Моделирование пуассоновского процесса.

Описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью.

Вероятностные свойства потока Пуассона полностью характеризуются функцией Λ(А) , равной приращению в интервале А некоторой убывающей функции. Чаще всего поток Пуассона имеет мгновенное значение параметра λ(t) - функцию, в точках непрерывности которой вероятность события потока в интервале равна λ(t)dt . Если А - отрезок , то

Λ (A) = ∫ a b λ (t) d t {\displaystyle \Lambda (A)=\int \limits _{a}^{b}\lambda (t)\,dt}

Поток Пуассона, для которого λ(t) равна постоянной λ , называется простейшим потоком с параметром λ .

Потоки Пуассона определяются для многомерного и вообще любого абстрактного пространства, в котором можно ввести меру Λ(А) . Стационарный поток Пуассона в многомерном пространстве характеризуется пространственной плотностью λ . При этом Λ(А) равна объему области А , умноженному на λ .

Классификация

Различают два вида процессов Пуассона: простой (или просто: процесс Пуассона) и сложный (обобщённый).

Простой процесс Пуассона

Пусть λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} . Случайный процесс { X t } t ≥ 0 {\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}} называется однородным Пуассоновским процессом с интенсивностью λ {\displaystyle \lambda } , если

Сложный (обобщённый) пуассоновский процесс

Обозначим через S k {\displaystyle S_{k}} сумму первых k элементов введённой последовательности.

Тогда определим сложный Пуассоновский процесс { Y t } {\displaystyle \{Y_{t}\}} как S N (t) {\displaystyle S_{N(t)}} .

Свойства

Пуассоновский процесс принимает только неотрицательные целые значения, и более того

P (X t = k) = λ k t k k ! e − λ t , k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \mathbb {P} (X_{t}=k)={\frac {\lambda ^{k}t^{k}}{k!}}e^{-\lambda t},\quad k=0,1,2,\ldots } .

Траектории процесса Пуассона - кусочно-постоянные, неубывающие функции со скачками равными единице почти наверное. Более точно

P (X t + h − X t = 0) = 1 − λ h + o (h) {\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=0)=1-\lambda h+o(h)} P (X t + h − X t = 1) = λ h + o (h) {\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=1)=\lambda h+o(h)} P (X t + h − X t > 1) = o (h) {\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}>1)=o(h)} при h → 0 {\displaystyle h\to 0} ,

где o (h) {\displaystyle o(h)} обозначает «о малое» .

Критерий

Для того чтобы некоторый случайный процесс { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} с непрерывным временем был пуассоновским (простым, однородным) или тождественно нулевым достаточно выполнение следующих условий:

Информационные свойства

Зависит ли T {\displaystyle T} от предыдущей части траектории?
P ({ T > t + s ∣ T > s }) {\displaystyle \mathbb {P} (\{T>t+s\mid T>s\})} - ?

Пусть u (t) = P (T > t) {\displaystyle u(t)=\mathbb {P} (T>t)} .

U (t ∣ s) = P (T > t + s ∩ T > s) P (T > s) = P (T > t + s) P (T > s) {\displaystyle u(t\mid s)={\frac {\mathbb {P} (T>t+s\cap T>s)}{\mathbb {P} (T>s)}}={\frac {\mathbb {P} (T>t+s)}{\mathbb {P} (T>s)}}}
u (t ∣ s) u (s) = u (t + s) {\displaystyle u(t\mid s)u(s)=u(t+s)}
u (t ∣ s) = s (t) ⇔ u (t) = e − α t {\displaystyle u(t\mid s)=s(t)\Leftrightarrow u(t)=e^{-\alpha t}} .
Распределение длин промежутков времени между скачка́ми обладает свойством отсутствия памяти ⇔ оно показательно .

X (b) − X (a) = n {\displaystyle X(b)-X(a)=n} - число скачков на отрезке [ a , b ] {\displaystyle } .
Условное распределение моментов скачков τ 1 , … , τ n ∣ X (b) − X (a) = n {\displaystyle \tau _{1},\dots ,\tau _{n}\mid X(b)-X(a)=n} совпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины n {\displaystyle n} из R [ a , b ] {\displaystyle R} .

Плотность этого распределения f τ 1 , … , τ n (t) = n ! (b − a) n I (t j ∈ [ a , b ] ∀ j = 1 , n ¯) {\displaystyle f_{\tau _{1},\dots ,\tau _{n}}(t)={\frac {n!}{(b-a)^{n}}}\mathbb {I} (t_{j}\in \ \forall j={\overline {1,n}})}

ЦПТ

Теорема.

P (X (t) − λ t λ t < x) ⇉ x λ t → ∞ Φ (x) ∼ N (0 , 1) = 1 2 π ∫ − ∞ x e − u 2 2 d u {\displaystyle \mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}}

Скорость сходимости:
sup x | P (X (t) − λ t λ t < x) − Φ (x) | ⩽ C 0 λ t {\displaystyle \sup \limits _{x}{\biggl |}\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}},
где C 0 {\displaystyle C_{0}} - константа Берри-Эссеена .

Применение

Поток Пуассона служит для моделирования различных реальных потоков: несчастных случаев, потока заряженных частиц из космоса, отказов оборудования и других. Так же возможно применение для анализа финансовых механизмов, таких как поток платежей и других реальных потоков. Для построения моделей различных систем обслуживания и анализа их пригодности.

Использование потоков Пуассона значительно упрощает решение задач систем массового обслуживания , связанных с расчетом их эффективности. Но необоснованная замена реального потока потоком Пуассона там, где это недопустимо, приводит к грубым просчетам.

Описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью.

$\Lambda(A)=\int\limits_{a}^{b} \lambda(t)\, dt$

Поток Пуассона, для которого λ(t) равна постоянной λ , называется простейшим потоком с параметром λ .

Классификация

Различают два вида процессов Пуассона: простой (или просто: процесс Пуассона) и сложный (обобщённый).

Простой процесс Пуассона

Пусть $\lambda > 0$ . Случайный процесс $\{X_t\}_{t \ge 0}$ называется однородным Пуассоновским процессом с интенсивностью $\lambda$ , если

$X_0 = 0$ почти наверное .
$\{X_t\}$ - процесс с независимыми приращениями .
$X_t - X_s \sim \ \mathrm{P}(\lambda(t-s))$ для любых $0 \le s < t < \infty$ , где $\mathrm{P}(\lambda(t-s))$ обозначает распределение Пуассона с параметром $\lambda(t-s)$ .

Сложный (обобщённый) Пуассоновский процесс

Пусть $\xi_1 , ..., \xi_n$ последовательность взаимно независимых одинаково распределённых случайных величин.
Пусть $N(t)$ - простой пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$ , не зависящий от последовательности $\xi_1 , ..., \xi_n$ .

Обозначим через $S_k$ сумму первых k элементов введённой последовательности.

Тогда определим сложный Пуассоновский процесс $\{Y_t\}$ как $S_{N(t)}$ .

Свойства

Пуассоновский процесс принимает только неотрицательные целые значения, и более того

\mathbb{P}(X_t = k) = \frac{\lambda^k t^k}{k!} e^{-\lambda t}, \quad k = 0,1,2,\ldots

Траектории процесса Пуассона - кусочно-постоянные, неубывающие функции со скачками равными единице почти наверное. Более точно

\mathbb{P}(X_{t+h} - X_t = 0) = 1-\lambda h + o(h)

\mathbb{P}(X_{t+h} - X_t = 1) = \lambda h + o(h)

\mathbb{P}(X_{t+h} - X_t > 1) = o(h)

при

h \to 0

где $o(h)$ обозначает «о малое» .

Критерий

Для того чтобы некоторый случайный процесс $\{X_t\}$ с непрерывным временем был Пуассоновским (простым, однородным) или тождественно нулевым достаточно выполнение следующих условий:

$X_0 = 0$ .
Процесс имеет независимые приращения.
Процесс однородный.
Процесс принимает целые неотрицательные значения.
$P\{X_h \geq 2\} = o(h)$ при $h \searrow 0$ .

Информационные свойства

Пусть $\tau_1,\dots,\tau_n$ - моменты скачков процесса Пуассона. $T= \tau_j- \tau_{j-1}$ .

Зависит ли $T$ от предыдущей части траектории?
$\mathbb P(\{T>t+s \mid T>s\})$ - ?

Пусть $u(t)= \mathbb P(T>t)$ .

$u(t\mid s)=\frac{ \mathbb P(T>t+s\cap T>s)}{ \mathbb P(T>s)}=\frac{\mathbb P(T>t+s)}{\mathbb P(T>s)}$
$u(t\mid s)u(s)=u(t+s)$
$u(t\mid s)=s(t) \Leftrightarrow u(t)=e^{-\alpha t}$ .
Распределение длин промежутков времени между скачка́ми обладает свойством отсутствия памяти ⇔ оно показательно .

Рассмотрим отрезок на временно́й оси.

$X(b)-X(a)=n$ - число скачков на отрезке .
Условное распределение моментов скачков $\tau_1,\dots,\tau_n\mid X(b)-X(a)=n$ совпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины $n$ из $R$ .

Плотность этого распределения $f_{\tau_1,\dots,\tau_n}(t)=\frac{n!}{(b-a)^n}\mathbb{I}(t_j\in\ \forall j=\overline{1,n})$

ЦПТ

Теорема.

$\mathbb P\biggl(\frac{X(t)-\lambda t}{\sqrt{ \lambda t}}< x\biggr)\underset{\lambda t\to\infty}{\overset x\rightrightarrows}\Phi(x)\sim N(0,1)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{u^2}2}du$

Скорость сходимости:
$\sup\limits_x\biggl|\mathbb P \biggl(\frac{X(t)-\lambda t}{\sqrt{\lambda t}}< x \biggr)-\Phi(x)\biggr| \leqslant\frac{C_0}{\sqrt{ \lambda t}}$ ,
где $C_0$ - константа Берри-Эссеена .

Применение

Напишите отзыв о статье "Процесс Пуассона"

Литература

Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. - М .: Мир, 1986. - 528 с.
ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. - М .: Высшая школа, 1990. - 376 с.
Кингман Дж. Пуассоновские процессы. - М .: МЦНМО, 2007. - 136 с.

Примечания

См. также

Отрывок, характеризующий Процесс Пуассона

«Боже мой! что ж это такое? – думал Ростов. – И здесь, где всякую минуту государь может увидать их… Но нет, это, верно, только несколько мерзавцев. Это пройдет, это не то, это не может быть, – думал он. – Только поскорее, поскорее проехать их!»
Мысль о поражении и бегстве не могла притти в голову Ростову. Хотя он и видел французские орудия и войска именно на Праценской горе, на той самой, где ему велено было отыскивать главнокомандующего, он не мог и не хотел верить этому.

Около деревни Праца Ростову велено было искать Кутузова и государя. Но здесь не только не было их, но не было ни одного начальника, а были разнородные толпы расстроенных войск.
Он погонял уставшую уже лошадь, чтобы скорее проехать эти толпы, но чем дальше он подвигался, тем толпы становились расстроеннее. По большой дороге, на которую он выехал, толпились коляски, экипажи всех сортов, русские и австрийские солдаты, всех родов войск, раненые и нераненые. Всё это гудело и смешанно копошилось под мрачный звук летавших ядер с французских батарей, поставленных на Праценских высотах.
– Где государь? где Кутузов? – спрашивал Ростов у всех, кого мог остановить, и ни от кого не мог получить ответа.
Наконец, ухватив за воротник солдата, он заставил его ответить себе.
– Э! брат! Уж давно все там, вперед удрали! – сказал Ростову солдат, смеясь чему то и вырываясь.
Оставив этого солдата, который, очевидно, был пьян, Ростов остановил лошадь денщика или берейтора важного лица и стал расспрашивать его. Денщик объявил Ростову, что государя с час тому назад провезли во весь дух в карете по этой самой дороге, и что государь опасно ранен.
– Не может быть, – сказал Ростов, – верно, другой кто.
– Сам я видел, – сказал денщик с самоуверенной усмешкой. – Уж мне то пора знать государя: кажется, сколько раз в Петербурге вот так то видал. Бледный, пребледный в карете сидит. Четверню вороных как припустит, батюшки мои, мимо нас прогремел: пора, кажется, и царских лошадей и Илью Иваныча знать; кажется, с другим как с царем Илья кучер не ездит.
Ростов пустил его лошадь и хотел ехать дальше. Шедший мимо раненый офицер обратился к нему.
– Да вам кого нужно? – спросил офицер. – Главнокомандующего? Так убит ядром, в грудь убит при нашем полку.
– Не убит, ранен, – поправил другой офицер.
– Да кто? Кутузов? – спросил Ростов.
– Не Кутузов, а как бишь его, – ну, да всё одно, живых не много осталось. Вон туда ступайте, вон к той деревне, там всё начальство собралось, – сказал этот офицер, указывая на деревню Гостиерадек, и прошел мимо.
Ростов ехал шагом, не зная, зачем и к кому он теперь поедет. Государь ранен, сражение проиграно. Нельзя было не верить этому теперь. Ростов ехал по тому направлению, которое ему указали и по которому виднелись вдалеке башня и церковь. Куда ему было торопиться? Что ему было теперь говорить государю или Кутузову, ежели бы даже они и были живы и не ранены?
– Этой дорогой, ваше благородие, поезжайте, а тут прямо убьют, – закричал ему солдат. – Тут убьют!
– О! что говоришь! сказал другой. – Куда он поедет? Тут ближе.
Ростов задумался и поехал именно по тому направлению, где ему говорили, что убьют.
«Теперь всё равно: уж ежели государь ранен, неужели мне беречь себя?» думал он. Он въехал в то пространство, на котором более всего погибло людей, бегущих с Працена. Французы еще не занимали этого места, а русские, те, которые были живы или ранены, давно оставили его. На поле, как копны на хорошей пашне, лежало человек десять, пятнадцать убитых, раненых на каждой десятине места. Раненые сползались по два, по три вместе, и слышались неприятные, иногда притворные, как казалось Ростову, их крики и стоны. Ростов пустил лошадь рысью, чтобы не видать всех этих страдающих людей, и ему стало страшно. Он боялся не за свою жизнь, а за то мужество, которое ему нужно было и которое, он знал, не выдержит вида этих несчастных.
Французы, переставшие стрелять по этому, усеянному мертвыми и ранеными, полю, потому что уже никого на нем живого не было, увидав едущего по нем адъютанта, навели на него орудие и бросили несколько ядер. Чувство этих свистящих, страшных звуков и окружающие мертвецы слились для Ростова в одно впечатление ужаса и сожаления к себе. Ему вспомнилось последнее письмо матери. «Что бы она почувствовала, – подумал он, – коль бы она видела меня теперь здесь, на этом поле и с направленными на меня орудиями».
В деревне Гостиерадеке были хотя и спутанные, но в большем порядке русские войска, шедшие прочь с поля сражения. Сюда уже не доставали французские ядра, и звуки стрельбы казались далекими. Здесь все уже ясно видели и говорили, что сражение проиграно. К кому ни обращался Ростов, никто не мог сказать ему, ни где был государь, ни где был Кутузов. Одни говорили, что слух о ране государя справедлив, другие говорили, что нет, и объясняли этот ложный распространившийся слух тем, что, действительно, в карете государя проскакал назад с поля сражения бледный и испуганный обер гофмаршал граф Толстой, выехавший с другими в свите императора на поле сражения. Один офицер сказал Ростову, что за деревней, налево, он видел кого то из высшего начальства, и Ростов поехал туда, уже не надеясь найти кого нибудь, но для того только, чтобы перед самим собою очистить свою совесть. Проехав версты три и миновав последние русские войска, около огорода, окопанного канавой, Ростов увидал двух стоявших против канавы всадников. Один, с белым султаном на шляпе, показался почему то знакомым Ростову; другой, незнакомый всадник, на прекрасной рыжей лошади (лошадь эта показалась знакомою Ростову) подъехал к канаве, толкнул лошадь шпорами и, выпустив поводья, легко перепрыгнул через канаву огорода. Только земля осыпалась с насыпи от задних копыт лошади. Круто повернув лошадь, он опять назад перепрыгнул канаву и почтительно обратился к всаднику с белым султаном, очевидно, предлагая ему сделать то же. Всадник, которого фигура показалась знакома Ростову и почему то невольно приковала к себе его внимание, сделал отрицательный жест головой и рукой, и по этому жесту Ростов мгновенно узнал своего оплакиваемого, обожаемого государя.

Перевод

Введение

Одним из важнейших процессов, наблюдаемых в природе, является пуассоновский точечный процесс. Поэтому важно понять, как такие процессы можно моделировать. Методы моделирования различаются в зависимости от типа пуассоновского точечного процесса, т. е. пространства, в котором протекает процесс и однородности или неоднородности процесса. Мы не будем заинтересованы развитием пуассоновского точечного потока или с важными приложениями его в различных областях. Чтобы этот материал показался интересным, читателю настоятельно рекомендуется прочитать соответствующие разделы в Феллере (1965) и Синларе (1975) для основной теории и некоторые разделы в Триведи (1982) для приложений в ИТ.

На первом шаге мы определим пуассоновский процесс на = T
UNTIL Ложь (это бесконечный цикл; по желанию можно добавить критерий остановки)

Этот алгоритм просто реализовать, поскольку нет нужды генерировать пуассоновские случайные величины. Для других простых множеств A, существуют тривиальные обобщения теоремы 1.2. Например, когда A=x, где t может равняться бесконечности, 0 < T1 < T2 <… - равномерный пуассоновский процесс с интенсивностью λ и U1,U2,… - последовательность независимых одинаково распределённых равномерно на случайных величин, то (T1,U1),(T2,U2),… определяют пуассоновский процесс с интенсивностью λ на А.

Пример 1.1.

Равномерный пуассоновский процесс на единичной окружности
Если A - окружность с единичным радиусом, то разные свойства равномерного пуассоновского процесса можно использовать, чтобы получить несколько методов генерации (которые обобщаются на d-мерные сферы). Пусть λ - желаемая интенсивность.
Во-первых, мы просто могли бы сгенерировать случайную пуассоновскую величину N с параметром λπ, а затем вернуть последовательность N независимых одинаково распределённых равномерно на единично окружности векторов. Если мы применим метод порядковых статистик, предлагаемый теоремой 1.2, то пуассоновская случайная величина получается неявно. Например, перейдя в полярные координаты (R,φ) заметим, что для равномерного пуассоновского процесса R и φ независимы, и случайная величина R имеет плотность 2r, r меняется от 0 до 1, а φ равномерно распределена на . Таким образом, мы можем поступить следующим образом: Сгенерировать равномерный пуассоновский процесс 0 < φ1 < φ2 <… < φN с параметром интенсивности λ/(2π) на экспоненциальным методом и вернуть (φ1,R1),...,(φN,RN), где Ri - независимые одинаково распределённые случайные величины с плотностью 2r на , которые можно сгенерировать, взяв максимум из двух независимых равномерно распределённых на случайных величин. Особой причины применять эспоненциальный метод к углам нет. Таким же образом мы могли подобрать и радиусы. К сожалению, порядковые радиусы не формируют одномерный равномерный пуассоновский процесс на . Однако, тем не менее они образуют неоднородный пуассоновский процесс, и генерация таких процессов будет рассмотрена в следующем разделе.

Неоднородные пуассоновские процессы

Бывают такие ситуации, когда события происходят в «случайные моменты времени», но некоторые моменты более возможны, чем другие. Это случай прибытий в центры интенсивной терапии, предложений работ в компьютерных центрах и травмы игроков НХЛ. Для этих случаев очень хорошей моделью является модель неоднородного пуассоновского процесса, определённого здесь ради удобства на = T
UNTIL False

Пример 1.2. Однородный пуассоновский процесс

Для особого случая λ(t)=λ, Λ(t)=λt несложно видеть, что InvΛ(E+Λ(T))=T+E/λ, в результате чего мы снова получаем экспоненциальный метод.

Пример 1.3.

Для моделирования утреннего потока автомобилей перед часом пик, мы иногда можем взять λ(t)=t, тогда Λ(t)=t^2/2 и получим шаг

Если функцию интенсивности можно представить в виде суммы функций интенсивности, т. е. ,

0 < T i1 < T i2 <… T in - независимые реализации отдельных неоднородных пуассоновских процессов, то объединённая упорядоченная последовательность образует реализацию неоднородного пуассоновского процесса с функкцией интенсивности λ(t). Это относится к методу композиции, но разница теперь состоит в том, что нам нужны реализации всех компонентов процесса. Декомпозицию можно использовать, когда существует естественное разложение, продиктованное аналитической формой λ(t). Поскольку основная операция в слиянии процессов - взять минимальное значение из n процессов, для больших n преимущество может предоставить хранение моментов времени в куче из n элементов.

В итоге получим метод композиции:

Сгенерировать T,...,T для n пуассоновских процессов и хранить эти значения вместе с индексами соответствующих процессов в таблице
T = 0 (текущее время)
k = 0
REPEAT
Найти минимальный элемент T в таблице и удалить его
k = k + 1
T[k] = T
Сгенерировать T и вставить в таблицу
UNTIL False

Третий общий принцип - это принцип утоньшения (Льюис и Шедлер, 1979). Аналогично тому, что происходит в методе отклонения, предполагаем, что существует лёгкая доминирующая функция интенсивности λ(t) <= μ(t) для любого t.

Тогда идея состоит в том, чтобы сгенерировать однородный Пуассоновский процесс на части положительной полуплоскости между 0 и μ(t), затем рассмотреть однородный пуассоновский процесс под λ и, наконец, вернуть x-компоненты событий в этом процессе. Это требует следующей теоремы.

Теперь рассмотрим метод утоньшения Льюиса и Шедлера:

T = 0
k = 0
REPEAT
Сгенерировать Z, первое событие в неоднородном пуассоновском процессе с функцией интенсивности μ, который происходит после момента времени T. Присвоить T = Z
Сгенерировать равномерно распределённую на случайную величину U
IF U <= λ(Z)/μ(Z)
THEN k = k + 1, X[k] = T
UNTIL False

Утверждается, что последовательность X k так сгенерированная образует неоднородный пуассоновский процесс с функцией интенсивности λ. Заметим, что мы взяли неоднородный процесс 0 < Y1 < Y2 <… с функцией интенсивности μ и убрали некоторые точки. Насколько мы знаем, (Y i ,U i μ(Y i) - однородный пуассоновский процесс с единичной интенсивностью на кривой, если U i независимые одинаково распределённые равномерно на случайные величины в силу теоремы 1.3. Таким образом, подпоследовательность на кривой λ определяет однородный пуассоновский процесс с единичной интенсивностью на этой кривой (часть 3. теоремы 1.3). Наконец, взятие x-координат только этой подпоследовательности даёт нам неоднородный пуассоновский процесс с функцией интенсивности λ.
Неоднородный пуассоноский процесс с функцией интенсивности μ обычно моделируют методом инверсии.

Пример 1.4. Функция с циклической интенсивностью

Следующий пример также принадлежит Льюису и Шедлеру (1979). Рассмотрим функцию с циклической интенсивностью λ(t)= λ(1+cos(t)) с очевидным выбором доминирующей функции μ=2λ.

Тогда алгоритм моделирования примет вид:

T = 0
k = 0
REPEAT
Сгенерировать экспоненциальную случайную величину E c параметром 1
T = T + E/(2λ)
Сгенерировать равномерную на случайную величину U
IF U <= (1+cos(T))/2
THEN k = k + 1, X[k] = T
UNTIL False

Нет нужды говорить о том, что можно использовать здесь теорему о двух милиционерах, чтобы избежать вычисления косинуса в большинстве случаев.

Заключительное слово об эффективности алгоритма, когда моделируется неоднородный пуассоновский процесс на множестве . Среднее число событий, которое необходимо от доминирующего процесса, равно в то время, как среднее число возвращённых случайных величин равно
Отношение средних величин может быть рассмотрено как объективная мера эффективности, сравнимая в духе константы отклонения в стандартном методе отклонения. Заметим, что мы не можем использовать среднюю величину отношения, поскольку она, в общем случае, была бы равна бесконечности в силу положительной вероятности того, что ни одна величина не возвратится.

Пусть в предприятие сервиса через случайные интервалы времени обращаются клиенты, при этом поток заказов однороден (однотипные заказы) и в единицу времени обращается X клиентов. Вероятность прихода клиента не зависит от числа уже обратившихся клиентов, вероятность того, что одновременно обратятся сразу два клиента, мала. Кроме того, число обратившихся клиентов зависит от рассматриваемого интервала времени и не зависит от начала рассмотрения.

Тогда модель математически можно описать следующим образом. Пусть р к (х) означает вероятность прибытия к клиентов в интервале времени длительностью х, p 0 (t ) - вероятность того, что за время (0, /) не будет ни одного клиента, что, согласно (14.2), соответствует вероятности того, что интервал времени до прибытия первого клиента больше, чем t.

Рис. 14.2.

1. Если ijH т2 два неперекрывающихся интервала (рис. 14.2), то предположение о независимости имеет вид:

2. Среднее значение времени между прибытиями клиентов равно

3. Вероятность того, что клиент не придет в течение интервала времени нулевой длительности,

4. Вероятность того, что клиент не придет в течение интервала времени бесконечной длительности,

Такой поток заказов считается простейшим. Поток заказов называется простейшим, или пуассоновским, если он обладает тремя свойствами: стационарен, ординарен и без последействия.

Свойство стационарности к событий потока на любом интервале времени т зависит только от числа к и длительности т.

Свойство ординарности характеризуется тем, что вероятность появления более одного события за малый интервал времени пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного события.

Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления к событий потока на любом интервале времени т не зависит от того, появились или не появились события в моменты, предшествующие началу рассматриваемого интервала.

Пуассоновский поток играет фундаментальную роль в теории систем массового обслуживания, как нормальный процесс в статистике. Большинство других процессов, используемых в системах массового обслуживания, получаются путем модификации пуассоновского.

Рис. 14.3.

Часто на практике трудно установить, обладает ли поток перечисленными выше свойствами. В частности, установлено, что если поток представляет собой сумму (суперпозицию) очень большого числа независимых стационарных потоков, влияние каждого из которых на весь суммарный поток ничтожно мало, то этот суммарный поток при условии его ординарности близок к простейшему. На рис. 14.3 показан пример образования суммарного потока. Указанное свойство сродни центральной предельной теореме нормального распределения.

Рис. 14.4.

Случайный процесс N(t), описывающий такой поток и соответствующий числу прибывших клиентов, является дискретным и в случайные моменты времени может принимать только целочисленные значения. Процесс нестационарный, так как может только возрастать. Реализация процесса показана на рис. 14.4.

В течение малого интервала времени процесс может остаться в том же состоянии или изменить его (увеличить число клиентов на единицу). Другими словами, процесс из состояния Sj может перейти только в состояние $ ,. Пусть вероятность изменения состояния в малом интервале времени dx равна A,dx+o(dx), где А>0. Вероятность сохранения прежнего состояния l-^dx + o(dx). Так как поток ординарен, вероятность смены состояния более одного раза в интервале (/, t+ dx) есть бесконечно малая величина o(dx) высшего порядка по сравнению с dx.

Обозначим вероятность того, что N(t) = n, как р п (х), где x - t-t 0 - интересующий нас интервал времени, т.е. процесс за время х совершил п скачков. Пусть р п (х) зависит только от х и не зависит от начального момента t 0 , от которого отсчитывается х. Поэтому, несмотря на то что процесс нестационарный, случайное число появления запросов на сервис N(t) = п за интервал времени х = t-t Q является постоянной (стационарной) величиной.

Предположим также, что N(t ) не зависит от числа реализаций события, произошедших в любые интервалы времени, предшествующие т, т.е. процесс обладает свойством отсутствия последействия. Вычислим вероятность p n (x + dx) того, что в интервале (x+dx) произойдет п событий.

Очевидно, для того чтобы в интервале (х+dx) произошло п событий, должны совершиться два взаимоисключающих события:

О произошло п событий в интервале х и 0 событий в интервале dx. Вероятность этого в силу независимости равна р п (т)(1 - Xdx);

О произошло п - 1 событий в интервале т и 1 событие в интервале dx. Вероятность этого равна р { (x)A.dx.

Таким образом,

Перенесем в левую часть р п (х) и поделим на dx:

Перейдя к пределу при dx -? 0, получим дифференциальное уравнение:

Рассчитаем вероятность /? 0 (х)того, что на интервале (x+dx) событие не наступит ни разу. Ясно, что для этого событие не должно наступить в интервале х и в интервале dx. Вероятность этого равна /? 0 (х)(1-Ых).

Таким образом,

Соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид:

Объединив (14.12) и (14.13) и положив начало рассмотрения процесса с момента^ = 0, а х = t, получим систему дифференциальных уравнений:

Зададимся следующими начальными условиями:

которые означают, что в начальный момент t 0 событие не произошло.

Как видно, уравнения (14.14) и (14.15) являются частным случаем уравнений Колмогорова-Чепмена в дифференциальной форме (13.11) для абсолютных вероятностей и описанный процесс является марковским.

Для нахождения общего решения системы удобно использо-

вать преобразование Лапласа. Пусть p{i) Применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения (14.14) системы с учетом начальных условий (14.16), получаем

По теореме о начальном состоянии оригинала

По теореме о конечном состоянии оригинала

Полученные характеристики соответствуют рассматриваемой модели.

Обратное преобразование Лапласа (14.17) будет

Применяя преобразование Лапласа к обеим частям (14.15) с учетом начальных условий (14.16), получаем

Согласно (14.17) и (14.18),

По таблице преобразований Лапласа

Используя (14.20), из (14.19) получаем распределение Пуассона

которое дает вероятность того, что в момент t > 0 система находится в состоянии N(f) = п или что за время произойдет п изменений.

Рис. 14.5. Независимые пуассоновские процессы Хт { и Хх 2

Таким образом, число событий внутри фиксированного интервала в пуассоновском потоке распределено по закону Пуассона. При этом число событий N(t { ,t 2) и N{t 3 ,t 4) на неперекрываю- щихся интервалахT t = t 2 -1 { и т 2 = t 4 -1 3 , где t { независимы (рис. 14.5).

На рис. 14.6 показаны плотности вероятности прибытия 0,1,2, 3, 4 клиентов при поступлении их по пуассоновскому закону для интенсивностей X = 0,5 (рис. 14.6, а) и X = 1 (рис. 14.6, б). Как видно, с ростом интенсивности повышается вероятность прибытия клиентов в первые моменты времени.

Вероятность того, что за время t поступит не более п заказов, определяется функцией распределения

Рис. 14.6. Плотность вероятности Пуассона при X = 0,5 (а) и А. = 1 (б) 1-р(0У, 2-р{) 3-р(2У, 4-р(3);5-р(4)

Согласно (11.41), производящая функция для распределения Пуассона (14.21) по дискретному значению п

(14.23)

Математическое ожидание числа прибывших клиентов, распределенных по Пуассону, в соответствии с (11.43)

Таким образом, среднее число событий N(t) в интервале / равно U.

Дисперсия, характеризующая рассеивание числа заказов в интервале /, согласно (11.44),

Как видно, дисперсия простейшего потока равна математическому ожиданию. Данное свойство может служить критерием соответствия потока заказов простейшему.

Формула Пуассона (14.21) отражает все свойства простейшего потока. В самом деле, из формулы видно, что вероятность появления п событий за время t при заданной интенсивности А, является функцией только /, что характеризует свойство стационарности. В формуле не используется информация о появлении событий до начала рассматриваемого промежутка, что характеризует свойство отсутствия последействия. Если и т 2 два неперекрывающихся интервала времени, то свойство независимости имеет место, так как

Вероятность появления более одного события за малый интервал времени р (/) = (А,/) 2 /2!. Эта вероятность пренебрежимо мала

по сравнению с вероятностью наступления одного события, равной АЛ, что характеризует свойство ординарности потока.

Найдем далее для пуассоновского процесса распределение вероятностей интервалов между двумя последовательными событиями. Пусть случайная величина Т характеризует длину этих интервалов. Обозначим через F{x) функцию распределения этой случайной величины. По определению, F(x) - это вероятность того, что Т Вероятность того, что в интервале времени не произошло событие, если оно произошло в момент t 0 , равна безусловной вероятности

т.е.

Следовательно, функция распределения длины интервала между двумя последовательными событиями имеет вид показательного закона:

Продифференцировав (14.25), получим соответствующую плотность вероятности интервала между двумя событиями:

С учетом (14.26) и (14.24) вероятность того, что заказ появится внутри интервала (x,T+dx), можно записать как

т.е. вероятность поступления заказа внутри интервала (x,T + dx) равна A,dx, не зависит от х и пропорциональна dx. Величина X называется параметром показательного закона. Поскольку X не зависит от длительности интервала х, экспоненциальное распределение не имеет памяти и не имеет возраста (см. рис. 10.7).

Таким образом, для простейшего потока с интенсивностью X случайная величина Т, представляющая интервал между соседними заказами (событиями), имеет экспоненциальное распределение с функцией распределения (14.25) и плотностью распределения (14.26). Если время между прибытиями клиентов имеет экспоненциальное распределение со средним значением Т, тогда случайная переменная N(t), представляющая число клиентов, прибывших в фиксированный интервал , имеет пуассоновское распределение с параметром Xt, где Х=/Т. В силу марковости процесса интервалы между событиями взаимно независимы. Отсюда процесс, у которого интервалы между событиями взаимно независимы и подчинены показательному закону, является пуассоновским процессом.

В соответствии с разностными уравнениями (14.11) можно изобразить граф пуассоновского процесса (рис. 14.7). Вершины графа обозначают состояния системы, которые для пуассоновского потока клиентов соответствуют числу поступивших клиентов. Над дугами показаны вероятности перехода.

Рис. 14.7.

При большом промежутке времени вероятность перехода в соседнее состояние стремится к единице, а вероятность остаться в том же состоянии - к нулю и граф на рис. 14.7 преобразуется в граф на рис. 14.8. Над дугами графа показана интенсивность, с которой осуществляются переходы. Время нахождения процесса в состоянии случайно и распределено по экспоненциальному закону с математическим ожиданием /Х. В среднем через время 1Д система переходит в следующее состояние, что соответствует поступлению очередного клиента. Так как процесс ординарен, переход возможен только в соседние состояния. Передаточная функция дуги соответствует преобразованию Лапласа экспоненциального распределения (10.47).

Аннотация: Пуассоновский процесс - самый важный точечный процесс. Позже мы поймем, что его роль среди точечных процессов столь же фундаментальна, как роль нормального распределения среди статистических распределений. Результатом сложения случайных переменных с помощью Центральной предельной теоремы является нормальное распределение. Подобным способом мы получаем экспоненциальное распределение при совмещении стохастических точечных процессов. Большинство других прикладных точечных процессов являются обобщением или модификацией Пуассоновского процесса. Этот процесс дает удивительно хорошее описание многих реальных процессов жизни. Чем сложнее процесс, тем лучше Пуассоновский процесс будет служить для него общей моделью. Пуассоновский процесс имеет широкое практическое применение, поэтому мы изучим его подробно в этой лекции. Сначала (секция 6.2) поговорим о физической модели. При этом главное внимание будет уделено распределениям, связанным с процессом, а затем мы рассмотрим некоторые важные свойства Пуассоновского процесса (секция 6.3). Наконец, в секции 6.4 рассмотрим прерванный Пуассоновский процесс, как пример обобщения.

Характеристики Пуассоновского процесса

Фундаментальные свойства Пуассоновского процесса определены в секции 5.2:

а. стационарность;

б. независимость (отсутствие последействия) во все моменты времени (периоды), и

в. простота (ординарность).

(б) и (в) - фундаментальные свойства, тогда как (а) не является необходимым. Таким образом, можно допустить, что Пуассоновский процесс может иметь интенсивность, зависящую от времени поступления. Из этих свойств можно получить другие свойства, которые являются достаточными, чтобы определить Пуассоновский процесс. Два самых важных:

В этом случае, используя (4.8) и (4.10) равенство Феллера- Дженсена (5.4), можно показать фундаментальное отношение между кумулятивным (накопленным) Пуассоновским распределением и распределением Эрланга:

(6.1)

Эта формула может также быть получена повторным интегрированием по частям.

Распределения Пуассоновского процесса

В этой секции мы поговорим о динамическом и физическом представлении Пуассоновского процесса (1928 и Дженсен, 1954 ). Дифференцирования основаны на простой физической модели и концентрируются на распределениях вероятности, связанных с Пуассоновским процессом.

Физическая модель получается следующим способом. События (поступление) помещены наугад на реальной оси времени независимо от всех других событий, т.е. мы помещаем события однородно и независимо на реальных осях времени.

Средняя плотность выбрана как события (поступление) в единицу времени. Если рассматривать ось как ось времени, то в среднем мы будем иметь поступлений в единицу времени.

Вероятность , что данное поступление заявки возникает в пределах временного интервала, не зависит от местоположения интервала на оси времени.

Рис. 6.1.

В Пуассоновском процессе мы рассматриваем поступление заявки в пределах двух не перекрывающихся временных интервалов продолжительностью и соответственно.

Пусть обозначают вероятность , что событий возникают в пределах временного интервала продолжительностью .

Математическая формулировка вышеупомянутой модели следующая.

Экспоненциальное распределение

Следующий существенный шаг в развитии Пуассоновского распределения - получение вероятности , которая является вероятностью непоступления заявки в пределах временного интервала длины , то есть вероятности, что первое поступление заявки произойдет позже, чем . Мы покажем, что - экспоненциальное распределение (сравните с результатом секции 4.1).

Из (6.2) мы имеем:

(6.6)

Обозначая , (6.6) может быть записано как:

(6.7)

Дифференцируя, например, по , мы имеем

Заметим, что должна быть константой, и поэтому

(6.8)

Подставляя (6.8) в (6.7), мы получаем . Тогда имеет форму

Из (6.3) мы получаем :

Таким образом, на основе пункта (1) и (2) выше мы показали, что:

Вероятность, что следующее появление заявки в пределах интервала может быть записана, как:

(6.13)

то есть вероятность, что заявка поступит в пределах интервала , равна , независимо om пропорционально (3.17).

Поскольку независима от величины (возраста ) , экспоненциальное распределение не имеет памяти (сравните секции 4.1 и 3.1.2). Процесс не имеет возраста .

Параметр называется интенсивностью или скоростью экспоненциального распределения и соответствующего Пуассоновского процесса, и это соответствует интенсивности в (5.6). Экспоненциальное распределение - вообще очень хорошая модель для интервалов поступления вызовов, когда нагрузка генерируется автоматически, а не вручную (рис.6.2).

Рис. 6.2.

Теоретические значения получены при условии экспоненциально распределенных времен интервалов. Согласно принципу измерения (метод сканирования) непрерывное экспоненциальное распределение преобразовано в дискретное распределение Вестберга (Westerberg) (15.14) (критерий - = 18,86 с 19 степенями свободы, квантиль = 53)

Распределение Эрланга k-ого порядка

Из приведенного выше можно заметить, что время поступления точно событий определяется суммой IID (independently and identically distributed - независимо и тождественно распределенных) экспоненциально распределенных случайных переменных.

Распределение этой суммы - распределение Эрланга k - ого порядка (секция 4.2), и плотность равна:

(6.14)

Для мы получаем экспоненциальное распределение. Распределение , получено свертыванием и . Если мы принимаем, что выражение (6.14) правильно для , тогда получаем свертыванием :

Так как выражение справедливо при , согласно приведенной выше индукции мы имеем, что это справедливо для любого .

Распределение Эрланга -ого порядка со статистической точки зрения - это специальное гамма-распределение .

Средняя величина и дисперсия получаются из (6.12):

(6.15)

Пример 6.2.1: статистика вызова в системе с программным управлением (сравните с Примером 5.1.2)

Пусть вызовы поступают в систему с программным управлением, например, на программно управляемую телефонную станцию (