Что общего у кирпича, коробки из-под телевизора и дома? (Рис. 1.)
Рис. 1. Кирпич, дом и коробка из-под телевизора
Можно ли понять что-то про них такое, что относится к каждому из этих предметов?
В этом и состоит задача математики: изучать нечто общее у совершенно разных вещей.
Например, мяч и глобус - шары и Земля - почти шар. (Рис. 2.)
Рис. 2. Мяч и глобус
Но вернемся к кирпичу, зданию и коробке. Как их возможно описать?
Это фигуры, ограниченные плоскостями (рис. 3). Каждая грань является прямоугольником. Все такие фигуры называются прямоугольными параллелепипедами
.
Рис. 3. Грани прямоугольного параллелепипеда
По названию видно, что бывают и непрямоугольные параллелепипеды. Действительно, гранями параллелепипеда могут быть не только прямоугольники, а и произвольные параллелограммы (рис. 4).
Рис. 4. Произвольный параллелограмм
Так же, как из прямоугольника можно сделать обычный параллелограмм, так и из прямоугольного параллелепипеда легко сделать «косой параллелепипед» (рис. 5).
Рис. 5. Косой параллелепипед
Сначала необходимо нарисовать ближнюю к нам сторону, стенку, грань (это прямоугольник) затем верхнюю. Рисовать надо ее чуть-чуть под углом, как будто бы смотришь на нее немного сбоку.
Теперь необходимо нарисовать правую грань. Так как все грани - это прямоугольники, то нужно следить, чтобы противоположные стороны этих граней были параллельны друг другу.
Понятно, что, глядя на настоящую объемную фигуру, невозможно увидеть ее сразу со всех сторон.
Остальные, «невидимые», стороны тоже нужны. Поэтому договорились те линии, которые не видны, рисовать пунктиром. Необходимо дорисовать их, соблюдая параллельность. (Рис. 6.)
Рис. 6. Чертеж прямоугольного параллелепипеда
Все, изображение прямоугольного параллелепипеда готово.
У любого прямоугольного параллелепипеда есть 8 вершин. Зачастую их обозначают , , , снизу, , , , - сверху. (Рис. 7.)
Рис. 7. Прямоугольный параллелепипед 
6 прямоугольников, вершины которых совпадают с вершинами параллелепипеда, называются гранями:
На рисунке они не все выглядят как прямоугольники, это происходит потому что, мы смотрим на них не прямо, а под углом.
Итак, у любого параллелепипеда всегда 8 вершин, 6 граней и 12 ребер.
Многогранники. Теорема Эйлера для многогранников.
Разберемся подробнее с элементами, о которых мы поговорили: гранями, ребрами, вершинами.
Отрезок ограничен точками. Граница области на плоскости - линия или несколько отрезков.
Из отрезков и их границ (точек) на плоскости мы собираем многоугольники (треугольники, четырехугольники, … 100-угольники).
В пространстве имеем плоскости, их границы - ребра, кроме того, у ребер тоже есть граница - точки под названием вершины.
Из них можно собирать пространственные аналоги многоугольников - многогранники (рис. 1). Параллелепипед - один из примеров многогранников.
Рис. 1. Отрезок, многоугольник и многогранник
Самый «маленький» многогранник - треугольная пирамида (или тетраэдр) (рис. 2), по аналогии с самым «маленьким» многоугольником - треугольником.
Рис. 2. Тетраэдр
Интересный факт: в любом многограннике выполняется следующее свойство
, где - количество граней, - количество вершин, - количество ребер.
Давайте посчитаем:
1) Тетраэдр: 4 вершины, 4 грани и 6 ребер.
Рис. 3. Тетраэдр
2) Параллелепипед: 8 вершин, 6 граней и 12 ребер.
Рис. 4. Параллелепипед
3) Пятиугольная призма: 10 вершин, 7 граней и 15 ребер
Рис.5. Пятиугольная призма
Количество вершин и граней вместе всегда на 2 больше, чем количество ребер. И это свойство выполняется для всех многогранников. Это свойство сформулировал Леонард Эйлер в свое время. Свойство так и назвали: Теорема Эйлера .
Где: - количество граней, - количество вершин, - количество рёбер.
У прямоугольного параллелепипеда все грани (их 6) являются прямоугольниками. Все ли эти прямоугольники разные? Конечно, нет.
Держа коробку в руках, можно заметить, что противоположные грани равны, то есть это совершенно одинаковые прямоугольники.
Например, передняя грань равна задней. Точно так же равны друг другу верхняя и нижняя грани, левая и правая.
А есть ли равные ребра?
Да, конечно, можно увидеть, что вертикальные ребра, их 4, все равны друг другу. Аналогично есть еще две четверки равных ребер.
Вопрос: если нужно склеить такой параллелепипед из бумаги, то сколько бумаги необходимо? И как необходимо клеить прямоугольный параллелепипед или другой многогранник?
Сначала нужно сделать развертку прямоугольного параллелепипеда (рис. 8).
Рис. 8. Развертка прямоугольного параллелепипеда
Уже видно на ней 6 граней, попарно равных друг другу. Если согнуть ее по линиям, то получится прямоугольный параллелепипед.
Площадь этой развертки - это то количество бумаги, которое необходимо. Она называется площадью поверхности. Очевидно, она равна сумме площадей всех шести граней.
Теперь можно вывести формулу площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Три ребра, исходящих из одной вершины, могут иметь разную длину. Пусть они будут обозначены , , и . (Рис. 9.)
Рис. 9. Прямоугольный параллелепипед со сторонами , , и
Все остальные ребра равны какому-нибудь из этих значений. Необходимо найти площади всех граней и сложить.
Площадь нижней грани равна , так это прямоугольник. Верхняя грань точно такая же, ее площадь тоже равна . Правая и левая грани имеют площади каждая. Передняя и задняя - каждая.
Складывая все эти площади, получаем площадь поверхности:
Сколько необходимо краски для покраски картонной коробки, если высота, ширина и длина коробки составляют 20, 30 и 60 см соответственно? Расход краски составляет 1 г на каждые 100 см 2 .
Решение
Какую площадь надо покрасить? Очевидно, это площадь поверхности коробки, ведь красить мы будем ее поверхность.
Найдем площадь поверхности коробки. Коробка - это прямоугольный параллелепипед. Площадь поверхности - это сумма площадей всех граней, причем грани попарно равны.
Расход краски - 1 г на 100 см 2 . Чтобы найти необходимое количество краски, делим общую площадь на 100:
Получается, что необходимо 72 грамма краски, чтобы покрасить коробку.
Вывод
На данном уроке был изучен прямоугольный параллелепипед, его основные свойства и элементы. Кроме того, была выведена формула его поверхности и решена задача на применение данной формулы.
Список литературы
1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия, 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс - ЗШ МИФИ, 2011.
5) Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. - Просвещение, 1989.
2. Портал «Первое сентября» ()
3. Портал «Презентации для школьников» ()
Домашнее задание
1. Сколько краски надо, чтобы покрасить кубик с высотой, шириной и длиной 20, 45 и 60 см соответственно? Расход краски составляет 5 грамм на каждые 100 см 2 .
Инструкция
Для начала вычислите площади трех разных граней параллелепипеда. Например, длина параллелепипеда (а) равна 7 см, ширина (b) – 6 см, а высота (с) – 4 см. Тогда площадь верхней (нижней) грани будет равна ab, т.е. 7х6=42 см. Площадь одной из боковых граней будет равна bc, т.е. 6х4=24 см. Наконец, площадь передней (задней) грани будет равна ac, т.е. 7х4=28 см.
Теперь сложите вместе все три результата и умножьте полученную сумму на два. В нашем это будет выглядеть следующим образом: 42+24+28=94; 94х2=188. Таким образом, площадь поверхности данного прямоугольного параллелепипеда будет равна 188 см.
Параллелепипед – объемная геометрическая фигура с тремя измерительными характеристиками: длиной, шириной и высотой. Все они участвуют в нахождении площади обеих поверхностей параллелепипеда : полной и боковой.
Инструкция
Параллелепипед – многогранник, построенный на основе параллелограмма. У него шесть граней, также являющихся этими двухмерными фигурами. В зависимости от того, как они расположены в пространстве, различают прямой и наклонный параллелепипед. Эта разница выражается в равенстве угла между основанием и боковым ребром 90°.
По тому, к какому частному случаю параллелограмма относится основание, можно выделить прямоугольный параллелепипед и наиболее распространенную его разновидность – куб. Эти формы наиболее часто встречаются в повседневной жизни и носят название стандартных. Они присущи бытовой технике, предметам мебели, электронным приборам и др., а также самим человеческим жилищам, размеры которых имеют большое значение для обитателей и риелторов.
Обычно считают площадь обеих поверхностей параллелепипеда , боковой и полной. Первая числовая характеристика представляет собой совокупность площадей его граней, вторая – та же величина плюс площади обоих оснований, т.е. сумма всех двухмерных фигур, из которых состоит параллелепипед. Следующие формулы носят название основных наряду с объемом:Sб = Р h, где Р – пeримeтр основания, h – высота;Sп = Sб + 2 S, где So – площадь основания.
Для частных случаев, куба и фигуры с прямоугольными основаниями, формулы упрощаются. Теперь уже не нужно определять высоту, которая равна длине вертикального ребра, а площадь и периметр найти гораздо легче благодаря наличию прямых углов, в их определении участвуют только длина и ширина. Итак, для прямоугольного параллелепипеда :Sб = 2 с (a + b), где 2 (а + b) – удвоенная сумма сторон основания (периметр), с – длина бокового ребра;Sп = Sб + 2 а b = 2 а с + 2 b с + 2 a b = 2 (а с + b с + а b).
У куба все ребра имеют одинаковую длину, следовательно:Sб = 4 а а = 4 а²;Sп = Sб + 2 а² = 6 а².
Чтобы найти полную поверхность параллелепипеда , необходимо просуммировать площади его боковой поверхности и двух оснований. В зависимости от вида фигуры, грани могут быть параллелограммами, прямоугольниками или квадратами.
Приложение №2.
Многогранники.
Площади поверхностей и объемы многогранников.
Призма.
Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.
Призма назывется правильной если она прямая и ее основания – правильные многогранники.
ABCD – квадрат
Площадь боковой поверхности – это сумма площадей боковых граней.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы (длину бокового ребра)
сумма
длин всех сторон основания
Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту
Параллелепипед
Параллелепипед – призма, основанием которой служит параллелограмм.
В любом параллелепипеде:
Противоположные грани равны и параллельны
Диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам
Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны
Задача.
В
прямом параллелепипеде стороны основания
равны 6 м и 8 м образуют угол
,
боковое ребро равно 5 м. Найдите полную
поверхность этого параллелепипеда и
его объем.
Дано:
прямой параллелепипед, ABCD
– параллелограмм, AD
= 6 м, АВ = 8 м,
,
.
Найти: S и V параллелепипеда.
Полная поверхность параллелепипеда вычисляется по формуле:
Полная поверхность основания параллелепипеда вычисляется по формуле:
Так как параллелограмм – ABCD
Полная поверхность бока параллелепипеда вычисляется по формуле:
Периметр основания вычисляется по формуле:
Полная поверхность параллелепипеда равна:
Объем параллелепипеда вычисляется по формуле:
Ответ:
,
Задача
Прямом параллелепипеде стороны
основания 3 см и 6 см, а одна из диагоналей
основания 4 см. Найдите большую диагональ
параллелепипеда, зная, что диагональ
образует с плоскостью основания угол
.
Пирамида
П
ирамида
называется правильной, если ее основание
– правильный многоугольник, а высота
ее проходит через центр основания.
Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой пирамиды.
Правильная треугольная пирамида называется тетраэдром.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (1)
Задача
Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 м и 4 м. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 м. Найдите высоту пирамиды и площадь боковой поверхности.
из прямоугольного треугольника SKD найдем
из прямоугольного треугольника SMD найдем
Найдем площадь боковой поверхности:
Задача
О
дно
ребро тетраэдра равно 4, каждое из
остальных равно 4. Найдите объем тетраэдра.
Усеченная пирамида
Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то получится новый многогранник, который называется усеченной пирамидой.
и
- площади оснований.
Формулы площадей многоугольников.
Треугольник
,
Где
Параллелограмм
,
Трапеция
Теорема косинусов
Для
Свойства диагоналей параллелограмма.
Для параллелограмма ABCD
Задачи
Стороны основания прямоугольного параллелепипеда имеют длины 6 см и 8 см, длина диагонали параллелепипеда 26 см. Найдите высоту параллелепипеда и площадь диагонального сечения.
В правильной четырехугольной призме диагонали боковой грани 23 см, а диагональ основания 20 см. Найдите диагональ призмы.
Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если диагонали его граней имеют длины 11 см, 19 см и 20 см.
- полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле S = 2(r+h) где... площадь полной поверхности конуса равна. Объем прямоугольного параллелепипеда , ...
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Предмет (2)
Рабочая программаТакая система совместна и имеет единственное решение и находится по формуле ; . Если же определитель системы... сечения 180 см2. Вычислите площадь полной поверхности параллелепипеда . Дано: ABCDD1C1B1A1 – прямоугольный параллелепипед ; |AB|=8 см, |CB ...
Приказ № от 2014 г. Рабочая программа по математике класс: 5 (базовый уровень)
Рабочая программаПостроение развертки прямоугольного параллелепипеда ; ·вычислять объем прямоугольного параллелепипеда и куба по формулам . ·Читать и записывать формулы . · Вычислять по формулам путь (скорость...
Методическая разработка для организации самостоятельной работы по дисциплине «Математика»
Методическая разработка... вычисляется по формуле V=a2h-где а- сторона основания, h-высота призмы. 5)Объем правильной шестиугольной призмы вычисляется по формуле ... ребро 10см. Вычислить полную поверхность и объём призмы. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда , если его...
Параллелепипед - самая распространенная фигура из тех, что окружают людей. Большинство помещений представляют собой именно его. Особенно важно знать площадь параллелепипеда, хотя бы его боковых граней, во время ремонта. Ведь нужно точно знать, сколько материала приобрести.
Что он собой представляет?
Это призма с четырехугольным основанием. Поэтому у нее четыре боковых грани, которые являются параллелограммами. То есть такое тело имеет всего 6 граней.
Для определения параллелепипеда в пространстве у него определяют площадь и объем. Первая может быть как отдельно для каждой грани, так и для всей поверхности. К тому же выделяют еще и площадь только боковых граней.
Какие существуют виды параллелепипедов?
Наклонный. Такой, у которого боковые грани образуют с основанием угол, отличный от 90 градусов. У него верхний и нижний четырехугольники не лежат друг напротив друга, а сдвинуты.
Прямой. Параллелепипед, боковые грани которого являются прямоугольниками, а в основании лежит фигура с произвольными величинами углов.
Прямоугольный. Частный случай предыдущего вида: в его основании находится прямоугольник.
Куб. Особый тип прямого параллелепипеда, в котором все грани представлены квадратами.
Некоторые математические особенности параллелепипеда
Может возникнуть ситуация, когда они окажутся полезными в том, чтобы найти площадь параллелепипеда.
- Грани, которые лежат напротив друг друга, не только параллельны, но и равны.
- Диагонали параллелепипеда точкой пересечения делятся на равные части.
- Более общий случай, если отрезок соединяет две точки на поверхности тела и проходит через точку пересечения диагоналей, то он делится этой точкой пополам.
- Для прямоугольного параллелепипеда справедливо равенство, в котором в одной его части стоит квадрат диагонали, а в другой - сумма квадратов его высоты, ширины и длины.
Площади прямого параллелепипеда
Если обозначить высоту тела как «н», а периметр основания буквой Р ос, то вся боковая поверхность может быть вычислена по формуле:
S бок = Р ос * н
Используя эту формулу и определив площадь основания, можно сосчитать полную площадь:
S = S бок + 2 * S ос
В последней записи S ос., то есть площадь основания параллелепипеда, может быть вычислена по формуле для параллелограмма. Другими словами, потребуется выражение, в котором нужно перемножить сторону и высоту, опущенную на нее.
Площади прямоугольного параллелепипеда
Принято стандартное обозначение длины, ширины и высоты такого тела буквами «а», «в» и «с» соответственно. Площадь боковой поверхности будет выражаться формулой:
S бок = 2 * с * (а + в)
Чтобы вычислить полную площадь прямоугольного параллелепипеда, потребуется такое выражение:
S = 2 * (ав + вс + ас)
Если окажется необходимым узнать площадь его основания, то достаточно вспомнить, что это прямоугольник, а значит, достаточно перемножить «а» и «в».
Площади куба
Его боковая поверхность образована четырьмя квадратами. Значит, чтобы ее найти, потребуется воспользоваться известной для квадрата формулой и умножить ее на четыре.
S бок = 4 * а 2
А из-за того, что его основания - такие же квадраты, полная площадь определится по формуле:
S = 6 * а 2
Площади наклонного параллелепипеда
Поскольку его грани - это параллелограммы, то нужно узнать площадь каждого из них и потом сложить. К счастью, противолежащие равны. Поэтому вычислять площади нужно только три раза, а потом умножить их на два. Если записать это в виде формулы, то получится следующее:
S бок = (S 1 + S 2) * 2,
S = (S 1 + S 2 + S 3) * 2
Здесь S 1 и S 2 являются площадями двух боковых граней, а S 3 - основания.
Задачи по теме
Задание первое. Условие. Необходимо узнать длину диагонали куба, если площадь всей его поверхности равна 200 мм 2 .
Решение. Начать нужно с получения выражения для искомой величины. Ее квадрат равен трем квадратам стороны куба. Это значит, что диагональ равна «а», умноженной на корень из 3.
Но сторона куба неизвестна. Здесь потребуется воспользоваться тем, что известна площадь всей поверхности. Из формулы получается, что «а» равно квадратному корню из частного S и 6.
Ответ. Диагональ куба равна 10 мм.
Задание второе. Условие. Необходимо вычислить площадь поверхности куба, если известно, что его объем равен 343 см 2 .
Решение. Потребуется воспользоваться той же формулой для площади куба. В ней опять неизвестно ребро тела. Но зато дан объем. Из формулы для куба очень просто узнать «а». Оно будет равно кубическому корню из 343. Простой подсчет дает такое значение для ребра: а = 7 см.
Ответ. S = 294 см 2 .
Задание третье. Условие . Дана правильная четырехугольная призма со стороной основания 20 дм. Необходимо найти ее боковое ребро. Известно, что площадь параллелепипеда равна 1760 дм 2 .
Решение. Начинать рассуждения нужно с формулы для площади всей поверхности тела. Только в ней нужно учесть, что ребра «а» и «в» равны. Это следует из утверждения о том, что призма правильная. Значит, в его основании лежит четырехугольник с равными сторонами. Отсюда а = в = 20 дм.
Учитывая это обстоятельство, формула площади упростится до такой:
S = 2 * (а 2 + 2ас).
В ней известно все, кроме искомой величины «с», которая как раз и является боковым ребром параллелепипеда. Чтобы его найти, нужно выполнить преобразования:
- разделить все неравенство на 2;
- потом перенести слагаемые так, чтобы слева оказалось слагаемое 2ас, а справа - деленная на 2 площадь и квадрат «а», причем последнее будет со знаком «-»;
- затем поделить равенство на 2а.
В итоге получится выражение:
с = (S/2 - а 2) / (2а)
После подстановки всех известных величин и выполнения действий получается, что боковое ребро равно 12 дм.
Ответ . Боковое ребро «с» равняется 12 дм.
Задание четвертое. Условие. Дан прямоугольный параллелепипед. Одна из его граней имеет площадь, равную 12 см 2 . Необходимо вычислить длину ребра, которое перпендикулярно этой грани. Дополнительное условие: объем тела равен 60 см 3 .
Решение. Пусть известна площадь той грани, которая расположена лицом к наблюдателю. Если принять за обозначение стандартные буквы для измерений параллелепипеда, то в основании ребра будут «а» и «в», вертикальное - «с». Исходя из этого, площадь известной грани определится как произведение «а» на «с».
Теперь нужно воспользоваться известным объемом. Его формула для прямоугольного параллелепипеда дает произведение всех трех величин: «а», «в» и «с». То есть известная площадь, умноженная на «в», дает объем. Отсюда получается, что искомое ребро можно вычислить из уравнения:
Элементарный расчет дает результат 5.
Ответ. Искомое ребро равно 5 см.
Задание пятое. Условие. Дан прямой параллелепипед. В его основании лежит параллелограмм со сторонами 6 и 8 см, острый угол между которыми равен 30º. Боковое ребро имеет длину 5 см. Требуется вычислить полную площадь параллелепипеда.
Решение. Это тот случай, когда нужно узнать площади всех граней по отдельности. Или, точнее, трех пар: основание и две боковые.
Поскольку в основании расположен параллелограмм, то его площадь вычисляется как произведение стороны на высоту к ней. Сторона известна, а высота - нет. Ее нужно сосчитать. Для этого потребуется значение острого угла. Высота образует в параллелограмме прямоугольный треугольник. В нем катет равен произведению синуса острого угла, который ему противолежит, на гипотенузу.
Пусть известная сторона параллелограмма - это «а». Тогда высота будет записана как в * sin 30º. Таким образом, площадь основания равна а * в * sin 30º.
С боковыми гранями все проще. Они - прямоугольники. Поэтому их площади - это произведение одной стороны на другую. Первая — а * с, вторая — в * с.
Осталось объединить все в одну формулу и сосчитать:
S = 2 * (а * в * sin 30º + а * с + в * с)
После подстановки всех величин получается, что искомая площадь равна 188 см 2 .
Ответ. S = 188 см 2 .