Определение Тангенсом угла α называют число, равное отношению sin α к cos α, обозначают tg α, т. е. Тангенс определён для всех углов α, кроме тех, для которых косинус равен нулю Для любого угла α ≠ π/2 + πk, kЄZ существует, и притом единственный tg α
y Ось тангенсов +∞ 120° 180° 1 x - 45° не существует Тангенс может принимать любые значения от – ∞ до + ∞ х=1 –∞
Определение Котангенсом угла α называют число, равное отношению cos α к sin α, обозначают сtg α, т. е. Котангенс определён для всех углов α, кроме тех, для которых синус равен нулю Для любого угла α ≠ πk, kЄZ существует, и притом единственный сtg α
Ось котангенсов Y –∞ +∞ 120° у=1 180° 0° X 45° Не существует Котангенс может принимать любые значения от – ∞ до + ∞
Построение графика функции y = tg x, если х Є [ π ∕ 2; π ∕ 2 ] y у = tg x х 0 1 у=tg x 0 ±π ∕ 6 x -1 ≈ ± 0, 6 ±π ∕ 4 ± 1 ±π ∕ 3 ≈ ± 1, 7 ±π ∕ 2 Не существ.
Свойства функции y=tg x. y 1 у=tg x x 1 Нули функции: tg х = 0 при х = πn, nєZ у>0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn, nєZ. у
Свойства функции y=tg x. у=tg x y Асимптоты 1 x -1 При х = π ∕ 2+πn, nєZ - функция у=tgx не определена. Точки х = π ∕ 2+πn, nєZ – точки разрыва функции.
Запишите все свойства функции y = tg x. 1. Область определения: 2. Множество значений функции: 3. Периодическая, Т= 4. Нечётная функция 5. Возрастает на всей области определения. 6. Нули функции у = 0 при х = 7. у > 0 при хє и при сдвиге на 8. у
у 1 х - - 3 2 y = tgx + a - - 0 2 -1 y = tgx 3 2 2 y = tgx – b
у 1 х - - 3 2 - y = tgx - 0 2 -1 3 2 y = tg(x – a) 2
у 1 х - - 3 2 - y = tgx - 0 2 -1 3 2 2 y = Itgx. I
Функция y = ctg x 1. 2. 3. 4. 5. у=ctg x Область определения данной функции – все действительные числа, кроме чисел х=πk, k Z. Область значений функции – все действительные числа. Функция убывает на интервалах Функция нечетная, график ее симметричен относительно начала координат. Функция периодическая, ее наименьший положительный период равен π. у 1 - х -π 0 -1 π
Задача № 1. Найти все корни уравнения tgx = 1, принадлежащих промежутку –π ≤ х ≤ 3π ∕ 2. Решение. 1. Построим графики у=tg x y у=1 −π 1 х1 0 -1 х2 функций у=tgx и у=1 2. х1= − 3π∕ 4 х2= π∕ 4 x х3= 5π∕ 4 х3 3π/2 π
Задача № 2. Найти все решения неравенства tgx
Функции (большинство из этих свойств фактически известно нам из § 5). Когда такое представление сложится, начнем строить график, как обычно, по точкам.
Свойство 1. Область определения функции у = tg х - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида
Это свойство означает, что на графике функции
нет точки, принадлежащей прямой нет точки, принадлежащей прямой нет точки, принадлежащей прямой и т.д. Эти прямые проведены пунктиром на рис. 60.
Первое представление о графике получено: он состоит из бесконечного множества ветвей (в полосе между
Свойство 2.
у = tg х- периодическая функция с основным периодом п.
Это следует из двойного равенства полученного в § 5.
Значит, если мы построим ветвь графика в полосе от 
то затем нужно будет сдвинуть построенную ветвь по оси х вправо и влево на п, 2п, Зп и т.д. Тек самым получено второе представление о графике.
Свойство 3. у =tg х-нечетная функция. Это следует из доказанного в § 5 соотношения График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Значит, нам можно действовать так: построить по точкам часть графика на промежутке от а затем воспользоваться указанной симметрией.
Приступим к построению графика на полуинтервале , Выберем контрольные точки:
Отметим эти точки на координатной плоскости и проведем через них плавную кривую (рис. 61). Добавим линию, симметричную построенной кривой относительно начала координат (рис. 62). Воспользовавшись периодичностью, достроим график до конца (рис. 63).
График функции у = tg х называют тангенсоидой. Ту ее часть, которая изображена на рис. 62, обычно называют главной ветвью тангенсоиды.
Обратите внимание на то, что из начала координат главная ветвь тангенсоиды выходит как бы под углом 45°. Почему это так, вы узнаете из главы 4.
Свойство 4.
Функция возрастает на интервале В более общем виде - функция возрастает на любом интервале вида 
Свойство 5.
Функция у = tg хне ограничена ни сверху, ни снизу.
Свойство 6.
У функции у = tg х нет ни наибольшего, ни наимень шего значения.
Свойство 7.
Функция у = tg х непрерывна на интервале В более общем виде - функция непрерывна на любом интервале вида
При значениях функция претерпевает разрыв. Каждая прямая вида служит вертикальной асимптотои графика функции.
Свойство 8.
Замечание.
Свойства 4-8, прочитанные по графику, можно доказать, опираясь на соответствующие математические утверждения, которые нам с вами пока не известны (поэтому мы и ограничиваемся наглядно-интуитивными представлениями). Впрочем, доказательство одного из свойств мы можем осуществить и сейчас.
Докажем, что функция у=tg х возрастает на полуинтервале . Возьмем два значения аргумента х 1 и х 2 из этого промежутка: х 1 < х 2 . Тогда в силу возрастания функции х на выбранном полуинтервале, будем иметь sin х 1 < sin х 2 . В силу убывания функции у- соs х на выбранном полуинтервале будем иметь соs х 1 > соs х 2 . Значит,
Итак, а это и означает возрастание функции у=tg х на выбранном промежутке.
Пример 1.
Решить уравнение tg х =
Решение.
Построим в одной системе координат графики функций у =tg х - тангенсоиду и у = - прямую, параллельную оси х. Они имеют бесконечно много точек пересечения (рис. 64), причем абсциссы этих точек отличаются друг от друга на пк. На главной ветви абсцисса соответствующей точки равна (мы воспользовались известным числовым равенством - это один корень уравнения, а все решения описываются формулой
Ответ:
Пример 2.
Построить график функции
Решение.
Для начала разберемся с главной ветвью тангенсоиды.
1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке 
проведена на рис. 65 пунктиром).
2) "Привяжем" функцию у = tg хк новой системе координат - это будет график функции , а точнее, главная ветвь искомого графика (рис. 65 - сплошная кривая).
3) Чтобы получить график функции достаточно построенную ветвь отобразить симметрично относительно оси х (рис. 66).
4) Зная одну ветвь, можно построить весь график (рис. 67).
На самом деле, на рис. 67 построен график функции у=сtgх. Почему? Потому, что имеет место тождество (формула приведения) 
График функции у=сtg х, как и график функции у =tg х, называют тангенсоидой. Главной ветвью графика функции у=сtg х обычно называют ветвь, заключенную в полосе от х=0 до х = к.
Пример 3.
Решить уравнение сtg х = -1.
Решение.
Построим в одной системе координат графики функций у = сtg х - тангенсоиду и у=-1 - прямую, параллельную оси х. Они имеют бесконечно много точек пересечения (рис. 68), причем абсциссы этих точек отличаются друг от друга на яп. На главной ветви абсцисса соответствующеи точки равна (мы воспользовались известным соотношением: а все решения заданного уравнения можно охватить формулой
Ответ:
А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиВ этом видеуроке рассмотрены свойства функций у = tg x, y = ctg x , показано, как построить их графики.
Видеоурок начинается с рассмотрения функции у = tg x .
Выделены свойства функции.
1) Областью определения функции у = tg x называются все действительные числа, за исключением х = π/2 + 2 πk. Т.е. на графике нет точек, которые принадлежат прямой х = π/2 и х = - π/2, а также х = 3π/2 и так далее (с той же периодичностью). Значит, график функции у = tg x будет состоять из бесконечного множества ветвей, которые будут находиться в промежутках между прямыми х = - 3π/2 и х = - π/2 , х = - π/2 и х = π/2 и так далее.
2) Функция у = tg x является периодической, где основной период равенπ. Это подтверждает равенство tg (x - π) = tg x = tg (x + π) . Эти равенства изучались ранее, автор предлагает ученикам вспомнить их, указывая, что для любого допустимого значения t справедливы равенства:
tg (t + π) = tg t , и ctg (t + π) = ctg t . Следствием этих равенств является то, что, если построена одна ветвь графика функции у = tgx в промежутке между прямыми х = - π/2 и х = π/2 , то остальные ветви можно получить путем сдвига этой ветви по оси х на π, 2π и так далее.
3) Функция у = tg x является нечетной, т.к. tg (- x) = - tg x .
Далее перейдем к построению графика функции у = tg x . Как следует из свойств функции, описанных выше, функция у = tg x периодическая и нечетная. Поэтому достаточно построить часть графика - одну ветвь в одном промежутке, а затем воспользоваться симметрией для переноса. Автор приводит таблицу, в которой рассчитываются значения tg x при определенных значениях x для более точного построения графика. Данные точки отмечаются на оси координат и соединяются плавной линией. Т.к. график симметричен относительно начала координат, то строится такая же ветвь, симметричная началу координат. В результате получаем одну ветвь графика у = tg x . Далее с помощью сдвига по оси х наπ, 2 πи так далее получается график у = tg x .
График функции у = tg x называется тангенсоида, а три ветви графика, показанные на рисунке - главные ветви тангенсоиды.
4) Функция у = tg x на каждом из промежутков (- + ; +) возрастает.
5) График функции у = tg x не имеет ограничений сверху и снизу.
6) Функция у = tg x не имеет наибольшего и наименьшего значения.
7) Функция у = tg x непрерывна на любом промежутке (-- π/2+π;π/2+π). Прямая π/2+π называется асимптотой графика функции у = tg x , т.к. в этих точках график функции прерывается.
8) Множеством значений функции у = tg x называются все действительные числа.
Далее в видеоуроке дается пример: решить уравнение с tg x . Для решения построим 2 графика функции у и найдем точки пересечения этих графиков: это бесконечное множество точек, абсциссы которых отличаются на πk. Корнем данного уравнения будет х = π/6 +πk.
Рассмотрим график функции у = ctg x . График функции можно построить двумя способами.
Первый способ предполагает построение графика аналогично построению графика функции у = tg x . Построим одну ветвь графика функции у = с tg x в промежутке между прямыми х = 0и х = π. Затем с помощью симметрии и периодичности построим другие ветви графика.
Второй способ более простой. График функции у = сtgx можно получить путем преобразования тангенсоиды с помощью формулы приведения с tgx = - tg (x + π/2). Для этого сдвинем одну ветвь графика функции у = tgx вдоль оси абсцисс на π/2вправо. Остальные ветви получаем путем сдвига этой ветви по оси х наπ, 2π и так далее. График функции у = ctgx называется также тангенсоида, а ветвь графика в промежутке (0;π) - главная ветвь тангенсоиды.
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:
Мы рассмотрим свойства функции у = tg x (игрек равно тангенс икс), у = ctg x(игрек равно котангенс икс), построим их графики. Рассмотрим функцию y = tgx
Прежде, чем строить график функции у = tg x, запишем свойства этой функции.
СВОЙСТВО 1. Областью определения функции у = tg x являются все действительные числа, кроме чисел вида х = + πk (икс равен сумме пи на два и пи ка).
Это значит, что на графике этой функции нет точек, которые принадлежат прямой х = (получаем, если k= 0 ка равно нулю) и прямой х = (икс равно минус пи на два) (получаем, если k= - 1 ка равно минус одному), и прямой х = (икс равно три пи на два) (получаем, если k= 1 ка равно одному) и т. д. Значит график функции у = tg x будет состоять из бесконечного множества ветвей, которые будут находиться в промежутках между прямыми. А именно в полосе между х = и х =- ; в полосе х =- и х = ; в полосе х = и х = и так до бесконечности.
СВОЙСТВО 2. Функция у = tg x является периодической с основным периодом π. (Так как справедливо двойное равенство
tg(x- π) = tgx = tg (x+π) тангенс от икс минус пи равен тангенсу икс и равен тангенсу от икс плюс пи). Это равенство мы рассматривали при изучении тангенса и котангенса. Напомним его:
Для любого допустимого значения t справедливы равенства:
tg (t + π)= tgt
ctg (t + π) = ctgt
Из этого равенства следует, что, построив ветвь графика функции у = tg x в промежутке от х =- и х = , мы получим остальные ветви путем сдвига построенной ветви по оси Х на π, 2π, и так далее.
СВОЙСТВО 3. Функция у = tg x является нечетной функцией, так как справедливо равенство tg (- x) = - tg x.
Построим график функции у = tg x
Так как эта функция периодическая, состоит из бесконечного множества ветвей (в полосе между х = и х = , а также в полосе между х = и х = и т.д.) и нечетная, то построим по точкам часть графика на промежутке от нуля до пи на два (), затем воспользуемся симметрией начала координат и периодичностью.
Построим таблицу значений тангенса для построения графика.
Находим первую точку: зная, что при х = 0 tg x = 0(икс равном нулю тангенс икс тоже равен нулю); следующая точка: при х = tg x = (икс равном пи на шесть тангенс икс равен корень из трех на три); отметим следующие точки: при х = tg x = 1 (икс равном пи на четыре тангенс икс равен единице), а при х = tg x = (икс равном пи на три тангенс икс равен корню квадратному из трех). Отметив полученные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией (рис. 2).
Так как график функции симметричен относительно начала координат, то построим такую же ветвь симметрично начала координат. (рис.3).
И, наконец, применив периодичность, получим график функции у = tg x.
Мы построили ветвь графика функции у = tg x в полосе от х =- и х = . Строим остальные ветви путем сдвига построенной ветви по оси Х на π, 2π, и так далее.
Построенный график называется тангенсоида.
Изображенную на рисунке 3 часть тангенсоиды называют главной ветвью тангенсоиды.
На основании графика запишем еще свойства этой функции.
СВОЙСТВО 4. Функция у = tg x возрастает на каждом из промежутков (от минус пи на два плюс пи ка до пи на два плюс пи ка).
СВОЙСТВО 5. Функция у = tg x не ограничена ни сверху, ни снизу.
СВОЙСТВО 6. Функция у = tg x не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
СВОЙСТВО 7. Функция у = tg x непрерывна на любом интервале вида (от минус пи на два плюс пи ка до пи на два плюс пи ка).
Прямая вида х = + πk (икс равно сумме пи на два и пи ка) является вертикальной асимптотой графика функции, так как в точках вида х = + πk функция терпит разрыв.
СВОЙСТВО 8. Множеством значений функции у = tg x являются все действительные числа, то есть (е от эф равно промежутку от минус бесконечности до плюс бесконечности).
ПРИМЕР 1. Решить уравнение tg x = (тангенс икс равен корень из трех на три).
Решение. Построим в одной системе координат графики функций у = tg x
(игрек равен тангенсу икс) и у = (игрек равен корню из трех, деленному на три).
Получили бесконечно много точек пересечения, абсциссы которых отличаются друг от друга на πk (пи ка).Так как tg x = при х = , то абсцисса точки пересечения на главной ветви равна (пи на шесть).
Все решения данного уравнения запишем формулой х = + πk (икс равно пи на шесть плюс пи ка).
Ответ: х = + πk.
Построим график функции у = сtg x.
Рассмотрим два способа построения.
Первый способ аналогичен построению графика функции у = tg x.
Так как эта функция периодическая, состоит из бесконечного множества ветвей (в полосе между х = 0 и х =π , а также в полосе между х =π и х = 2π и т.д.) и нечетная, то построим по точкам часть графика на промежутке от нуля до пи на два (), затем воспользуемся симметрией и периодичностью.
Воспользуемся таблицей значений котангенса для построения графика.
Отметив полученные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией.
Так как график функции симметричен относительно, то построим такую же ветвь симметрично.
Применим периодичность, получим график функции у = сtg x.
Мы построили ветвь графика функции у = сtg x в полосе от х = 0 и х =π. Строим остальные ветви путем сдвига построенной ветви по оси x на π, - π, 2π, - 2π и так далее.
Второй способ построения графика функции у =сtg x.
Получить график функции у =сtg x проще всего с помощью преобразования тангенсоиды, используя формулу приведения (котангенс икс равно минус тангенс от суммы икс и пи на два).
При этом сначала, сдвинем ветвь графика функции у =tg x вдоль оси абсцисс на вправо, получим
у = tg (x+), а затем выполняем симметрию полученного графика относительно оси абсцисс. В результате получится ветвь графика функции у =сtg x (рис.4). Зная одну ветвь, можем построить весь график используя периодичность функции. Строим остальные ветви путем сдвига построенной ветви по оси x на π, 2π, и так далее.
График функции у =сtg x называется тоже тангенсоида, как и график функции у =tg x. Ветвь, которая заключена в промежутке от нуля до пи, называют главной ветвью графика функции у =сtg x.