Решение стохастических дифференциальных уравнений. Анализ явных численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений

Ерешко Арт. Ф.,

Вычислительный центр им. РАН,

Свентокшиская Академия в Кельцах, Польша

АНАЛИЗ ЯВНЫХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

РЕШЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассматриваются основные принципы построения численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений (СДУ). Анализируется проблема жесткости систем СДУ. Для одномерного СДУ Ито сравнивается точность аппроксимации существующих явных численных методов.

1. Введение

Анализ и синтез стохастических динамических систем часто связан с использованием численного решения СДУ. Для ряда задач таких, как фильтрация, идентификация, прогнозирование и оптимальное управление, интегрирование численного решения СДУ должно выполняться в реальном времени и, кроме того, с определенной точностью и устойчивостью. В связи с этим возникает ряд проблем. С одной стороны, очень не многие СДУ имеют аналитические решения (в основном это – линейные СДУ с аддитивным или мультипликативным шумом или нелинейные СДУ, сводимые к линейным ), а с другой – физические особенности реальных динамических систем приводят к проявлению жесткости, что неудовлетворительно влияет на получаемое численное решение. Поэтому особо важным этапов при проектировании стохастической динамической системы является выбор схемы численного решения СДУ.

2. Принципы построения численных методов решения

стохастических дифференциальных уравнений

В настоящее время существует несколько подходов создания численных схем решения СДУ. Одной из возможностей является адаптация существующих для обыкновенных дифференциальных схем (ОДУ) схем с учетом свойств стохастических интегралов, другой – разработка специальных методов решения СДУ . Большинство исследователей использует первый подход, поскольку теория численного решения ОДУ хорошо разработана и достаточно легко можно провести аналогии между ОДУ и СДУ.

Самым простым методом аппроксимации численного решения СДУ (с вычислительной точки зрения) является метод Эйлера, разработанный Маруямой в 1955г . Эта схема удовлетворяет многим необходимым свойствам, предъявляемым к численным методам (она имеет порядок сходимости ), но в тоже время обладает рядом ограничений (не всегда устойчива, ошибка аппроксимации достаточно высока и т. п.). Для устранения этих недостатков, а также повышения порядка сходимости численных схем решения СДУ были проведены и до сих пор ведутся исследования, направления которых можно представить в виде схемы (см. рис. 1).

По аналогии с разработкой схем численного решения ОДУ для повышения порядка сходимости, точности аппроксимации и устойчивости можно использовать разложение в ряд в точке аппроксимации, т. е. использования производных различных порядков, как переменной, так и коэффициентов дрейфа и диффузии . В литературе этот подход получил название метода Тейлора . Однако недостатком схем Тейлора является то, что на каждом шаге аппроксимации требуется вычислять кратные стохастические интегралы, связанные с вышеуказанными производными. Для того, чтобы избежать вычислительные трудности можно использовать многократное деление шага аппроксимации (методы Рунге-Кутта ) или результаты аппроксимации предыдущих шагов (многошаговые методы ).

Как обыкновенные, так и стохастические системы дифференциальных уравнений, описывающие многие физические, биологические или экономические явления, при компьютерном моделировании с использованием обычных численных схем демонстрируют «нежелательное» поведение и могут быть отнесены к классу некорректных задач. В большинстве случаев под «нежелательным» поведением понимается очень высокая нестабильность численного решения, связанная с так называемым явлением жесткости. Существует несколько возможных объяснений этого явления.

Первая причина ассоциируется с техническими возможностями компьютера. Так для достижения желаемой точности можно применить многократное деление шага интегрирования. С одной стороны, это приводит к накоплению ошибки округления, и как следствие, возникает переполнение регистров компьютера. С другой стороны использование очень малых значений шага интегрирования требует огромных ресурсов времени и также приводит к накоплению ошибки округления. Вторая причина связана с физической стороной рассматриваемой системы. Это означает, что система описывает процессы различных скоростей или градиентов (прежде всего это характерно для некорректных задач). Такое явление обычно выступает в задачах пограничного слоя (гидродинамика), скин-эффекта (электромагнетизм), реакции химической кинетики и т. п. Наконец, жесткость может быть вызвана обеими причинами. Поэтому при разработке стабильных численных методов требуется учитывать вышеуказанные ситуации.

Анализ современной литературы показал, что создание численных методов решения жестких систем в большинстве случаев основано на идеях, представленных Хайрером и Ваннером . В своей работе они постулировали, что жесткие системы не могут быть решены явными методами, и представили подходы, основанные только на использовании неявных методов. Однако следует отметить, что непосредственное применение этих методов всегда связано с крайне сложной процедурой определения параметров схемы, основанной на заранее выделенной области устойчивости только для рассматриваемой системы. Это обстоятельство делает предложенные подходы не приемлемыми для большинства вышеуказанных приложений, но позволяет выделить два важных математических свойства жесткости. Во-первых, все жесткие системы обладают очень широким спектром (или присутствием очень разных экспонент Ляпунова). Во-вторых, согласно теореме единственности и существования решения, для жестких систем характерны большие значения константы Липшица.

Итак, анализ принципов создания численных схем решения СДУ показал необходимость тщательного исследования существующих и, возможно, поиска новых методов, при решении конкретных задач.

3. Явные сильные численные схемы

Запишем СДУ в представлении Ито в общем виде

где - https://pandia.ru/text/78/507/images/image006_22.gif" width="80 height=28" height="28">; -https://pandia.ru/text/78/507/images/image009_18.gif" width="79 height=28" height="28">.gif" width="79" height="28 src="> - непрерывно дважды дифференцируемые функции дрейфа и диффузии; - мерный вектор параметров.

Получение сильного решения СДУ (3.1) является важным моментом во многих практических задачах, целью работы является сравнительный анализ существующих сильных явных численных методов решения СДУ.

Рассмотрим наиболее распространенный в финансовой литературе случай – случай одномерного уравнения (3.1), используя схемы: Эйлера, Мильштейна, Тейлора, Рунге-Кутта и двухшаговую . В одномерном случае схема Эйлера имеет вид:

где и (https://pandia.ru/text/78/507/images/image019_9.gif" width="55" height="24">, представляется как

схема Тейлора порядка https://pandia.ru/text/78/507/images/image022_10.gif" width="484" height="212"> (3.4)

а двухшаговая схема порядка :

https://pandia.ru/text/78/507/images/image025_10.gif" width="509" height="52 src=">

https://pandia.ru/text/78/507/images/image027_8.gif" width="355" height="52 src=">

Схема Рунге-Кутта, где порядок сходимости https://pandia.ru/text/78/507/images/image029_8.gif" width="384" height="119 src="> (3.6)

https://pandia.ru/text/78/507/images/image031_6.gif" width="100" height="28 src=">.gif" width="345" height="68">,

https://pandia.ru/text/78/507/images/image035_5.gif" width="44" height="28"> и аналитическое решением СДУ (3.1) на конце интервала интегрирования DIV_ADBLOCK220">

, (4.1)

где - оператор математического ожидания.

Заменим теоретическое значение критерия «абсолютной ошибки» (4.1) его статистическим аналогом, основываясь на моделировании Монте-Карло..gif" width="44" height="28">..gif" width="29" height="27 src=">, тогда статистический аналог критерия (4.1) есть

(4.2)

Сравним вышеописанные схемы по критерию абсолютной ошибки. В качестве первого тестового примера исследуем линейное СДУ с постоянными однородными коэффициентами

аналитическое решение которого имеет вид

Вторым тестовым примером является нелинейное СДУ Ито вида

с дифференцируемой функцией и общим решением

https://pandia.ru/text/78/507/images/image049_5.gif" width="108" height="57 src=">.

В частности, для уравнения

(4.4)

аналитическое решение есть

https://pandia.ru/text/78/507/images/image052_2.gif" width="17" height="19">, количеством траекторий и точностью аппроксимации (4.2). Результаты вычислений приведены в таблицах 1 – 3, проанализируем их, используя усредняющий критерий (4.2).

Для первого и второго тестовых уравнений (см. табл.1 и табл.2) при уменьшении длины шага интегрирования и увеличении порядка сходимости численной схемы возрастает точность аппроксимации для всех исследуемых численных схем.

Однако этого нельзя утверждать в третьем случае, который представлял жесткое СДУ (см. табл.3). Удалось рассчитать значение абсолютной ошибки для всех комбинаций длины шага интегрирования и количества траекторий только для схемы Эйлера и двухшаговой схемы.

Таблица 1. Точность аппроксимации численного решения уравнения (4..gif" width="53" height="20 src=">.gif" width="93" height="28 src=">)

Схема	Длина шага интегрирования,



Мильштейна

двухшаговая
Рунге-Кутта


Мильштейна

двухшаговая
Рунге-Кутта


Мильштейна

двухшаговая
Рунге-Кутта

Для схем Мильштейна, Тейлора и Рунге-Кутта при , , https://pandia.ru/text/78/507/images/image068_3.gif" width="57" height="23">, , , ) происходило переполнение регистров, что приводило к невозможности проведения дальнейших вычислений.

Таким образом, можно отметить, что в отличии от ОДУ, при численном интегрировании решения жестких СДУ следует использовать «простые» явные методы решения, т. е. избегать методов, использующих многократного деления шага аппроксимации или производных функций дрейфа и диффузии. В случае потребности численного решения СДУ в таких задачах, как фильтрация или идентификация параметров СДУ с использованием процедуры Монте-Карло , предпочтительной длиной шага является DIV_ADBLOCK222">

Таблица 2. Точность аппроксимации численного решения уравнения (4.4) (https://pandia.ru/text/78/507/images/image070_4.gif" width="100" height="25 src=">)

Схема	Длина шага интегрирования,



Мильштейна

двухшаговая
Рунге-Кутта


Мильштейна

двухшаговая
Рунге-Кутта


Мильштейна

двухшаговая
Рунге-Кутта

Таблица 3. Точность аппроксимации численного решения уравнения

(4.3)(https://pandia.ru/text/78/507/images/image071_4.gif" width="55" height="20 src=">.gif" width="100" height="25 src=">)

схема	длина шага интегрирования,



Мильштейна

двухшаговая
Рунге-Кутта
Мильштейна

двухшаговая
Рунге-Кутта
Мильштейна

двухшаговая
Рунге-Кутта Литература 1. Oksendal B. Stochastic differential equations. Berlin: Springer, 2000. 2. , Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 3. Kloden P. E., Platen E. Numerical solution of Stochastic Differential Equations. Berlin: Springer, 1999. 4. Burrage K. , Tian T . Stiffly accurate Runge-Kutta methods for stiff stochastic differential equations // Computer Physics Communications. 2001. V. 142. P. 186 – 190. 5. Burrage K ., Burrage P., Mitsui T. Numerical solutions of stochastic differential equations – implementation and stability issues // Journal of computational and applied mathematics. 2000. V. 125. P. 171 – 182. 6. Kuznetsov D. F. The three-step strong numerical methods of the orders of accuracy 1.0 and 1.5 for Ito Stochastic differential equations // Journal of Automation and Information Sciences. 2002. V. 34. № 12. P. 22 – 35. 7. Gaines J. G ., Lyons T. J. Variable step size control in the numerical solution of stochastic differential equations // SIAM Journal of Applied Mathematics. 1997. V. 57. № 5. P. 1455 – 1484. 8. Hairer E., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems. Berlin: Springer-Verlag, 1996. 9. Lamberton D., Lapeyre B. Introduction to stochastic calculus applied to finance. London: Chapman and Hall. 2000. 10. Ширяев А. Н . Основы стохастической финансовой математики. М.: ФАЗИС, 1998. 11. Milstein G. N., Platen E., Schurz H. Balanced implicit methods for stiff stochastic systems // SIAM Journal of Numerical Analysis. 1998. V. 35. P. 1010 – 1019. 12. Filatova D., Grzywaczewski M., McDonald D . Estimating parameters of stochastic differential equations using a criterion function based on the Kolmogorov-Smirnov statistics // ACTA ET COMMENTATIONES UNIVERSITATIS TARTUENSIS DE MATHEMATICA. 2004. V. 8. – P. 93 – 99. 13. Nielsen J. N., Madsen H. Applying the EKF to stochastic differential equations with level effects // Automatica. 2001. V. 37. P. 107 – 112. 14. Nielsen J. N., Madsen H., Young P. C. Parametric estimation in stochastic differential equations: an overview // Annual Reviews in Control. 2000. V. 24. P. 83 – 94.

Вернемся к динамическому уравнению первого порядка (система с 1/2 степени свободы), примером которого было уравнение для малых флуктуаций амплитуды в автогенераторе [первая формула (29.1)], т. е. уравнению вида

С таким же уравнением мы имеем дело в задачах о скорости и одномерного движения частицы массы в среде с вязким трением или о смещении s этой частицы, но лишенной массы и привязанной к пружине с коэффициентом упругости , или о напряжении V на емкости -контура , или о токе I в -контуре и т. д.

В соответствии со сказанным в § 28, мы рассчитываем на то, что при действии на динамическую систему (35.1) достаточно «густых» (по сравнению со временем установления ) однородных толчков отклик будет непрерывным однородным

марковским процессом с вероятностью перехода удовлетворяющей уравнению Эйнштейна - Фоккера

т. е. уравнению (29.2), но в одномерном случае, когда нет зависимости v от второй переменной. По способу, мотивированному в § 28, коэффициент в (35.2) приравнен выражению для х, т. е. правой части уравнения (35.1):

При начальном условии

решение уравнения (35.2) выражается нормальным законом

[см. (29.5) и (29.6)]. В пределе при , т. е. для t , формула (35.3) переходит в не зависящее от стационарное распределение . В задаче о скорости и частицы в вязкой среде, когда распределение должно быть максвелловским:

так что откуда Аналогичные выражения для В можно написать и в остальных перечисленных выше задачах - просто как следствие теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы: средняя энергия системы с 1/2 степени свободы должна быть равна (в данном случае

Такова при сделанных исходных допущениях чисто вероятностная схема решения задачи о флуктуациях. Теперь мы поступим иначе. Введем в уравнение (35.1) случайную (или флуктуационную) силу :

Если для конкретности рассуждать над задачей о движении частицы в неограниченной вязкой среде, то речь идет об уравнении движения

в котором воздействие среды на частицу разбито на две части: систематическую силу трения и случайную силу

Предполагая, что систематическая сила трения выражается законом Стокса (для сферической частицы радиуса а имеем , где вязкость жидкости), мы дёлаем два допущения.

Во-первых, должно быть выполнено условие ламинарности обтекания частицы, т. е. малости числа Рейнольдса:

где плотность жидкости. Если для и взять значение средней квадратичной скорости теплового движения [и - плотность вещества частицы], т. е. учесть самые быстрые дрожания частицы, то

При имеем что даже для молекулярных размеров а дает значение Таким образом, условие ламинарности выполнено.

Во-вторых, полная систематическая сила, действующая на шар, движущийся в вязкой несжимаемой жидкости, равна, согласно Буссине,

где - присоединенная масса, равная половине массы, вытесненной частицей жидкости. В уравнении (35.6) из полной силы F удержан только первый член. Но при второй и третий члены одного порядка с . В отношении это несущественно, так как роль этого члена сводится лишь к изменению эффективной массы частицы. Более важен третий член, выражающий вязкое гидродинамическое последействие (см. §§ 15 и 21), при учете которого система приобретает бесконечное множество степеней свободы.

При наличии вязкого (а тем самым и вероятностного) последействия средний квадрат смещения частицы был найден В. В. Владимирским и Я. П. Терлецким . Обычное выражение оказывается справедливым лишь для промежутков времени t, достаточно больших по сравнению со временем релаксации Мы ограничимся упрощенной постановкой задачи, основанной на уравнении (35.5).

Мы будем обращаться с этим стохастическим уравнением так, как если бы это было обычное дифференциальное уравнение.

Проинтегрировав его при начальном условии получаем

Так как по предположению усреднение (35.7) по ансамблю случайных сил дает

т. е. для х получается тот же динамический закон, что и из уравнения (35.1), и из уравнения Эйнштейна - Фоккера (35.2). Найдем теперь дисперсию . Согласно (35.7) и (35.8)

и, следовательно, для получения надо задать функцию корреляции случайной силы . Можно задать любую функцию корреляции, допускаемую общими ограничениями ее вида, но мы сделаем специальное предположение, а именно примем, что -стационарный дельта-коррелированный процесс:

где С - постоянная. Заметим, что тем самым импульс силы

представляет собой непрерывную случайную функцию с независимыми приращениями и, следовательно, распределен нормально при любом t (§ 34).

Подставив (35.10) в (35.9), находим

(35.11)

Если положить , то это совпадет с выражением (35.4) для полученным из уравнения Эйнштейна - Фоккера (35.2).

Мы нашли только моменты но можно утверждать больше. Поскольку приращение импульса распределено при всяком нормально, постольку разность представляет собою, согласно (35.7), сумму (или, точнее, предел суммы) нормально распределенных величин. Следовательно, распределение тоже дается гауссовым законом с дисперсией (35.11). Это условное распределение (при условии ), если принять просто совпадает с (35.3). Далее, нетрудно убедиться прямой подстановкой, что такого вида условные вероятности удовлетворяют уравнению Смолуховского (являются вероятностями перехода), т. е. процесс оказывается марковским. Таким образом, если в стохастическом дифференциальном уравнении (35.5) случайная сила ) стационарна и дельта-коррелирована [см. (35.10)], то отклик -диффузионный марковский процесс, у которого вероятность перехода удовлетворяет уравнению Эйнштейна - Фоккера с

Оба подхода - основанный на уравнении Эйнштейна - Фоккера и основанный на стохастическом дифференциальном уравнении для случайной функции -оказываются в рассмотренной задаче равносильными. Это, конечно, не означает их тождества за пределами этой задачи. Уравнение Эйнштейна - Фоккера обладает, например, несомненным преимуществом в тех случаях, когда наложены определенные ограничения множества возможных значений случайной функции (наличие отражающих или поглощающих стенок и т. п.), учитываемые просто соответствующими граничными условиями. При ланжевеновской постановке задачи введение такого рода ограничений довольно сложно. С другой стороны, как это уже было подчеркнуто, ланжевеновский метод не требует, чтобы сила обязательно была дельта-коррелирована.

Стоит, быть может, отметить, что как раз в случае дельта-коррелированной силы оперирование дифференциальным уравнением (35.5) имеет в известном смысле условный характер. Это уравнение написано не для х, а для мгновенного значения . Но при бесконечно-частых толчках отклик - не дифференцируемая функция, т. е. не существует (ни в каком из вероятностных смыслов понятия производной). Таким образом, все «дифференциальное уравнение» имеет лишь некий символический смысл. Это надо понимать следующим образом.

Формальное интегрирование уравнения (35.5) приводит к решению (35.7) для , в котором уже нет никаких неприятностей, поскольку оно содержит дельта-коррелированную дилу только под интегралом. Другими словами, уравнение (35.5) -

это (в рассматриваемом случае дельта-коррелированной силы) математически некорректная запись для последующего - уже вполне осмысленного и, в конечном счете, единственно интересующего нас - решения данного уравнения. Оправданием такого подхода являются хорошо известные преимущества оперирования дифференциальными уравнениями при постановке задачи - возможность исходить из общих динамических законов, возможность использования всего существующего арсенала математических средств для получения решения и т. д. Мы не говорим уже о том, что при не дельта-коррелированной все оговорки становятся излишними: стохастические дифференциальные уравнения для самих случайных функций приобретают тогда вполне определенное математическое содержание и, сверх того, позволяют выйти за пределы класса марковских процессов.

Постоянная С в функции корреляции (35.10) характеризует, очевидно, интенсивность случайных толчков. Вернемся к переменным, в которых сила и отклик системы энергетически сопряжены, т. е. произведение силы на производную отклика представляет собой мощность, отдаваемую системе. Это справедливо, например, для силы в уравнении (35.6), так как отдаваемая частице мощность равна . Уравнение (35.6) переходит в (35.5), будучи поделено на массу частицы т. Таким образом, так что функция корреляции настоящей силы в соответствии с (35.10), равна

Мы установили выше, что и что в задаче о скорости брауновской частицы . Следовательно, постоянная С в функции корреляции силы равна

т. е. связана только с коэффициентом систематического трения h. В задаче о токе в -контуре под надо понимать случайную тепловую (§ 28), а под h - активное сопротивление контура R, так что корреляционная постоянная для будет

Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) - дифференциальное уравнение , в котором один член или более имеют стохастическую природу, то есть представляют собой стохастический процесс (другое название - случайный процесс). Таким образом, решения уравнения также оказываются стохастическими процессами. Наиболее известный и часто используемый пример СДУ - уравнение с членом, описывающим белый шум (который можно рассматривать как пример производной винеровского процесса). Однако, существуют и другие типы случайных флуктуаций, например скачкообразный процесс (более подробно см. ).

История

В литературе традиционно первое использование СДУ связывают с работами по описанию броуновского движения , сделанными независимо Марианом Смолуховским ( г.) и Альбертом Эйнштейном ( г.). Однако, СДУ были использованы чуть ранее ( г.) французским математиком Луи Бушелье в его докторской диссертации «Теория предположений». На основе идей этой работы французский физик Поль Ланжевен начал применять СДУ в работах по физике. Позднее, он и российский физик Руслан Стратонович разработали более строгое математическое обоснование для СДУ.

Терминология

В физике СДУ традиционно записывают в форме уравнения Ланжевена. И часто, не совсем точно, называют самим уравнением Ланжевена , хотя СДУ можно записать многими другими способами. СДУ в форме уравнения Ланжевена состоит из обычного нестохастического дифференциального уравнения и дополнительной части, описывающей белый шум . Вторая распространенная форма - уравнение Фоккера-Планка , которое представляет собой уравнение в частных производных и описывает эволюцию плотности вероятности во времени. Третья форма СДУ чаще используется в математике и финансовой математике, она напоминает уравнения Ланжевена, но записано с использованием стохастических дифференциалов (см. подробности ниже).

Стохастическое исчисление

Пусть , и пусть

Тогда стохастическое дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях

для

имеет единственное (в смысле «почти наверное») и -непрерывное решение , такое что - адаптированный процесс к фильтрации , генерируемое и , , и

Применение стохастических уравнений

Физика

В физике СДУ часто записывают в форме уравнения Ланжевена. Например, систему СДУ первого порядка можно записать в виде:

где - набор неизвестных, и - произвольные функции, а - случайные функции от времени, которые часто называют шумовыми членами. Такая форма записи используется, так как существует стандартная техника преобразования уравнения со старшими производными в систему уравнений первого порядка с помощью введения новых неизвестных. Если - константы, то говорят, что система подвержена аддитивному шуму. Также рассматривают системы с мультипликативным шумом, когда . Из этих двух рассмотренных случаев аддитивный шум - проще. Решение системы с аддитивным шумом часто можно найти используя только методы стандартого математического анализа . В частности, можно использовать обычный метод композиции неизвестных функций. Однако, в случае мультипликативного шума уравнение Ланжевена плохо определено в смысле обычного математического анализа и его необходимо интерпретировать в терминах исчисления Ито или исчисления Стратоновича.

В физике основным методом решения СДУ является поиск решения в виде плотности вероятности и преобразованием первоначального уравнения в уравнение Фоккера-Планка . Уравнение Фоккера-Планка - дифференциальное уравнение в частных производных без стохастических членов. Оно определяет временную эволюцию плотности вероятности, также как уравнение Шрёдингера определяет зависимость волновой функции системы от времени в квантовой механике или уравнение диффузии задает временную эволюцию химической концентрации. Также решения можно искать численно, например с помощью метода Монте-Карло . Другие техники нахождения решений используют интеграл по путям, эта техника базируется на аналогии между статистической физикой и квантовой механикой (например, уравнение Фоккера-Планка можно преобразовать в уравнение Шрёдингера с помощью некоторого преобразования переменных), или решением обыкновенных дифференциальных уравнений для моментов плотности вероятности.

Теория вероятностей и финансовая математика

Биология

Химия

Ссылки

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Литература

Adomian George Stochastic systems. - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983.
Adomian George Nonlinear stochastic operator equations. - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
Adomian George Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1989.
Øksendal Bernt K. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. - Berlin: Springer, 2003. - ISBN ISBN 3-540-04758-1
Teugels, J. and Sund B. (eds.) Encyclopedia of Actuarial Science. - Chichester: Wiley, 2004. - P. 523–527.
C. W. Gardiner Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences. - Springer, 2004. - P. 415.
Thomas Mikosch Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View. - Singapore: World Scientific Publishing, 1998. - P. 212. - ISBN ISBN 981-02-3543-7
Bachelier, L., Théorie de la speculation (in French), PhD Thesis. - NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0 , 1900. - ISBN In English in 1971 book "The Random Character of the Stock Market" Eds. P.H. Cootner

1. Среди процессов Ито X = (Xt)t^o, имеющих стохастический диф-ференциал
dXt = a(t,oj)dt + P(t,oj)dBt, (1)
важную роль играют те, для которых коэффициенты a(t, а>) и(3(t, ш) зависят от a(t,u) = a(t,Xt(u>)), /3(t,u>) = b(t,Xt (си)), (2)
где а = a(t, х) и b = b(t, х) - измеримые функции на М+ х К. Так, например, процесс
St=S0eateaBt-4-\\ (3)
называемый геометрическим, или экономическим, броуновским движением (см. § За), имеет (согласно формуле Ито) стохастический дифференциал
dSt = aSt dt + aSt dBt. (4)
Процесс
= f
Jo 3-й
du (5)
имеет, как легко убедиться, опять-таки с помощью формулы Ито, дифференциал
dYt = (1 + aYt) dt + oYt dBt. (6)
(Процесс У = (Yt)t^o играет важную роль в задачах скорейшего обнаружения изменений в локальном сносе броуновского движения; см. .) Если
Г, Г* du Г* dBu1
(7)
zt = st
Zq + (сі - ас2) / -Х- + С2
Jo Jo .
с некоторыми константами с\\ и с2, то, опять-таки с помощью формулы Ито, проверяется, что
dZt = (сі + aZt) dt + (c2 + aZt) dBt. (8)
В приведенных примерах мы отправлялись от "явного" вида процессов S = (St), У = (УІ), Z = (Zt) и с помощью формулы Ито получали их стохастические дифференциалы (4), (6) и (8).
Можно, однако, изменить точку зрения, а именно, рассматривать (4), (6) и (8) как стохастические дифференциальные уравнения относительно неизвестных процессов S = (St),Y = (Yt), Z = (Zt) и попытаться установить, что найденные их решения (3), (5) и (7) являются (в определенном смысле) единственными решениями этих уравнений.
Естественно, надо придать точный смысл самому понятию "стохастическое дифференциальное уравнение" определить, что есть его "решение" в каком смысле следует понимать "единственность" решения.
При определении всех этих понятий, рассматриваемых далее, ключевую роль играет введенное выше понятие стохастического интеграла.
2. Будем считать заданным фильтрованное вероятностное пространство (стохастический базис) (ft, (^t)t^Oi Р) с обычными условиями (п. 2, §7а) ипусть В = (Bt,&t)f^ о - броуновское движение.
Пусть а = a(t, х) и b = b(t, х) - измеримые функции на К+ х М.
Определение 1. Говорят, что стохастическое дифференциальное уравнение
dXt = a(t, Xt)dt + b(t,Xt) dBt (9)
с ^-измеримым начальным условием Хо имеет непрерывное сильное решение (или просто решение) X = (Xt)t^o, если при каждом t > О
Xt - ^-измеримы,
P(^J* \\a(s,Xa)\\ds p(^J* b2(s,Xa)ds (12)
Xt=Xo+ Ґ a(s,Xa) ds + Ґ b{s,Xa)dBa. Jo Jo
Определение 2. Два непрерывных случайных процесса X = (Xt)t^o и У = (Yt)t^0 называются стохастически неразличимыми, если для любого t > О
p(sup|Xs -Ys\\ >0) =0. (13)
Va и (Р-п.н.)
Определение 3. Будем говорить, что измеримая функция / ¦ f(t, х), определенная на R+ х К, удовлетворяет (по фазовой переменной х) локальному условию Липшица, если для всякого п ^ 1 найдется константа К(п) такая, что для всех t > 0 и |х| \\a(t,x)-a(t,y)\\ + \\b(t,x)-b(t,y)\\ Теорема 1 (К. Ито , ; см. также, например, , , ). Пусть коэффициенты a(t,x) ub(t,x) удовлетворяют локальному условию Липшица и условию линейного роста:
la{t,x)\\ + \\b(t,x)\\ и пусть начальное условие XQ - ^-измеримо.
Тогда стохастическое дифференциальное уравнение (9) имеет, и притом единственное (с точностью до стохастической неразличимости), непрерывное решение X = (Xt,&t), являющееся марковским процессом.
Существуют обобщения этого результата в разных направлениях: ослабляется локальное условие Липшица, допускается зависимость (но спе-циального характера) коэффициентов от и>, рассматриваются случаи за-висимости коэффициентов а - a(t,Xt) и b = b(t,Xt) от "прошлого" (в несколько вольной записи: а = a(t; Xs, s Имеются также обобщения на многомерный случай, когда X = (X1,...,Xd) - векторный процесс, а = a(t,x) - вектор, b = b(t,x) - матрица и В = (В1,... ,Bd) - d-мерное броуновское движение. См. по этому поводу, например, , , .
Приведем из различного рода обобщений лишь один, несколько неожиданный, результат А. К. Звонкина, , утверждающий, что для сущест-вования сильного решения стохастического дифференциального уравнения
dXt = a(t, Xt)dt + dBt (15)
вовсе нет надобности требовать выполнения локального условия Липшица, а достаточна лишь измеримость по (?, х) и равномерная ограниченность коэффициента a(t,x). (Многомерное обобщение этого результата получено А. Ю. Веретенниковым, .)
Тем самым, например, стохастическое дифференциальное уравнение
dXt = a(Xt) dt + dBt, X0 = 0, (16)
с "плохим" коэффициентом
Г 1, х > О,
I. -1, х имеет, и притом единственное, сильное решение.
Отметим, однако, что если вместо уравнения (16) рассмотреть уравнение
dXt=a(Xt)dBt, Хо = 0, (18)
с той же самой функцией сг(х), ситуация резко меняется, поскольку, во-первых, существуют вероятностные пространства, на которых у этого уравнения заведомо есть, по крайней мере, два сильных решения, и, во-вторых, на некоторых вероятностных пространствах у этого уравнения может вовсе и не быть сильного решения.
Чтобы показать справедливость первого утверждения, рассмотрим на пространстве непрерывных функций и> = (u>t)t>о с винеровской мерой координатно заданный винеровский процесс W = (Wt)t^Oi т. е. такой, что Wt(w)=wt,t>0.
Тогда, по теореме Леви (см. п. 3 в §ЗЬ), пропесс В = (Bt)t^о при
Bt= С o{Ws)dWa Jo
также будет винеровским процессом (броуновским движением). И легко видеть, что
[ o{Wa)dBa = [ o2{Wa)dWa=Wt, Jo Jo
поскольку cr2(x) = 1.
Тем самым, процесс W =¦ (Wt)t^o является (на рассматриваемом вероятностном пространстве) решением уравнения (18) со специальным образом подобранным броуновским движением В¦ Но, поскольку сг(-х) = -сг(х),то
[ o{Wa)dBa = -Wt, Jo
Г o(-Wa) dBa = - Jo
т.е. наряду с W = (Wt)t^о процесс -W = (-Wt)t>о также есть решение уравнения (18).
Что же касается второго утверждения, то предположим, что у уравнения 1
Xt= [ o{Xa)dBs Jo
существует сильное решение (относительно потока а-алгебр (порожденных броуновским движением В). Из теоремы Леви следует, что тогда процесс X = (Xt, о является броуновским движением.
По формуле Таиака (см. далее § 5с и ср. с примером в § lb, гл. II):
\\Xt\\= Г a(Xa)dXa+Lt(0), Jo
где t
Lt(0) = limi- f I(\\Xa\\^e)da
ej.0 AZ Jo
- локальное время (Леви) броуновского движения X, которое оно проводит в нуле на интервале . Поэтому (Р-п.н.)
Bt= Г o(Xa)dXa = \\Xt\\-Lt{0) Jo
и, значит, С
Сделанное выше предположение, что X является адаптированным относительно потока = (&t)t^o, лает включение С \

Еще по теме § Зе. Стохастические дифференциальные уравнения:

Глава 9. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений
В начале 70-х годов Ф.Блэк и М.Шоулз разработали модель оценки премии европейского опциона колл на акции, по которым не выплачиваются дивиденды. Полученная формула явилась результатом решения ими дифференциального уравнения Блэка-Шоула. Данное уравнение мы рассматриваем в следующем параграфе.
Часть II Математический анализ и дифференциальные уравнени
6. Уравнение, связывающее цену дериватива с рыночной ценой риска. Стохастические модели с непрерывным временем для краткосрочных ставок и расчеты цен облигаций
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. 2,1. Дифференциальное уравнение для производного актива на акцию, по которой выплачивается непрерывно начисляемый дивиденд
Система взаимозависимых уравнений (система совместных одновременных уравнений)
Инкрементные (приростные, или дифференциальные) затраты

- Авторское право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право - Государственное право и управление - Гражданское право и процесс - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги - Дипломатическое и консульское право - Договорное право - Жилищное право - Земельное право - Избирательное право - Инвестиционное право - Информационное право - Исполнительное производство - История государства и права - История политических и правовых учений -