Конспект к уроку математики "Решение неравенств и систем неравенств". Урок творческого обобщения Тема урока «Решение неравенств и систем неравенств с одной переменной» - Урок

В этом видеоматериале пойдет речь о решении неравенств, которые имеют переменную. Они так и называются - неравенствами с одной переменной. Что же является решением таких неравенств? Это такие значения переменной, при которых решаемое нами неравенство становится верным числовым неравенством. А решить неравенство с переменной - значит найти все его решения или доказать, что их нет. Для нахождения этих решений мы используем свойства числовых неравенств, которые рассматривались ранее.

Рассмотренный в видео уроке простой пример показывает, как важно иметь четкий алгоритм решения, иначе говоря, знать правила решения неравенств.

Вот предлагается простое неравенство 2х + 5 < 7. Представим себе, что алгоритма решения у нас нет. Значит, мы будем перебирать все числа и смотреть, какие из них нам подходят, то есть при каких значениях переменной х данное неравенство станет верным числовым неравенством. Просматривая видео, замечаем, что подстановка одних чисел дает нам верное числовое неравенство, а подстановка других этого не дает. Приведенный пример показывает неэффективность данного способа решения.

Обратимся к свойствам числовых неравенств. Мы знаем, что к обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число. От этого неравенство не изменится. Также мы знаем, что обе части неравенства можно делить или умножать на одно и то же положительное число. В видео уроке показано, как, используя эти свойства, можно найти решение заданного неравенства. Получилось, что х < 1. Это значит, что все числа х, меньше единицы, являются решением неравенства. Они образуют открытый промежуток от минус бесконечности до единицы (числовой луч). Другими словами, у нас есть множество решений заданного неравенства. Окончательное решение неравенства можно записать, используя такие формы.

Первая форма записи: х < 1 (х меньше единицы).

Вторая форма записи: х Є (-∞; 1) (х принадлежит промежутку от минус бесконечности до единицы).

На основании рассмотренных ранее свойств числовых неравенств, можно сформулировать правила, с помощью которых решаются неравенства с одной переменной. Эти правила сформулированы в настоящем видео уроке.

Неравенства с одной переменной вида ах + b > 0 или ах + b < 0 называются линейными неравенствами. Неравенства могут также быть нестрогими, то есть содержать знак ≥ или ≤.

Зх - 5 ≥ 7х - 15.

Для решения неравенства применяются уже известные нам правила. Сначала члены, содержащие переменную, собираем в левой части. При переносе из правой части в левую часть, слагаемое 7х, меняет знак. Числовые члены неравенства собираем в правой части, опять же не забывая менять знаки.

Далее придется разделить обе части неравенства на отрицательное число -4. В результате такого деления получается неравенство противоположного смысла. Обратите внимание, что в ходе решения мы постоянно пользуемся правилами решения неравенств. Окончательно получается, что х ≤ 2,5. Решение можно записать, используя любую из форм:

1. х ≤ 2,5 (х меньше либо равен 2,5);

2. х Є (-∞; 2,5] (х принадлежит промежутку от минус бесконечности до 2,5).

При изучении уравнений было рассмотрено понятие об их равносильности. Для неравенств тоже существует это понятие. Два неравенства с одной переменной будут равносильными, если решения этих неравенств совпадают. Если неравенства не имеют решений, то они также являются равносильными.

Существование равносильных неравенств позволяет намного упростить решение. Ведь тогда неравенство можно заменить равносильным ему, но более простым неравенством.

С помощью таких равносильных преобразований решается пример 2 настоящего видео урока.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока : урок применения знаний, умений, навыков в новой ситуации.

Цели урока :

обучающая : в результате урока учащиеся обобщают и систематизируют знания по теме «Неравенства», знакомятся с новым способом решения некоторых логарифмических неравенств.
развивающая : в результате урока учащиеся учатся анализировать, выделять главное, доказывать и опровергать логические выводы;
воспитательная : в результате урока учащиеся развивают коммуникативные навыки, ответственное отношение к достижению цели.

Оборудование компьютер, мультимедийный проектор.

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний

«Решение неравенств» – тема очень актуальная в математике. С неравенствами мы встречались на уроках алгебры, начиная с 8 класса. Мы рассматривали разные виды и разные способы решения неравенств. Сегодня мы вспомним основные виды неравенств, назовём способы их решений и познакомимся с некоторыми приёмами, упрощающими их решения. Слайд 1

Чтобы решать сложные неравенства, надо хорошо знать решение простейших неравенств.

Сообщение учащегося

1. Виды неравенств и их решение.

Вид неравенства	Решение
Линейные
Содержащие чётную степень
Содержащие нечётную степень
Иррациональные
Иррациональные
Показательные
Логарифмические
Тригонометрические	При решении используют тригонометрическую окружность или график соответствующей функции

Вопрос учащимся: Какие преобразования используют при решении неравенств?

Учащиеся называют : возведение в чётную или нечётную степень, логарифмирование, потенцирование, применение формул, позволяющие привести неравенство к более простому виду.

Вопрос: Что может произойти с множеством решений неравенства в процессе преобразований?

Учащиеся отмечают, что множество решений либо не меняется, либо расширяется (можно получить посторонние решения), либо сужается (можно потерять решения).

Поэтому важно знать какие преобразования неравенств, являются равносильными и при каких условиях.

Сообщение учащегося

2. Равносильность неравенств.

Перечислим некоторые преобразования неравенств, приводящие данное неравенство к неравенству, равносильному ему на множестве всех действительных чисел.

Назовем преобразования неравенств, приводящие исходное неравенство к неравенству равносильному ему на некотором множестве чисел

Возведение неравенства в чётную степень; (на множестве где обе функции неотрицательны)
Потенцирование неравенства; (на множестве где обе функции положительны)
Умножение обеих частей неравенства на функцию; (на множестве где функция положительна)
Применение некоторых формул (логарифмических, тригонометрических и др.) (на множестве где одновременно определены обе части применяемой формулы)

Фронтальная работа

Вопрос учащимся: Равносильны ли неравенства? Почему?

II. Изучение нового материала

Учитель: В зависимости от интерпретации неравенства различают

алгебраический
функциональный
графический
геометрический

подходы в решении неравенств. При алгебраическом подходе выполняют равносильные общие или частичные преобразования неравенств. При функциональном подходе используют свойства функций (монотонность, ограниченность и т.д.). Основой геометрического подхода является интерпретация неравенств и их решений на координатной прямой, координатной плоскости или в пространстве. В некоторых случаях алгебраический и функциональный подходы взаимно заменяемые.

Среди алгебраических методов решения неравенств выделяют:

Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем
Метод замены
Разбиение области определения неравенства на подмножества

Говорят, что лучше решить одно неравенство, но разными способами, чем несколько неравенств одним и тем же способом. Поиски разных способов решения, рассмотрение всех возможных случаев, критическая оценка их с целью выделения наиболее рационального, красивого, является важным фактором развития математического мышления, уводят от шаблона. Поэтому сегодня мы попытаемся искать наиболее рациональные способы решения неравенств.

Логарифмическое неравенство можно свести к равносильной совокупности систем неравенств

Решите неравенство : (учащиеся работают в группах)

Ответ:

Учитель: Оказывается, что данное неравенство можно решить иначе.

Зная свойства логарифма о том, что log а b < 0, если a и b по разные стороны от 1, log a b > 0, если a и b по одну сторону от 1, можно получить очень интересный и неожиданный способ решения неравенства. Об этом способе написано в статье “Некоторые полезные логарифмические соотношения” в журнале “Квант” № 10 за 1990 год.

04.03.2015 1800 529 Гудова Людмила Владимировна

Тип урока: интегрированный урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков.

Цели урока:

Систематизация знаний, умений и навыков при решении систем линейных неравенств с одной переменной.
Совершенствование вычислительных навыков устного и письменного счета, развитие умений применять знания на практике в новых условиях и умения комментировать свои действия.
Привитие интереса к предмету и к выбору профессии, самостоятельности и умения работать в заданном темпе.
Развитие математической речи учащихся.

Задачи:

― систематизировать знания и умения по данной теме;

― используя знания и умения учащихся, направлять их деятельность на осуществление выбора эффективных способов решения задач;

― для формирования коммуникативных умений развивать навыки работы в малых группах (парах);

― для формирования организационных умений осуществлять навыки саморегуляции, самоконтроля;

― развивать логическое мышление, математическую речь;

― воспитывать познавательный интерес, направлять учащихся осуществлять расширенный поиск информации с использованием ресурсов из интернета;

― формировать устойчивые положительные мотивы.

Ход урока

I. Организационный момент.

План урока

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

3. Самостоятельная работа в парах (взаимооценка)

4. Физминутка.

5. Выполнение упражнений в группах

6. Домашнее задание.

7. Итог урока.

I Организационный момент.

Взаимное приветствие, фиксация отсутствующих. Прежде чем перейти к теме нашего урока давайте проведем тренинг. «Чемодан» - каждому на спину крепится лист, у всех в руках ручки, все подходят друг к другу и пишут человеку его хорошие качества, которые ему больше всего понравились…

Тема нашего урока Решение неравенств и систем неравенств.

Вопрос: Как вы думаете, какова цель нашего урока?

Ответ: повысить качество знаний, ликвидировать пробелы в знаниях, подготовиться к экзаменам.

Учитель . Молодцы ребята. Цель нашего урока: применение знаний и умений при обобщении темы « Решение неравенств и систем неравенств », при подготовке к экзаменам.

Попробуйте сформулировать задачи, с помощью которых мы добьемся этой цели.

Сегодня у нас с вами необычный урок. А чтобы узнать, о чем пойдет речь на нашем уроке, мы с вами выполним задания устной работы.

II. Устная работа.

1. Вычислите. Зашифрованное слово - род деятельности человека. (Презентация1, Слайд 2)

Ф. 12*5 = 60	Р. (56 + 16) : 2 = 36	Е. 48: 6 + 35: 5 = 15
С. 36: 4 = 9	П. 15 * 4 - 38 = 22	С. 850: (350: 7) = 17
О. 8 * 9 = 72	И. 40 * (31 - 28) = 120	Я. 64: 2 - 16 = 16

О чем пойдет речь на нашем уроке? Правильно о профессиях. А что такое профессия? (Презентация1, Слайд 3)

Вы в этом году заканчиваете школу, а какую профессию вы хотите выбрать? А нужна ли математика в вашей профессии? Тогда давайте продолжим наш урок.

2. Прочитайте: (Презентация1, Слайд 4)

3 Игра «Реши неравенства» (неравенства заранее записаны стороне доски).

Мини-итог.

Молодцы! Но для хорошего овладения профессией необходимы прочные навыки вычислений. Давайте сейчас проверим, как хорошо вы считаете.

III. Самостоятельная работа (Работа в парах, образованных по названиям фруктов и овощей).

Откройте тетради. Запишите число, классная работа, тема урока "Решение неравенств и систем неравенств".

Итак, мы знакомимся с профессиями. Для этого надо решить системы неравенств.

Открываем учебник на странице 181 № 532 (а,б первый ученик; в, г-второй ученик, затем обмениваются тетрадями и оценивают друг друг)

Молодцы! Мы познакомимся с профессией (экономиста). (Презентация1, Слайд 14 ).

Какие профессии хотите выбрать вы? Почему? Что это за профессии?

IV. Физминутка.

Прежде чем вы приступите к работе надо выполнить физминутку. (Упражнения для снятия напряжения с глаз).

Физкультминутка. «Прививка хорошего настроения».

Повернитесь лицом друг другу:
Пятачок (показывают на нос)
Улыбочка (разводят руки в стороны)
Колпачок (соединяют руки над головой)
Прививочка (щекочут друг друга).

Следующую профессию мы узнаем, решив другую систему неравенств. А для этого нам нужно объедениться в группы. (группы образуются по цвету стикера)

Вам в группе нужно решить определить при каких значениях х имеет смысл выражение.. Стр 182 № 537

Итоги урока. Рефлексия.

Домашнеезадание.

Скачать материал

Полный текст материала смотрите в скачиваемом файле.
На странице приведен только фрагмент материала.

Даный урок проводится в 11 классе по программе базового уровня. Цель урока: обобщить знания по теме «Решение неравенств с одной переменной». Рассматриваются неравенства разного вида. Повторяются способы решения неравенств.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Конспект открытого урока

«Решение неравенств с одной переменной»

Класс: 11б

Уровень:

Цель урока: обобщить знания по теме «Решение неравенств с одной переменной».

Задачи урока:

обучающие:

обобщить и систематизировать знания, полученные при изучении темы «Решение неравенств с одной переменной»;
рассмотреть решение неравенств с одной переменной различного вида;
рассмотреть общие способы решения неравенств с одной переменной (метод последовательных упрощений, метод интервалов, метод замены переменной, функционально-графический метод);
закрепить умение применять основные теоремы равносильности при решении неравенств с одной переменной;
способствовать расширению знаний по изучаемой теме;

развивающие:

развитие логического мышления, памяти, умения рассуждать, искать рациональный способ решения поставленной задачи;
формирование умений сравнивать, обобщать, анализировать изучаемые факты;
развитие у учащихся самостоятельности в мышлении и учебной деятельности;
развитие математической речи;

воспитывающие:

воспитание самоконтроля, ответственности, настойчивости в достижении поставленных целей;
повышать уровень учебной мотивации с использованием компьютерных технологий;
воспитание коллективизма, взаимопомощи и ответственности за общую работу;
воспитание аккуратности при выполнении практических заданий;
воспитывать внимательность, активность, уверенность в себе.

Тип урока: урок повторения и обобщения

Оборудование: две ученических доски, интерактивная доска, проектор, компьютер.

Программное обеспечение: Microsoft Word, Microsoft PowerPoint, 1С Математический конструктор 4.0, презентация к уроку.

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А. Г. Мордкович и др.] ; под ред. А. Г. Мордковича. – 4-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2013.

План урока:

1) организационный момент

2) повторение теоретических сведений по изучаемой теме

3) проверка домашнего задания, работа по карточкам

4) применение теоретических знаний на практике (решение задач устно и письменно по изучаемой теме)

5) самостоятельная работа

6) рефлексия

7) подведение итогов урока

8) запись домашнего задания

Ход урока.

Организационный момент.

Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку, вступительное слово учителя, название темы, целей урока, запись в тетрадях числа и темы урока (слайд 1)

Ребята, на доске отображено множество различных неравенств. Какие неравенства вы видите? (Тригонометрические, иррациональные, степенные, линейные, квадратные, логарифмические, показательные, дробно-рациональные.)

Что общего у этих неравенств? (Все неравенства содержат одну переменную.)

Начиная с восьмого класса вы изучаете решение таких неравенств. Сегодня на уроке мы поговорим о равносильности неравенств, применении теорем равносильности при их решении, а также вспомним основные методы решения неравенств с одной переменной. К концу урока пусть каждый из вас ответит на вопрос: «Насколько хорошо я владею тем или иным методом решения неравенств с одной переменной?»

Запишите в тетради число и тему урока «Решение неравенств с одной переменной».

Повторение теоретических сведений по изучаемой теме.

Учитель выдаёт карточки с индивидуальными заданиями разного уровня сложности.

Решите неравенство (1 уровень)	Решите неравенство (2 уровень)
№ 57.16а (домашнее задание)	№ 57.24а (домашнее задание)

Ответьте на вопрос: «Что называют решением неравенства?» (Решением неравенства f(x) > g(x) называют всякое значение переменной х, которое обращает неравенство в верное числовое неравенство.) Рассмотрите пример. Назовите другие частные решения данного неравенства и числа, не являющиеся решением. Найдите общее решение данного неравенства. Что является общим решением неравенства с одной переменной? (слайд 2)

Следующий вопрос: «Какие неравенства называются равносильными?» (Неравенства f(x) > g(x) и p(x) > h(x) равносильны, если их решения совпадают.) Равносильны ли неравенства: x 2 ≥ 0 и |x| ≥ 0; ? (Все неравенства решение которых множество действительных чисел – равносильны. Все неравенства решение которых пустое множество – равносильны.) (слайд 3) Используется инструмент «шторка».

Получить неравенство равносильное данному помогают теоремы равносильности. Повторим их и используем в решении неравенств устно. (слайд 5-10)

Используется инструмент «шторка».

Нам известны и ранее неоднократно при решении неравенств применялись четыре метода. Назовите их. (Метод последовательных упрощений, метод интервалов, метод замены переменной, функционально-графический метод.)

На экране вы видите четыре неравенства. Соотнесите каждое неравенство с соответствующем методом решения. (слайд 11)

Проверка домашнего задания. Учащиеся поясняют свое решение.

№ 57.16а (домашняя работа)

Решаем показательное неравенство методом замены переменной.

Пусть . Решаем методом интервалов.

t≥3,

Ответ:

х=1,5 х ∈ (0;1) ∪ (1; ∞ )

х=1

Ответ: х ∈ (1; 1,5) ∪ (2; ∞ )

№ 57.23б Выполнение данного номера предусмотрено на дополнительной доске.

Решаем неравенство графическим методом.

Построим график показательной функции y= . Построим график функции y= . Наблюдая за поведением графиков, выясняем, что решением неравенства является промежуток }