Размер: px
Начинать показ со страницы:
Транскрипт
1
Тема 8. Показательная и логарифмическая функции. 1. Показательная функция, ее график и свойства В практике часто используются функции y=2 x,y=10 x,y=(1 2x),y=(0,1) x и т. д., т. е. функция вида y=a x, где a - заданное число, x - переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени - заданное число. Функция, заданная формулой y=a x (где a>0,a 1), называется показательной функцией с основанием a. Сформулируем основные свойства показательной функции: 1. Область определения - множество R действительных чисел. 2. Область значений - множество R+ всех положительных действительных чисел. 3. При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0
2
2) для случая 0
3
График функции y=(1 2x), также проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ox Если x>0 и возрастает, то график быстро приближается к оси Ox (не пересекая ее); если x<0 и убывает, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид имеет график любой функции y=a x, если 0
4 q a p 4. a 4 = 1 a 4. Если p q -обыкновенная дробь (p>0,q 1) и a>0, то под a p q понимают p q, т.е. aq= a p = = 7 5,a = = (4 3) 2 =4 2 =16 Обрати внимание! Математики договорились возводить в дробные степени только неотрицательные числа (это оговорено в определении). Так что запись вида (8) 1 3 считается в математике лишенной смысла. Если p -обыкновенная дробь (q 1) и a>0, то под q a p q понимают 1, т.е. a p q = 1,a>0 p aq Можно выделить три основных метода решения показательных уравнений, которые приводятся в следующих теоретических материалах данного раздела. 3. Функционально-графический метод Метод основан на использовании графических иллюстраций или какихлибо свойств функций. В одной системе координат строим графики функций, записанные в левой и в правой частях уравнения, затем, находим точку (точки) их пересечения. Абсцисса найденной точки является решением уравнения. 1. Решить уравнение 5 x =6 x Построим в одной системе координат графики функций y=5 x и y=6 x p aq 4
5 Они пересекаются в одной точке (1; 5). Проверка показывает, что на самом деле точка (1; 5) удовлетворяет и уравнению y=5 x, и уравнению y=6 x. Абсцисса этой точки служит единственным корнем заданного уравнения, поскольку y=5 x возрастающая функция, а y=6 x убывающая функция. Итак, уравнение 5 x =6 x имеет единственный корень x=1. 2. Решить уравнение: (1 3)x =3; Построив в одной системе координат графики функций y=(1 3)x и y=3, 5
6 замечаем (см. рис.), что они имеют одну общую точку (-1; 3). Значит, уравнение (1 3)x =3; имеет единственный корень x= 1. Итак, из уравнения (1 3)x =(1 3)-1 мы получили x= Метод уравнивания показателей Так как равенство a t =a s, где a>0,a 1 справедливо тогда и только тогда, когда t=s, то верно следующее утверждение: Показательное уравнение a f(x) =a g(x) (где a>0, a 1) равносильно уравнению f(x)=g(x). 1. Решить уравнение: 2 2x 4 =64 Представив 64 как 2 6, перепишем заданное уравнение в виде 2 2x 4 =2 6 Это уравнение равносильно уравнению 2x 4=6, откуда находим: x=5 2. Решить уравнение: (13) 2x 3,5 = 13; Представим 13 как, перепишем заданное уравнение в виде (13) 2x 3,5 =(13) 0,5. Это уравнение равносильно уравнению 2x 3,5=0,5, откуда находим: x=2. 6
7 5. Метод введения новой переменнойия: Способ подстановки применяется в более сложных примерах. Он заключается в следующем. Показательное уравнение можно решить, введя новое обозначение. После подстановки в исходное уравнение нового обозначения, получим новое, более простое уравнение, решив которое, возвращаемся к подстановке и находим корни исходного уравнения. Рассмотрим способ подстановки на примерах. Решить уравнение: 9 x 4 3 x 45=0. Заменой 3 x =t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t 2 4t 45=0. Решая это уравнение, находим его корни: t 1 =9, t 2 = 5, откуда 3 x =9, 3 x = 5. Уравнение 3 x =9 имеет корень x=2, а уравнение 3 x = 5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения. x=2. Решить уравнение: 4 x +2 x+1 24=0 Заметив, что 4 x =(2 2) x =2 2x, а 2 x+1 =2 2 x, перепишем заданное уравнение в виде (2 x)2+2 2 x 24=0. Введем новую переменную y=2 x ; тогда уравнение примет вид y 2 +2y 24=0. Решив квадратное уравнение относительно y, находим: y 1 =4, y 2 = 6. Но y=2 x значит, нам остается решить два уравнения: 2 x =4; 2 x = 6. Из первого уравнения находим x=2, а второе уравнение не имеет корней, поскольку при любых значениях x выполняется неравенство 2 x >0. Ответ: Показательные неравенства Показательными неравенствами называют неравенства вида a f(x) >a g(x), где a - положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду. Неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции: - для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее аргумента - для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. 7
8
Показательная функция y=a x возрастает при a>1 и убывает при 0
9
Это неравенство равносильно неравенству того же смысла 2x 4>6, т.к. основание равно 2>1 (a>1), откуда находим x>5. Показательное неравенство a f(x) >a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла f(x)
10 Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом, вместо log 10 b пишут lgb. Логарифм по основанию е, где е - иррациональное число, приближенно равное 2,7, называют натуральным логарифмом. Вместо log e b пишут lnb. 8. Основное логарифмическое тождествоя: Определение логарифма можно еще записать так: a log a b =b, где b>0, a>0, a 1. Это равенство называют основным логарифмическим тождеством log 13 2 =2 9. Логарифмическая функция, ее свойства и график Функцию, заданную формулой y=log a x, называют логарифмической функцией с основанием a. (a>0, a 1) 10
11
Основные свойства логарифмической функции: 1. Область определения логарифмической функции - множество всех положительных чисел. D(f)=(0;+); 2. Множество значений логарифмической функции - множество R всех действительных чисел. E(f)=(;+); 3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает при a>1 или убывает при 0
12 2. y=log1 x основание 0<1/3<1 3 x /3 1/9 y=log13x Логарифмическая функция y=log a x и показательная функция y=a x, где (a>0,a 1), взаимно обратны. 12
13 10. Основные свойства логарифмов Рассмотрим основные свойства логарифмов, которые часто применяются при вычислениях, при решении логарифмических уравнений и неравенств. Свойства, приведенные ниже, выполняются если a>0,a 1,b>0,c>0,r - любое действительное число. 1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел log a (bc)=log a b+log a c 1.log 3 45=log 3 (9 5)=log 3 9+log 3 5=2+log
14 2.log 6 4+log 6 9=log 6 36=2 3.lg2+lg5=lg(2 5)=lg10=1 2. Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя log a bc=log a b log a c 1. log log1 3=log =log Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени log a b r =rlog a b 1.log =17log 2 2=17 1= Формулы перехода от одного основания логарифма к другому Если a>0,a 1,b>0,c>0,c 1, то верно равенство log a b= log c b log c a 1.log 2 3= lg3 lg2 2.log 3 2= log 7 2 log 7 3 Если a>0,a 1,b>0,b 1, то верно равенство log a b= 1 log b a log 7 2= 1 log 2 7 Если a>0,a 1,b>0,r 0, то верно равенство log a b=log a r b r 1.log 5 3=log Решение логарифмических уравнений по определению логарифма Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в основании логарифма), называются логарифмическими. Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение log a x=b, где основание a>1,a 1, а выражение, стоящее под знаком логарифма, x>0. 14
15 Для любого действительного b это уравнение имеет единственное решение x=a b Решить уравнение log 2 x=3 Решение. Вначале находим область допустимых значений (ОДЗ): x>0, т.к. под знаком логарифма должно быть положительное выражение. Для решения данного уравнения, достаточно воспользоваться определением логарифма, то есть представить число x как степень основания 2 логарифма, причем показатель степени равен 3. log 2 x=3 x=2 3 x=8 Найденное значение принадлежит ОДЗ, значит, является корнем уравнения. Ответ: x=8 Решить уравнение log 3 (x 2 +72)=4 Решение. ОДЗ: x2+72>0 x R По определению логарифма получаем x 2 +72=3 4 x 2 +72=81 x =0 x 2 9=0 (x 3)(x+3)=0 x 1 =3, x 2 = 3 Ответ: x 1 =3, x 2 = 3 Решить уравнение: lg(x+1)+lg(x+4)=1. Решение. По свойству логарифма преобразуем левую часть ОДЗ lg(x+1)(x+4)=1 { x + 1 > 0 x + 4 > 0 lg(x+1)(x+4)=lg10 (x+1)(x+4)=10 { x > 1 x > 4 15
16 x 2 +5x+4=10 x (1;+) x 2 +5x+4 10=0 x 2 +5x 6=0 По теореме Виета x1 + x2 = 5 { x1 x2 = 6 x 1= 6, x 2 =1 x= 6 не является корнем этого уравнения, т.к. не принадлежит ОДЗ. Ответ: x=1 13. Потенцирование Решение логарифмических уравнений типа log a f(x)=log a g(x) сводится к решению уравнения f(x)=g(x). Это следует из монотонности логарифмической функции. Потенцирование это переход от уравнения вида log a f(x)=log a g(x) к уравнению f(x)=g(x), где a - отличное от единицы положительное число, f(x) и g(x) - элементарные алгебраические функции, f(x)>0, g(x)>0. Для решения рассматриваемого типа уравнений достаточно найти все решения уравнения f(x)=g(x) и среди полученных выбрать те, которые принадлежат ОДЗ уравнения log a f(x)=log a g(x) В случае, если уравнение f(x)=g(x) решений не имеет, то их не имеет и исходное логарифмическое уравнение. Реши уравнение: log 5 (x+1)=log 5 (2x 3) Решение. Находим ОДЗ: { x + 1 > 0 2x 3 > 0 { x > 12 2x > 3 { x > 1 x > 1,5 x (1,5;+) Решаем уравнение x+1=2x 3 x 2x= 3 1 x= 4 x=4 принадлежит интервалу x (1,5;+), значит, является корнем исходного логарифмического уравнения. Ответ: x=4 16
17 14. Метод введения новой переменнойия: Уравнения вида f(log a x)=0 решаются с помощью подстановки t=log a x, которая приводит уравнение к виду f(t)=0. Если t корень уравнения f(t)=0, то после возвращения к подстановке t=log a x, можно найти корень исходного логарифмического уравнения, т.е. x=a t (аналогично находятся и другие корни, если они есть). 15. Логарифмирование: Уравнения вида 2 x =3; x log 3 x 2 =27 решаются логарифмированием обеих частей уравнения. логарифмирование это переход от уравнения f(x)=g(x) к уравнению log a f(x)=log a g(x) Рассмотрим на примерах. Реши уравнение 2 x =3 Решение. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2 log 2 2 x =log 2 3 xlog 2 2=log 2 3, т.к. log a b r =r log a b x 1=log 2 3 x=log 2 3 Ответ: x=log 2 3 Реши уравнение: x log 3 x 2 =27 Решение. ОДЗ: { x > 0 x 1 x (0;1) (1;+) Прологарифмируем обе части по основанию 3 log 3 x(log 3 x 2)=log 3 27 (log 3 x 2) log 3 x=3, т.к. log a b r =rlog a b Пусть log 3 x=t (t 2) t=3 t 2 2t 3=0 По теореме Виета t1 + t2 = 2 { t1 t2 = 3 t 1=3, t 2 = 1 17
18
Вернемся к обозначенному log 3 x=3 x 1 =3 3 =27 log 3 x= 1 x 2 =3 1 =1/3 Оба значения принадлежат ОДЗ. Ответ:1/3; Логарифмические неравенства Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции. Поэтому решение неравенств вида log a f(x)>log a g(x) сводится к решению соответствующих неравенств для функций f(x) и g(x). Обрати внимание! Если основание a>1, то переходят к неравенству f(x)>g(x) (знак неравенства не меняется), т.к. в этом случае логарифмическая функция возрастающая. Если основание 0
19
x (2,5;+) x (2,5; +) { x (; 3) 2,5 3 Ответ:x (2,5;3) Решить неравенство log 0,5 (x 2) log 0,5 (2x 12) Решение. ОДЗ: { x 2 > 0 2x 12 > { x > 2 2x > 12 { x > 2 x>6, x (6;+) x > 6 log0,5(x 2) log0,5(2x 12) x 2x x 12 x 2x 12+2 x 10 x 10 x }