Формулы объема цилиндра конуса шара. Тела и поверхности вращения

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.

1. Объем конуса равен 16.Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Очевидно, что объем меньшего конуса в 8 раз меньше объема большого и равен двум.

Для решения некоторых задач полезны начальные знания стереометрии. Например - что такое правильная пирамида или прямая призма. Полезно помнить, что у цилиндра, конуса и шара есть еще общее название - тела вращения. Что сферой называется поверхность шара. А, например, фраза «образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов предполагает, что вы знаете, что такое угол между прямой и плоскостью. Вам также может пригодиться теорема Пифагора и простые формулы площадей фигур.

Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, - снизу.

2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Всё просто - рисуем вид снизу. Видим, что радиус большего круга в раз больше, чем радиус меньшего. Высоты у обоих конусов одинаковы. Следовательно, объем большего конуса будет в 2 раза больше.

Упражнения для самостоятельной работы.

1.Измерение прямоугольного параллелепипеда 15, 50 и 36 м. Найти ребро равновеликого ему куба.

2.В правильной 4-угольной пирамиде высота 3 см, боковое ребро 5 см. Найти объем пирамиды.

3.Осевое сечение цилиндра – прямоугольник со сторонами 8 дм и 12 дм. Найти объем цилиндра.

4.Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°, радиус основания равен 3 дм. Найти объем конуса.

5.Радиус шара равен 4 м. Найти объем шарового сегмента высотой, равной 3 м.

Список литературы

Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.-Москва: Просвещение, 2009 год

2. Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса.- 4-е издание, испр. и доп.- М.:Илекса, 2007,- 175 с.

3. Геометрия. 10-11 классы: тесты для текущего и обобщающего контроля/авт.сост.Г.И.Ковалёва, Н.И.Мазурова.- Волгоград: Учитель, 2009, 187 стр.

4. Виртуальная школа Кирилла и Мефодия. Репетитор по математике. Москва. 2007 год

5. Учебное электронное издание. Математика 5- 11 класссы. Практикум. Под редакцией Дубровского В.Н., 2004.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 16

«Использование координат и векторов при решении математических задач»

Цель урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме: «Использование координат и векторов при решении математических задач».

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Использование координат и векторов при решении математических задач», решить задачи.

3) Формировать потребность к самопознанию, самоконтролю, достижению поставленных целей.

Теоретический материал

Похожая информация:

F. Новый максимум цен сопровождается увеличением объема, аналогично точке А. Продолжайте удерживать позицию на повышение

Цели урока:

Образовательная: формирование знаний о формулах площадей поверхности цилиндра и конуса, умение применять их для решения задач, а также показать применение данных формул в практических ситуациях и на производстве.
Воспитательная: развивать заинтересованность изучения математики, раскрывая практическую значимость изучаемого материала.
Развивающая: формирование умений распознавать геометрические модели тел, применять математические знания в практических ситуациях, описанных условием задач.

Тип занятия: сообщение новых знаний.

Методы обучения: устный и практический контроль знаний.

Оборудование: плакаты, карточки для учащихся, карточки для лабораторно-практической работы, компьютер.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент (1минута).

2. Сообщение целей и темы занятия , мотивация учебной деятельности (3 минуты). Учащиеся с помощью преподавателя формулируют тему и цель занятия. Преподаватель записывает тему на доске, учащиеся в тетрадях.

3. Актуализация знаний проводится по вариантам (1вариант – цилиндр, 2вариант – конус) (7-8 минут)(см. ниже).

4. Сообщение новых знаний (10 минут).

4. 1. Вывод формулы площади поверхности цилиндра.

Плакат 1. – Цилиндр вписан и описан в 4-х-ую призму.

Плакат 2. - Цилиндр вписан и описан в 6-х-ую призму.

Вывод: Если будем увеличивать количество граней призмы, то поверхность цилиндра будет максимально приближаться к граням призмы и на каком–то n – шаге произойдет совпадение поверхности цилиндра с призмой, т.е. совпадут их площади поверхностей.

Площадь поверхности призмы:

Sпов= Sбок+2 Sосн

Sбок= РоснН (слайд2)

Площадь поверхности цилиндра:

Sосн=ПR2 Сдлина окружности=2ПR

Sпов=2ПRН+2ПR2 (слайд3)

Вывод формулы площади поверхности конуса.

Плакат 3. - Конус вписан и описан в 4-х-ую пирамиду.

Плакат 4. - Конус вписан и описан в 6-х-ую пирамиду.

Вывод: Если будем увеличивать количество граней пирамиды, то поверхность конуса будет максимально приближаться к граням пирамиды и на каком–то n – шаге произойдет совпадение поверхности конуса с пирамидой, т.е. совпадут их площади поверхностей.

Площадь поверхности пирамиды:

Sпов= Sбок+ Sосн

Sбок=1/2РоснL (слайд4)

Площадь поверхности конуса:

Sпов=ПRL+ПR 2 (слайд5)

5. Первичное осмысление и применение изучаемого материала (15 минут).

Задача 1. Пусть S-площадь боковой поверхности цилиндра, D-диаметр основания, Н-высота, заполните пустые ячейки.

№	S(см 2)	D(см)	Н(см)
1		12	5
2	100П		25
3	225П	15

Задача 2. Пусть S-площадь боковой поверхности конуса, R-радиус основания, L-образующая конуса, заполните пустые ячейки.

№	S(см 2)	R(см)	L(см)
1		2√2	√2
2	60П		0,4
3	30П	√3

Задача 3. Тело имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2м, высота 4м, причем цилиндрическая часть имеет высоту 2,5м. Определить полную поверхность тела.

6. Историческая справка (сообщение учащихся) (8 минут).

7. Домашнее задание (1-2 минуты) по сборнику

На «3» В-4(7) стр. 81, В-11(7) стр. 83

На «4» В-16(7) стр 85, В-19(7) стр. 86

На «5» 3.72, 3.78 стр. 121

8. Лабораторно-практическая работа (30 минут) (см. Приложение 1 )

9. Итог занятия (1-2 минуты)

Список литературы

Алёшина Т.Н. Урок математики.- М., «Высшая школа», 1991г.
Беденко Н.К. Уроки геометрии.- М., «Высшая школа», 1988г.
Денищева Л.О. и др. Зачеты в системе дифференцированного обучения математике.- М.: Просвещение, 1993 .
Дорофеев Г.В. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена за курс средней школы. - М.: Дрофа, 2009.
Дубинчук Е.Е. Обучение геометрии в профессиональных училищах.- М., «Высшая школа», 1989.
Овсянник Д.П. Практикум по математике в профессиональных училищах металлообрабатывающего профиля. – Ульяновск, 1997.

Литература для учащихся

Глейзер История математики в школе.- М.: Просвещение,1964.
Энциклопедия для детей «Математика».- М.: «Аванта», 2002.

Цилиндр представляет собой геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и цилиндрической поверхностью. В статье поговорим о том, как найти площадь цилиндра и, применив формулу, решим для примера несколько задач.

У цилиндра есть три поверхности: вершина, основание, и боковая поверхность.

Вершина и основание цилиндра являются окружностями, их легко определить.

Известно, что площадь окружности равна πr 2 . Поэтому, формула площади двух окружностей (вершины и основания цилиндра) будет иметь вид πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Третья, боковая поверхность цилиндра, является изогнутой стенкой цилиндра. Для того чтобы лучше представить эту поверхность попробуем преобразовать её, чтобы получить узнаваемую форму. Представьте себе, что цилиндр, это обычная консервная банка, у которой нет верхней крышки и дна. Сделаем вертикальный надрез на боковой стенке от вершины до основания банки (Шаг 1 на рисунке) и попробуем максимально раскрыть (выпрямить) полученную фигуру (Шаг 2).

После полного раскрытия полученной банки мы увидим уже знакомую фигуру (Шаг 3), это прямоугольник. Площадь прямоугольника вычислить легко. Но перед этим вернемся на мгновение к первоначальному цилиндру. Вершина исходного цилиндра является окружностью, а мы знаем, что длина окружности вычисляется по формуле: L = 2πr. На рисунке она отмечена красным цветом.

Когда боковая стенка цилиндра полностью раскрыта, мы видим, что длина окружности становится длиной полученного прямоугольника. Сторонами этого прямоугольника будут длина окружности(L = 2πr) и высота цилиндра(h). Площадь прямоугольника равна произведению его сторон – S = длина х ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результате мы получили формулу для расчета площади боковой поверхности цилиндра.

Формула площади боковой поверхности цилиндра
S бок. = 2πrh

Площадь полной поверхности цилиндра

Наконец, если мы сложим площадь всех трёх поверхностей, мы получим формулу площади полной поверхности цилиндра. Площади поверхности цилиндра равна площадь вершины цилиндра + площадь основания цилиндра + площадь боковой поверхности цилиндра или S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Иногда это выражение записывается идентичной формулой 2πr (r + h).

Формула площади полной поверхности цилиндра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радиус цилиндра, h – высота цилиндра

Примеры расчета площади поверхности цилиндра

Для понимания приведенных формул попробуем посчитать площадь поверхности цилиндра на примерах.

1. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Определите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности рассчитывается по формуле: S бок. = 2πrh

S бок. = 2 * 3,14 * 2 * 3

S бок. = 6,28 * 6

S бок. = 37,68

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 37,68.

2. Как найти площадь поверхности цилиндра, если высота равна 4, а радиус 6?

Площадь полной поверхности рассчитывается по формуле: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

Тела вращения, изучаемые в школе, - это цилиндр, конус и шар.

Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы - считайте, что повезло.

Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, - снизу.

Еще один важный момент. Помним, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Поэтому никаких или у вас в ответе в части В быть не должно. Подставлять приближенное значение числа тоже не нужно! Оно обязательно должно сократиться!. Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на ».

А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче С2 (16). Мы тоже расскажем о ней.