Основные свойства сложения и умножения чисел.
Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых значение суммы не меняется. Для любых чисел a и b верно равенство
Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего. Для любых чисел a, b и c верно равенство
Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей значение произведения не изменяется. Для любых чисел а, b и c верно равенство
Сочетательное свойство умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.
Для любых чисел а, b и c верно равенство
Распределительное свойство: чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и сложить полученные результаты. Для любых чисел a, b и c верно равенство
Из переместительного и сочетательного свойств сложения следует: в любой сумме можно как угодно переставлять слагаемые и произвольным образом объединять их в группы.
Пример 1 Вычислим сумму 1,23+13,5+4,27.
Для этого удобно объединить первое слагаемое с третьим. Получим:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
Из переместительного и сочетательного свойств умножения следует: в любом произведении можно как угодно переставлять множители и произвольным образом объединять их в группы.
Пример 2 Найдём значение произведения 1,8·0,25·64·0,5.
Объединив первый множитель с четвёртым, а второй с третьим, будем иметь:
1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.
Распределительное свойство справедливо и в том случае, когда число умножается на сумму трёх и более слагаемых.
Например, для любых чисел a, b, c и d верно равенство
a(b+c+d)=ab+ac+ad.
Мы знаем, что вычитание можно заменить сложением, прибавив к уменьшаемому число, противоположное вычитаемому:
Это позволяет числовое выражение вида a-b считать суммой чисел a и -b, числовое выражение вида a+b-c-d считать суммой чисел a, b, -c, -d и т. п. Рассмотренные свойства действий справедливы и для таких сумм.
Пример 3 Найдём значение выражения 3,27-6,5-2,5+1,73.
Это выражение является суммой чисел 3,27, -6,5, -2,5 и 1,73. Применив свойства сложения, получим: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) =-4.
Пример 4 Вычислим произведение 36·().
Множитель можно рассматривать как сумму чисел и -. Используя распределительное свойство умножения, получим:
36()=36·-36·=9-10=-1.
Тождества
Определение. Два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
Определение. Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.
Найдём значения выражений 3(x+y) и 3x+3y при x=5, y=4:
3(x+y)=3(5+4)=3·9=27,
3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.
Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных соответственные значения выражений 3(x+y) и 3x+3y равны.
Рассмотрим теперь выражения 2x+y и 2xy. При x=1, y=2 они принимают равные значения:
Однако можно указать такие значения x и y, при которых значения этих выражений не равны. Например, если x=3, y=4, то
Выражения 3(x+y) и 3x+3y являются тождественно равными, а выражения 2x+y и 2xy не являются тождественно равными.
Равенство 3(x+y)=x+3y, верное при любых значениях x и y, является тождеством.
Тождествами считают и верные числовые равенства.
Так, тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами:
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),
ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.
Можно привести и другие примеры тождеств:
a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),
a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.
Тождественные преобразования выражений
Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.
Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.
Чтобы найти значение выражения xy-xz при заданных значениях x, y, z, надо выполнить три действия. Например, при x=2,3, y=0,8, z=0,2 получаем:
xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.
Этот результат можно получить, выполнив лишь два действия, если воспользоваться выражением x(y-z), тождественно равным выражению xy-xz:
xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.
Мы упростили вычисления, заменив выражение xy-xz тождественно равным выражением x(y-z).
Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач. Некоторые тождественные преобразования уже приходилось выполнять, например, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила выполнения этих преобразований:
чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть;
если перед скобками стоит знак "плюс", то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки;
если перед скобками стоит знак "минус", то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки.
Пример 1 Приведём подобные слагаемые в сумме 5x+2x-3x.
Воспользуемся правилом приведения подобных слагаемых:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения.
Пример 2 Раскроем скобки в выражении 2a+(b-3c).
Применив правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак "плюс":
2a+(b-3c)=2a+b-3c.
Проведённое преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.
Пример 3 Раскроем скобки в выражении a-(4b-c).
Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак "минус":
a-(4b-c)=a-4b+c.
Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения и сочетательном свойстве сложения. Покажем это. Представим в данном выражении второе слагаемое -(4b-c) в виде произведения (-1)(4b-c):
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).
Применив указанные свойства действий, получим:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.
Числа и выражения, из которых составлено исходное выражение, можно заменять тождественно равными им выражениями. Такое преобразование исходного выражения приводит к тождественно равному ему выражению.
Например, в выражении 3+x число 3 можно заменить суммой 1+2 , при этом получится выражение (1+2)+x , которое тождественно равно исходному выражению. Другой пример: в выражении 1+a 5 степень a 5 можно заменить тождественно равным ей произведением, например, вида a·a 4 . Это нам даст выражение 1+a·a 4 .
Данное преобразование, несомненно, искусственно, и обычно является подготовкой к каким-либо дальнейшим преобразованиям. Например, в сумме 4·x 3 +2·x 2 , учитывая свойства степени, слагаемое 4·x 3 можно представить в виде произведения 2·x 2 ·2·x . После такого преобразования исходное выражение примет вид 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Очевидно, слагаемые в полученной сумме имеют общий множитель 2·x 2 , таким образом, мы можем выполнить следующее преобразование - вынесение за скобки. После него мы придем к выражению: 2·x 2 ·(2·x+1) .
Прибавление и вычитание одного и того же числа
Другим искусственным преобразованием выражения является прибавление и одновременное вычитание одного и того же числа или выражения. Такое преобразование является тождественным, так как оно, по сути, эквивалентно прибавлению нуля, а прибавление нуля не меняет значения.
Рассмотрим пример. Возьмем выражение x 2 +2·x . Если к нему прибавить единицу и отнять единицу, то это позволит в дальнейшем выполнить еще одно тождественное преобразование - выделить квадрат двучлена : x 2 +2·x=x 2 +2·x+1−1=(x+1) 2 −1 .
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Цели урока:
- Усовершенствовать умения применять ранее полученные знания для подготовки к ГИА в 9 классе.
- Научить умению анализировать, творчески подходить к поставленной задаче.
- Воспитывать культуру и оперативность мышления, познавательный интерес к математике.
- Помочь учащимся подготовиться к ГИА.
- Систематизировать теоретические знания учащихся.
- Усилить практическую направленность данной темы при подготовке к ГИА.
- Формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей решения.
Оборудование: мультимедийный проектор, рабочие листки с заданиями, часы.
План урока: 1. Организационный момент.
- Актуализация знаний.
- Отработка теоретического материала.
- Итог урока.
- Домашнее задание.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент.
1) Приветствие учителя.
Криптография – наука о способах преобразования (шифрования) информации с целью ее защиты от незаконных пользователей. Один из таких способов называется “решетка”. Он принадлежит к числу к числу сравнительно простых и тесно связан с арифметикой, но такой, которая в школе не изучается. Образец решетки перед вами. Кто-нибудь догадается, как им пользоваться.
– разгадка послания.
“Все, что перестает удаваться, перестает и привлекать”.
Франсуа Ларашфуко.
2) Сообщения темы урока, целей урока, плана урока.
– слайды в презентации.
II. Актуализация знаний.
1) Устная работа.
1. Числа. Какие числа вы знаете?
– натуральные – это числа 1,2,3,4… которые употребляются при счете
– целые – это числа …-4,-3,-2,-1,0,1, 2… натуральные, противоположные им и число 0.
– рациональные – это числа целые и дробные числа
– иррациональные – это бесконечные десятичные непериодические дроби
– действительные – это рациональные и иррациональные.
2. Выражения. Какие выражения вы знаете?
– числовые – это выражения, состоящие из чисел, соединенных знаками арифметических действий.
– буквенные – это выражение, содержащее некоторые переменные величины, числа и знаки действий.
– целые – это выражения, состоящие из чисел и переменных с использованием действий сложения, вычитания, умножения и деления на число.
– дробные – это целые выражения с использованием деления на выражение с переменной.
3. Преобразования. Какие основные свойства используются при выполнении преобразований?
– переместительное – для любых чисел а и в верно: а+в=в+а, ав=ва
– сочетательное – для любых чисел а, в, с верно: (а+в)+с=а+(в+с),(ав)с=а(вс)
– распределительное – для любых чисел а, в, с верно: а(в+с)=ав+ас
4. Выполните:
– расположите в порядке возрастания числа: 0,0157; 0,105; 0,07
– расположите числа в порядке убывания: 0,0216; 0,12; 0,016
– одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу v68. Какая это точка?
– какой точке соответствуют числа
– на координатной прямой отмечены числа а и в. Какое из следующих утверждений является верным?
III. Отработка теоретического материала.
1. Работа в тетрадях, у доски.
У каждого обучающего есть рабочий листок, где записаны задания для работы в тетрадях, на уроке. В правом столбце этого листка задания для работы на уроке, а в левом столбце – домашняя работа.
Для работы у доски выходят ученики.
Задание №1. В каком случае выражение преобразовано в тождественное равное.
Задание №3. Разложите на множители:
а 3 – ав – а 2 в + а 2 ; х 2 у – х 2 -у +х 3 .
2х+ у + у 2 – 4х 2 ; а – 3в +9в 2 -а 2 .
2. Самостоятельная работа.
На рабочих листах у вас есть самостоятельная работа, внизу после текста есть таблица, в нее вы заносите число под правильным ответом. На выполнение работы – 7 минут.
Тест “Числа и преобразования”
1. Запишите 0,00019 в стандартном виде.
1)0,019*10 -2 ; 2)0,19*10 -3 ; 3)1,9*10 -4 ; 4)19*10 -5
2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу
3. О числах а и в известно, что а>0, в>0, а>4в. Какое из следующих неравенств неверно?
1) а-2а>-3в; 2) 2а>8в; 3) а/4>в-2; 4) а+3>в+1.
4.Найдите значение выражения: (6х – 5у):(3х+у), если х=1,5 а у=0,5.
1) 1,5; 2) 1,3; 3) 1,33; 4) 2,5.
5.В какое из приведенных выражений можно преобразовать выражение (7 – х)(х – 4)?
1)– (7 –х)(4 – х); 2) (7 – х)(4 – х);
3) – (х – 7)(4 – х); 4) (х – 7)(х-4).
После выполнения работы проверка осуществляется с помощью программы АСУОК (автоматизированная система управления обучения и контроля). Ребята меняются тетрадями с соседом по парте и совместно с учителем проверяют тест.| задание | |||||
| Ответ: | 3 | 1 | 1 | 2 | 1 |
6. Итог урока.
Сегодня на уроке вы решали задания подобранные из сборников для подготовки к ГИА. Это малая часть того, что нужно повторить для отличной сдачи экзамена.
– Урок закончен. Что вам полезного принес урок?
“Эксперт – это, человек, который больше уже не думает, он знает”. Френк Хаббард.
7. Домашняя работа
На листочках задания для выполнения дома.
Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов.
Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.
Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.
Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных.
Такие многочлены называют многочленами стандартного вида
.
За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.
Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени.
Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.
Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:
Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.
Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.
Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена
С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.
Этот результат обычно формулируют в виде правила.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.
Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.
Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов
Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.
Обычно пользуются следующим правилом.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.
Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов
С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.
Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с
таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.
Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.