ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ VIII

§ 182 Основные свойства логарифмической функции

В этом параграфе мы изучим основные свойства логарифмической функции

y = log a x (1)

Напомним, что под а в формуле (1) мы подразумеваем любое фиксированное положительное число, отличное от 1.

Свойство 1. Областью определения логарифмической функции служит множество всех положительных чисел.

Действительно, пусть b есть произвольное положительное число. Покажем, что выражение log a b определено. Как мы знаем, log a b есть не что иное, как корень уравнения

а z = b (2)

Если а и b - положительные числа, причем а =/= 1, то такое уравнение по свойствам 2 и 5 показательной функции (см. § 179) всегда имеет и притом только один корень. Этим корнем и является log a b . Следовательно, log a b в данном случае определен.

Покажем теперь, что если b < 0, то выражение log a b не определено.

Действительно, если бы это выражение имело смысл, то оно давало бы корень уравнения (2); в таком случае должно было бы выполняться равенство

а log a b = b .

На самом же деле это равенство не выполняется, поскольку левая его часть представляет собой положительное, а правая - отрицательное число или нуль.

Итак, выражение log a b (а > 0, а =/=1) определено для всех положительных значений b , но не определено ни для какого отрицательного значения b , ни для b = 0. А это и означает, что областью определения функции y = log a x является множество всех положительных чисел.

1-е свойство логарифмической функции доказано. Геометрическая интерпретация этого свойства заключается и том, что график функции y = log a x целиком расположен в правой полуплоскости, которая соответствует только положительным значениям х (см. рис. 250 и 251).

Свойство 2. Областью изменения логарифмической функции служит множество всех чисел.

Это означает, что выражение log a x при различных значениях х может принимать любые числовые значения.

Пусть b - произвольное действительное число. Покажем, что существует число х , которое удовлетворяет условию

log a x = b . (3)

Тем самым и будет доказано свойство 2.

Соотношение (3) означает то же самое, что и соотношение

а b = x .

Число а - положительное. А степень любого положительного числа с произвольным показателем всегда определена. Поэтому, выбрав в качестве искомого значения х число а b , мы и удовлетворим условию (3).

Свойство 3. При а > 1 логарифмическая функция y = log a x является монотонно возрастающей, а при 0 < а < 1 - монотонно убывающей .

Пусть а > 1 и х 2 > х 1 . Докажем, что

log a x 2 > log a x 1 .

Для доказательства предположим противное: log a x 2 < log a x 1 или log a x 2 = log a x 1 . При а > 1 показательная функция у = а x монотонно возрастает. Поэтому из условия log a x 2 < log a x 1 вытекает, что а log a x 2 < а log a x 1 , Но а log a x 2 = x 2 , а log a x 1 = x 1 . Следовательно, x 2 < x 1 . А это противоречит условию, согласно которому x 2 > x 1 , К противоречию приводит и другое предположение: log a x 2 = log a x 1 . В этом случае должно было бы быть а log a x 2 < а log a x 1 или x 2 = x 1 . Остается признать, что

log a x 2 > log a x 1 .

Тем самым мы доказали, что при а > 1 функция у = log a x является монотонно возрастающей.

Случай, когда а < 1, предлагаем учащимся рассмотреть самостоятельно.

3-e свойство логарифмической функции допускает простую геометрическую интерпретацию. При а > 1 график функции у = log a x с ростом х все выше и выше поднимается (см. рис. 250), а при а < 1 он с ростом х все ниже и ниже опускается (см. рис. 251).

Следствие. Если логарифмы двух чисел по одному и тому же положительному основанию, отличному от 1, равны, то равны и сами эти числа.

Другими словами, из условия

log a x = log a y (a > 0, а =/= 1)

вытекает, что

х = у .

Действительно, если бы одно из чисел х и у было больше другого, то в силу монотонности логарифмической функции одно из чисел log a x и log a y было бы больше другого. Но это не так. Следовательно, х = у .

Свойство 4 . При х =1 логарифмическая функция у = log a x принимает значение, равное нулю .

Графически это означает, что независимо от а кривая у = log a x пересекается с осью х в точке с абсциссой х = 1 (см. рис. 250 и 251).

Для доказательства 4-го свойства достаточно заметить, что при любом положительном а

а 0 = 1.

Поэтому log a 1 = 0.

Свойство 5. Пусть а > 1. Тогда при х > 1 функция у = log a x принимает положительные, а при 0 < х < 1 - отрицательные значения.

Если же 0 < а < 1, то, наоборот, при х > 1 функция у = log a x принимает отрицательные, а при 0 < х < 1 - положительные значения.

Это свойство логарифмической функции также допускает простую графическую интерпретацию. Пусть, например, а >1. Тогда та часть кривой у = log a x , которая соответствует значениям х > 1, располагается выше оси х , а та часть этой кривой, которая соответствует значениям 0 < х < 1, находится ниже оси х (см. рис. 250). Аналогично может быть интерпретирован и случай, когда a < 1 (рис. 251).

5-е свойство логарифмической функции является простым следствием 3-го и 4-го свойств. Для определенности рассмотрим случай, когда а > 1. Тогда по 3-му свойству функция у = log a x будет монотонно возрастающей. Поэтому если х > 1,то log a x > log a 1. Но по 4-му свойству log a 1= 0. Следовательно, при х >1 log a x > 0. При х < 1 log a x < log a 1, то есть log a x < 0.

Аналогично может быть рассмотрен и случай, когда а < 1. Учащимся предлагается разобрать его самостоятельно.

К рассмотренным пяти свойствам логарифмической функции мы без доказательства добавим еще одно свойство, справедливость которого наглядно отражается на рисунках 250 и 251.

Свойство 6. Если а >1, то при х -> 0 значения функции у = log a x неограниченно убывают (у -> - ∞ ). Если 0 < а < 1, то при х -> 0 значения функции у = log a x неограниченно возрастают (у -> ∞ ).

Упражнения

1390. Найти области определения следующих функций:

а) y = log 2 (1 + х ); д) y = log 7 |x |;

б) y = log 1/3 (х 2 + 1); е) y = log 3 (x 2 + x - 2);

в) y = log 10 (4 + х 2) ж) y = log 0,5 (5x - x 2 - 6);

г) y = log 5 (-х ); з) y = log 6 (x 2 + x + 1).

1391. Для каких значений х в интервале 0 < х < 2π определены выражения:

а) log 2 (sin х ); в) log 4 (tg х );

б) log 3 (cos х ); г) log 5 (ctg х )?

1392. Что вы можете сказать о наибольших и наименьших значениях функций:

а) y = log 2 x ; б) y = | log 2 x | ?

1393. На основании какого свойства логарифмической функции можно утверждать, что

a) log 10 5 > log 10 4; б) log 0,1 5 < log 0,1 4?

1394. Какое число больше:

а) log 2 5 или log 2 6; в) log 1/3 2 или log 1/3 4;

б) log 5 1 / 2 или log 5 1 / 3 ; г) log 1/7 4 / 5 или log 1/7 5 / 6 ?

1395. Решить относительно х неравенства:

а) log 2 х > log 2 3; г) log 1/2 (3х ) < log 1/2 6;

б) log 3 х 2 > log 3 4; д) log 10 (х 2 - 1) > log 10 (4х + 4);

в) log 1/3 х > log 1/3 2; e) log 0,1 (1 - х 2) > log 0,1 (2х + 2).

1396. Что можно сказать о числе а , если

а) log a 7 > log a 6; в) log a 1 / 3 < log a 1 / 2 ;

б) log a 5 < log a 4; г) log a 5 > 0?

1397. Что можно сказать о числе а , если при любых значениях х

log a (х 2 + l) > log a х ?

1398. Между какими последовательными целыми числами заключены логарифмы:

a) log 2 5; б) log 3 8; в) log 1/3 7; г) log 1/2 9?

1399. Какие из данных чисел являются положительными и какие отрицательными:

а) log 2 5; в) log 1/2 5; д) log 7 1; ж) log π/ 3 4;

б) log 2 1 / 3 ; г) log 1/3 1 / 2 ; е) log π 3; з) log π/ 4 4?

1) При a > 0, a = 1, определена функция y = a x , отличная от

постоянной. Эта функция называется показательной функцией с основанием a.

2) Логарифмической называется функция вида у = loga x, где а – заданное число,

а > 0, а ≠ 1.

Рассмотрим свойства логарифмической функции.

1) Областью определения логарифмической функции является множество всех положительных чисел.

Это утверждение следует из определения логарифма, так как только при х > 0 выражение loga x имеем смысл.

2) Множество значений логарифмической функции представлено множеством R всех действительных чисел.

Это утверждение следует из того, что для любого числа b (b – действительное чсило) есть такое положительное число х, что loga x = b, т.е. уравнение Мы рассматриваем функцию вида Y = логорифм по основанию А, Х, где А больше нуля и А не равно единице.

Область определения функции - множество положительных чисел, а область значений - множество всех действительных чисел.

Ясно, что функция не является ни четной и ни нечетной, т.к. область определения не симетрична ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.

Y = нулю в одной точке - при Х = единице.

График логорифмической функции выглядит так. Проходит через точку один на оси Х, это в случае А больше единицы,

а при А меньше единицы и больше нуля он выглядит так.

Отметим промежутки знакапостоянства. Для А больше единицы, Y положительна в промежутке от единицы до плюс бесконечности и отрицательна в промежутке от нуля до единицы.

Если же А меньше единицы, то Y положитедьна в промежутке от нуля до единицы и отрицательна в промежутке от единицы до плюс бесконечности.

Все эти утверждения становятся очевидными, если посмотреть на график этой функции.

Удобно запоминать не эти утверждения, а вид графиков

при А больше единицы и при А меньше единицы, тогда промежутки знакапостоянства легко могут быть выведены.

Отметим также промежутки возрастания и убывания. При А больше единицы, функция возрастает на всей области определения: от нуля до плюс бесконечности,

а при А больше нуля и меньше единицы она убывает на всей области определения.

Функция не имеет экстремумов.

3) Логарифмом числа b по основанию a (b > 0, a > 0, a <> 1) называется показатель степени, в который нужно возвести число a, чтобы получить число b:

Это равенство, выражающее определение логарифма, называется основным логарифмическим тождеством. Равенство logab = x означает, что ax = b.

Логарифм по основанию 10 имеет специальное обозначение log10 x = lg x и называется десятичным логарифмом. Для десятичных логарифмов справедливы равенства:10lg x = x, lg 10n = n

Логарифм по основанию e имеет в математике большое значение. Число e приблизительно равно 2,7. Более точное выражение:e = 2,718281828459045...

однако само число e является иррациональным. Для логарифма по этому основанию также существует специальное обозначение loge x = ln x и название натуральный логарифм. Среди свойств числа e, в частности, можно отметить следующее: касательная к графику функции y = ex в точке (0; 1) образует с осью абсцисс угол 45°. Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы - это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

Эти правила обязательно надо знать - без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного - все можно выучить за один день

Графики (см.рисунок выше) функций y = xn и y =n x симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го квадрантов.

Пример 3.4.3. Функция f(x) = sin x, x [−π/2, π/2] возрастает и непрерывна. Поскольку f(±π/2) = ±1, то по теоремам1.1, 3.9, 3.11 существует обратная функция f−1 : [−1, 1] → [−π/2, π/2], которая возрастает и непрерывна. Её называют функцией "арксинус"и обозначают arcsin. Следовательно, функция arcsin каждому числу x [−1, 1] ставит

в соответствие такое число из отрезка " −π 2 ,π 2 # , синус которого равен x.

					y s6
					−1 s

Графики (см. рисунок) функций y = sin x, x " −π 2 ,π 2 # и y = arcsin x,

x [−1, 1] симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го квадрантов.

Замечание. Аналогично вводятся и рассматриваются непрерывная убывающая функция y = arccos x, которая действует из [−1, 1] в , и непрерывная возрастающая функция y = arctg x, которая действует из R

в (−π/2, π/2).

3.5 Показательная, логарифмическая и степенная функции

В школьном курсе алгебры и начал анализа определена степень a r числа a > 0 с рациональным показателем r, то есть на множестве Q

рациональных чисел определена показательная функция f(r) = ar , выяснены некоторые ее свойства:

1) a r > 0, r Q,

2) f возрастает на Q, если a > 1; f убывает на Q, если a (0, 1),

3) a p · aq = ap+q , p, q Q,

4) (a p )q = ap·q , p, q Q,

5) (a · b) p = ap · bp , p Q, a > 0 b > 0.

Докажем следующие утверждения.

Лемма 3.5.1.

lim a1/n = 1,

lim a−1/n = 1,

то ε > 0 N = N(ε) N: n > N

|a1/n − 1| < ε, |a−1/n − 1| < ε.

Пусть n0 N и n0 > N. Тогда

< a1/n 0 <

ε < a− 1/n 0

Следовательно, если δ =

(−δ, δ) T Q

ε < a−1/n 0 < ar < a1/n 0 <

: r (−δ, δ) T Q

справедливо

неравенство |a

− 1| < ε, что завершает доказательство.

Лемма 3.5.2. Пустьa > 0, {r n } - сходящаяся последовательность рациональных чисел. Тогда последовательность{a r n } сходится.

Покажем, что числовая последовательность {ar n } является фундаментальной. Заметим, что n, m N

|ar n − ar m | = ar m |ar n − r m − 1|.

Так как последовательность {rn } сходится, то существует такое рациональное число A, что rn ≤ A, n N. Следовательно, n N

ar n ≤ aA = B.

По лемме 3.5.1 ε > 0 δ = δ(ε) > 0: r (−δ, δ)T Q выполняется

неравенство

|ar − 1|

Из фундаментальности последовательности {rn } получаем:

N = N(δ) N: n > N, m > N |rn − rm | < δ.

Отсюда n > N, m > N

|ar n − ar m | = ar m |ar n −r m − 1| < B ·B ε = ε,

что означает фундаментальность последовательности {ar n }.

Определение 3.5.1. Пустьa > 0, x 0 R, {r n } - последовательность рациональных чисел, сходящаяся кx 0 . Положим

ax 0 = lim ar n .

Лемма 3.5.3. Определение3.5.1 корректно в том смысле, что ве-

личина предела lim a r n не зависит от выбора последовательности

рациональных чисел {r n } , сходящейся кx 0 .

Пусть {rn 0 }, {rn 00 } - произвольные последовательности рациональных чисел, сходящиеся к x0 . Согласно лемме3.5.2 соответствующие

последовательности {ar n0 }, {ar n00 } сходятся. Докажем, что lim ar n0 =

lim ar n 00 .

Составим новую последовательность {rn } такую, что

r n = rk 0 , если n = 2k − 1,

rk 00 , если n = 2k, k N.

Ясно, что она сходится к числу x0 . По лемме3.5.2 последовательность {ar n } сходится. Учитывая, что последовательности {ar n0 }, {ar n00 } являются подпоследовательностями последовательности {ar n }, получим

lim ar n 0 = lim ar n 00 = lim ar n .

n→∞ n→∞ n→∞

Замечание. Если x0 =p q - рациональное число, то величина сте-

пени ax 0 , найденная по определению3.5.1, совпадает со значением ap/q в ранее известном из школьного курса алгебры смысле, поскольку среди последовательностей рациональных чисел, сходящихся к x0 =p q , есть

последовательность {rn } : rn =p q , n N, и ar n = ap/q → ap/q .

Определение 3.5.2. Пустьa - некоторое положительное число иa 6= 1 . Функцию, определенную законом

x R → ax ,

называют показательной с основанием a .

Изучим некоторые свойства показательной функции.

Теорема 3.12. Еслиa > 1 , то функцияf(x) = a x возрастает наR . Если жеa (0, 1) , то функцияf(x) = a x убывает наR .

Докажем первую часть утверждения.

Фиксируем произвольные числа x1 , x2 R такие, что x1 < x2 . По принципу Архимеда существуют рациональные числа r1 , r2 такие, что x1 < r1 < r2 < x2 . Пусть {rn 0 }, {rn 00 } - последовательности рациональных чисел, сходящиеся соответственно к x1 и x2 , причем

rn 0 < r1 < r2 < rn 00 , n N.

По свойству 2 показательной функции, определенной на множестве Q рациональных чисел,

ar n 0 < ar 1 < ar 2 < ar n 00 , n N.

Переходя в крайних неравенствах к пределу при n → ∞ и учитывая определение 3.5.1, получим

ax 1 ≤ ar 1 < ar 2 ≤ ax 2 .

x1 , x2 R: x1 < x2 ax 1 < ax 2 ,

что доказывает возрастание функции f(x) = ax на множестве R, если a > 1.

Случай a (0, 1) рассматривается аналогично.

Теорема 3.13. Показательная функцияf(x) = a x наR принимает только положительные значения.

Для определенности рассмотрим показательную функцию с основанием a > 1.

Пусть x0 - произвольное действительное число. По принципу Архимеда найдется целое число n0 такое, что n0 ≤ x0 < n0 + 1. В силу возрастания функции f(x) = ax , имеем:

an 0 ≤ ax 0

Но по свойству 1 показательной функции, определенной на множестве Q рациональных чисел, an 0 > 0. Поэтому ax 0 > 0.

Теорема 3.14. Показательная функцияf(x) = a x непрерывна на множествеR действительных чисел.

Функция f монотонна на множестве R, поэтому имеет конечные односторонние пределы в точке x = 0. Поскольку

lim a1/n = lim a−1/n = 1,
то f(+0) = f(−0) = 1. Следовательно, существует предел
lim f(x) = 1 = a0 ,
что означает непрерывность функции f в точке x = 0.
Фиксируем теперь произвольную точку x0 6= 0 и произвольное число
ε > 0. Заметим, что
|f(x) − f(x0 )| = |ax − ax 0 | = ax 0 |ax−x 0 − 1|.
Так как функция f непрерывна в точке x = 0, то
δ = δ(ε) > 0: x R, |x − x0 | < δ |ax
				ax 0
Поэтому x R: |x − x0 | < δ |ax − ax 0 | < ax 0 ·			= ε, что доказывает
		ax 0

непрерывность функции f в произвольной точке x0 R.

Теорема 3.15. Если f(x) = ax , то f(R) = (0, +∞).

Но, как мы знаем, lim an = +					a−n = 0. Поэтому по теореме
Гейне о пределе функции
lim ax = +					ax = 0.

По замечанию 2 к теореме 3.9 f(−∞, +∞) = (0, +∞).

Согласно теореме 3.11 о непрерывности обратной функции к монотонной на интервале, показательная функция f(x) = ax имеет обратную f−1 : (0, +∞) → R, которая непрерывна, возрастает, если a > 1, и убывает, если a (0, 1). Её называют логарифмической с основанием a (a > 0, a 6= 1) и обозначают loga : (0, +∞) → R. В случае, если a = e, логарифм называют натуральным и обозначают символом ln.

Определение 3.5.3. Пустьα - некоторое действительное число, отличное от нуля. Функция, которая каждому положительномуx ставит в соответствиеx α , называется степенной,α - её показателем.