Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Круг, получившийся в сечении, называется основанием сегмента. Отрезок, соединяющий центр основания сегмента с точкой поверхности шара, перпендикулярный основанию, называется высотой шарового сегмента (рис. 41). Поверхность сферической части шарового сегмента называется сферическим сегментом .
Для шарового сегмента верны формулы:
где R – радиус шара;
r – радиус основания шарового сегмента;
h – высота сегмента;
S – площадь сферической части шарового сегмента (площадь сферического сегмента);
S полн - площадь полной поверхности шарового сегмента;
V – объем шарового сегмента.
Шаровой слой и сферический пояс
Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями. Круги, получившиеся в сечении, называются основаниями слоя. Расстояние между секущими плоскостями называется высотой слоя (рис. 42). Поверхность сферической части шарового слоя называется сферическим поясом .
Шар, шаровой сегмент и шаровой слой можно рассматривать как геометрические тела вращения. При вращении полукруга вокруг оси, содержащей диаметр полукруга получается шар, соответственно при вращении частей круга получаются части шара: шаровой сегмент и шаровой слой.
 |
Для шарового слоя верны формулы:
где R – радиус шара;
R 1 , R 2 – радиусы оснований;
h – высота;
S 1 , S 2 – площади оснований;
S – площадь сферической части шарового слоя (площадь сферического пояса);
S полн – площадь полной поверхности;
V – объем шарового слоя.
Шаровой сектор
Шаровым сектором называется геометрическое тело, полученное при вращении кругового сектора (с углом меньше ) вокруг оси, содержащей один из боковых радиусов. Дополнение такого тела до шара также называется шаровым сектором . Таким образом, шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса, либо из шарового сегмента без конуса (рис. 43а, 43б).
 |
Рис. 43а. Рис. 43б.
Для шарового сектора верны формулы:
где R – радиус шара;
r – радиус основания сегмента;
h - высота шарового сегмента;
S – площадь поверхности шарового сектора;
V – объем шарового сектора.
Пример 1. Радиус шара разделили на три равные части. Через точки деления провели два сечения перпендикулярные радиусу. Найти площадь сферического пояса, если радиус шара равен 15см.
Решение. Сделаем рисунок (рис. 44).
Для того, чтобы вычислить площадь сферического пояса, надо знать радиус шара и высоту. Радиус шара известен, а высоту найдем, зная, что радиус разделен на три равные части:
Тогда площадь
Ответ:
Пример 2. Шар пересечен двумя параллельными плоскостями, проходящими перпендикулярно диаметру и по разные стороны от центра шара. Площади сферических сегментов равны 42p см 2 и 70p см 2 . Найти радиус шара, если расстояние между плоскостями 6 см.
Решение. Рассмотрим два сферических сегмента с площадями: где R – радиус шара (сферы), h, H – высоты сегментов. Получим уравнения: и Имеем два уравнения с тремя неизвестными. Составим еще одно уравнение. Диаметр шара равен Решив систему, найдем радиус шара.
Û 
Þ 
Û . Значит, Общая хорда сечений
Из DАОС
(ОА --
радиус) 
Значит Следовательно 
Сравнивая объемы сектора и шара, получаем, что V c:V ш =1:4.
Сначала заметим, что соотношение (5), доказанное в лемме п. 17.2, имеет гораздо большую общность. Рассмотрим некоторую сферу радиуса R и на ней фигуру F (рис. 17.15). Назовем шаровым сектором с основанием F фигуру, образованную радиусами, проведенными во все точки фигуры
Частные случаи шаровых сегментов уже были рассмотрены в п. 16.5. Обобщением леммы п. 17.2 является следующее:
Лемма. Площадь S области на сфере радиуса R и объем шарового сектора, основанием которого служит данная область, связаны формулой
Пусть на сфере дана фигура F и пусть Q - шаровой сектор с основанием F. Опишем вокруг шара многогранник и вырежем из него "сектор" пирамидой с вершиной в центре шара, заключающей шаровой сектор Q. Если - площадь поверхности, вырезанной из поверхности многогранника, a - объем, то, как и в лемме п. 17.2, . Поэтому в пределе, когда получаем формулу (13).
Зная формулу (13), можно находить площади некоторых частей сферы.
Сферическим сегментом назовем часть сферы, отсеченную от нее любой плоскостью (рис. 17.16 а). Сферическим поясом назовем часть сферы, лежащую между двумя параллельными плоскостями (рис. 17.16 б). Высотой сферического пояса называется расстояние между этими плоскостями. На сферический сегмент можно смотреть как на частный случай сферического пояса, когда одна
из секущих плоскостей стала касательной. Ясно, что высота сферического сегмента - это высота соответствующего ему шарового сегмента.
Согласно (13) и результатам п. 16.5 для площади сферического сегмента D и объема V соответствующего ему шарового сектора Q имеет место равенство:
Из этого равенства получаем, что
где Н - высота сегмента
Убедитесь, что такая же формула справедлива и для площади сферического пояса, так как пояс является разностью двух сегментов.
Для шарового сегмента верны формулы:
где R – радиус шара;
r – радиус основания шарового сегмента;
h – высота сегмента;
S – площадь сферической части шарового сегмента (площадь сферического сегмента);
S полн - площадь полной поверхности шарового сегмента;
V – объем шарового сегмента.
Шаровой слой и сферический пояс
Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями. Круги, получившиеся в сечении, называются основаниями слоя. Расстояние между секущими плоскостями называется высотой слоя (рис. 42). Поверхность сферической части шарового слоя называется сферическим поясом .
Шар, шаровой сегмент и шаровой слой можно рассматривать как геометрические тела вращения. При вращении полукруга вокруг оси, содержащей диаметр полукруга получается шар, соответственно при вращении частей круга получаются части шара: шаровой сегмент и шаровой слой.
 |
Для шарового слоя верны формулы:
где R – радиус шара;
R 1 , R 2 – радиусы оснований;
h – высота;
S 1 , S 2 – площади оснований;
S – площадь сферической части шарового слоя (площадь сферического пояса);
S полн – площадь полной поверхности;
V – объем шарового слоя.
Шаровой сектор
Шаровым сектором называется геометрическое тело, полученное при вращении кругового сектора (с углом меньше ) вокруг оси, содержащей один из боковых радиусов. Дополнение такого тела до шара также называется шаровым сектором . Таким образом, шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса, либо из шарового сегмента без конуса (рис. 43а, 43б).
 |
Рис. 43а. Рис. 43б.
Для шарового сектора верны формулы:
где R – радиус шара;
r – радиус основания сегмента;
h - высота шарового сегмента;
S – площадь поверхности шарового сектора;
V – объем шарового сектора.
Пример 1. Радиус шара разделили на три равные части. Через точки деления провели два сечения перпендикулярные радиусу. Найти площадь сферического пояса, если радиус шара равен 15см.
Решение. Сделаем рисунок (рис. 44).
Для того, чтобы вычислить площадь сферического пояса, надо знать радиус шара и высоту. Радиус шара известен, а высоту найдем, зная, что радиус разделен на три равные части:
Тогда площадь
Ответ:
Пример 2. Шар пересечен двумя параллельными плоскостями, проходящими перпендикулярно диаметру и по разные стороны от центра шара. Площади сферических сегментов равны 42p см 2 и 70p см 2 . Найти радиус шара, если расстояние между плоскостями 6 см.
Решение. Рассмотрим два сферических сегмента с площадями: где R – радиус шара (сферы), h, H – высоты сегментов. Получим уравнения: и Имеем два уравнения с тремя неизвестными. Составим еще одно уравнение. Диаметр шара равен Решив систему, найдем радиус шара.
Û Þ Û
По условию задачи подходит значение
Ответ: 7 см.
Пример 3. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной его диаметру, делит диаметр в отношении 1:2. Во сколько раз площадь сечения меньше площади поверхности шара?
Решение . Сделаем рисунок (рис. 45).
Рассмотрим диаметральное сечение шара: AD – диаметр, O – центр, OE=R – радиус шара, BE – радиус сечения перпендикулярного диаметру шара,
Выразим BE
через R
: 
Из DOBE выразим BE через R :
Площадь сечения площадь поверхности шара Получаем отношение . Значит, S 1 меньше S 2 в 4,5 раза.
Ответ: в 4,5 раза.
Пример 4. В шаре, радиус которого 13 см, проведены два взаимно перпендикулярных сечения на расстоянии 4 см и 12 см от центра. Найти длину их общей хорды.
Решение. Сделаем рисунок (рис. 46).
Сечения перпендикулярны, т.к. OO 2 – расстояние и OO 1 – расстояние. Таким образом, и , OC – диагональ прямоугольника OO 2 CO 1 и равна АОВ
1.3. Найдите высоту шарового сегмента, если радиус его основания 15см, а радиус шара 25 см.
1.4. Шар, радиус которого 15 см, пересечен плоскостью на расстоянии 9 см от центра. Найдите площадь сферической части шарового сегмента.
1.5. Найдите площадь сферы, диаметр которой равен диагонали куба с ребром равным 2 см.
1.6. Определите, во сколько раз объем Земли больше объема Луны. (Диаметр Земли следует принять за 13тыс. км, диаметр Луны – 3,5тыс. км.)
1.7. Объем стенок полого шара равен 876p см 3 , а толщина стенок – 3 см. Найдите радиусы наружной и внутренней поверхностей шара.
1.8. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара 10 см, а радиус основания соответствующего шарового сегмента 6 см.
1.9. Объем одного шара в 8 раз больше объема другого шара. Определите, во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго.
II уровень
2.1. Стороны треугольника, равные 5 см, 5 см и 6 см, касаются шара, радиус которого 2,5 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.
2.2. На поверхности шара даны три точки. Расстояния между ними 7 см. Радиус шара равен 7 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через данные три точки.
2.3. Радиусы оснований шарового слоя равны 63 см и 39 см, его высота36 см. Найдите радиус шара.
2.4. Дан шар радиуса 12 см. Через одну точку его поверхности проведены две плоскости: первая – касательна к шару, вторая – под углом 60° к радиусу, проведенному в точку касания. Найдите площадь сечения.
2.5. Определите, какую площадь имеет часть поверхности шара, которая видна наблюдателю, находящемуся на расстоянии 10 м от него, если радиус воздушного шара равен 15 м.
2.6. Шар пересечен двумя плоскостями, проходящими через оду точку поверхности шара и образующими угол 60°. Радиус шара равен 4 см. Найдите площади поверхностей отсекаемых сегментов, если окружности их оснований имеют равные радиусы.
2.7. Шар касается граней двугранного угла в 120°. Расстояние от центра шара до ребра угла равно 10 см. Найдите площадь поверхности шара.
2.8. Из шара вырезали шаровой слой, толщина которого 9 см, площади оснований 400p см 2 и 49p см 2 . Найдите объемы оставшихся шаровых сегментов.
2.9. Диаметр шара разделен на четыре равные части и через точки деления проведены секущие плоскости перпендикулярные диаметру. Найдите объемы полученных частей шара, если его радиус равен R.
2.10. В шаре радиуса R просверлено цилиндрическое отверстие. Ось цилиндра проходит через центр шара, диаметр отверстия равен радиусу шара. Найдите объем оставшейся части шара.
3.1. Плоскости двух сечений шара взаимно перпендикулярны. Одна из этих плоскостей проходит через центр, другая удалена от него на 12. Общая хорда сечений равна 18. Найдите сумму площадей этих сечений.
3.2. Радиус шара 15 м. Вне шара дана точка А на расстоянии 10м от его поверхности. Найдите радиус такой окружности на поверхности шара, все точки которой отстоят от А на 20 м.
3.3. Из точки, взятой на поверхности шара, проведены три равные хорды, угол между каждой парой которых равен a. Найдите длину хорды, если радиус шара R.
3.4. Два шара внутренне касаются в точке А, АВ – диаметр большего из шаров, ВС – касательная к меньшему из них. Найдите радиусы шаров, если ВС = 20 см, а разность площадей поверхностей шаров равна 700p см 2 .
3.5. Вычислите объем шара, радиус которого равняется ребру октаэдра, имеющего поверхность площадью 10 .
3.6. Круговой сектор с углом 60° и радиусом R вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объем полученного тела вращения.
Инструкция
Шаровой сегмент можно рассматривать как тело, образованное в результате вращения кругового сегмента вокруг диаметра, который перпендикулярен его хорде . Высота шарового сегмента – отрезок, который соединяет полюс шара с центральной точкой основания этого сегмента.
Площадь поверхности шарового сегмента S = 2πRh, в которой R – радиус круга, а h – высота шарового сегмента. Для шарового сегмента также рассчитывается объем . Его найдите по формуле: V = πh2(R – 1/3h), где R – радиус круга, а h – высота шарового сегмента.
Все плоские сечения шара образуют круги. Наибольший расположен в сечении, которое проходит через центральную часть шара: он называется большим кругом. Радиус этого круга равен радиусу шара.
Плоскость, которая проходит через центр шара, называют диаметральной. Сечение шара диаметральной плоскостью образует большой круг, а сечение сферы – большую окружность.
Через две точки сферической поверхности, которые расположены на концах диаметра, провести можно огромное количество больших кругов. Пример этого – Земля: через полюса планеты провести можно бесчисленное число меридианов.
Часть шара, которая заключена между двумя секущими параллельными плоскостями, называется шаровым слоем. Круги параллельных сечений – основания слоя, а расстояние между ними – высота.
Разделение окружности на равные части обычно используется для построения правильных многоугольников. В принципе, можно делить окружность на части с помощью транспортира, но иногда это неудобно и неточно.
Инструкция
Чтобы разделить окружность на шесть частей, проделайте то же самое для другой осевой. Тогда получится шесть точек на окружности.
Деление окружности на четыре части - тривиальная задача. Четыре точки на пересечении двух перпендикулярных осевых и окружности будут делить эту окружность на четыре равные части. Чтобы разделить окружность на 8 частей, надо разделить дугу, соответствующую 1/4 окружности пополам. Затем развести циркуль на расстояние , обозначенное красным на рисунке, и отложить это расстояние от уже полученных четырех точек.
Чтобы разделить окружность
на пять равных частей, для начала разделите радиус на осевой линии пополам. В эту точку установите иглу циркуля, а грифель отведите до пересечения перпендикулярной этому радиусу осевой и окружности. На рисунке это расстояние показано красным. Откладывайте это расстояние на окружности, начиная с осевой, а потом перенося циркуль в получившуюся точку пересечения.
Повторите эти все действия зеркально, чтобы разбить окружность
на 10 одинаковых частей.
Видео по теме
Источники:
- как разделить окружность на 8 частей
В силу определенных причин иногда нужно разделить круг на равные части, но не всегда имеются необходимые навыки и умения, чтобы это осуществить. А ведь сделать это можно разными способами, каждый из которых по-своему практичен и удобен.
Вам понадобится
- Бумага, линейка, транспортир, карандаш, ножницы.
Инструкция
Можно пойти наиболее простым путем, то есть сделать копию нужной фигуры, вырезать ее и затем путем сгибания разделить на необходимое количество сегментов. Однако нужно учитывать, что таким образом, складывая круг пополам, можно его разделить на 2 части . Сложив фигуру еще раз, получим 4 части. Продолжая складывать круг , в результате будет 8, а затем 16 частей. Затем можно приложить вырезанный круг к основному и отметить в местах заломов сегменты на основной нужной фигуре.
Однако при делении круг а таким способом не получается 3, 5, 7, 9 или 11 частей. В этих случаях придется воспользоваться транспортиром. Если нет возможности определить середину круг а, то снова сначала нужно обвести фигуру, вырезать ее и сложить в два, а затем в четыре раза. Перпендикулярные линии на пересечении дадут точку, которая показывает середину. От нее необходимо проводить все отметки.
Весь круг составляет 360°, следовательно, можно посчитать градусы любого количества частей. Например, нужно сделать 5 сегментов. Для этого 360° разделите на 5 частей - получается 72°. То есть, каждый сегмент будет составлять 72°. Поставьте транспортир, который охватывает 180° на середину и отмерьте 72°. Проведите линию от центральной серединной точки до отмеренного градуса, затем выполните то же самое еще 3 раза. В итоге получится 5 равных частей круг а.