :
Это правило сложения векторов называется правилом треугольника .
Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма , нужно отложить вектора от одной точки и достроить до параллелограмма. Вектор суммы соединяет точку начала векторов с противоположным углом параллелограмма:
Разность двух векторов определяется через сумму: разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором даст вектор :
Отсюда вытекает правило нахождения разности двух векторов : чтобы из вектора вычесть вектор , нужно отложить эти вектора от одной точки. Вектор разности соединяет конец вектора с концом вектора (то есть конец вычитаемого с концом уменьшаемого):
Чтобы найти угол между вектором и вектором , нужно отложить эти вектора от одной точки. Угол, образованный лучами, на которых лежат вектора, называется углом между векторами:
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
Предлагаю вам решить задачи из Открытого банка заданий для , а затем сверить све решение с ВИДЕОУРОКАМИ:
1 . Задание 4 (№ 27709)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов и .
2 . Задание 4 (№ 27710)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).
3 . Задание 4 (№ 27711)
Две стороны прямоугольника ABCD O . Найдите длину суммы векторов и .
4 . Задание 4 (№ 27712)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O . Найдите длину разности векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).
5 . Задание 4 (№ 27713)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора .
6 . Задание 4 (№ 27714)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .
7 .Задание 4 (№ 27715)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .(чертеж из предыдущей задачи).
8 .Задание 4 (№ 27716)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .
9 . Задание 4 (№ 27717)
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .
10 . Задание 4 (№ 27718)
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .(чертеж из предыдущей задачи).
11 .Задание 4 (№ 27719)
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов и .(чертеж из предыдущей задачи).
12 . Задание 4 (№ 27720)
ABC равны Найдите длину вектора +.
13 . Задание 4 (№ 27721)
Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора -.(чертеж из предыдущей задачи).
14 . Задание 4 (№ 27722)
Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).
Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачать
Firefox
Задачи с векторами на ЕГЭ. Дорогие друзья! Вы знаете, что в состав экзамена по математике входят такие задания. Не факт, что такая задача попадёт именно вам, но готовиться к этому и понимать тему в любом случае нужно. На блоге мы несколько задач на сумму (разность) векторов, длину вектора, в этой же статье есть необходимая теория. Посмотрите её, прежде чем рассматривать задачи представленные ниже.
Также на блоге. Если нужно вспомнить, что такое абсцисса и ордината точки, тогда посмотрите . Кратко повторим:
Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты начала:
Формула для определения длины вектора, если известны координаты его начала и конца:
Формула для определения длины вектора, если известны его координаты:
27725. Вектор АВ с началом в точке A (2;4) имеет координаты (6;2). Найдите ординату точки B .
Как уже сказано координаты вектора находятся следующим образом: и з соответствующих координат конца вычитаются координаты начала вектора. То есть:
Координаты вектора нам даны, координаты его начала тоже, значит:
Следовательно можем найти координаты точки В:
х 2 – 2 = 6 у 2 – 4 = 2
х 2 = 8 у 2 = 6
Таким образом, ордината точки В равна 6.
Ответ: 6
27726. Вектор АВ с началом в точке A (3;6) имеет координаты (9;3). Найдите сумму координат точки B.
Задача по процессу решения такая же как и предыдущая, но иначе поставлен вопрос. Вычисления так же находятся в пределах устного счёта. Ещё раз запишем координаты вектора, когда известны координаты его начала и конца:
Координаты вектора и координаты его начала даны, значит:
Можем найти координаты точки В:
х 2 – 3 = 9 у 2 – 6 = 3
х 2 = 12 у 2 = 9
Таким образом, сумма координат точки В равна 21.
Ответ: 21
27727. Вектор АВ с концом в точке B (5;3) имеет координаты (3;1). Найдите абсциссу и ординату точки A , также сумму её координат.
Нам известны координаты вектора и координаты его конца, значит:
Можем найти координаты точки А:
5 – х 1 = 3 3 – у 1 = 1
х 1 = 2 у 1 = 2
Таким образом, абсцисса точки А равна двум, ордината тоже равна двум, а сумма координат равна 2+2 = 4.
27731 Найдите квадрат длинны вектора a +b .
В данной задаче необходимо найти координаты вектора, который является суммой указанных векторов, затем найти его длину и возвести её в квадрат. Запишем формулу длины вектора, если известны его координаты:
Или в другой форме:
Найдём координаты вектора, который является суммой данных векторов. Для этого сначала найдём координаты данных векторов.
Рассмотрим вектор:
Рассмотрим вектор:
*Можно было глядя на эскиз сразу их записать, так как точки их начал совпадают с началом координат.
Теперь найдём координаты вектора являющегося их суммой:
(2 + 8; 6 + 4) = (10;10)
Таким образом, длина вектора являющегося суммой векторов a и b равна:
Следовательно квадрат длины будет равен 200.
*Имея опыт в решении подобных задач, можно сразу записывать:
Как видите, вычисления можно осуществить устно. Здесь для вас умышленно представлено подробное решение.
Ответ: 200
27733. Найдите квадрат длины вектора a – b .
Задача аналогична предыдущей. Необходимо найти координаты вектора, который является разностью представленных векторов, затем найти его длину и результат возвести в квадрат.
Координаты данных векторов нам уже известны (из предыдущей задачи):
Теперь найдём координаты вектора, который является их разностью:
(2 – 8; 6 – 4) = (–6;2)
Таким образом, длина вектора, который является разностью векторов
Следовательно квадрат её длины будет равен 40.
*Можно сразу записывать и вычислять:
На оси абсцисс и ординат называются координатами вектора . Координаты вектора общепринято указывать в виде (х, у) , а сам вектор как: =(х, у).
Формула определения координат вектора для двухмерных задач.
В случае двухмерной задачи вектор с известными координатами точек A(х 1 ;у 1) и B(x 2 ; y 2 ) можно вычислить:
= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1).
Формула определения координат вектора для пространственных задач.
В случае пространственной задачи вектор с известными координатами точек A(х 1 ;у 1 ; z 1 ) и B(x 2 ; y 2 ; z 2 ) можно вычислить применив формулу:
= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).
Координаты дают всеобъемлющую характеристику вектора, поскольку по координатам есть возможность построить и сам вектор. Зная координаты, легко вычислить и длину вектора . (Свойство 3, приведенное ниже).
Свойства координат вектора.
1. Любые равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты .
2. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. При условии, что ни один из векторов не равен нулю.
3. Квадрат длины любого вектора равен сумме квадратов его координат .
4.При операции умножения вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число.
5. При операции сложения векторов вычисляем сумму соответствующие координаты векторов .
6. Скалярное произведение двух векторов равняется сумме произведений их соответствующих координат.