Мнимые пересекающиеся прямые. Уравнение пары параллельных или совпадающих прямых

Важные случаи общего уравнения кривой второго порядка

Уравнение эллипса

Уравнение гиперболы

Уравнение параболы

Уравнение пары пересекающихся прямых

Уравнение пары параллельных или совпадающих прямых

Уравнение, определяющее точку

Эллипс

Теорема 1.7.1

Доказательство

Исследование формы кривой

Гипербола

Теорема 1.7.2

Доказательство

Исследование формы кривой.

Классификация кривых второго порядка, основанная на инвариантах

Смотреть что такое "Линии второго порядка" в других словарях:

Книги

уравнение (1) определяет мнимую кривую второго порядка. Уравнение x 2 + y 2 = − 1 может

служить примером уравнения второй степени, определяющего мнимую кривую, в данном случае мнимую окружность.

				1 (a ≥b >0 )

с полуосями длины a иb . В частности, приa = b уравнение окружности

x 2+ y 2= a 2

с центром в начале координат и радиусом a .

				1 (a ≥b >0 )

с полуосями a иb .

y2 = 2 px(p> 0 ) .

a2 x2 − b2 y2 = 0 , (0 < a, b) или y= ± b a x.

x 2 −a 2 =0 (a ≥0 ) , или x = ±a . y 2 −b 2 = 0, (b ≥ 0) или y = ±b .

Эллипсом называется множество точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Если известны: расстояние между фокусами F 1		и F 2 эллипса, равное2 c и сумма расстояний
от любой точки на эллипсе до фокусов, равное		2 a , то в прямоугольной декартовой системе
координат, где ось Ox проходит через фокусы		F 1 иF 2 (отF 1 кF 2 ), а начало координат
посередине между ними, уравнение эллипса имеет вид
	1 , гдеb 2 = a 2 − c 2 .




	−c


Во введенной системе координат фокусы расположены на оси			Ox и имеют координаты
F 1 (− c , 0 ) иF 2 (c , 0 ) . Пусть точкаM (x , y ) принадлежит эллипсу (рис. 1.7.1). Тогда
MF = (x+ c) 2		Y2 , MF= (x− c) 2

2 a =(x +c ) 2 +y 2 +(x −c ) 2 +y 2 ,

перенося первый радикал из правой части в левую, запишем

2 a −(x +c ) 2 +y 2 =(x −c ) 2 +y 2 .

Возведем обе части уравнения в квадрат

4 a 2 +(x +c ) 2 +y 2 −4 a (x +c ) 2 +y 2 =(x −c ) 2 +y 2

и раскроем квадраты в левой и правой частях

4 a 2 +x 2 +2 cx +y 2 +c 2 −4 a (x +c ) 2 +y 2 =x 2 −2 xc +c 2 +y 2 .

Приводя подобные члены, получим уравнение

4 a2 + 4 cx= 4 a (x+ c) 2 + y2 ,

обе части которого разделим на 4 и снова возведем в квадрат. тогда уравнение примет вид

a 4+ 2 a 2cx + c 2x 2= a 2[ x 2+ 2 cx + c 2+ y 2] .

Последнее уравнение можно упростить, если раскрыть скобки и привести подобные члены,

a 4+ 2 a 2cx + c 2x 2= a 2x 2+ 2 a 2cx + a 2c 2+ a 2y 2, − (a 2− c 2) x 2= − a 2(a 2− c 2) + a 2y 2.

Поскольку из определения эллипса следует, что 2 a > 2 c , то числоa 2 − c 2 > 0 и его можно обозначить, какb 2 = a 2 − c 2 . Тогда уравнение эллипса запишется в виде

− b 2x 2= − a 2b 2+ a 2y 2, или a 2b 2= b 2x 2+ a 2y 2.

Такое уравнение эллипса называется каноническим.

этой кривой. Следовательно, кривая симметрична относительно оси ординат. Эллипс симметричен и

относительно оси абсцисс, потому что его уравнение не меняется при замене y на− y . Учитывая

это, достаточно изучить вид кривой в первой четверти, то есть при условии x , y ≥ 0 .
При x , y ≥ 0 можно задать кривую в виде явного уравнения		a 2− x 2,	(0 ≤x ≤a ) . Из

этого уравнения ясно, что кривая проходит через точки B (0 , b )	и A (a , 0 ) . Эти точки называются
вершинами эллипса.
Эллипс - ограниченная кривая, которая находится внутри прямоугольника			0 ≤ x ≤a

явного уравнения эллипса ясно, что ордината y при непрерывном возрастании			0 ≤ y ≤b
				на отрезке

[ 0 , a ] монотонно убывает. Следовательно, эллипс есть непрерывная замкнутая кривая, в первой

четверти она выпукла вверх, в любой ее точке можно провести касательную. В остальных четвертях кривая строится с учетом симметрии относительно координатных осей.

Числа a иb называютсяполуосями эллипса. Посколькуb 2 = a 2 − c 2 , тоa > b и эллипс вытянут вдоль осиOx . При этомa называетсябольшей полуосью , аb -меньшей полуосью эллипса. Вид кривой показан на рисунке 1.7.2.




− a	−c
− a	−c
		−b

При a = b эллипс представляет собой окружность радиуса Уравнение этой окружности

a с центром в начале координат.

x 2+ y 2= a 2.

Эксцентриситетом эллипса называется числоε = a c . Для эксцентриситета эллипса

справедливо неравенство 0 < ε <1 , поскольку из определения эллипса следует, чтоc > a > 0 . Эксцентриситет окружностиε = 0 , поскольку для окружностиa = b иc = 0 .

Учитывая то, что эксцентриситет окружности ε = 0 , можно сделать вывод, что чем больше эксцентриситет эллипса, тем больше он вытянут относительно одной из осей симметрии.

Гиперболой называется множество точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Если известны: расстояние между фокусами F 1 иF 2 гиперболы, равное2 c и разность расстояний от любой ее точки до фокусов, равное2 a , то в прямоугольной декартовой системе

b 2= c 2− a 2.

b 2 = c 2 − a 2


−c
−c

Во введенной системе xOy координаты фокусов равныF 1 (− c , 0 ) ,F 2 (c , 0 ) . Если точкаA (x , y )

принадлежит гиперболе, то справедливо AF 1 − AF 2 = 2 a , илиAF 1 − AF 2 = ±2 a (рис. 1.7.3).

Подставив в последнее равенство координаты точек A , F 1 , F 2 , получим

(x +c ) 2 +y 2 −(x −c ) 2 +y 2 = ±2a ,

или (x +c ) 2 +y 2 =(x −c ) 2 +y 2 ± 2a .

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат

(x +c ) 2 +y 2 =(x −c ) 2 +y 2 ±4 a (x −c ) 2 +y 2 +4 a 2

и упростим его, раскрыв все квадраты

x 2 +2 cx +c 2 +y 2 =x 2 −2 cx +c 2 +y 2 ±4 a (x −c ) 2 +y 2 +4 a 2

и приведя подобные члены

4 cx− 4 a2 = ± 4 a (x− c) 2 + y2 .

Последнее уравнение разделим на 4 и снова возведем в квадрат c 2x 2− 2 cxa 2+ a 4= a 2(x 2− 2 cx + c 2+ y 2) .

Раскрыв скобки и сделав упрощения, получим уравнение

(c 2− a 2) x 2− a 2y 2= a 2(c 2− a 2) ,

в котором c 2 − a 2 > 0 , поскольку2 c > 2 a из определения гиперболы. Из этого следует, что можно ввести обозначение и записать уравнение гиперболы в видеb 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 b 2 .

Разделив на a 2 b 2 , получим уравнение гиперболы

a x 22 − b y 2 2= 1 ,

которое называется каноническим.

Из вида уравнения ясно,		что гипербола симметрична относительно оси Ox и осиOy . При
x = 0 получим уравнение			которое не имеет вещественных корней. Следовательно,


кривая не пересекает ось	Oy . При		y = 0 получим уравнение		1 , корни которогоx = ± a .


Следовательно, кривая пересекает ось Ox в точкахA 1 (a , 0 ) и				A 2 (− a , 0 ) . Эти точки называются

вершинами гиперболы.

Скачать с Depositfiles

Лекция № 9. Тема 3 : Линии второго порядка

Пусть в некоторой ДСК задана линия, определяемая уравнением второй степени

где коэффициенты
одновременно не равны нулю. Эта линия назы-вается кривой или линией второго порядка .

Может случиться, что нет точек
с действительными коорди-натами, удовлетворяющими уравнению (1). В этом случае считают, что уравнение (1) определяет мнимую линию второго порядка. Например,
 это уравнение мнимой окружности.

Рассмотрим три важных частных случаев уравнения (1).

3.1. Эллипс

Эллипс определяется уравнением

(2)

Коэффициенты а и b называются соответственно большой и малой полуосями, а уравнение (2) – каноническим уравнением эллипса.

Положим
и отметим на оси Ох точки

называемые фокусами эллипса. Тогда эллипс можно определить как

геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до фокусов есть величина постоянная, равная 2а .

M K

— а F 1 O F 2 a x

— b

Покажем это. Пусть точка
 текущая точка эллипса. В этом случае получаем Тогда должно выполняться равенство

Выражение (3) представим в виде

и возведём в квадрат обе части выражения

Отсюда получаем

Еще раз возведём это выражение в квадрат и воспользуемся соотно-шением
, тогда

(4)

Разделив обе части выражения (4) на
, окончательно получаем каноническое уравнение эллипса

Исследуем уравнение (2). Если в уравнении заменить , то уравнение (2) не изменится. Это означает, что эллипс симметричен относительно координатных осей. Поэтому рассмотрим подробно часть эллипса, находящуюся в первой четверти. Она определяется уравнением
Очевидно, что эллипс проходит через точки
. Выполнив схематическое построение в первой четверти, симметрично отобразим его график во все четверти. Таким образом, эллипс является непрерывной замкнутой кривой. Точки называются вершинами эллипса.

Отношение
называется эксцентриситетом эллипса. Для эллипса
.

Прямые
называются директрисами эллипса.

Справедливо следующее свойство директрис :

Отношение расстояний от фокуса и директрисы для точек эллипса есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Доказывается аналогично, как и равенство (3).

Замечание 1. Окружность
является частным случаем эллипса. Для неё

3.2. Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

т.е. в уравнении (1) нужно положить

Коэффициенты а и b называются соответственно вещественной и мнимой полуосями.

Положив
, отметим на оси Ох точки
на-зываемые фокусами гиперболы. Тогда гиперболу можно определить как

геометрическое место точек, разность расстояний от которых до фокусов по абсолютной величине равна 2 а , т.е.

К М

F 1 —а О а F 2 х

Доказывается аналогично, как и для эллипса. По виду уравнения гиперболы так же заключаем, что её график симметричен относительно осей системы координат. Часть гиперболы, лежащая в первой четверти, имеет уравнение
Из этого уравнения видно, что при достаточно больших х гипербола близка к прямой
. После схематичного построения в первой четверти симметрично отобра-жаем график во все четверти.

Точки
называются вершинами гиперболы. Прямые
называются асимптотами – это прямые, к которым стремятся ветви гиперболы, не пересекая их.

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Для гиперболы
.

Прямые называются директрисами гиперболы. Для директрис гиперболы имеет место свойство, аналогичное, как и для директрис эллипса.

Пример. Найти уравнение эллипса, вершины которого находятся в фокусах, а фокусы в вершинах гиперболы
.

По условию
а

Окончательно получаем

10.3. Парабола

Парабола определяется каноническим уравнением
т.е. в уравнении (1) нужно положить

Коэффициент р называется К у

фокальным параметром. М

Отметим на оси Ох точку

называемую фокусом

 эллипс;

 парабола;

 гипербола .

Установим на плоскости прямоугольную систему координат и рассмотрим общее уравнение второй степени

в котором
.

Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (8.4.1), называется кривой (линией ) второго порядка .

Для всякой кривой второго порядка существует прямоугольная система координат, называемая канонической, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих видов:

1)
(эллипс);

2)
(мнимый эллипс);

3)
(пара мнимых пересекающихся прямых);

4)
(гипербола);

5)
(пара пересекающихся прямых);

6)
(парабола);

7)
(пара параллельных прямых);

8)
(пара мнимых параллельных прямых);

9)
(пара совпадающих прямых).

Уравнения 1)–9) называются каноническими уравнениями кривых второго порядка.

Решение задачи приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду включает нахождение канонического уравнения кривой и канонической системы координат. Приведение к каноническому виду позволяет вычислить параметры кривой и определить ее расположение относительно исходной системы координат. Переход от исходной прямоугольной системы координат
к канонической
осуществляется путем поворота осей исходной системы координат вокруг точкиО на некоторый угол  и последующего параллельного переноса системы координат.

Инвариантами кривой второго порядка (8.4.1) называются такие функции от коэффициентов ее уравнения, значения которых не меняются при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой такой же системе.

Для кривой второго порядка (8.4.1) сумма коэффициентов при квадратах координат

определитель, составленный из коэффициентов при старших членах

и определитель третьего порядка

являются инвариантами.

Значение инвариантов s, ,  можно использовать для определения типа и составления канонического уравнения кривой второго порядка (табл. 8.1).

Таблица 8.1

Рассмотрим подробнее эллипс, гиперболу и параболу.

Эллипсом (рис. 8.1) называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек
этой плоскости, называемыхфокусами эллипса , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами). При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Полусумму расстояний от точки эллипса до его фокусов обозначают через а , половину расстояний между фокусами – с . Если прямоугольная система координат на плоскости выбрана так, что фокусы эллипса располагаются на оси О x симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат эллипс задается уравнением

, (8.4.2)

называемым каноническим уравнением эллипса , где
.

Рис. 8.1

При указанном выборе прямоугольной системы координат эллипс симметричен относительно осей координат и начала координат. Оси симметрии эллипса называют его осями , а центрего симметрии – центром эллипса . Вместе с тем часто осями эллипса называют числа 2a и 2b , а числа a и b – большой и малой полуосью соответственно.

Точки пересечения эллипса с его осями называются вершинами эллипса . Вершины эллипса имеют координаты (а , 0), (–а , 0), (0, b ), (0, –b ).

Эксцентриситетом эллипса называется число

. (8.4.3)

Поскольку 0  c < a , эксцентриситет эллипса 0   < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

Отсюда видно, что эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе  к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении  эллипс становится более вытянутым.

Пусть
– произвольная точка эллипса,
и
– расстояния от точкиМ до фокусов F 1 и F 2 соответственно. Числа r 1 и r 2 называются фокальными радиусами точки М эллипса и вычисляются по формулам

Директрисами отличного от окружности эллипса с каноническим уравнением (8.4.2) называются две прямые

Директрисы эллипса расположены вне эллипса (рис. 8.1).

Отношение фокального радиуса точки M эллипса к расстоянию  этого эллипса (фокус и директриса считаются соответствующими, если они расположены по одну сторону от центра эллипса).

Гиперболой (рис. 8.2) называется геометрическое место точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек иэтой плоскости, называемыхфокусами гиперболы , есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами).

Пусть расстояние между фокусами равно 2с , а указанный модуль разности расстояний равен 2а . Выберем прямоугольную систему координат так же, как и для эллипса. В этой системе координат гипербола задается уравнением

, (8.4.4)

называемым каноническим уравнением гиперболы , где
.

Рис. 8.2

При данном выборе прямоугольной системы координат оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат – ее центром симметрии. Оси симметрии гиперболы называют ее осями , а центр симметрии – центром гиперболы . Прямоугольник со сторонами 2a и 2b , расположенный, как показано на рис. 8.2, называется основным прямоугольником гиперболы . Числа 2a и 2b – оси гиперболы, а числа a и b – ее полуоси . Прямые, являющиеся продолжением диагоналей основного прямоугольника, образуют асимптоты гиперболы

Точки пересечения гиперболы с осью Ox называются вершинами гиперболы . Вершины гиперболы имеют координаты (а , 0), (–а , 0).

Эксцентриситетом гиперболы называется число

. (8.4.5)

Поскольку с > a , эксцентриситет гиперболы  > 1. Перепишем равенство (8.4.5) в виде

Отсюда видно, что эксцентриситет характеризует форму основного прямоугольника и, следовательно, форму самой гиперболы: чем меньше , больше вытягивается основной прямоугольник, а вслед за ним и сама гипербола вдоль оси Ox .

Пусть
– произвольная точка гиперболы,
и
– расстояния от точкиМ до фокусов F 1 и F 2 соответственно. Числа r 1 и r 2 называются фокальными радиусами точки М гиперболы и вычисляются по формулам

Директрисами гиперболы с каноническим уравнением (8.4.4) называются две прямые

Директрисы гиперболы пересекают основной прямоугольник и проходят между центром и соответствующей вершиной гиперболы (рис. 8.2).

Отношение фокального радиусаточки M гиперболы к расстоянию от этой точки до отвечающей фокусудиректрисы равно эксцентриситету  этой гиперболы (фокус и директриса считаются соответствующими, если они расположены по одну сторону от центра гиперболы).

Параболой (рис. 8.3) называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F (фокуса параболы ) этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой (директрисы параболы ), также расположенной в рассматриваемой плоскости.

Выберем начало О прямоугольной системы координат в середине отрезка [FD ], представляющего собой перпендикуляр, опущенный из фокуса F на директрису (предполагается, что фокус не принадлежит директрисе), а оси Ox и Oy направим так, как показано на рис. 8.3. Пусть длина отрезка [FD ] равна p . Тогда в выбранной системе координат
иканоническое уравнение параболы имеет вид

. (8.4.6)

Величина p называется параметром параболы .

Парабола имеет ось симметрии, которая называется осью параболы . Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы . Если парабола задана своим каноническим уравнением (8.4.6), то осью параболы является ось Ox . Очевидно, вершиной параболы является начало координат.

Пример 1. Точка А = (2, –1) принадлежит эллипсу, точка F = (1, 0) является его фокусом, соответствующая F директриса задана уравнением
. Составьте уравнение этого эллипса.

Решение. Будем считать систему координат прямоугольной. Тогда расстояние от точкиА до директрисы
в соответствии с соотношением (8.1.8), в котором

, равно

Расстояние от точкиА до фокуса F равно

что позволяет определить эксцентриситет эллипса

Пусть M = (x , y ) – произвольная точка эллипса. Тогда расстояние
от точкиМ до директрисы
по формуле (8.1.8) равно

а расстояние от точкиМ до фокуса F равно

Поскольку для любой точки эллипса отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса, отсюда имеем

Пример 2. Кривая задана уравнением

в прямоугольной системе координат. Найдите каноническую систему координат и каноническое уравнение этой кривой. Определите тип кривой.

Решение. Квадратичная форма
имеет матрицу

Ее характеристический многочлен

имеет корни  1 = 4 и  2 = 9. Следовательно, в ортонормированном базисе из собственных векторов матрицы А рассматриваемая квадратичная форма имеет канонический вид

Перейдем к построению матрицы ортогонального преобразования переменных, приводящего рассматриваемую квадратичную форму к указанному каноническому виду. Для этого будем строить фундаментальные системы решений однородных систем уравнений
и ортонормировать их.

При
эта система имеет вид

Ее общим решением является
. Здесь одна свободная переменная. Поэтому фундаментальная система решений состоит из одного вектора, например, из вектора
. Нормируя его, получим вектор

При
также построим вектор

Векторы иуже ортогональны, так как относятся к различным собственным значениям симметричной матрицыА . Они составляют канонический ортонормированный базис данной квадратичной формы. Из столбцов их координат строится искомая ортогональная матрица (матрица поворота)

Проверим правильность нахождения матрицы Р по формуле
, где
– матрица квадратичной формы в базисе
:

Матрица Р найдена верно.

Выполним преобразование переменных

и запишем уравнение данной кривой в новой прямоугольной системе координат со старым центром и направляющими векторами
:

где
.

Получили каноническое уравнение эллипса

В силу того, что результирующее преобразование прямоугольных координат определяется формулами

каноническая система координат
имеет начало
и направляющие векторы
.

Пример 3. Применяя теорию инвариантов, определите тип и составьте каноническое уравнение кривой

Решение. Поскольку

в соответствии с табл. 8.1 заключаем, что это – гипербола.

Так как s = 0, характеристический многочлен матрицы квадратичной формы

Его корни
и
позволяют записать каноническое уравнение кривой

где С находится из условия

Искомое каноническое уравнение кривой

В задачах этого параграфа координаты x , y предполагаются прямоугольными.

8.4.1. Для эллипсов
и
найдите:

а) полуоси;

б) фокусы;

в) эксцентриситет;

г) уравнения директрис.

8.4.2. Составьте уравнения эллипса, зная его фокус
, соответствующую директрисуx = 8 и эксцентриситет . Найдите второй фокус и вторую директрису эллипса.

8.4.3. Составьте уравнение эллипса, фокусы которого имеют координаты (1, 0) и (0, 1), а большая ось равна двум.

8.4.4. Дана гипербола
. Найдите:

а) полуоси a и b ;

б) фокусы;

в) эксцентриситет;

г) уравнения асимптот;

д) уравнения директрис.

8.4.5. Дана гипербола
. Найдите:

а) полуоси а и b ;

б) фокусы;

в) эксцентриситет;

г) уравнения асимптот;

д) уравнения директрис.

8.4.6. Точка
принадлежит гиперболе, фокус которой
, а соответствующая директриса задана уравнением
. Составьте уравнение этой гиперболы.

8.4.7. Составьте уравнение параболы, если даны ее фокус
и директриса
.

8.4.8. Даны вершина параболы
и уравнение директрисы
. Составьте уравнение этой параболы.

8.4.9. Составьте уравнение параболы, фокус которой находится в точке

и директриса задана уравнением
.

8.4.10. Составьте уравнение кривой второго порядка, зная ее эксцентриситет
, фокус
и соответствующую директрису
.

8.4.11. Определите тип кривой второго порядка, составьте ее каноническое уравнение и найдите каноническую систему координат:

г)
;

8.4.12.

является эллипсом. Найдите длины полуосей и эксцентриситет этого эллипса, координаты центра и фокусов, составьте уравнения осей и директрис.

8.4.13. Докажите, что кривая второго порядка, заданная уравнением

является гиперболой. Найдите длины полуосей и эксцентриситет этой гиперболы, координаты центра и фокусов, составьте уравнения осей, директрис и асимптот.

8.4.14. Докажите, что кривая второго порядка, заданная уравнением

является параболой. Найдите параметр этой параболы, координаты вершин и фокуса, составьте уравнения оси и директрисы.

8.4.15. Каждое из следующих уравнений приведите к каноническому виду. Изобразите на чертеже соответствующую кривую второго порядка относительно исходной прямоугольной системы координат:

8.4.16. Применяя теорию инвариантов, определите тип и составьте каноническое уравнение кривой.

распадающиеся линии:

x 2 - а 2 = 0 - пары параллельных прямых,

x 2 + а 2 = 0 - пары мнимых параллельных прямых,

x 2 = 0 - пары совпадающих параллельных прямых.

Исследование вида Л. в. п. может быть проведено без приведения общего уравнения к каноническому виду. Это достигается совместным рассмотрением значений т. н. основных инвариантов Л. в. п. - выражений, составленных из коэффициентов уравнения (*), значения которых не меняются при параллельном переносе и повороте системы координат:

S = a 11 + a 22 , (a ij = a ji ).

Так, например, эллипсы, как нераспадающиеся линии, характеризуются тем, что для них Δ ≠ 0; положительное значение инварианта δ выделяет эллипсы среди других типов нераспадающихся линий (для гипербол δ

Три основные инварианта Δ, δ и S определяют Л. в. п. (кроме случая параллельных прямых) с точностью до движения (См. Движение) евклидовой плоскости: если соответствующие инварианты Δ, δ и S двух линий равны, то такие линии могут быть совмещены движением. Иными словами, эти линии эквивалентны по отношению к группе движений плоскости (метрически эквивалентны).

Существуют классификации Л. в. п. с точки зрения др. групп преобразований. Так, относительно более общей, чем группа движений, - группы аффинных преобразований (См. Аффинные преобразования) - эквивалентными являются любые две линии, определяемые уравнениями одного канонического вида. Например, две подобные Л. в. п. (см. Подобие) считаются эквивалентными. Связи между различными аффинными классами Л. в. п. позволяет установить классификация с точки зрения проективной геометрии (См. Проективная геометрия), в которой бесконечно удалённые элементы не играют особой роли. Действительные нераспадающиеся Л. в. п.: эллипсы, гиперболы и параболы образуют один проективный класс - класс действительных овальных линий (овалов). Действительная овальная линия является эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, как она расположена относительно бесконечно удалённой прямой: эллипс пересекает несобственную прямую в двух мнимых точках, гипербола - в двух различных действительных точках, парабола касается несобственной прямой; существуют проективные преобразования, переводящие эти линии одна в другую. Имеется всего 5 проективных классов эквивалентности Л. в. п. Именно,

невырождающиеся линии

(x 1 , x 2 , x 3 - однородные координаты):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2 = 0 - действительный овал,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = 0 - мнимый овал,

вырождающиеся линии:

x 1 2 - x 2 2 = 0 - пара действительных прямых,

x 1 2 + x 2 2 = 0 - пара мнимых прямых,

x 1 2 = 0 - пара совпадающих действительных прямых.

А. Б. Иванов.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Плоские линии, прямоугольные координаты точек которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2 й степени. Среди линий второго порядка эллипсы (в частности, окружности), гиперболы, параболы … Большой Энциклопедический словарь

Плоские линии, прямоугольные координаты точек которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2 й степени. Среди линий второго порядка эллипсы (в частности, окружности), гиперболы, параболы. * * * ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА,… … Энциклопедический словарь

Плоские линии, прямоуг. координаты точек к рых удовлетворяют алгебр. ур нию 2 й степени. Среди Л. в. п. эллипсы (в частности, окружности), гиперболы, параболы … Естествознание. Энциклопедический словарь

Плоская линия, декартовы прямоугольные координаты к рой удовлетворяют алгебраич. уравнению 2 й степени Уравнение (*) может и не определять действительного геометрич. образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет… … Математическая энциклопедия

Множество точек 3 мерного действительного (или комплексноро) пространства, координаты к рых в декартовой системе удовлетворяют алгебраич. уравнению 2 й степени (*) Уравнение (*) может и не определять действительного геометрич. образа, в таких… … Математическая энциклопедия

Слово это, весьма часто употребляемое в геометрии кривых линий, имеет не вполне определенное значение. Когда это слово применяется к незамкнутым и неразветвляющимся кривым линиям, то под ветвью кривой подразумевается каждая непрерывная отдельная… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Линии второго порядка, два диаметра, каждый из которых делит пополам хорды этой кривой, параллельные другому. С. д. играют важную роль в общей теории линий второго порядка. При параллельном проектировании эллипса в окружность его С. д.… …

Линии, которые получаются сечением прямого кругового Конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. К. с. могут быть трёх типов: 1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; линия… … Большая советская энциклопедия

Линии, к рые получаются сечением прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. К. с. могут быть трех типов: 1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости (рис., а):линия пересечения… … Математическая энциклопедия

Раздел геометрии. Основными понятиями А. г. являются простейшие геометрические образы (точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка). Основными средствами исследования в А. г. служат метод координат (см. ниже) и методы… … Большая советская энциклопедия

Если в уравнении эллипса

1 заменитьx на− x ,

то его вид не изменится. Это

означает, что если точка M (x , y )

принадлежит кривой, то точка

M 1 (− x , y ) также принадлежит

Краткий курс аналитической геометрии. Учебник. Гриф МО РФ , Ефимов Николай Владимирович. Предметом изучения аналитической геометрии являются фигуры, которые в декартовых координатах задаются уравнениями первой или второй степени. На плоскости это прямые и линии второго порядка. В…

1. Линии второго порядка на евклидовой плоскости.

2. Инварианты уравнений линий второго порядка.

3. Определение вида линий второго порядка по инвариантам ее уравнения.

4. Линии второго порядка на аффинной плоскости. Теорема единственности.

5. Центры линий второго порядка.

6. Асимптоты и диаметры линий второго порядка.

7. Привидение уравнений линий второго порядка к простейшему.

8. Главные направления и диаметры линий второго порядка.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Линии второго порядка в евклидовой плоскости.

Определение:

Евклидова плоскость – это пространство размерности 2,

(двумерное вещественное пространство).

Линии второго порядка представляют собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий.

Если секущая плоскость пересекает все прямолинейные образующие одной полости конуса, то в сечении получится линия, называемая эллипсом (рис. 1.1,а). Если секущая плоскость пересекает образующие обеих полостей конуса, то в сечении получится линия, называемая гиперболой (рис. 1.1,6). И, наконец, если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса (на 1.1, в - это образующая АВ), то в сечении получится линия, называемая параболой. Рис. 1.1 дает наглядное представление о форме рассматриваемых линий.

Рисунок 1.1

Общее уравнение линии второго порядка имеет следующий вид:

(1)

(1*)

Эллипсом называется множесво точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Очевидно, если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Для вывода канонического уравнения эллипса выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка F 1 F 2 , а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 1.2 (если фокусы F 1 и F 2 совпадают, то О совпадает с F 1 и F 2 , а за ось Ох можно взять любую ось, проходящую через О).

Пусть длина отрезка F 1 F 2 F 1 и F 2 соответственно имеют координаты (-с, 0) и (с, 0). Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении эллипса. Очевидно, 2а > 2с, т. е. а > с ( Если М - точка эллипса (см. рис. 1.2), то | MF ] |+ | MF 2 | = 2 a , а так как сумма двух сторон MF 1 и MF 2 треугольника MF 1 F 2 больше третьей стороны F 1 F 2 = 2c, то 2а > 2с. Случай 2а = 2с естественно исключить, так как тогда точка М располагается на отрезке F 1 F 2 и эллипс вырождается в отрезок.).

Пусть М - точка плоскости с координатами (х, у) (рис. 1.2). Обозначим через r 1 и r 2 расстояния от точки М до точек F 1 и F 2 соответственно. Согласно определению эллипса равенство

r 1 + r 2 = 2а (1.1)

является необходимым и достаточным условием расположения точки М (х, у) на данном эллипсе.

Используя формулу расстояния между двумя точками, получим

(1.2)

Из (1.1) и (1.2) вытекает, что соотношение

(1.3)

представляет собой необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данном эллипсе. Поэтому соотношение (1.3) можно рассматривать как уравнение эллипса. Путем стандартного приема «уничтожения радикалов» это уравнение приводится к виду

(1.4) (1.5)

Так как уравнение (1.4) представляет собой алгебраическое следствие уравнения эллипса (1.3), то координаты х и у любой точки М эллипса будут удовлетворять и уравнению (1.4). Поскольку при алгебраических преобразованиях, связанных с избавлением от радикалов, могли появиться «лишние корни», мы должны убедиться в том, что любая точка М, координаты которой удовлетворяют уравнению (1.4), располагается на данном эллипсе. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что величины r 1 и r 2 для каждой точки удовлетворяют соотношению (1.1). Итак, пусть координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (1.4). Подставляя значение у 2 из (1.4) в правую часть выражения (1.2) для г 1 после несложных преобразований найдем, что

, тогда .

Совершенно аналогично найдем, что

. Таким образом, для рассматриваемой точки М , (1.6)

т. е.r 1 + r 2 = 2а, и поэтому точка М располагается на эллипсе. Уравнение (1.4) называется каноническим уравнением эллипса. Величины а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса (наименование «большая» и «малая» объясняется тем, что а>Ь).

Замечание . Если полуоси эллипса а и b равны, то эллипс представляет собой окружность, радиус которой равен R = a = b , а центр совпадает с началом координат.

Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек, F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная ( Фокусы F 1 и F 2 гиперболы естественно считать различными, ибо если указанная в определении гиперболы постоянная не равна нулю, то нет ни одной точки плоскости при совпаденииF 1 и F 2 , которая бы удовлетворяла требованиям определения гиперболы. Если же эта постоянная равна нулю и F 1 совпадает с F 2 , то любая точка плоскости удовлетворяет требованиям определения гиперболы.).

Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем начало координат в середине отрезка F 1 F 2 , а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 1.2. Пусть длина отрезка F 1 F 2 равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки F 1 и F 2 соответственно имеют координаты (-с, 0) и (с, 0) Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении гиперболы. Очевидно, 2a< 2с, т. е. a < с. Мы должны убедиться в том, что уравнение (1.9), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (1.8), не приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (1.9), величины r 1 и r 2 удовлетворяют соотношению (1.7). Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формул (1.6), найдем для интересующих нас величин r 1 и r 2 следующие выражения:

(1.11)

Таким образом, для рассматриваемой точки М имеем

, и поэтому она располагается на гиперболе.

Уравнение (1.9) называется каноническим уравнением гиперболы. Величины а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.

Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости.