Упрощение выражений.
| Рассмотрим два выражения: (2 + 4) 3 и 2 3 + 4 3 Оба выражения равны 18: (2 + 4) 3 = 6 3 = 18 ; 2 3 + 4 3 = 6 + 12 = 18 . Получается, что: (2 + 4) 3 = 2 3 + 4 3 . Для того чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения. Это правило называется распределительным свойством умножения относительно сложения. С помощью букв его записывают так: (a + b) c = a c + b c . | |
Порядок выполнения действий.
|
Степень натурального числа а
Степенью натурального числа a называют произведение нескольких множителей, каждый из которых равен а. Например: 
Квадрат числа а
Произведение a умножить на a называют второй степенью или квадратом числа a.
И другие квадраты чисел также можете легко найти.
Куб числа а
Произведение числа a на a и на a называют третьей степенью или кубом числа a. Записывают таким образом,. Читают a в кубе или a в третьей степени.
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ
ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РАЗВИТИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ
Числовую фигуру обычно называют магической, если составляющие ее числа не повторяются и при определенных взаимных сочетаниях дают заранее задуманный составителем результат.
Наверное, одной из первых известных человечеству магических фигур является магический квадрат. Он встречаются в культуре, истории, верованиях и в различных мистических учениях многих народов.
Страна, в которой был впервые придуман магический квадрат, точно неизвестна, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Вероятно, самым «старым» из дошедших до нас магических квадратов является таблица Ло Шу (ок. 2200 г. до н. э.). Она имеет размер 3x3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9. В этом квадрате сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15 (рис. 1). Согласно одной из легенд, прообразом Ло Шу стал узор из связанных черных и белых точек, украшавший панцирь огромной черепахи, которую встретил однажды на берегу реки Ло-Шуй мифический прародитель китайской цивилизации Фуси.
Жители Поднебесной считали таблицу Ло Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.
Рис. 1. Таблица Ло Шу.
В XI в. из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию. Из Индии увлечение магическими квадратами перешло к арабам. Именно от арабов квадраты получили название «магические».
На востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях. Магические квадраты находят при раскопках поселений Золотой Орды (рис. 2), в Китае, Индии и Тибете, в Израиле, Турции и во всех странах Европы.
Рис. 2. Магический квадрат, найденный при раскопках поселений Золотой Орды
Европейцев с магическими квадратами познакомил в XV веке византийский писатель Э. Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А. Дюрера, изображенный на его знаменитой гравюре «Меланхолия» (рис. 3).
Рис. 3. Гравюра «Меланхолия»
Дата создания гравюры - 1514 год - указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки.
В западной Европе в средние века магические квадраты были достоянием представителей алхимии и астрологии. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы (рис. 4)
Рис. 4. Старинный оберег с изображением магического квадрата
В XIX и XX вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления.
С развитием вычислительной техники исследования магических квадратов в последние десятилетия приобрели второе дыхание. Вполне объяснимо, что наибольшие успехи в развитии теории и практики магических квадратов были достигнуты в Европе, США и Японии. Появились описания более сложных фигур, таких как: кубы и тессеракты – четырехмерные аналоги магических квадратов. Результаты этих исследований открывают новые методы решения сложных задач современной математики.
Свойства магических квадратов
Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n 2 клеток и называется квадратом n –го порядка. В большинстве магических квадратов используются первые n 2 последовательных натуральных чисел (т.е. числа от 1 до n 2) . Такие квадраты называют нормальными.
Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями.
Сумма чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали магического квадрата называется магической константой M . Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой:
Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков , за исключением n=
2, хотя случай n
=1 тривиален - квадрат состоит из одного числа. Минимальным нетривиальным случаем является таблица Ло Шу, он имеет порядок 3. Магическая константа 
(рис. 5).
Рис. 5. Нормальный магический квадрат 3-го порядка
Из условий построения следуют следующие, очевидные свойства магических квадратов:
1. Если все числа в клетках магического квадрата увеличить на одно и то же число , то получим магический квадрат, с магической константой , где - магическая константа полученного квадрата, - магическая константа исходного квадрата, – порядок квадрата рис. 6.
2. Если все числа в клетках магического квадрата умножить на одно и то же число , то получим магический квадрат, с магической константой , где - магическая константа полученного квадрата, - магическая константа исходного квадрата (рис. 7).
Рис. 6. Новый магический квадрат, полученный из исходного, увеличением каждого числа на 1
Рис. 7. Новый магический квадрат, полученный из исходного, умножением каждого числа на 2
3. Сумма чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали магического квадрата одинакова и больше или равна магической константе нормального волшебного квадрата соответствующего порядка.
4. При повороте вокруг центра на угол 
магического квадрата, получим магический квадрат (рис. 8).
Рис. 8. Поворот магического квадрата
5. При отражении, относительно одной из осей симметрии магического квадрата получим магический квадрат (рис. 9,10).
Рис. 9. Отражение магического квадрата относительно горизонтальной (вертикальной) оси симметрии
Рис. 10. Отражение магического квадрата относительно главных диагоналей
Среди множества магических квадратов некоторые выделяются особыми свойствами: числа, из которых они составлены, удовлетворяют различным дополнительным условиям.
Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна . Квадраты Ло Шу и Дюрера – симметричные.
Для симметричных магических квадратов существует еще одно свойство:
6. При отражении строк (столбцов) симметричного магического квадрата относительно горизонтальной (вертикальной) оси симметрии получим симметричный магический квадрат (рис. 11).
Рис. 11. Отражение столбцов (строк) магического квадрата относительно вертикальной (горизонтальной) оси
способы построения некоторых магических квадратов
С давних пор математики стремились решить две основные задачи, связанные с магическими квадратами: найти общий метод их построения и описать все возможные магические квадраты.
В XVI веке Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3–го, 4–го, 5–го, 6–го, 7–го, 8–го и 9–го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет (ПРИЛОЖЕНИЕ А).
Основы математической теории построения магических квадратов были заложены французскими учеными в XVII в. Позже она стала излюбленной темой исследований многих авторов. И хотя для каждого вида квадрата были найдены свои способы решения задачи, пока не известен общий, пригодный для квадратов любого порядка, метод их построения.
2.1.1 Заполнение квадратов нечетных порядков (индийский способ)
Этот способ придуман, как полагают, в Индии еще до начала нашего летоисчисления. Порядок квадрата должен быть нечетным. Иначе квадрат магическим не получится.
1. Нарисуем квадратную таблицу порядка n .
2. Единицу впишем в середину верхней строки.
4. Как только ломаная диагональ замкнется, то есть мы дойдем до натурального числа, кратного n , то следующее по порядку число впишем в поле под клеткой, на которой мы остановились.
Рис. 12. Магические квадраты 3-го и 5-го порядка, полученные индийским способом (ломаные диагонали закрашены одним цветом) (M (3)=15, M (5)=65)
То, что получилось - нормальный магический квадрат (рис. 12).
2.1.2. Заполнение квадрата порядка, кратного четырем
Среди квадратов четного порядка наиболее изученными являются квадраты, порядок которых делится на 4, так как они обладают рядом дополнительных свойств, которыми не обладают квадраты других порядков. Неслучайно квадрат А. Дюрера - квадрат 4-го порядка.
Для этих квадратов было разработано множество способов построения. Один из них основан на методе выделения диагональных элементов.
1. Исходный квадрат делится на соответствующее число квадратов порядка 4. В каждом подквадрате закрашиваются диагональные элементы (главная и побочная).
2. Остальные элементы построчно заполняются порядковыми целыми числами в направлении слева -направо и сверху -вниз по закрашенным клеткам и справа -налево и снизу-вверх по не закрашенным клеткам.
3. Переход между цветами при заполнении происходит, если следующая для заполнения клетка меняет цвет.
Результаты построения магических квадратов 8-го и 12-го порядка представлены на рис. 13, 14.
Рис. 13. Магический квадрат 8-го порядка, построенный способом разбиения на подквадраты 4x4 (M (8)=260)
Рис. 14. Магический квадрат 12-го порядка, построенный способом разбиения на подквадраты 4x4 (M (12)=870)
Нетрудно проверить, что полученные этим способом квадраты являются симметричными.
2.1.3. Заполнение квадрата четного порядка, не кратного четырем
Последняя группа магических квадратов – квадраты чётно-нечётного порядка n =4k +2, k =1, 2, 3…. Иногда их ещё называют квадратами порядка одинарной чётности (в отличие от квадратов порядка двойной чётности или чётно-чётного порядка n=4k , k =1, 2, 3…). Эти магические квадраты, наверное, меньше всего исследованы. Для этих квадратов не существует общих методов построения, хотя можно использовать метод четырех квадратов, Н. В. Макаровой.
Суть метода в следующем:
1. Исходный квадрат разбивается на 4 равных квадрата, по следующей схеме (рис. 15)
Рис. 15. Разбиение исходного квадрата на 4 подквадрата
В результате такого разбиения получим 4 квадрата нечетного порядка , где -порядок полученных квадратов, n -порядок исходного квадрата.
2. Заполняем подквадрат 1, как магический квадрат нечетного порядка числами от 1 до (например, используя индийский способ).
3. Подквадрат 2 получаем из подквадрата 1, увеличением каждого числа 1-го подквадрата на .
4. Подквадрат 3 получаем из подквадрата 2, увеличением каждого числа 2-го подквадрата на .
5. Подквадрат 4 получаем из подквадрата 3, увеличением каждого числа 3-го подквадрата на .
В результате таких построений получится почти магический квадрат, из которого можно получить магический, некоторой симметричной перестановкой клеток в полученном квадрате.
Применим описанный способ для построения магического квадрата 6-го порядка:
Рис. 16. Заполненный квадрат
Полученный квадрат (рис. 16), не является магическим, т.к. суммы по строкам и по диагоналям не равны магической постоянной 
=111.
Поменяем местами числа, отмеченные одинаковым цветом в первом и во втором столбце (т.е. фигуру образованную числами 8, 5, 4 на фигуру образованную числами 35, 32, 31). Рис. 17.
Рис. 17. Клетки, для которых необходим обмен значениями, помечены одинаковым цветом
В итоге получим магический квадрат (рис. 18).
Рис. 18. Построенный магический квадрат 6-го порядка
СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи. Приглашаем познакомиться с примером решения конкретной задачи методом таблиц.
 |
||
|
Далее, туфли и рубашка Бома не являются красными, отметим соответствующие ячейки таблицы знаком –
. Из таблицы, заполненной на этом этапе, видим, что красные туфли могут быть только у Бима, а, следовательно, туфли Бома - синие. Правая часть таблицы заполнена, мы установили цвета обуви клоунов (табл.1). Цвет рубашки Бима совпадает с цветом его туфель и является красным. Теперь легко устанавливается владелец зеленой рубашки - Бом. Бам, в таком случае, одет в рубашку синего цвета.
Мы полностью заполнили таблицу, в которой однозначно устанавли-ваются цвета туфель и рубашек клоунов (см. табл. 2): Бим одет в красную рубашку и красные туфли, Бам в синей рубашке и зеленых туфлях, Бом в зеленой рубашке и туфлях синего цвета.
Ответ: Бим одет в красную рубашку и красные туфли, Бам в синей рубашке и зеленых туфлях, Бом в зеленой рубашке и туфлях синего цвета.
Сегодня мы научимся быстро без калькулятора возводить большие выражения в квадрат. Под большими я подразумеваю числа в пределах от десяти до ста. Большие выражения крайне редко встречаются в настоящих задачах, а значения меньше десяти вы и так умеете считать, потому что это обычная таблица умножения. Материал сегодняшнего урока будет полезен достаточно опытным ученикам, потому что начинающие ученики просто не оценят скорость и эффективность этого приема.
Для начала давайте разберемся вообще, о чем идет речь. Предлагаю для примера сделать возведение произвольного числового выражения, как мы обычно это делаем. Скажем, 34. Возводим его, умножив само на себя столбиком:
\[{{34}^{2}}=\times \frac{34}{\frac{34}{+\frac{136}{\frac{102}{1156}}}}\]
1156 — это и есть квадрат 34.
Проблему данного способа можно описать двумя пунктами:
1) он требует письменного оформления;
2) в процессе вычисления очень легко допустить ошибку.
Сегодня мы научимся быстрому умножению без калькулятора, устно и практически без ошибок.
Итак, приступим. Для работы нам потребуется формула квадрата суммы и разности. Давайте запишем их:
\[{{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\]
\[{{(a-b)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\]
Что нам это дает? Дело в том, что любое значение в пределах от 10 до 100 представимо в виде числа $a$, которое делится на 10, и числа $b$, которое является остатком от деления на 10.
Например, 28 можно представить в следующем виде:
\[\begin{align}& {{28}^{2}} \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end{align}\]
Аналогично представляем оставшиеся примеры:
\[\begin{align}& {{51}^{2}} \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{42}^{2}} \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{77}^{2}} \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{21}^{2}} \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{26}^{2}} \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{39}^{2}} \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{81}^{2}} \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end{align}\]
Что дает нам такое представление? Дело в том, что при сумме или разности, мы можем применить вышеописанные выкладки. Разумеется, чтобы сократить вычисления, для каждого из элементов следует выбрать выражение с наименьшим вторым слагаемым. Например, из вариантов $20+8$ и $30-2$ следует выбрать вариант $30-2$.
Аналогично выбираем варианты и для остальных примеров:
\[\begin{align}& {{28}^{2}} \\& 30-2 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{51}^{2}} \\& 50+1 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{42}^{2}} \\& 40+2 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{77}^{2}} \\& 80-3 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{21}^{2}} \\& 20+1 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{26}^{2}} \\& 30-4 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{39}^{2}} \\& 40-1 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{81}^{2}} \\& 80+1 \\\end{align}\]
Почему следует стремиться к уменьшению второго слагаемого при быстром умножении? Все дело в исходных выкладках квадрата суммы и разности. Дело в том, что слагаемое $2ab$ с плюсом или с минусом труднее всего считается при решении настоящих задач. И если множитель $a$, кратный 10, всегда перемножается легко, то вот с множителем $b$, который является числом в пределах от одного до десяти, у многих учеников регулярно возникают затруднения.
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
Вот так за три минуты мы сделали умножение восьми примеров. Это меньше 25 секунд на каждое выражение. В реальности после небольшой тренировки вы будете считать еще быстрее. На подсчет любого двухзначного выражения у вас будет уходить не более пяти-шести секунд.
Но и это еще не все. Для тех, кому показанный прием кажется недостаточно быстрым и недостаточно крутым, предлагаю еще более быстрый способ умножения, который однако работает не для всех заданий, а лишь для тех, которые на единицу отличаются от кратных 10. В нашем уроке таких значений четыре: 51, 21, 81 и 39.
Казалось бы, куда уж быстрее, мы и так считаем их буквально в пару строчек. Но, на самом деле, ускориться можно, и делается это следующим образом. Записываем значение, кратное десяти, которое наиболее близкое нужному. Например, возьмем 51. Поэтому для начала возведем пятьдесят:
\[{{50}^{2}}=2500\]
Значения, кратные десяти, поддаются возведению в квадрат намного проще. А теперь к исходному выражению просто добавляем пятьдесят и 51. Ответ получится тот же самый:
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
И так со всеми числами, отличающимися на единицу.
Если значение, которое мы ищем, больше, чем то, которое мы считаем, то к полученному квадрату мы прибавляем числа. Если же искомое число меньше, как в случае с 39, то при выполнении действия, из квадрата нужно вычесть значение. Давайте потренируемся без использования калькулятора:
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
Как видите, во всех случаях ответы получаются одинаковыми. Более того, данный прием применим к любым смежным значениям. Например:
\[\begin{align}& {{26}^{2}}=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end{align}\]
При этом нам совсем не нужно вспоминать выкладки квадратов суммы и разности и использовать калькулятор. Скорость работы выше всяких похвал. Поэтому запоминайте, тренируйтесь и используйте на практике.
Ключевые моменты
С помощью этого приема вы сможете легко делать умножение любых натуральных чисел в пределах от 10 до 100. Причем все расчеты выполняются устно, без калькулятора и даже без бумаги!
Для начала запомните квадраты значений, кратных 10:
\[\begin{align}& {{10}^{2}}=100,{{20}^{2}}=400,{{30}^{2}}=900,..., \\& {{80}^{2}}=6400,{{90}^{2}}=8100. \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{34}^{2}}={{(30+4)}^{2}}={{30}^{2}}+2\cdot 30\cdot 4+{{4}^{2}}= \\& =900+240+16=1156; \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{27}^{2}}={{(30-3)}^{2}}={{30}^{2}}-2\cdot 30\cdot 3+{{3}^{2}}= \\& =900-180+9=729. \\\end{align}\]
Как считать еще быстрее
Но это еще не все! С помощью данных выражений моментально можно сделать возведение в квадрат чисел, «смежных» с опорными. Например, мы знаем 152 (опорное значение), а надо найти 142 (смежное число, которое на единицу меньше опорного). Давайте запишем:
\[\begin{align}& {{14}^{2}}={{15}^{2}}-14-15= \\& =225-29=196. \\\end{align}\]
Обратите внимание: никакой мистики! Квадраты чисел, отличающиеся на 1, действительно получаются из умножения самих на себя опорных чисел, если вычесть или добавить два значения:
\[\begin{align}& {{31}^{2}}={{30}^{2}}+30+31= \\& =900+61=961. \\\end{align}\]
Почему так происходит? Давайте запишем формулу квадрата суммы (и разности). Пусть $n$ — наше опорное значение. Тогда они считаются так:
\[\begin{align}& {{(n-1)}^{2}}=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1)= \\& =={{n}^{2}}-n-(n-1) \\\end{align}\]
— это и есть формула.
\[\begin{align}& {{(n+1)}^{2}}=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1)= \\& ={{n}^{2}}+n+(n+1) \\\end{align}\]
— аналогичная формула для чисел, больших на 1.
Надеюсь, данный прием сэкономит вам время на всех ответственных контрольных и экзаменах по математике. А у меня на этом все. До встречи!
Видеоурок «Степень числа. Квадрат и куб числа» представляет наглядный материал для усвоения соответствующей темы. В ходе видеоурока формируется представление о степени числа, о квадрате и кубе числа, также умения представлять произведение одинаковых множителей в виде степени числа, вычислять значение такого выражения. Понятное объяснение, подкрепленное примерами, дает возможность с помощью наглядного материала более быстро освоить тему. Это позволяет учителю использовать материал в качестве инструмента, повышающего эффективность урока математики. Видео может применяться как сопровождение объяснения учителя, а также как самостоятельная часть урока, позволяя учителю использовать освободившееся время для индивидуальной работы с учениками.
Видеоматериал является одним из лучших способов обеспечения наглядности в представлении учебного материала. Озвучивание видео позволяет заменить объяснение учителя, вставить важные комментарии, дополнительно воздействовать на мыслительные процессы ученика через слух. С помощью анимации материал подается последовательно, есть возможность выделить важные особенности в решении примеров, акцентировать внимание учеников на изучении объектов. Правила, которые требуют запоминания, выделяются цветным шрифтом, что способствует более быстрому запоминанию материала.
В начале урока представляется тема и ученикам напоминается изученный материал о свойствах умножения. На экране отображается формирование произведения 3·5, если необходимо сложить пять троек. При этом число 5 представляет собой количество элементов, которые требуется сложить.
Аналогично тому, как укорачивается запись сложения одинаковых чисел, если представлять его в виде произведения, формируется короткая запись при умножении одинаковых чисел. На экране отображается произведение шести двоек и предлагается запомнить краткую запись такого произведения 2 6 . С помощью указателей 2 6 разбивается на составляющие - число, показывающее количество множителей, обозначается как показатель степени, а сам множитель представляет собой основание степени. Отмечается общее название выражения - степень. Далее представлены примеры, демонстрирующие формирование степени - произведение четырех троек 3 4 , которое в результате дает 81, произведение трех пятерок 5 3 , которое в результате дает 125 и произведение шести двоек 2 6 =64.
Вводится понятие квадрата числа. На экране представлено произведение 3·3. Так как краткая запись этого произведения 3 2 , отмечается, что иначе такую степень называют квадратом числа. Представляется запись квадрата числа в общем виде n·n=n 2 . Для усвоения и запоминания сути квадрата числа приводятся примеры - 17 2 =17·17=289. На экран выводится таблица квадратов первых десяти чисел, которая помогает ученикам глубже понять, как формируется квадрат числа и научиться вычислять его значение. Ученикам демонстрируется по таблице, как находится значение квадрата каждого представленного в ней числа.
Далее представляется понятие куба числа. На экране отображается произведение трех четверок. Отмечается, что краткая запись такого произведения 4 3 иначе называется кубом числа 4. Куб числа представляется в общем виде n·n·n=n 3 . Примером, демонстрирующим, как находить значение куба числа, является 8 3 , которое раскладывается на множители 8·8·8. Отмечается, что после нахождения произведения первых двух множителей, при умножении 64·8 получается искомое значение 512. Ниже выводится таблица значений кубов первого десятка натуральных чисел. Демонстрируется, как с помощью таблицы найти кубы чисел, входящих в первую десятку натурального ряда. Например, для числа 5 его куб составляет 125, а для числа 9 кубом является значение 729.
Отмечается особенность первой степени. На примерах показано, что первая степень любого числа будет представлять само это число 7 1 =7, 13 1 =13, 1 1 =1. При этом замечено, показатель 1 обычно опускается. Продолжая тему порядка выполнения действий, отмечается, что при вычислении значения числового выражения, которое содержит степени числа, эта операция выполняется до выполнения других действий. Данное правило отображается на экране и рекомендовано к запоминанию.
Представлен пример вычисления значения числового выражения, которое содержит степени чисел (4+3) 2 ·5 2 -8 3 +2 6 . Демонстрируется выполнение действий по порядку - сначала вычисляется сумма в скобках 4+3=7, затем вычисляются степени чисел 5, 8, 2, получая выражение 7 2 ·25-512+64. Вычислив 7 2 , получаем обычное числовое выражение, содержащее операции сложения и вычитания 1225-512+64, которое в итоге дает число 777.
В конце видеоурока представлены традиционные вопросы, проверяющие полученные на данном уроке знания. В число вопросов входит определение куба и квадрата числа, а также проверка умения различать в степени основание и показатель.
Видеоурок «Степень числа. Квадрат и куб числа» рекомендуется использовать на традиционном школьном уроке математики для повышения его эффективности. Также наглядность материала поможет сформировать требуемые умения вычислять степень числа у учеников при дистанционном обучении. При необходимости освоить тему ученику самостоятельно, видео можеть рекомендоваться для самостоятельной работы дома.
1
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
«Средняя школа №8»
Учебный прикладной проект по предмету как способ формирования
умений и навыков проектной деятельности обучающихся 5 класса.
Тема проекта: «Степень числа. Квадрат и куб числа.»
Тихонова Маргарита Николаевна,
учитель математики,
первая категория, стаж работы 14 лет.
2
г. Заволжье
2015 год
1. Тема урока: Степень числа. Квадрат и куб числа.
2. Тип/вид урока: урок формирования новых знаний, составления алгоритма
учебных действий.
3. Планируемые результаты урока:
Предметные:
Учащиеся должны уметь…
Читать и записывать степень числа;
Называть компоненты степени;
Заменять произведение степенью и представлять степень в виде
произведения;
Объяснять, что называется квадратом и кубом числа, читать
таблицу квадратов и кубов.
Метапредметные:
Учащиеся должны уметь…
видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации;
выдвигать гипотезы при решении учебных задач;
с помощью учителя определять личностно значимую проблему;
с помощью учителя осуществлять цикл проектных действий в
паре и коллективе; планировать пути достижения целей на основе
анализа условий и средств их достижения,
выделять
альтернативные способы достижения цели и выбирать из них
наиболее эффективные; осуществлять самоконтроль своих знаний
и умений;
понимать смысл поставленной задачи, ясно и четко излагать свои
мысли в устной речи, выстраивать аргументацию;
работать в парах.
Личностные:
3
Учащиеся должны продемонстрировать…
готовность и способность к саморазвитию и самообразованию на
основе понимания недостатка математических знаний;
осознанное доброжелательное отношение к другому человеку,
готовность и способность вести диалог с одноклассниками и
достигать в нём взаимопонимания в процессе образовательной,
общественно полезной, проектной деятельности.
Актуальность проекта. Предметное содержание проекта и используемый
УМК:
Урок по теме «Степень числа. Квадрат и куб числа» является первым уроком
темы. К этому уроку учащиеся умеют выполнять действия с натуральными
числами. Актуальность данного проекта определяется тем, что знания и
умения находить квадрат и куб имеют огромное значение для решения
уравнений и задач, в том числе и заданий единого государственного экзамена.
Данный учебный проект поможет найти новые подходы к решению задач.
Такая работа даст возможность учащимся почувствовать себя открывателями
нового, повысит самооценку, побудит интерес к новым знаниям.
УМК: 1) Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд
«Математика 5», издательство «Мнемозина», 2013 год;
2) Авторская программа: Программа. Планирование учебного материала.
Математика 56 классы\ авторсоставитель В. И. Жохов. – М.: Мнемозина,
2010
Структура проекта: данный проект рассчитан на один урок изучения темы,
учащиеся получают продукт проектной деятельности – шпаргалкузакладку и
оценивают проектный продукт.
Описание проектных продуктов: инструмент для быстрого возведения
чисел в квадрат и куб (шпаргалказакладка) (Приложение 3).
Учитель: Тихонова Маргарита Николаевна, учитель математики МБОУ «Средняя школа №8»
Технологическая карта
Тема урока: «Степень числа»
Тип урока: урок формирования первоначальных предметных знаний и УУД, составления алгоритма учебных действий.
5
Целеполагание для учителя
Целеполагание для ученика
(ЗУН – что надо знать и уметь после изучения темы)
Предметные результаты
Знать:
понятие степени;
основание степени, показатель степени;
Уметь:
читать и записывать выражения со степенями;
находить значение степени в примерах;
создавать творческие работы, презентации на заданную тему;
оценивать свою деятельность (успех, неуспех, ошибки умение
сотрудничать, принимать мнения и варианты решения
одноклассников), высказывать свои суждения, предположения,
аргументы.
Понимать:
в математике существует множество различных действий,
знакомство с которыми будет происходить на протяжении всех
лет обучения;
важно научиться отличать умножение от степени и не путать
их;
(в управленческих формах: организовать, научить,
помочь осознать)
Цель: формировать представление степени.
Задачи
Образовательные:
сформировать понятие степени;
сформировать умение чтения и записи выражений со
степенями;
тренировать вычислительные навыки;
отработать навыки нахождения значения степени на
примерах;
подготовить к понятию «геометрическая прогрессия».
Развивающие:
развивать умение добывать информацию из разных
источников, умение наблюдать;
развивать коммуникативные навыки и способности
учащихся посредством коллективной формы работы на
уроке;
обеспечить достижение указанной цели урока и создать
на
развития мыслительных
условия для
уроке
6
многообразие предметов окружающего мира можно
классифицировать, распределять на группы по существенным
признакам.
Использовать (приобрётенные знания и умения в
практической деятельности и повседневной жизни) для:
вычисления площади, объема при покупке обоев, плитки,
краски и других строительных материалов.
Опорные понятия, термины
способностей учащихся.
Воспитывающие:
воспитывать интерес к предмету;
воспитывать упорство в достижении цели, побуждать
учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу
своей деятельности
вызывать потребность в обосновании своих
высказываний.
Познавательные:
знать, какую операцию в математике называют
степенью;
познакомить с историей записи степени и с историей
шахмат.
Новые понятия, термины
Степень.
Основание степени, показатель степени.
Произведение чисел.
Умножение числа самого на себя.
Форма организации учебнопознавательной деятельности: коллективная
Оборудование и оснащение урока
Учебно наглядные (информационные) пособия:
1.Учебник «Математика» для 5 класса, Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков
2.Презентация к уроку для обучающихся «Степень»
Технические средства информации:
1.Интерактивный комплекс с программным обеспечением Windows XР и программа Microsoft OfficePower Point
Атрибуты:
1.Карточки для работы в парах.
2.Карточки для рефлексии
7
Ожидаемые результаты:
умение вычислять степень;
повышение потребности у учащихся быть активным участником образовательного процесса на основе полученных знаний;
развитие мотивации углубленного и самостоятельного изучения материала;
формирование нравственных качеств;
формирование общеучебных компентенций.
Этапы урока
Деятельность учителя
Деятельность
учащихся
(универсальные учебные
УУД
действия)
Проектный продукт
(промежуточный
или итоговый)
I.
Самоопределение
к деятельности
(организационный
момент)
Здравствуйте, дорогие
ребята! Итак, продолжаем
свое путешествие по царству
математики, и сегодня наш
урок, как всегда, полон тайн и
загадок.
Да, путь познания не гладок,
Но знайте вы со школьных лет.
Загадок больше, чем разгадок,
Готовность к уроку Личностные:
самоопределение
Коммуникативные:
планирование
ученического
сотрудничества с учителем
и сверстниками
II. Актуализация
знаний и
фиксация
затруднений
деятельности
(воспроизведение
учащимися
необходимых и
достаточных
знаний для
введения нового,
завершается
проблемой)
8
И поискам предела нет.
Коммуникативные:
планирование
сотрудничества
учебного
Актуализированы
знания, необходимые
в проекте
устанавливать
Познавательные:
умение
аналогии;
умение действовать по
алгоритму.
Логические:
анализ объектов с целью
выделения признаков;
актуализация
мыслительных операций,
необходимых для решения
задач урока
Начать наш урок я хотела бы
с выяснения вопроса: «
Встречался ли ктонибудь из
вас в повседневной жизни со
словом «степень»?
Давайте приведем примеры
словосочетаний из жизни, в
которых оно используется и
попытаемся с их помощью
разобраться, что же в жизни
означает слово «степень».
Каким же близким по смыслу
словом можно заменить слово
«степень»?
Да.
Ученая степень,
степень
прилагательного,
степень точности,
степень сравнения, …
9
В толковом словаре.
Степень – это
мера,
сравнительная
величина; уровень
чегонибудь.
1. Разобраться с
понятием
степени в
математике.
2. Выяснить,
зачем она
понадобилась
людям.
А где мы можем уточнить его
значение?
Слово «степень» находит
широкое применение и в
математике.
Давайте выясним, меняется
ли его смысловая нагрузка в
математике или остается той
же.
Что же нам для этого нужно
сделать?
Как можно сформулировать
тему нашего урока?
Запишите в тетрадях тему
сегодняшнего урока: «Степень
числа»
III. Построение
проекта выхода из
затруднения.
10
Слушают учителя,
отвечают на вопросы.
Постановка учебной
задачи детьми.
Вы знаете, что все новые
понятия в любой науке
возникают из потребностей
человека. Давайте попытаемся
представить себе, как бы
могло возникнуть понятие
степени в математике, и
разберемся, зачем оно
понадобилось людям.
Когда индийский царь
Шерам узнал об
удивительной игре в
шахматы, он приказал
позвать к себе её
изобретателя, ученого Сету.
Царь пообещал наградить
бедного ученого, чем тот сам
пожелает. Сета попросил в
награду за своё изобретение
Регулятивные:
целеполагание.
Личностные:
самоопределение
мотивация учения.
Познавательные:
уметь ориентироваться в
своей системе знаний:
отличать новое от уже
известного с помощью
учителя;
умение структурировать
знания,
логическое
выдвижение.
Коммуникативные:
умение
слушать
понимать речь других;
умение
аналогии;
умение классифицировать
и систематизировать.
устанавливать
и
Определен
ожидаемый продукт
Необходимая
математическая
информация:
формула, фигура,
алгоритм решения,
варианты задач с
решением.
Определены
критерии:
достоверность
необходимой
математической
информации,
соответствие
требованиям,
предъявляемым к
информационным
продуктам (буклет,
презентация и т.п.),
умение защитить
свой продукт.
11
1+2+2∙2+2∙2∙2+2∙2∙2∙2
+….+2∙2∙…∙2=
63 раза
Это займет много
времени.
столько пшеничных зёрен,
сколько получится, если на
первую клетку шахматной
доски положить одно зерно,
на вторую в два раза больше,
т. е. 2 зерна, на третью ещё в
два раза больше, т. е. 4 зерна,
на четвертую ещё в 2 раза
больше, т. е. 8 зёрен, и т. д.
до 64 клетки. Царь
подивился такой скромности
ученого и велел слугам
принести Сете мешок
требуемой пшеницы. Слуги
ушли, но выполнить просьбу
Сеты они не смогли.
Почему же?
Давайте подсчитаем, сколько
всего зёрен должны были
выдать Сете в награду за
изобретение шахмат.
Можно найти точное
значение данной суммы?
А можно эту сумму както
упростить и попытаться
вычислить?
Сформулируйте возникшую
проблему.
Составим план решения
проблемы.
12
Как записывать
произведение
одинаковых
множителей короче и
с помощью чего
быстро считать.
1. Научиться
записывать короче
произведение
одинаковых
множителей.
2. Изучить новое
математическое
действие.
3. Создать
инструмент,
помогающий быстро
считать.
Как оно называется,
как записывается,
читается, каким по
порядку выполняется
в числовом
выражении.
13
5 число, которое
перемножают само на
себя, 6 – количество
таких множителей.
Да, понятна и
удобна.
Если мы знакомимся с новым
арифметическим действием,
что нам необходимо о нем
знать?
Внимательно посмотрите на
данные равенства. Сравните
выражения слева и справа от
знака «равно».Попробуйте
объяснить что означает
каждый знак.
Какие есть идеи?
4∙4∙4=43
5∙5∙5∙5∙5∙5=56
7∙7=72
Такая запись одинаковых
множителей удобна, понятна?
аn
Поработайте с
информационным блоком:
прочитайте текст и ответьте на
вопросы.
Степень числа а.
а основание
степени, n
показатель степени.
Определен
ожидаемый продукт.
Определен план
деятельности в
проекте (приложение
3), определены
14
Квадратом
Кубом
а2 = а*а
а3 = а*а*а
Вопросы к тексту:
1. Как автор предлагает
нам записывать
произведение
одинаковых множителей
а*а*а*…*а, если
количество множителей
n?
2. Как называется такая
временные рамки
проекта,
распределены
обязанности при
реализации плана.
запись?
3. Как прочитать запись аn?
4. Что означает каждый
знак в записи аn?
Вторая и третья запись числа
имеют специальное название.
Вторую степень называют …, а
третью ….
Поработаем в парах. Для
того, чтобы легче вычислять
квадраты, кубы и степени
чисел мы с вами решили
создать
–
помощник.
инструмент
памятка, правило,
закладка.
Работают в парах.
Составляют и решают
задачи.
Оформляют итоговый
продукт. Готовятся к
его защите.
15
Чтобы он никогда не терялся.
Каким этот инструмент
должен быть?
У вас на столах лежат
заготовки,
в которых вы
поработаете на уроке и
закончите их оформление
дома.
Вы заполняете верх закладки.
Чтобы работа была выполнена
быстрее договоритесь кто и
что выполняет.
IV. Первичное
закрепление
Итак, о каком подсчете
идет речь в легенде о
шахматах?
Как мы запишем 2∙2 это
Решают задачу в
которой возникло
затруднение в начале
урока.
Регулятивные:
контроль, оценка
Коммуникативные:
умение с достаточной
полнотой и точностью
Применение
предметного
содержания
проектной
16
выражать свои мысли
деятельности.
количество
зерен,
находящихся на 3 клетке.
Сколько зерен находится на 4
клетке? На 5 клетке? На 64
клетке? Сегодня дома, как и
придворные математики, вы
попробуете подсчитать зерна,
а о результате мы поговорим
на следующем уроке.
Определим домашнее
Спланируем вашу
задание.
работу дома.
Домашнее задание: Посчитать
количеств о зерен « Легенда о
шахматной доске» , выполнить
I уровень № 771, 782;
II уровень № 772, 775.
VII. Контроль и
оценка
(рефлексия)
Похожий путь открытия
нового знания проделывают
ученые. Мы с вами сегодня на
уроке попробовали себя в
качестве ученых. Понравилось
ли вам ощущать себя в такой
Как можно короче
записать
произведение
одинаковых
множителей.
Степенью числа.
Коммуникативные:
умение с достаточной
полнотой и точностью
выражать свои мысли.
Познавательные:
самостоятельное
Разрезные карточки
выделение познавательной
цели.
Личностные:
Смыслообразование;
проведение самооценки
учениками работы на уроке,
на основе критерия
успешности учебной
деятельности.
Карточки для
рефлексии
Приложение 4
Осознание
метапредметного
опыта проектной
деятельности
17
Основанием степени.
Показателем
степени.
Повторение учебной
задачи детьми
Да.
В закладке
шпаргалке и в
информационном
блоке.
Рефлексия
Анализируют
выполнение проекта,
рефлексируют
деятельность,
формулируют
перспективы
реализации проекта.
непривычной роли?
Какова была общая цель
работы на уроке?
Можно ли считать, что мы
реализовали эту цель на уроке?
В чем, повашему, состоит
результат урока?
А мы привели все
полученные знания в порядок?
Где мы это увидим?
Действительно, заполненная
нами закладка имеет
множество достоинств. Она
получилась понастоящему
красивой и полезной, я бы
сказала гармоничной. И все вы
очень хорошо потрудились над
её созданием.
А теперь я прошу вас на
маленьких листочках, лежащих
у вас на партах, оценить свою
работу на уроке.
Степень вашей
удовлетворенности уроком,
полученными знаниями?
VIII. Итог урока
Ребята! Спасибо за урок!
18
Умение структурировать
знания;
оценка процесса и
результатов деятельности.
Список литературы:
1) Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд «Математика 5», издательство «Мнемозина», 2013 год;
2) Авторская программа: Программа. Планирование учебного материала. Математика 56 классы\ авторсоставитель В. И.
Жохов. – М.: Мнемозина, 2010
3) журнал «Математика все для учителя», № 4, 2014года
Шахматы одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные
предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить.
ЛЕГЕНДА О ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ
Приложение 1.
19
Одну из подобных легенд я и хочу рассказать. Чтобы понять её, не нужно вовсе уметь играть в шахматы: достаточно знать,
что игра происходит на доске, разграфлённой на 64 клетки (попеременно чёрные и белые).
1) Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищён её
остроумием и разнообразием возможных в ней положений.
Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.
Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый учёный, получавший средства к жизни
от своих учеников.
- Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, сказал царь.
Мудрец поклонился.
- Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твоё пожелание, продолжал царь. - Назови награду, которая тебя
удовлетворит, и ты получишь её.
Сета молчал.
- Не робей, одобрил его царь, Выскажи своё желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.
- Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра, по зрелому размышлению, я сообщу тебе мою
просьбу.
Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.
- Повелитель, сказал Сета, прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.
- Простое пшеничное зерно? изумился царь.
- Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвёртую 8, за пятую 16, за шестую 32 -
Довольно, с раздражением прервал его царь. - Ты получишь свои зёрна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию:
за каждую вдвое больше предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную
награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример
уважения к доброте своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей. Сета улыбнулся, покинул
залу и стал дожидаться у ворот дворца.
2) За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унёс ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.
- Повелитель, был ответ, приказание твоё исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зёрен.
20
Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно. Вечером, отходя ко сну, царь ещё раз
осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.
- Повелитель, ответили ему, математики твои трудятся без устали и надеются ещё до рассвета закончить подсчёт.
- Почему медлят с этим делом? гневно воскликнул царь. - Завтра, прежде чем я проснусь, всё до последнего зерна
должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю. Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит
выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его.
- Прежде чем скажешь о твоём деле, объявил Шерам, я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная
награда, которую он себе назначил.
- Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, ответил старик. - Мы добросовестно исчислили всё
количество зёрен, которое желает получить Сета. Число это так велико... - Как бы велико оно не было, надменно
перебил царь, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана...
- Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зёрен, какое
потребовал Сета. Нет его и в житницах всего государства. Не найдётся такого числа зёрен и на всём пространстве Земли. И
если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи
осушить моря и океаны, прикажите растопить льды и снега, покрывающие далёкие северные пустыни. Пусть всё
пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И всё то, что родиться на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он
получит свою награду.
С изумлением внимал царь словам старца.
- Назови же мне это чудовищное число, сказал он в раздумье.
- 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615, о повелитель!
3) Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно, но что награда, о которой говорит
предание, должна была выразиться именно таким числом, в этом вы сами можете убедиться терпеливым подсчётом.
Открываем новые знания.
Информационный блок.
Приложение 2.
Как кратко записать произведение 2∙2∙2∙2∙2∙2∙2∙2?
Что означает каждый знак в такой записи?
Отвечаем, проверяем себя по тексту.
21
Степень числа
Произведение, в котором все множители равны друг другу, можно
записать короче.
Например: 2∙2∙2∙2∙2∙2∙2∙2 = 28.
Запись 28 называют степенью и читают «два в восьмой степени».
В этой записи число 2, которое перемножали, называют основанием
степени, число 8, которое показывает, сколько множителей было в
произведении, называют показателем степени.
Степенью числа a с натуральным показателем n , большим единицы,
называют произведение n множителей, каждый из которых равен a.
А ∙ а ∙ а ∙ а ∙…∙ а = аn.
Первая степень числа.
Квадрат числа.
Куб числа.
n раз
Первая степень числа – само это число.
а1 = а
Вторую степень числа называют квадратом числа.
а2 = а∙а
Третью степень числа называют кубом числа.
а3 = а∙а∙а
Степень числа
28
основание
показатель
Вычислим:
41 = 4
34 = 3∙3∙3∙3 = 81
23 = 2∙2∙2 = 8
52 = 5∙5 = 25
Приложение 3.
22
Приложение 4.
Назовите тему урока____________________________
Какова цель урока?_____________________________
______________________________________________
На уроке я работал активно / пассивно
Своей работой на уроке доволен / не доволен
Материал урока мне был понятен / не понятен
Домашнее задание мне кажется легким / трудным
Произведение, в котором все множители равны друг другу, тоже записывают короче: вместо 2 2 2 2 2 2 пишут 26. Запись 26 читают: «два в шестой степени». В этой записи число 2 называют основанием степени, число 6, которое показывает, сколько множителей было в произведении, - показателем степени, а выражение 26 называют степенью.
Пример 1.
Запишем произведения в виде степени и найдем их значения:
3 3 3 3 = 34 = 81;
5 . 5 5 = 53= 125;
2 2 2 2 2 2 = 26 = 64.
Которую степень числа часто называют иначе. Произведение 3 3 называют квадратом числа 3 и обозначают З 2 .
Произведение n и n называют квадратом числа
n и обозначают n2 (читают: «эн в квадрате»). Итак, n 2 = n n.
Например, 172 = 17 17 = 289.
Таблица квадратов первых 10 натуральных чисел имеет следующий вид:
Третья степень числа также имеет и иное название. Произведение 4 4 4 называют кубом числа 4 и обозначают 4 3 . Произведение n n n называют кубом числа n и обозначают n 3 (читают: 5 «эн в кубе»).
Итак, n 3 = n n n.
Например, 8 3 = 8 8 8 = 64-8 = 512.
а) х х = 25; в) а а = 1;
б) у у = 81; г)Ь Ь Ь = 0.