Нахождение определителя из системы уравнений. Определители и системы линейных уравнений

Определителем второго порядка

и вычисляется по правилу

Числа называютсяэлементами определителя (первый индекс указывает номер строки, а второй
номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент); диагональ, образованная элементами
,
, называетсяглавной , элементами
,

побочной .

Аналогично вводится понятие определителя третьего порядка.

Определителем третьего порядка называется число, которое обозначается символом

и вычисляется по правилу

Диагональ, образованная элементами
,
,
, называетсяглавной , элементами
,
,

побочной .

Чтобы запомнить какие произведения в правой части равенства (1) берутся со знаком «
», а какие со знаком «
», полезно использовать следующее «правило треугольников»:

Можно ввести понятие определителя 4-го, 5-го и т. д. порядков.

Минором
некоторого элемента определителя называется определитель, образованный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент.

Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на
, где
номер строки,
номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент:

Свойства определителей.

Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами со столбцами.

Рассмотренная операция называется транспонированием. Свойство 1

устанавливает равноправность строк и столбцов определителя.

Задача 1. Вычислить определители:

1) 2)3)4).

Задача 2. Вычислить определители, разложив их по элементам первого столбца:

1)
2)

Задача 3. Найти из уравнений:

1)
2)

1.2. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера

I) Система двух линейных неоднородных уравнений с двумя неизвестными

Обозначим

основной определитель системы;

,
вспомогательные определители.

а) Если определитель системы

,
. (1)

б) Если определитель системы
, то возможны случаи:

1)
(уравнения пропорциональны), тогда система содержит только одно уравнение, например,
и имеет бесконечно много решений (неопределённая система). Для её решения необходимо выразить одну переменную через другую, значение которой выбирается произвольно;

2) если хотя бы один из определителей
отличен от нуля, то система не имеет решений (несовместная система).

II) Система двух линейных однородных уравнений с тремя переменными

(2)

Линейное уравнение называется однородным , если свободный член этого уравнения равен нулю.

а) Если
, то система (2) сводится к одному уравнению (например, первому), из которого одно неизвестное выражается через два других, значения которых выбираются произвольно.

б) Если условие
не выполнено, то для решения системы (2) перенесем одну переменную вправо и решим систему двух линейных неоднородных уравнений с использованием формул Крамера (1).

III) Система трёх линейных неоднородных уравнений с тремя неизвестными:

Составим и вычислим основной определитель и вспомогательные определители,.

а) Если
, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

,
,
(3)

б) Если
, то возможны случаи:

1)
, тогда система будет иметь бесконечно много решений, она будет сводиться либо к системе состоящей из одного, либо из двух уравнений (одну неизвестную перенесём направо и решим систему двух уравнений с двумя неизвестными);

2) хотя бы один из определителей
отличен от нуля, система не имеет решения.

IV) Система трёх линейных однородных уравнений с тремя неизвестными:

Эта система всегда совместна, так как имеет нулевое решение.

а) Если определитель системы
, то она имеет единственное нулевое решение.

б) Если же
, то система сводится либо к двум уравнениям (третье является их следствием), либо к одному уравнению (остальные два являются его следствием) и имеет бесконечно много решений (см. п.II).

Задача 4. Решить систему уравнений

Решение. Вычислим определитель системы

Так как
, то система имеет единственное решение. Воспользуемся формулами Крамера (3). Для этого вычислим вспомогательные определители:

,
,

Задача 5. Решить систему уравнений

Решение. Вычислим определитель системы:

Следовательно, система однородных уравнений имеет бесконечно много решение, отличных от нулевого. Решаем систему первых двух уравнений (третье уравнение является их следствием):

Перенесём переменную в правую часть равенства:

Отсюда по формулам (1) получаем

,
.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 6. Решить с помощью определителей системы уравнений:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)

1. Определители второго и третьего порядков и их свойства 1.1. Понятие матрицы и определителя второго порядка

Прямоугольную таблицу из чисел, содержащую произвольное число т

строк и произвольное число и столбцов, называют матрицей. Для обозначения

матрицы используют либо сдвоенные вертикальные черточки, либо круглые

скобки. Например:

28 20 18 28 20 18

Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, то матрица

называется квадратной. Числа, входящие в состав матрицы, называют ее

элементами .

Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов:

Определителем второго порядка, соответствующим матрице (3.1),

называется число, равное - и обозначаемое символом

Итак, по определению

Элементы, составляющие матрицу данного определителя, обычно

называют элементами этого определителя.

Справедливо следующее утверждение: для того чтобы определитель

второго порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы

элементы его строк (или соответственно его столбцов) были

пропорциональны .

Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что каждая

из пропорций / = / и / = / эквивалентна равенству = , а последнее равенство в

силу (3.2) эквивалентно обращению в нуль определителя.

1.2. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Покажем, как применяются определители второго порядка для

исследования и отыскания решений системы двух линейных уравнений с

двумя неизвестными

(коэффициенты, и свободные члены, считаются при этом

заданными). Напомним, что пара чисел, называется решением системы (3.3),

если подстановка этих чисел на место и в данную систему обращает оба

уравнения (3.3) в тождества.

Умножая первое уравнение системы (3.3) на -, а второе - на - и затем

складывая полученные при этом равенства, получим

Аналогично путем умножения уравнений (3.3) на - и соответственно

Введем следующие обозначения:

= , = , = . (3.6)

С помощью этих обозначений и выражения для определителя второго

порядка уравнения (3.4) и (3.5) могут быть переписаны в виде:

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных

системы (3.3), принято называть определителем этой системы . Заметим, что

определители и получаются из определителя системы посредством замены

его первого или соответственно второго столбца свободными членами.

Могут представиться два случая: 1) определитель системы отличен от

нуля; 2) этот определитель равен нулю.

Рассмотрим сначала случай 0. Из уравнений (3.7) мы сразу же получаем

формулы для неизвестных, называемые формулами Крамера :

Полученные формулы Крамера (3.8) дают решение системы (3.7) и

потому доказывают единственность решения исходной системы (3.3). В самом

деле, система (3.7) является следствием системы (3.3), поэтому всякое

решение системы (3.3) (в случае, если оно существует!) должно являться

решением и системы (3.7). Итак, пока доказано, что если у исходной системы

(3.3) существует при 0 решение, то это решение однозначно определяется

формулами Крамера (3.8).

Легко убедиться и в существовании решения, т. е. в том. что при 0 два

числа и. определяемые формулами Крамера (3.8). будучи поставлены на

место неизвестных в уравнения (3.3), обращают эти уравнения в тождества.

(Предоставляем читателю самому расписать выражения для определителей,

и, и убедиться в справедливости указанных тождеств.)

Мы приходим к следующему выводу: если определитель системы (3.3)

отличен от нуля, то существует, и притом единственное решение этой

системы, определяемое формулами Крамера (3.8).

Рассмотрим теперь случай, когда определитель системы равен нулю .

Могут представиться два подслучая : а) хотя бы один из определителей или,

отличен от нуля; б) оба определителя и равны нулю. (если определитель и

один из двух определителей и равны нулю, то и другой из указанных двух

определителей равен нулю. В самом деле, пусть, например = 0 = 0, т.е. / = /

и / = /. Тогда из этих пропорций получим, что /= /, т. е. = 0).

В подслучае а) оказывается невозможным хотя бы одно из равенств

(3.7), т. е. система (3.7) не имеет решений, а поэтому не имеет решений и

исходная система (3.3) (следствием которой является система (3.7)).

В подслучае б) исходная система (3.3) имеет бесчисленное множество

решений. В самом деле, из равенств === 0 и из утверждения в конце разд. 1.1

заключаем, что второе уравнение системы (3.3) является следствием первого

и его можно отбросить. Но одно уравнение с двумя неизвестными

имеет бесконечно много решений (хотя бы один из коэффициентов, или

отличен от нуля, и стоящее при нем неизвестное может быть определено из

уравнения (3.9) через произвольно заданное значение другого неизвестного).

Таким образом, если определитель системы (3.3) равен нулю, то

система (3.3) либо вовсе не имеет решений (в случае, если хотя бы один из

определителей или отличен от нуля), либо имеет бесчисленное множество

решений (в случае, когда == 0). В последнем случае два уравнения (3.3)

можно заменить одним и при решении его одно неизвестное задавать

произвольно.

Замечание . В случае, когда свободные члены и равны нулю, линейная

система (3.3) называется однородной . Отметим, что однородная система

всегда имеет так называемое тривиальное решение: = 0, = 0 (эти два числа

обращают оба однородных уравнения в тождества).

Если определитель однородной системы отличен от нуля, то эта

система имеет только тривиальное решение. Если же = 0, то однородная

система имеет бесчисленное множество решений (поскольку для

однородной системы возможность отсутствия решений исключена). Таким

образом, однородная система имеет нетривиальное решение в том и только

в том случае, когда определитель ее равен нулю.

1.3. Определители третьего порядка

Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из девяти элементов

Определителем третьего порядка , соответствующим матрице (3.10), называется число, равное:

и обозначаемое символом

Итак, по определению

Как и в случае определителя второго порядка, элементы матрицы (3.10) будем

называть элементами самого определителя . Кроме того, договоримся

называть диагональ, образованную элементами, и, главной , а диагональ,

образованную элементами, и - побочной .

Для запоминания конструкции слагаемых, входящих в выражение для

определителя (3.11), укажем следующее правило, не требующее большого

напряжения внимания и памяти. Для этого к матрице, из которой составлен

определитель, допишем справа еще раз первый, а затем второй столбец. В

полученной при этом матрице

сплошной чертой соединены три тройки членов, получаемые параллельным

переносом главной диагонали и отвечающие трем слагаемым, входящим в

выражение (3.11) со знаком «плюс»; пунктирной же чертой соединены три

другие тройки членов, получаемые параллельным переносом побочной

диагонали и отвечающие трем слагаемым, входящим в выражение (3.11) со

знаком «минус».

1.4. Свойства определителей

Свойство 1 . Величина определителя не изменится, если строки и

столбцы этого определителя поменять ролями, т.е.

Для доказательства этого свойства достаточно расписать определители,

стоящие в левой и правой частях (3.13), по указанному в разд. 1.3 правилу и

убедиться в равенстве полученных при этом членов.

Свойство 1 устанавливает полную равноправность строк и столбцов. Поэтому

все дальнейшие свойства определителя можно формулировать и для строк, и

для столбцов, а доказывать - или только для строк, или только для столбцов.

Свойство 2 . Перестановка двух строк (или двух столбцов)

определителя равносильна умножению его на число -1.

Доказательство также получается из правила, указанного в предыдущем

Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковые строки (или два

одинаковых столбца), то он равен нулю .

Действительно, при перестановке двух одинаковых строк, с одной

стороны, определитель не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2

он изменит знак на противоположный. Таким образом, = -, т.е. 2 = 0 или = 0.

Свойство 4. Умножение всех элементов некоторой строки (или

некоторого столбца) определителя на число равносильно умножению

определителя на это число.

Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки

(или некоторого столбца) определителя можно выносить за знак этого

определителя.

Например,

Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что

определитель выражается в виде суммы (3.12), каждый член которой

содержит один и только один, элемент из каждой строки и один и только

один элемент из каждого столбца.

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (или некоторого

столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Это свойство вытекает из предыдущего (при = 0).

Свойство 6. Если элементы двух строк (или двух столбцов)

определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

В самом деле, в силу свойства 4 множитель пропорциональности можно

вынести за знак определителя, после чего остается определитель с двумя

одинаковыми строками, равный нулю согласно свойству 3.

Свойство 7. Если каждый элемент п-й строки (или п-го столбца)

определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель

может быть представлен в виде суммы двух определителей, первый из

которых имеет в п-й строке (или в п-м столбце) первые из упомянутых

слагаемых и те же элементы, что и исходный определитель, в остальных

строках (столбцах), а второй определитель имеет в п-й строке (в п-м

столбце) вторые из упомянутых слагаемых и те же элементы, что и

исходный определитель, в остальных строках (столбцах).

Например,

Для доказательства этого свойства снова достаточно заметить, что

определитель выражается в виде суммы слагаемых, каждое из которых

содержит один и только один элемент из каждой строки и один и только один

элемент из каждого столбца.

Свойство 8. Если к элементам некоторой строки (или некоторого

столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой

строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель, то

величина определителя не изменится .

Действительно, полученный в результате указанного прибавления

определитель можно (в силу свойства 7) разбить на сумму двух

определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй равен

нулю вследствие пропорциональности элементов двух строк (или столбцов) и

свойства 6.

1.5. Алгебраические дополнения и миноры

Соберем в выражении (3.12) для определителя члены, содержащие

какой-нибудь один элемент этого определителя, и вынесем указанный элемент

за скобки; величина, остающаяся при этом в скобках, называется

алгебраическим дополнением указанного элемента.

Алгебраическое дополнение данного элемента мы будем обозначать

прописной латинской буквой того же наименования, что и данный элемент, и

снабжать тем же номером, который имеет данный элемент. Например,

алгебраическое дополнение элемента будем обозначать через алгебраическое

дополнение элемента - через и т. д.

Непосредственно из выражения для определителя (3.12) и из того, что

каждое слагаемое в правой части (3.12) содержит один и только один элемент

из каждой строки (из каждого столбца), вытекают следующие равенства:

Эти равенства выражают следующее свойство определителя:

определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки

(какого-либо столбца) на соответствующие алгебраические дополнения

элементов этой строки (этого столбца).

Равенства (3.14) принято называть разложением определителя по

элементам соответственно первой, второй или третьей строки, а равенства

(3.15) - разложением определителя по элементам соответственно первого,

второго или третьего столбца.

Введем теперь важное понятие минора данного элемента определителя

Минором данного элемента определителя n-го порядка (в нашем случае n = 3)

называется определитель (n-1)-го порядка, получаемый из данного

определителя путем вычеркивания той строки и того столбца, на пересечении

которых стоит данный элемент.

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется

минору этого элемента, взятому со таком «плюс», если сумма номеров

строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, есть

число четное, и со знаком «минус» - в противном случае.

Таким образом, соответствующие алгебраическое дополнение и минор

могут отличаться только знаком.

Следующая таблица дает наглядное представление о том, каким знаком

связаны соответствующие алгебраическое дополнение и минор:

Установленное правило позволяет в формулах (3.14) и (3.15) разложения

определителя по элементам строк и столбцов всюду вместо алгебраических

дополнений писать соответствующие миноры (с нужным знаком).

Так, например, первая из формул (3.14), дающая разложение

определителя по элементам первой строки, принимает вид

В заключение установим следующее фундаментальное свойство

определителя.

Свойство 9. Сумма произведений элементов какого-либо столбца

определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов

этого {другого) столбца равна величине этого определителя (равна нулю).

Конечно, аналогичное свойство справедливо и в применении к строкам

определителя. Случай, когда алгебраические дополнения и элементы

отвечают одному и тому же столбцу, уже рассмотрен выше. Остается доказать,

что сумма произведений элементов какого-либо столбца на соответствующие

алгебраические дополнения элементов другого столбца равна нулю.

Докажем, например, что сумма произведений элементов первого или

третьего столбца равна нулю.

Будем исходить из третьей формулы (3.15), дающей разложение

определителя по элементам третьего столбца:

Так как алгебраические дополнения, и элементов третьего столбца не

зависят от самих элементов, и этого столбца, то в равенстве (3.17) числа, и

можно заменить произвольными числами, и, сохраняя при этом в левой

части (3.17) первые два столбца определителя, а в правой части - величины,

и алгебраических дополнений.

Таким образом, при любых , и справедливо равенство:

Беря теперь в равенстве (3.18) в качестве, и сначала элементы, и

первого столбца, а затем элементы, и второго столбца и учитывая, что

определитель с двумя совпадающими столбцами в силу свойства 3 равен

нулю, мы придем к следующим равенствам:

Тем самым доказано, что сумма произведений элементов первого или

второго столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов

третьего столбца равна нулю: Аналогично доказываются равенства:

и соответствующие равенства, относящиеся не к столбцам, а к строкам:

2. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными 2.1. Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными с

определителем, отличным от нуля.

В качестве приложения изложенной выше теории рассмотрим систему

трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

(коэффициенты, , и свободные члены, считаются заданными).

Тройка чисел, называется решением системы (3.19), если подстановка этих

чисел на место, в систему (3.19) обращает все три уравнения (3.19) в

тождества.

Фундаментальную роль в дальнейшем будут играть следующие четыре

определителя:

Определитель принято называть определителем системы (3.19) (он

составлен из коэффициентов при неизвестных). Определители, и

получаются из определителя системы посредством замены свободными

членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.

Для исключения из системы (3.19) неизвестных и умножим уравнения

(3.19) соответственно на алгебраические дополнения, элементов первого

столбца определителя системы, и после этого сложим полученные при этом

уравнения. В результате получим:

Учитывая, что сумма произведений элементов данного столбца

определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов

этого (другого) столбца равна определителю (нулю) (см. свойство 9),

0, ++= 0.

Кроме того, посредством разложения определителя по элементам первого столбца получается формула:

С помощью формул (3.21) и (3.22) равенство (3.20) перепишется в

следующем (не содержащем неизвестных и) виде:

Совершенно аналогично выводятся из системы (3.19) равенства = и

Таким образом, мы установили, что система уравнений = , = , =

является следствием исходной системы (3.19).

В дальнейшем мы отдельно рассмотрим два случая:

1) когда определитель системы отличен от нуля ,

2) когда этот определитель равен нулю .

Итак, пусть 0. Тогда из системы (3.23) мы сразу получаем формулы для неизвестных, называемые формулами Крамера :

Полученные нами формулы Крамера дают решение системы (3.23) и

потому доказывают единственность решения исходной системы (3.19), ибо

система (3.23) является следствием системы (3.19), и всякое решение системы

(3.19) обязано быть решением и системы (3.23).

Итак, мы доказали, что если у исходной системы (3.19) существует при

0 решение, то это решение однозначно определяется формулами Крамера

Чтобы доказать, что решение в самом деле существует, мы должны

подставить в исходную систему (3.19) на место х, у и z их значения,

определяемые формулами Крамера (3.24), и убедиться в том, что все три

уравнения (3.19) обращаются при этом в тождества. Убедимся, например, что

первое уравнение (3.19) обращается в тождество при подстановке значений х,

у и z, определяемых формулами Крамера (3.24). Учитывая, что

получим, подставив в левую часть первого из уравнений (2.19) значения, и,

определяемые формулами Крамера:

Группируя внутри фигурной скобки члены относительно A, А2 и Л3,

получим, что:

В силу свойства 9 в последнем равенстве обе квадратные скобки равны

нулю, а круглая скобка равна определителю. Таким образом, мы получим ++

И обращение в тождество первого уравнения системы (3.19) установлено.

Аналогично устанавливается обращение в тождество второго и третьего

уравнений (3.19).

Мы приходим к следующему выводу: если определитель системы (3.19)

отличен от нуля, то существует, и притом единственное, решение этой

системы, определяемое формулами Крамера (3.24).

2.2. Однородная система двух линейных уравнений с тремя неизвестными

В этом и в разделе мы разовьем аппарат, необходимый для рассмотрения неоднородной системы (3.19) с определителем, равным нулю. Сначала рассмотрим однородную систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными:

Если все три определителя второго порядка, которые можно

составить из матрицы

равны нулю , то в силу утверждения из разд. 1.1 коэффициенты первого из

уравнений (3.25) пропорциональны соответствующим коэффициентам

второго из этих уравнений. Стало быть, в этом случае второе уравнение (3.25)

является следствием первого, и его можно отбросить. Но одно уравнение с

тремя неизвестными ++= 0, естественно, имеет бесчисленное множество

решений (двум неизвестным можно предписывать произвольные значения, а

третье неизвестное определять из уравнения).

Рассмотрим теперь систему (3.25) для случая, когда хотя бы один из

определителей второго порядка, составленных из матрицы (3.26), отличен

от нуля. Не ограничивая общности, будем считать, что отличен от нуля

определитель

0 Тогда мы можем переписать систему (3.25) в виде

и утверждать, что для каждого z существует единственное решение этой

системы, определяемое формулами Крамера (см. разд. 1.2, формулы (3.8)):

третьей строки определителя:

В силу результатов разд. 1.5 о связи алгебраических дополнений и

миноров можно записать

Основываясь на (3.29), мы можем переписать формулы (3.28) в виде

Для того чтобы получить решение в виде, симметричном

относительно всех неизвестных х, у, и z, положим (отметим, что в силу (3.27)

определитель отличен от нуля). Поскольку z может принимать любые

значения, то и новая переменная t может принимать любые значения .

Мы приходим к выводу, что в случае, когда определитель (3.27) отличен от нуля, однородная система (3.25) имеет бесчисленное множество решений, определяемых формулами

в которых t принимает какие угодно значения, а алгебраические

дополнения, и определяются формулами (3.29).

2.3. Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Рассмотрим теперь однородную систему трех уравнений с тремя

неизвестными:

Очевидно, что эта система всегда имеет так называемое тривиальное

решение: х = 0, у = 0, z = 0.

В случае, когда определитель системы, это тривиальное решение

является единственным (в силу разд. 2.1).

Докажем, что в случае, когда определитель равен нулю, однородная

система (3.32) имеет бесчисленное множество решений.

Если все определители второго порядка, которые можно составить из

равны нулю, то в силу утверждения из разд. 1.1 соответствующие

коэффициенты всех трех уравнений (3.32) пропорциональны. Но тогда второе

и третье уравнения (3.32) являются следствиями первого и могут быть

отброшены, а одно уравнение ++= 0, как уже отмечалось в разд. 2.2, имеет

бесчисленное множество решений.

Остается рассмотреть случай, когда хотя бы один минор матрицы (3.33)

отличен от нуля. Так как порядок следования уравнений и неизвестных

находится в нашем распоряжении, то, не ограничивая общности, мы можем

разд. 2.2, система первых двух уравнений (3.32) имеет бесчисленное

множество решений, определяемых формулами (3.31) (при любом t).

Остается доказать, что х, у, z, определяемые формулами (3.31) (при

любом t, обращают в тождество и третье уравнение (3.32). Подставляя в

левую часть третьего уравнения (3.32) х, у и z, определяемые формулами

(3.31), получим

Мы воспользовались тем, что в силу свойства 9 выражение в круглых

скобках равно определителю системы (3.32). Но определитель по условию

равен нулю, и поэтому при любом t мы получим ++= 0.

Итак, доказано, что однородная система (3.32) с определителем А.

равным нулю, имеет бесчисленное множество решений . Если отличен от нуля

минор (3.27), то эти решения определяются формулами (3.31) при

произвольно взятом t.

Полученный результат можно сформулировать еще и так: однородная

система (3.32) имеет нетривиальное решение в том и только в том случае,

когда определитель ее равен нулю .

2.4. Неоднородная система трех линейных уравнений с тремя

неизвестными с определителем, равным нулю.

Теперь мы располагаем аппаратом для рассмотрения неоднородной

системы (3.19) с определителем, равным нулю. Могут представиться два

случая: а) хотя бы один из определителей, или - отличен от нуля; б) все три

определителя, и равны нулю.

В случае а) оказывается невозможным хотя бы одно из равенств (3.23),

т. е. система (3.23) не имеет решений, а поэтому не имеет решений и исходная

система (3.19) (следствием которой является система (3.23)).

Переходим к рассмотрению случая б), когда все четыре определителя , ,

и равны нулю. Начнем с примера, показывающего, что и в этом случае

система может не иметь ни одного решения. Рассмотрим систему:

Ясно, что эта система не имеет решений. В самом деле, если бы

решение, существовало, то из первых двух уравнений мы получили бы, а

отсюда, умножая первое равенство на 2, получили бы, что 2 = 3. Далее,

очевидно, что все четыре определителя , , и равны нулю. Действительно,

определитель системы

имеет три одинаковых столбца , определители, и получаются путем замены

одного из этих столбцов свободными членами и, стало быть, имеют по два

одинаковых столбца. В силу свойства 3 все эти определители равны нулю.

Докажем теперь, что если система (3.19) с определителем, равным

нулю, имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесчисленное множество

различных решений.

Предположим, что указанная система имеет решение, . Тогда

справедливы тождества

Вычитая почленно из уравнений (3.19) тождества (3.34), получим

систему уравнений

эквивалентную системе (3.19). Но система (3.35) является однородной

системой трех линейных уравнений относительно трех неизвестных, и с

определителем, равным нулю. Согласно разд. 2.3 последняя система (а стало

быть, и система (3.19)) имеет бесчисленное множество решений. Например, в

случае, когда отличен от нуля минор (3.27), мы с помощью формул (3.31)

получим следующее бесконечное множество решений системы (3.19):

(t принимает любые значения).

Сформулированное утверждение доказано, и мы можем сделать

следующее заключение: если = = = = 0, то неоднородная система уравнений

(3.19) либо совсем не имеет решений, либо имеет их бесконечное множество.

3. Понятие об определителях любого порядка и о линейных

системах с любым числом неизвестных Установленное нами свойство разложения определителя третьего

порядка до элементам любой (например, первой) строки может быть

положено в основу последовательного введения по индукции определителя

четвертого, пятого и всех последующих порядков.

Предположим, что нами уже введено понятие определителя порядка

(n-1), и рассмотрим произвольную квадратную матрицу состоящую из

элементов

Назовем минором любого элемента матрицы (3.36) уже введенный нами

определитель порядка (n-1), отвечающий матрице (3.36), у которой удалены i-

я строка и j-й столбец. Договоримся обозначать минор элемента символом.

Например, минор любого элемента первой строки матрицы (3.36)

является следующим определителем порядка (n-1):

Назовем определителем порядка n, отвечающим матрице (3.36), число,

равное сумме

и обозначаемое символом

= Заметим, что при n = 3 разложение (3.37) совпадает с разложением

(3.16) определителя третьего порядка по первой строке.

Рассмотрим теперь неоднородную систему n уравнений с n неизвестными:

Определитель порядка n, составленный из коэффициентов при

неизвестных системы (3.39) и совпадающий с определителем из равенства

(3.38), называется определителем этой системы При любом j, равном 1, 2, ...,

n, обозначим символом определитель порядка n, полученный из определителя

системы путем замены его j-го столбца столбцом свободных членов, ..., .

В полной аналогии со случаем n = 3 оказывается справедлив

следующий результат: если определитель неоднородной системы (3.39)

отличен от нуля, то эта система имеет единственное решение,

определяемое формулами Крамера :

хотя бы один из определителей, ..., отличен от нуля, то система (3.39) не

имеет решений .

В случае же, если n > 2 и все определители, ..., равны нулю, система

(3.39) может также не иметь решений, но если она имеет хотя бы одно

решение, то она имеет их бесчисленное множество.

4. Отыскание решения линейной системы методом Гаусса Рассмотрим неоднородную систему (3.39), в которой мы теперь для

сокращения записи переобозначим свободные члены, ..., используя для них

обозначение при i = 1, 2 ..., n. Изложим один из самых простых методов

решения этой системы, заключающийся в последовательном исключении

неизвестных и называемый методом Гаусса .

Выберем из коэффициентов при неизвестных коэффициент, отличный

от нуля, и назовем его ведущим. Не ограничивая общности, будем считать,

что таким коэффициентом является (иначе мы могли бы поменять порядок

следования неизвестных и уравнений).

Поделив все члены первою уравнения (3.39) на, получим первое приведенное уравнение

в котором при j = 1, 2, ..., (n+1).

Напомним, что, и, в частности, .

Для исключения неизвестного вычтем из i-го уравнения системы (3.39)

(i = 2, 3 ..., n)

умноженное на приведенное уравнение (3.40).

В результате получим для любого i = 2, 3, ..., n уравнение

в котором

при j = 2, 3, ..., (n+1).

Таким образом, мы получаем первую укороченную систему:

коэффициенты которой определяются по формулам (3.41).

В системе (3.42) находим отличный от нуля ведущий коэффициент.

Пусть это будет. Тогда, поделив первое уравнение (3.42) на этот

коэффициент, мы получим второе приведенное уравнение и, исключив с

помощью этого уравнения по описанной выше схеме неизвестное, придем ко

второй укороченной системе, не содержащей и.

Продолжая рассуждения по этой схеме, называемой прямым ходом

метода Гаусса , мы либо завершим ее реализацию, дойдя до линейного

уравнения, содержащего только одно неизвестное, либо не сможем завершить

ее реализацию (вследствие того, что исходная система (3.39) не имеет

решений). В случае, если исходная система (3.39) имеет решения, мы получим

цепочку приведенных уравнений

из которой обратным xодом метода Гаусса последовательно находятся

неизвестные

Подчеркнем, что все операции при обратном ходе метода Гаусса (1.43)

выполняются без деления,

В качестве примера рассмотрим неоднородную систему трех уравнений

с тремя неизвестными

Конечно, можно убедиться в том, что определитель системы (3.44)

отличен от нуля, и найти, и по формулам Крамера, но мы применим метод

Поделив первое уравнение системы (3.44) на 2, получим первое

приведенное уравнение:

Вычитая из второго уравнения системы (3.44) приведенное уравнение

(3.45), умноженное на 3, и вычитая из третьего уравнения системы (3.44)

приведенное уравнение (3.45), умноженное на 4, мы получим укороченную

систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Поделив первое уравнение (3.46) на, получим второе приведенное

уравнение:

Вычитая из второго уравнения (3.46) приведенное уравнение (3.47),

умноженное на 8, получим уравнение:

которое после сокращения на дает = 3.

Подставляя это значение во второе приведенное уравнение (3.47), получим,

что = -2. Наконец, подставляя найденные значения = -2 и = 3 в первое

приведенное уравнение (3.45), получим, что = 1.

ЛИТЕРАТУРА 1. Ильин В.А., Куркина А.В. – «Высшая математика», М.:ТК Велби, изд-во Проспект,

Лекция 1.1. Числовые матрицы и действия над ними.

Краткое содержание: Место линейной алгебры и аналитической геометрии в естествознании. Роль отечественных ученых в развитии этих наук. Понятие матрицы. Операции над матрицами и их свойства.

Таблица чисел вида называется прямоугольной матрицей размерности . Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами A, B, C, …Числа, из которых состоит таблица, называют элементами матрицы. Каждый элемент имеет два индекса и , обозначающие соответственно номер строки () и номер столбца(), в которых расположен данный элемент. Используются следующие обозначения матрицы .

Две матрицы называются равными , если они имеют одинаковую размерность (т.е. одинаковое число строк и столбцов) и если числа, стоящие на соответствующих местах этих матриц, равны.

Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, матрицу называют квадратной . В квадратной матрице число строк (или столбцов) называют порядком матрицы. В частности квадратная матрица первого порядка – это просто действительное число. Соответственно говорят, что вектор строка есть матрица размерности , а вектор-столбец имеет размерность .

Элементы, стоящие на главной диагонали квадратной матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол), называются диагональными .

Квадратная матрица все элементы которой не лежащие на главной диагонали равны 0 называется диагональной .

Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны 1, а все внедиагональные – 0, называется единичной и обозначается или , где n- ее порядок.

Основные операции над матрицами – сложение матриц и умножение матрицы на число.

Произведением матрицы А на число называется матрица той же размерности, что и матрица А, каждый элемент которой умножен на это число .

Например: ; .

Свойства операции умножения матрицы на число:

1. l(mА )=(lm)А (ассоциативность)

2. l(А +В )= lА +lВ (дистрибутивность относительно сложения матриц)

3. (l+m)А =)=lА +mА (дистрибутивность относительно сложения чисел)

Линейной комбинацией матриц А и В одинакового размера называется выражение вида: aА +bВ , где a,b - произвольные числа

Суммой матрицА и В (это действие применимо только к матрицам одинаковой размерности) называется матрица С такой же размерности, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В .

Свойства сложения матриц:

1)А +В =В +А (коммутативность)

2)(А +В )+С =А +(В +С )=А +В +С (ассоциативность)

Разностью матрицА и В (это действие применимо только к матрицам одинаковой размерности) называется матрица С такой же размерности, элементы которой равны разности соответствующих элементов матриц А и В .

Транспонирование . Если элементы каждой строки матрица размерности записать в том же порядке в столбцы новой матрицы, причем номер столбца будет равен номеру строки, то новую матрицу называют транспонированной по отношению к и обозначают . Размерность равна Переход от к называется транспонированием. Ясно так же, что . ,

Умножение матриц . Операция умножения матриц возможна лишь в том случае, если число столбцов первого множителя равны числу строк второго. В результате умножения получим матрицу, число строк которой совпадает с числом строк первого множителя, а число столбцов с числом столбцов второго:

Правило умножения матриц: чтобы получить элемент, стоящий в –й строке и –м столбце произведения двух матриц, нужно элементы –й строки первой матрицы умножить на элементы –го столбца второй матрицы и полученные произведения сложить. На математическом жаргоне иногда говорят: нужно –ую строку матрицы умножить на –й столбец матрицы . Ясно, что строка первой и столбец второй матрицы должны содержать одинаковое количество элементов.

В отличие от этих операций операция умножения матрицы на матрицу определяется более сложно. Пусть заданы две матрицы А и В , причем число столбцов первой из них равно числу строк второй: например, матрица А имеет размерность , а матрица В – размерность . Если

, , то матрица размерности

, где (i=1,…,m;j=1,…,k)

называется произведением матрицы А на матрицу В и обозначается АВ .

Свойства операции умножения матриц:

1. (АВ)С=А(ВС)=АВС (ассоциативность)

2. (А+В)С=АС+ВС (дистрибутивность)

3. А(В+С)=АВ+А (дистрибутивность)

4. Умножение матриц некоммутативно: АВ не равно ВА ., если равно, то эти матрицы называются перестановочными.

Элементарные преобразования над матрицами :

1. Перемена местами двух строк (столбцов)

2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля

3. Прибавление к элементам одной строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на какое либо число

Лекция 1.2. Определители с действительными коэффициентами. Нахождение обратной матрицы.

Краткое содержание: Определители и их свойства. Методы вычисления определителей с действительными коэффициентами. Нахождение обратной матрицы дляматриц третьего порядка.

Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы. Определитель – это число , которое находится по вполне определенным правилам и обозначается или det A .

Определитель матрицы второго порядка находится так: или

Определителем третьего порядка называется число:

Для запоминания этой громоздкой формулы существует «правило треугольников»:

Можно посчитать и другим методом ‑ методом разложения по строке или по столбцу. Введем некоторые определения:

Минором квадратной матрицы А называется определитель матрицы А , который получается вычеркиванием –й строки и –го столбца: например для минор - .

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, в которых расположен элемент, четна, и с обратным знаком, если сумма номеров нечетна: .

Тогда: Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца (строки) на их алгебраические дополнения.

ПР: Вычислим определитель: , разложив его по элементам первой строки.

Свойства определителей:

1.Определитель равен 0, если содержит две одинаковые строки (столбца) или нулевую строку (столбец).

2.Определитель меняет свой знак при перестановке двух строк (столбцов).

3.Общий множитель в строке (в столбце) можно выносить за знак определителя.

4.Определитель не меняется, если к строке (столбцу) прибавить любую другую строку (другой столбец), умноженную на произвольное число.

5.Определитель не меняется при транспонировании матрицы .

6.Определитель еденичной матрицы равен 1:

7.Определитель произведения матриц равен произведению определителей

Обратная матрица .

Квадратная матрица называется невырожденной , если ее определитель отличен от нуля.

Если при умножении квадратных матриц А и В в любом порядке получается единичная матрица (АВ=ВА=Е ), то матрица В называется обратной матрицей для матрицы А и обозначается , т.е. .

Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную .

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

Обратная матрица. Квадратная матрица наз невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае она называется вырожденной.

Матрица, обратная к матрице обозначается . Если обратная матрица существует, то она единственна и

Где – присоединенная (союзная), составленная из алгебраических дополнений j:

Тогда определитель обратной матрицы связан с определителем данной матрицы следующим соотношением: . В самом деле, , откуда и следует данное равенство.

Свойства обратной матрицы:

1. , где ‑ невырожденные квадратные матрицы одинакового порядка.

3. .

Лекция 1.3. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.методам Гаусса и средствами матричного исчисления.

Краткое содержание: Метод Крамера и метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. Матричный способ решения систем уравнений. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений. Однородные и неоднородные системы.

Система уравнений следующего вида:

(*) , где , ‑ коэффициенты, ‑ переменные, называется системой линейных уравнений. Решить систему линейных уравнений – это значит указать все решения системы, т.е. такие наборы значений переменных, которые обращают уравнения системы в тождества. Система линейных уравнений называется.

Сколько стоит написать твою работу?

Выберите тип работы Дипломная работа (бакалавр/специалист) Часть дипломной работы Магистерский диплом Курсовая с практикой Курсовая теория Реферат Эссе Контрольная работа Задачи Аттестационная работа (ВАР/ВКР) Бизнес-план Вопросы к экзамену Диплом МВА Дипломная работа (колледж/техникум) Другое Кейсы Лабораторная работа, РГР Он-лайн помощь Отчет о практике Поиск информации Презентация в PowerPoint Реферат для аспирантуры Сопроводительные материалы к диплому Статья Тест Чертежи далее »

КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ

Кафедра «Автоматизации управления войсками»

Только для преподавателей

"Утверждаю"

Начальник кафедры № 9

полковник ЯКОВЛЕВ А.Б.

«____»______________ 2004 г.

доцент А.И.СМИРНОВА

"ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ"

ЛЕКЦИЯ № 2 / 1

Обсуждено на заседании кафедры № 9

«____»___________ 2004г.

Протокол № ___________

Кострома, 2004.

Введение

Определители второго и третьего порядка.

Свойства определителей. Теорема разложения.

Теорема Крамера.

Заключение

Литература

В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики, том I, гл. 2, п.1.

В.С. Щипачев, Высшая математика, гл.10, п.2.

ВВЕДЕНИЕ

На лекции рассматриваются определители второго и третьего порядков, их свойства. А также теорема Крамера, позволяющая решать системы линейных уравнений с помощью определителей. Определители используются также в дальнейшем в теме "Векторная алгебра" при вычислении векторного произведения векторов.

1-ый учебный вопрос ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО

ПОРЯДКА

Рассмотрим таблицу из четырех чисел вида

Числа в таблице обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Определителем второго порядка называют выражениевида:

(1)

Числа а11, …, а22 называют э л е м е т а м и определителя.

Диагональ, образованная элементами а11; а22 называется г л а в н ой, а диагональ, образованная элементами а12; а21 - п о б о ч н ой.

Таким образом, определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Заметим, что в ответе получается число.

ПРИМЕРЫ. Вычислить:

Рассмотрим теперь таблицу из девяти чисел, записанных в три строки и три столбца:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Определителем третьего порядка называется выражение вида:

Элементы а11; а22; а33 – образуют главную диагональ.

Числа а13; а22; а31 – образуют побочную диагональ.

Изобразим, схематически, как образуются слагаемые с плюсом и с минусом:

" + " " – "

С плюсом входят: произведение элементов на главной диагонали, остальные два слагаемых являются произведением элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали.

Слагаемые с минусом образуются по той же схеме относительно побочной диагонали.

Это правило вычисления определителя третьего порядка называют

п р а в и л о м т р е у г о л ь н и к о в.

ПРИМЕРЫ. Вычислить по правилу треугольников:

ЗАМЕЧАНИЕ. Определители называют также д е т е р м и н а н т а м и.

2-ой учебный вопрос СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.

ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ

Свойство 1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.

Раскрывая оба определителя, убеждаемся в справедливости равенства.

Свойство 1 устанавливает равноправность строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать и для строк и для столбцов.

Свойство 2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменяет знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину.

Свойство 3. Общий множитель элементов строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.

Свойство 4. Если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю.

Это свойство можно доказать непосредственной проверкой, а можно использовать свойство 2.

Обозначим определитель за D. При перестановке двух одинаковых первой и второй строк он не изменится, а по второму свойству он должен поменять знак, т.е.

D = - D Ю 2 D = 0 Ю D = 0.

Свойство 5. Если все элементы какой–то строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Это свойство можно рассматривать как частный случай свойства 3 при

Свойство 6. Если элементы двух строк (или столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Можно доказать непосредственной проверкой или с использованием свойств 3 и 4.

Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.

Доказывается непосредственной проверкой.

Применение указанных свойств может в ряде случаев облегчить процесс вычисления определителей, особенно третьего порядка.

Для дальнейшего нам понадобится понятия минора и алгебраического дополнения. Рассмотрим эти понятия для определения третьего порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Минором данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Минор элемента аi j обозначается Мi j . Так для элемента а11 минор

Он получается, если в определителе третьего порядка вычеркнуть первую строку и первый столбец.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Алгебраическим дополнением элемента определителя называют его минор, умноженный на (-1)k , где k - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Алгебраическое дополнение элемента аi j обозначается Аi j.

Таким образом, Аi j = .

Выпишем алгебраические дополнения для элементов а11 и а12.

Полезно запомнить правило: алгебраическое дополнение элемента определителя равно его минору со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четная, и со знаком минус, если эта сумма нечетная.

ПРИМЕР. Найти миноры и алгебраические дополнения для элементов первой строки определителя:

Ясно, что миноры и алгебраические дополнения могут отличаться только знаком.

Рассмотрим без доказательства важную теорему – теорему разложения определителя.

ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Используя эту теорему, запишем разложение определителя третьего порядка по первой строке.

В развернутом виде:

Последнюю формулу можно использовать как основную при вычислении определителя третьего порядка.

Теорема разложения позволяет свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению трех определителей второго порядка.

Теорема разложения дает второй способ вычисления определителей третьего порядка.

ПРИМЕРЫ. Вычислить определитель, используя теорему разложения.

использовали разложения по второй строке.

Теорема разложения позволяет также вычислять определители более высокого порядка, сводя их к вычислению нескольких определителей третьего или второго порядка.

Так, определитель четвертого порядка можно свести к вычислению четырех определителей третьего порядка.

3-ий учебный вопрос ТЕОРЕМА КРАМЕРА

Применим рассмотренную теорию определителей к решению систем линейных уравнений.

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

(3)

Здесь х1, х2 – неизвестные;

а11, …, а22 – коэффициенты при неизвестных, занумерованные двумя индексами, где первый индекс означает номер уравнения, а второй индекс – номер неизвестного.

b1, b2 – свободные члены.

Напомним, что под решением системы (3) понимается пара значений х1, х2, которые при подстановке в оба уравнения обращают их в верные равенства.

В случае, когда система имеет единственное решение, это решение можно найти с помощью определителей второго порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5 . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.

Обозначим определитель системы D.

В столбцах определителя D стоят коэффициенты соответственно при х1 и при, х2.

Введем два д о п о л н и т е л ь н ы х о п р е д е л и т е л я, которые получаются из определителя системы заменой одного из столбцов столбцом свободных членов:

Рассмотрим без доказательства следующую теорему:

ТЕОРЕМА КРАМЕРА (для случая n = 2)

Если определитель D системы (3) отличен от нуля (D № 0), то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

(4)

Формулы (4) называются формулами Крамера.

ПРИМЕР. Решить систему по правилу Крамера.

Ответ: х1 = 3; х2 = -1

2. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

(5)

В случае единственного решения систему (5) можно решить с помощью определителей третьего порядка.

Определитель системы D имеет вид:

Введем три дополнительных определителя:

Аналогично формулируется теорема.

ТЕОРЕМА КРАМЕРА (для случая n = 3)

Если определитель D системы (5) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

Формулы (6) – это формулы Крамера.

ЗАМЕЧАНИЕ. Г. Крамер (1704 – 1752) – швейцарский математик.

Заметим, что теорема Крамера применима, когда число уравнений равно числу неизвестных и когда определитель системы D отличен от нуля.

Если определитель системы равен нулю, то в этом случае система может либо не иметь решений, либо иметь бесчисленное множество решений. Эти случаи исследуются особо, с ними можно подробно познакомиться в рекомендуемой литературе.

Отметим только один случай:

Если определитель системы равен нулю (D = 0), а хотя бы один из дополнительных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет (т.е. является несовместной).

Теорему Крамера можно обобщать для системы n линейных уравнений с n неизвестными.

Если , то единственное решение системы находится по

формулам Крамера:

Дополнительный определитель получается из определителя D, если в нем столбец коэффициентов при неизвестном

xi заменить столбцом свободных членов.

Заметим, что определители D, D1, … , Dn имеют порядок n.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На лекции рассмотрена новое понятие – определитель, подробно рассмотрены определители второго и третьего порядков, часто встречающиеся на практике. Для определителя третьего порядка приводятся два способа вычисления. Рассмотрена теорема Крамера, которая дает практический способ решения систем линейных уравнений, для случая, когда решение единственное. Более подробно с этой темой можно познакомиться в рекомендуемой литературе.

Похожие рефераты:

Правила произведения матрицы и вектора, нахождения обратной матрицы и ее определителя. Элементарные преобразования матрицы: умножение на число, прибавление, перестановка и удаление строк, транспонирование. Решение системы уравнений методом Гаусса.

В настоящем реферате рассмотрены определители второго и третьего порядка, приведены примеры решения систем уравнений методом определителей.

Определение алгебраического дополнения элемента определителя, матрицы, ее размера и видов. Неоднородная система линейных алгебраических уравнений. Решение системы уравнений методом Крамера. Скалярные и векторные величины, их примеры, разложение вектора.

Ответ:.Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Формулы Крамера для нахождения неизвестных:

Найти значения и возможно только при условии, если

Этот вывод следует из следующей теоремы.

Теорема Крамера. Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):
9.операции над множествами. диаграммы Вьена.

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):

Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):

Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):

11.отображения (функция), область определения, образы множеств при отображении, множество значений функции и её график.

Ответ: Отображением множества E в множество F, или функцией, определенной на E со значениями в F, называется правило, или закон f, который каждому элементу ставит в соответствие определенный элемент .

Элемент называют независимым элементом, или аргументом функции f, элемент называют значением функции f, илиобразом; при этом элемент называется прообразом элемента .

Отображение (функцию) обычно обозначают буквой f или символом , указывая тем самым, что f отображает множество E в F. Употребляется также обозначение , указывающее, что элементу x соответствует элемент f(x). Иногда функцию удобно задавать посредством равенства, в котором содержится закон соответствия. Например, можно говорить, что "функция f определена равенством ". Если "y" - общее наименование элементов множества F, т. е. F = {y}, то отображение записывают в виде равенстваy = f(x) и говорят, что это отображение задано явно.

2. Образ и прообраз множества при заданном отображении

Пусть задано отображение и множество .

Множество элементов из F, каждый из которых является образом хотя бы одного элемента из D при отображении f, называется образоммножества D и обозначается f(D).

Очевидно, .

Пусть теперь задано множество .

Множество элементов таких, что , называется прообразом множества Y при отображении f и обозначается f -1 (Y).

Если , то . Если при каждом множество f -1 (y) состоит не более чем из одного элемента , то f называетсявзаимно однозначным отображением E в F. Впрочем, можно определить взаимно однозначное отображение f множества E на F.

Отображение называется:

Инъективным (или инъекцией, или взаимно однозначным отображением множества E в F), если , или если уравнение f(x) = y имеет не более одного решения;

Сюръективным (или сюръекцией, или отображением множества E на F), если f(E) = F и если уравнение f(x) = y имеет по крайней мере одно решение;

Биективным (или биекцией, или взаимно однозначным отображением множества E на F), если оно инъективно и сюръективно, или если уравнение f(x) = y имеет одно и только одно решение.

3. Суперпозиция отображений. Обратное, параметрическое и неявное отображения

1) Пусть и . Поскольку , то отображение g каждому элементу относит определенный элемент .

Таким образом, каждому посредством правила поставлен в соответствие элемент

Тем самым определено новое отображение (или новая функция), которое назовем композицией отображений, или суперпозицией отображений, или сложным отображением.

2) Пусть - биективное отображение и F = {y}. В силу биективности f каждому соответствует единичный образ x, который обозначим через f -1 (y), и такой, что f(x) = y. Таким образом, определено отображение , которое называется обратным отображению f, или обратной функцией функции f.

Очевидно, отображение f обратно отображению f -1 . Поэтому отображения f и f -1 называют взаимно обратными. Для них справедливы соотношения

причем хотя бы одно из этих отображений, например , биективно. Тогда существует обратное отображение , а значит, .

Определенное таким образом отображение называется заданным параметрически с помощью отображений ; причем переменная из называется параметром.

4) Пусть на множестве определено отображение , где множество содержит нулевой элемент. Предположим, что существуют множества такие, что при каждом фиксированном уравнение имеет единственное решение . Тогда на множестве E можно определить отображение , ставящее каждому в соответствие то значение , которое при указанном x является решением уравнения .

Относительно так определенного отображения

говорят, что оно задано неявно посредством уравнения .

5) Отображение называется продолжением отображения , а g - сужением отображения f, если и .

Сужение отображения на множество иногда обозначают символом .

6) Графиком отображения называется множество

Ясно, что .

12. монотонные функции. Обратная функция, теорема существования. Функции y=arcsinx y=arcos x х свойства и графики.

Ответ: Моното́нная фу́нкция - это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю то функция называется стро́го моното́нной.

Пусть имеется функция f(x) определенная на отрезке , значения которой принадлежат некоторому отрезку . Если

то говорят, что на отрезке определена функция, обратная к функции f(x) и обозначают это так:x=f (-1) (y).

Обратите внимание на отличие этого определения от определения заполненности отрезка сплошь. В определении f (-1) (…) стоит квантор, т.е. значение х, обеспечивающее равенство y=f(x), должно быть единственным, в то время как в определении заполненности отрезка сплошь стоит квантор, что говорит о том, что может быть несколько значений х, удовлетворяющих равенству y=f(x).

Обычно, говоря об обратной функции, заменяют х на у а y на x(x «y) и пишут y=f (-1) (x). Очевидно, что исходная функция f(x) и обратная функция f (-1) (x) удовлетворяют соотношению

f (-1) (f(x))=f(f (-1) (x))=x.

Графики исходной и обратной функции получаются друг из друга зеркальным отображением относительно биссектрисы первого квадранта.

Теорема. Пусть функция f(x) определена, непрерывна и строго монотонно возрастает (убывает) на отрезке . Тогда на отрезке определена обратная функция f (-1) (x), которая также непрерывна и строго монотонно возрастает (убывает).

Доказательство.

Докажем теорему для случая, когда f(x) строго монотонно возрастает.

1. Существование обратной функции.

Так как по условию теоремы f(x) непрерывна, то, согласно предыдущей теореме, отрезок заполнен сплошь. Это означает, что.

Докажем, что х единственно. Действительно, если взять х’>x, то будет f(x’)>f(x)=y и поэтому f(x’)>y. Если взять х’’

2. Монотонность обратной функции.

Сделаем обычную замены x «y и будем писать y= f (-1) (x). Это значит, что x=f(y).

Пусть x 1 >x 2 . Тогда:

y 1 = f (-1) (x 1); x 1 =f(y 1)

y 2 = f (-1) (x 2); x 2 =f(y 2)

Какое же соотношение между y 1 и y 2 ? Проверим возможные варианты.

а) y 1 x 2 .

б) y 1 =y 2 ? Но тогда f(y 1)=f(y 2) и x 1 =x 2 , а у нас было x 1 >x 2 .

в) Остается единственный вариант y 1 >y 2 , т.е. Но тогда f (-1) (x 1)>f (-1) (x 2), а это и означает, что f (-1) (…) строго монотонно возрастает.

3. Непрерывность обратной функции.

Т.к. значения обратной функции заполняют сплошь отрезок , то по предыдущей теоремеf (-1) (…) непрерывна. <

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0);">

y = arcsin x	y = arccos x
функция обратная функции y = sin x, - / 2 x / 2	функция обратная функции y = cos x, 0 x

<="" a="" style="color: rgb(0, 0, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

y = arctg x	y = arcctg x
функция обратная функции y = tg x, - / 2 < x < / 2	функция обратная функции y = ctg x, 0 < x <

13.композиция функций. Элементарные функции. Функции y=arctg x , y = arcctg x, их свойства и графики.

Ответ: В математике компози́ция фу́нкций (суперпози́ция фу́нкций) - это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций G и F обычно обозначается G∘F, что обозначает применение функции G к результату функции F.

Пусть F:X→Y и G:F(X)⊂Y→Z две функции. Тогда их композицией называется функция G∘F:X→Z, определённая равенством:

(G∘F)(x)=G(F(x)),x∈X.

Элементарные функции - функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций :

алгебраические:

степенная;
рациональная.

трансцендентные:

показательная и логарифмическая;
тригонометрические и обратные тригонометрические.

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.

y > 0 при x R ЭКСТРЕМУМЫ: нет нет ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ: возрастает при x R убывает при x R

Нахождение определителя из системы уравнений. Определители и системы линейных уравнений

1) 2)3)4).

1.2. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера

Сколько стоит написать твою работу?

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .